Handledning Det didaktiska kontraktet 19 september 2012
Dagens teman Begreppsföreställning och begreppskunskap igen Handledning Det didaktiska kontraktet
Begreppsföreställning och begreppsdefinition Begreppsföreställning och begreppsdefinition är inte färdig och mogen matematisk kunskap, utan provisorisk. Begreppsföreställningen skapas genom generalisering från exempel och användning av begreppet i olika sammanhang och behöver inte vara sammanhängande eller konsistent. Olika delar av begreppsföreställningen aktiveras i olika situationer. Delar som inte aktiveras tenderar att försvagas. Begreppsdefinitionen skapas antingen genom att ytinriktat, mekaniskt lärande av en formell eller informell definition eller genom en meningsskapande, personlig rekonstruktion av den formella eller informella definitionen. Begreppsföreställning och begreppskunskap kan ge motstridiga resultat vid en matematisk undersökning.
God begreppskunskap God kunskap betyder här användbar och livskraftig kunskap samt att kunskapen inte skapar hinder för fortsatt begreppsutveckling. Begreppsföreställningen innehåller flera olika representationer av begreppet. Begreppsföreställningen är rik på relationer till processer och till andra begrepp. Begreppsdefinitionen kan anpassas till olika representationer och tvärtom. Begreppsdefinitionen är generell. Begreppsdefinitionen kan förstås utifrån den (av andra) accepterade formella eller informella definitionen.
Något om Masons perspektiv Matematik lärs endast genom att den lärande aktivt engagerar sig i ämnet vilket innebär att aktivt skapa sin egen mening åt definitioner, satser och bevis tänka matematiskt, dvs generalisera och specialisera förmoda och övertyga föreställa sig och uttrycka organisera och klassificera formulera och lösa problem (Inledningen sid v till Masons bok)
Handledning Fyra sätt att interagera med studenten vid handledning (enligt Mason sig vii): Klargöra: Bege dig in i studentens begreppsvärld och arbeta i den. Låt studenten förklara. Utforska: Led studenterna i fruktbara riktningar när de försöker göra reda för detaljer och själva finna sammanhang. Öva: Led studenterna så att de förstärker metoder och teorier genom repetition och övning. Uttrycka: Led studenterna till att uttrycka sina insikter både muntligt och skriftligt. Undvik så kallad lotsning.
Interaktionen Studenten har alltid ansvar för sitt eget lärande. Exempel 1: Svara med en motfråga när en student ber dig förklara och visa hur man gör. Visa mig hur långt har du kommit.vad har du gjort? Vad skulle du kunna börja med? Kan du hitta något exempel i boken som du kan använda? Eller svara med någon strategi för problemlösning: Skriv ner vad du vet och vad du vill visa. Rita en figur.
Interaktionen Exempel 2: Svara alltid med en motfråga eller en uppmaning på frågan hur man förstår ett visst steg i en färdig lösning (t ex i boken). Förstår du hur de har kommit hit? Förklara för mig! Visa mig din lösning! Visa mig hur du skulle vilja (börja) lösa uppgiften! Träna dig som lärare att lämna över ansvaret till studenten.
Interaktionen Exempel 3: Svara alltid med en motfråga på uppmaningen att förklara igen. Vad står det i boken och anteckningarna? Läs högt! Kommer du ihåg vad jag/föreläsaren sa på föreläsningen? Vad tycker du att du förstår? Sätt fingret på just det som du inte förstår!
Aktivitet Kräv aktivitet av studenten. Exempel 1: Om du ställer upp och besvarar frågor på en mottagningstid: Begränsa tiden för varje student (ge mer tid om de är flera). Kräv att studenten har arbetat med problemet hemma och kan visa vad hon/han gjort och varför hon/han inte kommer vidare (konkret visa sitt arbete). Exempel 2: Genomför inte beräkningar och förenklingar åt studenten som du vet att hon/han kan klara själv. Här krävs det tålamod och ibland är det lämpligt att lämna studenten och komma tillbaka. Om nödvändigt, så ge endast ett första steg på vägen och återkom senare om det behövs. Exempel 3: Använd listor där studenterna prickar av vilka uppgifter de löst, vilka uppgifter de önskar få kommenterade och vilka de inte försökt lösa.
Kroppsspråk och kommunikation vid handledning Stå stadigt och rör dig lugnt - det ger en lugn och trygg atmosfär. Behåll en tydlig distans i rummet för att inte inkräkta på andras integritetsutrymme. Inta gärna en position på samma höjd som den du talar med. Sitt mittemot om det är möjligt. Det skapar en känsla av jämlikhet; om du står och den andra sitter blir den andra automatiskt underordnad. Se till att ha ögonkontakt. När du ställer en fråga så behåll koncentrationen på frågan och den som får frågan genom att rikta blicken. Undvik att fokusera på något annat, t ex dina anteckningar. Tveka inte att invänta ett svar, även om det tar tid. Om du kommunicerar med en liten grupp av studenter, så rikta budskapet omväxlande mot de olika personerna i gruppen. Om någon har ordet, så rikta uppmärksamheten mot henne/honom. Skriv inte i studenternas block. Matematikdidaktik Använd egna den 19papper september 2012 som du
Metoder Skapa en atmosfär av förmodanden. Acceptera förslag som du vet inte leder framåt. Peka på svårigheter eller orimliga konsekvenser. Be om en modifierad förmodan i stället för att avfärda en som felaktig. Ge aldrig negativ feedback på ett förslag eller en förmodan (dumt, onödigt, fel, borde du ha lärt dig i gymnasiet, gick vi igenom förra veckan,...). Uppmuntra studenten när hon/han har gjort en förmodan, gett ett förslag eller arbetar matematiskt.
Metoder Skapa debatt. Formulera ett problem med ja- och nejsvar (kan man hitta en funktion med den och den egenskapen? ska man använda den eller den fördelningen i ett visst fall?). Ha omröstning om svaret med efterföljande diskussion med argument, exempel och motexempel. Låt eventuellt studenterna diskutera i par först (kan vara tryggare). Diskutera lösningar som studenterna visar på tavlan. Hur tänkte du? Var det någon som löste uppgiften på något annat sätt? Eller låt flera studenter visa olika lösningar på samma uppgift. Diskutera för- och nackdelar med dem.
Metoder Arbeta med termer och begrepp. Ge studenterna ett antal nyckelord från satser, definitioner och metoder. Be dem göra fullständiga meningar i vilka orden ingår. Boken ska vara stängd! Låt dem arbeta i grupp och låt grupperna dela med sig till varandra. Ge studenterna ett antal viktiga egenskaper och be dem konstruera exempel på objekt som har egenskaperna. Be studenterna om exempel på ett objekt med vissa specifika egenskaper (eventuellt numeriska värden); ett vanligt och ett underligt.
Metoder Arbeta med metoder och algoritmer Låt studenterna skapa uppgifter som man löser med en viss metod. Be dem lösa varandras uppgifter. (Det här är ofta mycket lärorikt!) Be studenterna analysera övningsuppgifter som de löst. Vad illustrerar uppgifterna och vad kan man lära sig av dem? Har en viss uppgiften någon speciell knorr eller är det en standarduppgift på en viss metod? Fråga studenterna varför de tror att vi rekommenderar att de löser en viss uppgift. Be studenterna göra övningen ovan innan de löser uppgifterna. Be studenterna själva avgöra efter varje avsnitt hur pass säkra de känner sig på en viss metod, eventuellt på en skala från 1 till 5.
Det didaktiska kontraktet Enligt Brousseau är det didaktiska kontraktet en tyst överenskommelse som träder i kraft i varje didaktisk situation och som innebär att eleven/studenten inte handlar utifrån lärarens intentioner för lärandet, utan utifrån de specifika uppgifter som föreläggs och de specifika krav som ställs av läraren. Det kan vara mycket svårt att bryta det didaktiska kontraktet.
Det didaktiska kontraktet Några exempel på (oftast outtalade) överenskommelser som kan ingå i det didaktiska kontraktet mellan föreläsare och studenter: Föreläsaren går igenom allt som kommer att examineras; föreläsaren poängterar det som är särskilt viktigt genom att lägga mer tid eller större tryck på detta. Föreläsaren presenterar teorin så sammanhängande att anteckningarna kan ersätta kurslitteraturen. Ingen aktivitet (få frågor, tänka över något, ställa frågor) kan förväntas av studenterna under föreläsningen.
Det didaktiska kontraktet Frågor från studenterna ställs och besvaras utförligt ställs och besvaras kortfattat eller avfärdas ställs aldrig Deltagande alla studenter som deltar är närvarande i stort sett vid alla föreläsningar studenterna kommer och går (deltar i vissa föreläsningar, men uteblir från andra)
Att läsa Mason: Mathematics Teaching Practices Förordet v-viii Tutoring, s 71-103 Mathematical powers, s 184-185 Alsina, C. (2001). Why the professor must be a stimulating teacher. Towards a new paradigm of teaching mathematics at university level. In Holton, Derek (ed.) The teaching and learning of mathematics at university level: AN ICMI Study. Kluwer 3-12