Experimentell metodik

1. Experimentell metodik Institutionen för fysik och astronomi Olof Charlie Karis Svante Svensson Jan Hedman Uppsala universitet

2. Innehållsförteckning 1. OM SAMSPELET MELLAN EXPERIMENT OCH TEORI I FYSIKEN 3 2. LABORATIONER 3 3. KURVRITNING 4 Om handritade diagram 6 4. "MINSTA KVADRATMETODEN" 4. 1. Anpassning av rät linje (Linjär anpassning) 9 4.2. Anpassning av komplicerad funktion (Icke linjär anpassning) 10 5. METODEN MED ÅTERKOMMANDE INTERVALL 10 6. EXPERIMENTELL PROBLEMLÖSNING 12 7. ÖVNINGSUPPGIFTER 16 8. SVAR TILL VISSA AV ÖVNINGSUPPGIFTERNA 18

3. 1. ALLMÄNT OM FYSIKEN OCH OM SAMSPELET MELLAN EXPERIMENT OCH TEORI Den kunskap vi idag äger inom naturvetenskap och teknik har förvärvats genom nära samarbete mellan experimentalister och teoretiker. Det som brukar kallas den experimentella metoden, skisserades av Galilei och har därefter varit grunden för naturvetenskapens utveckling. Det intressanta med denna metod är, som nobelpristagaren Ilya Prigogine brukar påpeka, att människan kan komma i en "dialog med naturen". Ett experiment är ju ett sätt att formulera en fråga till naturen och det är därvid möjligt att få ett svar i form av ett utfall av experimentet. Vetenskapliga teoribildningar är ett synnerligen effektivt sätt att systematisera våra frågor av denna typ. I modern fysik växelverkar teoribildning med experimenterande synnerligen intensivt. Man kan säga att man i ett experiment bestämmer samband som beskriver hur en variabel beror av ett antal andra variabler. Resultaten dokumenteras i form av tabeller eller diagram. I elementärundervisningen i fysik syftar experimenten enbart till att verifiera samband som redan är kända från någon teori, exempelvis Ohms lag som ger en relation mellan spänning och ström genom en resistor. I fysikaliskt arbete händer det emellertid ofta att man inte från början känner det teoretiska sambandet innan experimentet. Teorin kan vara för komplex för att kunna utredas i detalj, störande faktorer kan påverka experimentet etc. Det är emellertid ofta möjligt att ändå få fram det väsentliga i experimentet. Om man saknar teori kan man försöka att ur tabeller och diagram finna ett matematiskt funktionssamband, ett samband som innehåller ett antal variabler och konstanter. Observera att detta funktionssamband inte alltså inte behöver grundas på en fullständig teoretisk förståelse innan experimentet görs. Vid studium av en viss fysikalisk effekt har man kanske funnit följande enkla linjära samband mellan variablerna y och x: y= a + b x (1) där a är en materialkonstant och b är en konstant som är oberoende av vilket material som studerats. I avsaknad av en teori ger sambandet inte någon djupare förståelse. Utvecklingen av en teori kan tydliggöra innebörden av de experimentella resultaten - t ex att få oss att se skäl till att a men inte b är materialberoende. Teorin kan kanske också förutsäga utfallet av nya experiment av annat slag, och med sådana experiment testar man då teorin. Experimentalisten skall ha god kontroll över de olika variablerna, kunna eliminera (eller minimera inverkan av) olika felkällor, samt kunna ange mätosäkerheten i sina mätdata 2. LABORATIONER Laborationer i fysikundervisningen är dels en introduktion i den experimentella metoden, dels en övning på olika kursmoment. Laborationen ger färdighet att använda fysikalisk apparatur och övning i att upptäcka samband mellan teori och experiment. Ofta syftar laborationen till att illustrera något kursmoment och man utför mätningar som ger samband mellan variabler för att verifiera en teori. Det är då viktigt att ha insikter i hur man lämpligen illustrerar sambanden i diagram. I detta kompendium kommer vi att beskriva hur samband bör illustreras i diagram för att förståelsen av underliggande teori skall underlättas. Vi kommer också i fysikkurserna att träna den rakt motsatta situationen, nämligen att söka ett okänt funktionssamband, utan någon som helst kännedom om teorin. Ett sådant arbetssätt är förstås mycket grundläggande i forskningen. Många formler har varit experimentellt etablera-

4. de långt innan de kunde beskrivas av en teori. Ett berömt exempel är när Janne Rydberg på 1880 talet formulerade lagen som beskriver våglängderna i väteatomens spektrum med hjälp av heltal. Han hade ingen som helst teoretisk motivering, den kom först trettio år senare med den av Bohr formulerade kvantteorin. 3. KURVRITNING Antag att ett antal värdepar ( x 1,y 1 ), ( x 2, y 2 ), ( x 3, y 3 ), ( x i, y i ), skall representeras grafiskt. Ett enkelt (och något primitivt) sätt är att pricka in värdeparen på ett millimeterpapper sedan man bestämt sig för vilken storhet som skall avsättas längs den vertikala axeln och valt skalor. Diagrammet kan dock med fördel ritas med hjälp av något datorprogram, t ex MATLAB, EXCEL eller IGOR. Diagramritning på denna nivå, där värdeparen helt enkelt förs in utan förbearbetning har de flesta stött på tidigare. Emellertid måste man ofta gå ett par steg vidare för att underlätta förståelsen av experimentet. Ovanstående enkla diagramriting är nämligen bäst lämpad i den situationen att en teoretisk modell förutsäger ett enkelt linjärt samband,. Genom anpassning av en rät linje till datapunkterna kan man då bestämma värden på parametrarna k och l, antingen grafiskt eller numeriskt, t ex med den s.k. minsta kvadratmetoden.

5. Man kan naturligtvis lägga in en linje för hand i diagrammet (du har säkert gjort detta många gånger tidigare). En sådan linje skall man då lägga in så att lika många punkter hamnar ovanför som under den dragna linjen. Genom uppmätning direkt på pappret kan konstanterna k och l bestämmas. En grov uppskattning av mätosäkerheten i k och l kan man erhålla i ett handritat diagram genom att variera linjens lutning inom det intervall som ges av de enskilda värdenas mätosäkerhet. Emellertid har vi oftast att hantera mer komplicerade situationer där parametersambanden är givna av icke-linjära funktioner. För att på enklast möjliga sätt få ut de relevanta parametrarna ur experimentet bör man i dessa fall inte mekaniskt rita variablerna direkt mot varandra, utan se om de komplicerade funktioner som beskriver variabelsambandet på något sätt kan göras om till linjära uttryck.vi ger några exempel: Ex. a I fallen eller y = k x 2 y = A + B/ 2 = A + B 12 kan man uppenbarligen erhålla parametern k ur lutningen för den räta linje som fås om man avsätter y som funktion av, i första fallet x², i andra fallet av 1/λ².

6. Ex. b I fallet y = 1 ax + b fås a och b om 1/y avsätts som funktion av x, o.s.v. Ex. c Misstänker man att ens mätvärden representeras av funktionen y = a x b, där a och b är okända parametrar som skall bestämmas, kan man avsätt logaritmen för y som funktion av logaritmen för x : lny = b lnx + lna. Exponenten fås ur linjens lutning och parametern a ges av a = y(1). Med en räknedosa lägger man således till kolumner i tabellen och plottar relevanta kolumnvärden mot varandra. I program som MATLAB, EXCEL eller IGOR är dessa operationer mycket lätta att utföra. Om handritade diagram Diagram skall vara stora och rejäla, normalt A4- eller A5-format. Avpassa indelningen av axlarna så att modulen blir 1 mm, 2 mm, 5 mm eller 1 cm. Då så är möjligt, bör skalorna väljas så att en kurva som anpassas till mätpunkterna lutar avsevärt i förhållande till båda axelriktningarna. Det ger god avläsningsnoggrannhet. Mätpunkter skall markeras tydligt. Deras lägen skall framgå klart, även sedan man dragit en kurva, anpassad till mätpunkterna. y = A + B / λ 2 = B ( ) + A Varje fysikalisk storhet kan skrivas som en produkt av ett mätetal och en enhet. Mätetalet kan följaktligen skrivas mätetal = storhet enhet. På diagramaxlar (och i tabellhuvuden) skriver man därför storheten/enheten. Skalstrecken anger mätetalets storlek, t ex: 1 λ 2

7. Eventuella tiopotenser i mätvärden kan inkluderas i enheten. Om man t ex har bestämt! =3, 5 10 13 rad s 1 ; 4, 6 10 13 rad s 1 kan man på en axel eller i ett tabellhuvud skriva!/1013 rad s 1 : Mätpunkterna, (eller åtminstone en del av dem) förses lämpligen med staplar, som anger mätosäkerheten för den variabel som har störst mätosäkerhet. Exempel:

8. Ett vanligt fel vid kurvritning (av mindre erfarna kurvritare samt av åtskilliga datorprogram) är att dra kurvan alltför nära samtliga mätpunkter (eller rentav genom alla mätpunkter), så att kurvan får strukturer som inte motsvaras av fysikaliska realiteter. Exempel:

9. 4. "MINSTA KVADRATMETODEN" 4. 1. Anpassning av rät linje (Linjär anpassning) Det finns ett standardiserat matematiskt sätt att finna den(i viss mening) "bästa" lösningen på problemet att anpassa en funktion y(x) så bra som möjligt till värdeparen ( x 1,y 1 ), ( x 2, y 2 ), ( x i, y i ). Vi illustrerar det för det fall att funktionen är en linjär funktion y = kx + l. I minsta kvadratmetodens enklaste form använder man summan av de kvadratiska avvikelserna mellan mätpunkterna och den anpassade räta linjen som ett mått på anpassningens kvalitet (Observera att måttet är valt av oss. Det finns andra mått man kan använda sig av, tex är det vanligt att vikta punkterna enligt olika scheman om inte alla mätvärden ha samma onoggrannhet). Måttet på avvikelsen blir då en funktion S(k,l) : S = S(k, l) = nx (y i (k x i + l)) 2 i=1 Vi söker så värden på parametrarna k och l som ger minimum av summan S(k,l). För att finna minimum för en flerdimensionell funktion behövs kunskaper från s.k. flerdimensionell analys. Den matematiska lösningen på problemet motsvarar den enkla grafiska proceduren att justera en linje i ett diagram så att summan av de vertikala avstånden mellan linjen och samtliga punkter blir minimal:

10. @S Villkoren @k =0 @S och @l =0 ger följande recept för beräkning av k och l : k = P (xi hxi) y i P (xi hxi) 2 = 0; l = hyi k hxi där x anger medelvärdena av samtliga x-värden, x = 1 x n i, och y anger medelvärdet av y-värdena. Minsta kvadratformeln finns oftast programmerad i en teknisk räknedosa. Titta i din manual hur du gör. Den finns också i samtliga program för diagramritning och tabellskrivning, exempelvis EXCEL (Där utför du kommandot "Sätt in trendlinje" när du låtit programmet göra diagrammet. Ordet trendlinje är vanligt i icke naturvetenskapliga kretsar. Programmet är ursprungligen skrivet för ekonomer). I MATLAB, IGOR och andra liknande dataprogram som är skrivna för naturvetare (och som därmed kanske kräver lite mer av användaren) finns ett antal olika minstakvadratanpassningsrutiner att tillgå, inte enbart den enkla linjära anpassningen som vi beskrivit. Man kan där anpassa polynom, exponentialfunktioner, sinusfunktioner mm. n i =1 4.2. Anpassning av komplicerad funktion (Icke linjär anpassning) I många sammanhang i fysiken kan vi möta situationen att vi faktiskt inte kan linearisera det funktionssamband vi förväntar oss mellan variablerna. Ett vanligt exempel kan man hämta från spektroskopin där spektrum förväntas bestå av en summa av en rät linje(bakgrunden) samt flera Gausskurvor, dvs funktioner av typen : Ae a( x x 0 ) 2 A är här spektrallinjens maxhöjd, ur a kan man få linjens bredd och x0 talar om var linjen är centrerad. I sådana fall vill man bestämma värden på parametrarna A,a och x0 genom att minimera ett mått på avvikelserna. Man använder oftast just den kvadratiska medelavvikelsen. Emellertid kan man inte ge ett enkelt analytiskt uttryck av samma typ som minstakvadratformeln för den räta linjen. Man får använda numeriska iterativa processer, som med moderna datorer utförs snabbt och enkelt. I mer komplicerade naturvetenskapliga programpaket, exempelvis MATLAB eller IGOR, finns sådana anpassningsrutiner att tillgå. Vi kommer emellertid i denna första kurs inte att använda icke linjär anpassning. 5. METODEN MED ÅTERKOMMANDE INTERVALL Ofta vill vi bestämma periodiska fenomen av olika slag. Antag t.ex. att vi vill bestämma periodtiden T för en pendel. Det uppenbara sättet att göra detta är att göra en tidsavläsning för varje gång pendeln passerar sitt ena jämviktsläge. Vi kommer då att få en serie tidsavläsningar (Det är här lämpligt att göra ett jämnt antal avläsningar 2n av skäl som vi inser nedan): t 1, t 2, t 3, t 4, t 5,, t 2n Den som inte tänker sig för skulle då kunna resonera på följande sätt. Vi kan ur serien få n värden på periodtiden genom att bestämma den på följande sätt:

11. T 1 = t 2 t 1 T 2 = t 3 t 2 T 2n 1 = t 2n t 2n 1 Därefter vore det frestande att sätta T som medelvärdet av alla dessa mätningar: T = T 1 + T 2 + T 3 + T 4 +... + T 2n 1 2n 1 men detta är synnerligen olämpligt ty om vi skriver ut termerna får vi: T = (t 2 t 1 ) + (t 3 t 2 ) + (t 4 t 3 ) +... + (t 2n t 2n 1 ) 2n 1 = t 2n t 1 2n 1 Detta innebär att vi bara utnyttjat två av våra mätningar. Ett sätt att undvika detta är att i stället para ihop mätningarna på följande sätt : T 1 = t n+1 t 1 n T 2 = t n+ 2 t 2 n etc. Man tar sedan T som medelvärdet av alla värden T 1, T 2, T 3, T 4,, T n [Standardfelet s T för T kan nu bestämmas på följande sätt. Om standardfelet i en av de enskilda mätningarna av t i är s t i så gäller att: s T = 2n n 2 s t ]

12. 6. EXPERIMENTELL PROBLEMLÖSNING I detta avsnitt kommer vi att beskriva hur man går till väga om man vill finna funktionssamband mellan variabler när man inte i förhand vet något om den teoretiska bakgrunden. Denna situation är förstås vanlig i forskningssammanhang då man söker ny kunskap, men den uppstår även i andra situationer när den teoretiska beskrivningen kan vara för komplex för att uttrycka på ett enkelt sätt med analytiska formler, eller när störande faktorer inverkar allt för mycket på experimenten. Utgångspunkten är att man först försöker definiera de variabler som är intressanta för att beskriva den fysikaliska situationen. Denna utredning kräver eftertanke och det är förstås lätt att råka ta med en variabel som inte har något med försöket att göra. Betrakta följande mycket enkla exempel som du redan känner från gymnasiekurserna, nämligen den matematiska pendeln: Vi söker uttrycket för periodtiden T 0. Om vi ser på figuren kan följande variabler vara möjliga att betrakta: Pendelns massa m Pendellängden l Maximala utslagsvinkeln θ 0 Tyngdaccelerationen g Om du är oerfaren i fysik skulle du kanske även gissa att stödets höjd H hade betydelse.

13. Nästa steg är att gissa vilken form som funktionssambandet kan tänkas ha. Det finns förstås en uppsjö av olika möjligheter. I denna första beskrivning begränsar vi oss till det enklaste fallet, som är mycket vanligt, nämligen att sambandet mellan variablerna är en produktformel av typen: F(x, y, z) = x a y b z c [Man kan invända att en sådan ansats täcker enbart specialfall. Detta är förstås sant, men det finns metodik (s.k dimensionslösa grupper) som gör det möjligt att få fram formler av typen: F(x, y) = x + 1 y 3 I detta kompendium behandlar vi emellertid inte denna metodik.] Man skulle nu kunna tro att vi nu skall sätta igång och mäta. Dvs hålla alla övriga variabler konstanta och mäta hur T0 beror av enbart l. Göra samma sak för beroendet av m etc. Vid en sådan mätning skulle man ju t.ex. direkt finna att T0 inte beror av H, utan är konstant vid variation av H. Vid ett sådant förfarande skulle vi emellertid ha gjort alldeles för mycket arbete. Vi hade nämligen inte tagit hänsyn till att fysikaliska storheter har dimension. Detta faktum kopplar variablerna till varandra och vi behöver utföra mycket färre mätningar.

14. Dimensionsanalys Alla storheter som uppmäts i fysiken har dimension. I mekaniken har vi att göra med tre grunddimensioner nämligen: Längd Massa (L) (M) Tid (T) Dimensionen hos alla andra mekaniska storheter är sammansatt av dessa grunddimensioner exempelvis: Area L 2 Hastighet LT -1 Kraft M LT -2 Du kan själv kontrollera dimensionsuttrycken och även försöka finna ut uttrycken för andra sammansatta storheter som energi, effekt, densitet mm. Inom andra delar av fysiken behöver vi ytterligare dimensioner som elektrisk ström, absolut temperatur, ljusstyrka mm. SI-enheterna för de nu nämnda grunddimensionerna är som bekant 1 m, 1 kg, 1 s, 1 A, 1 K, 1 cd. Dimensionsanalysen som verktyg för att finna funktionssamband mellan variabler grundar sig på det mycket enkla faktum att i en ekvation som uttrycker ett sådant samband måste båda leden ha samma dimension. Vi skall nu visa hur detta används i praktiken genom att fortsätta att analysera exemplet med den matematiska pendeln. Vi ansätter en gissad formel således är av typen: T = C l a m b g c H d θ 0 e där a, b, c, d, e är okända exponenter. Vi har i formeln även inkluderat en dimensionslös konstant C. (Vi skall senare visa att i vårt exempel är denna konstant 6.28 dvs 2π.) H och l har dimensionen längd (L) m har dimensionen T har dimensionen massa (M) tid (T) g (sammansatt) acceleration (LT -2 ) θ 0 och C är dimensionslösa. Detta innebär att vi ur dimensionsanalysen inte får någon information om konstanten e. Den måste bestämmas ur experiment.

15. Om vi sätter in dimensioner i stället för variabler i vår gissade ekvation har vi således följande samband mellan de ingående dimensionerna (Kontrollera detta själv!): T = L a M b (LT 2 ) c L d Vi kan nu hyfsa högerledet i ekvationen och får: T = L a+ c +d M b T 2c Eftersom dimensionerna på HL och VL måste vara desamma gäller således: Vilket slutligen ger a + b + d = 0 b = 0 c = 1/2 a + d = 1/ 2 b = 0 c = 1/ 2 Genom att utföra dimensionsanalysen har vi således reducerat det antal mätningar vi måste utföra för att fastställa funktionssambandet. I stället för att konstanthålla övriga variabler och mäta periodtiden som funktion av l, konstanthålla övriga variabler och mäta periodtiden som funktion av m etc (5 st mätningar), behöver vi bara utföra två mätningar! Vi kan konstanthålla övriga variabler och mäta perioden som funktion av H(Alternativt l) samt göra samma sak för θ 0. Som du redan vet är i detta fall utfallet av mätning med H som variabel ett trivialt experiment, periodtiden beror förstås inte av stödets längd och du kommer således att finna att d=0 vilket ger a=1/2. Konstanten e är mycket mer intrikat. Den förste som genomförde detta slags experiment var Galileo Galilei som observerade en pendel i form av en ljuskrona i katedralen i Pisa. Han har mycket vackert skildrat utfallet av detta experiment: Den andra saken som är verkligt häpnadsväckande är att samma pendel gör sina svängningar med samma frekvens, eller med ytterst liten och nästan omärklig skillnad, antingen de görs i större eller mindre bågar på samma omkrets. Jag menar att om vi flyttar pendel med bara en, två eller tre grader från lodlinjen eller i stället med 70, 80 eller med en hel kvadrantbåge görs den i båda fallen sina svängingar lika ofta, såväl de förra när den rör sig längs en båge på fyra eller sex grader som de senare när den måste fara över bågar på 160 grader eller mer. Galileo Galilei: Dialoger om de två världssystemen En uppmätning av periodtiden som funktion av θ 0 ger alltså resultatet att e=0 så länge utslagsvinkeln är liten. För stora utslag är sambandet mycket mer komplicerat och då räcker inte vårt enkla utgångsantagande. Vi kan nu sammanfatta vårt resultat:

16. T 0 = C l g Vilket är den bekanta formeln för periodtiden för en matematisk pendel. Konstanten C återstår förstås att bestämma, den kan erhållas genom en mätning (Tänk igenom hur du skulle vilja göra en sådan och fundera hur diagrammet bör se ut!). Du kommer då att finna att C=6.28, vilket du förstås kände till från gymnasiekursen.

17. 7. ÖVNINGSUPPGIFTER 1. Brytningsindex för en glassort har experimentellt bestämts för ett antal våglängder enligt tabellen nedan. Enligt Cauchy beror brytningsindex av våglängden enligt följande: Vi väntar oss uttryck av formen n = A + B 1 λ 2 Det är då lämpligt att plotta n mot 1 λ 2 Se nedanstående tabell Bestäm grafiskt värden på parametrarna A och B för ifrågavarande glassort. λ (Å) 6438 5893 5086 4800 n 1,6077 1,6117 1,6202 1,6240 2. Det teoretiska sambandet mellan storheterna x och y är y = x A + Bx där A och B är konstanter. y har uppmätts för sju olika värden på x: x y (SI-enheter) 0,10 0,0307 0,16 0,0413 0,25 0,0518 0,32 0,0577 0,40 0,0622 0,50 0,0671 0,70 0,0737 Bestäm A och B grafiskt 3. Betapartiklar från en okänd radioaktiv isotop registreras i en räknare. Man förväntar sig därvid att antalet registrerade partiklar per tidsenhet skall avta exponentiellt enligt följande: A = A o e λt Logaritmera där Ao är antalet registrerade partiklar per tidsenhet vid tiden t = 0 och λ är isotopens sk sönderfallskonstant. Följande mätserie erhölls: t (min) 0 10 20 30 40 50 60 70 80

18. A (s -1 ) 152 120 88 68 54 38 28 25 19 a) Bestäm grafiskt ett värde på λ. b) A minskar till hälften av ursprungsvärdet på den sk halveringstiden t 1/ 2 = ln 2 λ. Beräkna t1/2 ur värdet på λ, och jämför sedan med det värde på t1/2 som mera direkt kan avläsas ur diagrammet. 4. Antag att man vill undersöka en accelererad rörelse, t ex en fallrörelse. Man mäter den tid t det tar för en kropp att röra sig sträckan s från stillastående. Antag vidare att man har en teori om att sambandet mellan s och t bör vara av typen s = At B. Bestäm A och B ur följande mätning: s (m) 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 t (s) 0,20 0,24 0,29 0,32 0,35 0,38 0,40 0,43 0,45 5. En astronomisk tabell ger följande uppgifter om planeterna: Omloppstid Medelavstånd från solen (år) (AE) Merkurius 0.2408 0.3871 Venus 0.6152 0.7233 Jorden 1.0000 1.0000 Mars 1.8809 1.5237 Jupiter 11.8622 5.2028 Saturnus 29.4577 9.540 Uranus 84.013 19.18 Neptunus 164.79 30.07 Pluto 248.4 39.44 (1 AE = halva storaxeln hos jordbanan 1,496 10 8 m.) Undersök sambandet mellan omloppstid och medelavstånd. 6. I laborationen Ultraljud mäter man avståndet x från den plana ytan av en aluminiumkloss till en hålighet i klossen genom att sända en kort ultraljudspuls från ytan mot håligheten och mäta den tid det tar för pulsen att gå från ytan till håligheten och (efter reflexion där) tillbaka till ytan. Pulsen kan också studsa mellan ytan och håligheten flera gånger. Vid ett försök uppmättes följande: Sträcka 2x 4x 6x 8x 10x 12x Tid (µs) 7.3 14.2 21.7 28.3 35.8 43.3

19. Ljudhastigheten i aluminium är 6,30 10 3 m/s. Bestäm avståndet x. (Använd metoden för återkommande intervall.) 7. Strömmen genom en viss resistor uppmättes för olika spänningar över resistorn, med följande resultat. U (V) 1,00 2,50 4,00 5,00 6,50 8,00 I (A) 0,80 1,60 2,14 2,70 3,58 4,20 a) Rita diagram och bestäm resistansen grafiskt. b) Bestäm resistansen med minsta kvadratmetoden. 8. Uppgiften i ett experiment var att undersöka hur z beror av variablerna x, y, u och v. En dimensionsanalys gav resultatet zy x = f vx 2 2 u Vid experimentet erhölls följande samhörande värden på z och de oberoende variablerna: z x y u v 3 1 1 2 0 20 5 5 25 1 2 4 40 24 3 3 1 2 3 9 1 3 63 9 4 8 1 1 1 5 Bestäm funktionssambandet. 8. SVAR TILL VISSA AV ÖVNINGSUPPGIFTERNA 1. A = 1,5872 B = 8,50 10 5 Å 2 2. A = 2,21 B = 10,5 (SI-enheter) 3. a) 2,6 10-2 min -1 b) 26 min 4. Diagram ger B = 1,98 ( 2), A = 4,9 enheter 8. z = 3x2 y + vx4 uy