Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen Beta. För betyg tre krävs minst 5 poäng på A-delen. För fyra eller femma ska man dessutom ha minst 9 resp. minst 5 poäng på B-delen. Under kursen har sju kontrollskrivningar/hemuppgifter givits, godkänt på någon av dessa räknas som 3 poäng på motsvarande uppgift i A-delen. Skrivning KS HU KS2 HU2 KS3 HU3 KS Uppgift 2 3 5 6 7 DEL A. Beräkna gränsvärdet lim x 2x 2 x 2 5x 2. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen, vilket vi kan åtgärda genom att förlänga med x 2 : lim x 2x 2 x 2 lim 5x 2 x 2 3x x 5 2 5 2 5 2. Bestäm de punkter på kurvan x 2 + 2xy + 2y 2 5 där tangentlinjen är horisontell. Lösning. Tangentlinjen är horisontell i punkter där derivatan av y med avseende på x är noll, vi deriverar kurvans ekvation och sätter y dy/dx : (5) (x 2 + 2xy + 2y 2 ) 2x + 2xy + 2y + yy 2(x + y). Tangentlinjen är alltså horisontell i punkter där x + y, insatt i kurvans ekvation ger detta x ± 5, eller punkterna ( 5, 5) och ( 5, 5). 3. Antar funktionen värdet /2? f(x) arctan 3x arctan x Lösning. För funktionen f(x) gäller f(), lim f(x). x ± Lokala extremvärden nns i punkter där f (x), detta ger x ±/ 3, f(±/ 3) ±π/6. Eftersom f(x) är en kontinuerlig funktion med f() < /2 och f(/ 3) π/6 > /2, så måste f(x) /2 för något x mellan och / 3.
. Beräkna derivatan av funktionen cos x f(x) sin x t 2 dt, < x < π 2. Lösning. Derivatan ges av f (x) cos 2 x ( sin x) sin 2 x cos x sin 2 x ( sin x) cos 2 x cos x sin x ( sin x) cos x cos x sin 2 x cos 2 x. 5. Området mellan x-axeln och kurvan y xe x, x, roterar ett varv kring x-axeln. Beräkna volymen av den rotationskropp som uppstår. Lösning. Volymen ges av integralen (som vi beräknar med två partialintegreringar eller med hjälp av Beta, 7., formel 32) πy 2 dx π x 2 e 2x dx π 8 e 2x (x 2 + x + 2) π ( e 8). ] 6. Bestäm alla funktioner y f(x) som uppfyller dierentialekvationen y y(x 3 2x + ). Lösning. Detta är en separabel ekvation, vi samlar x och y på var sin sida, och integrerar: y y /2 x 3 2x +, 2y /2 x x2 + x + C, där C är någon konstant. Detta ger y ( ) x 2 x2 + x + C. 7. Bestäm koecienten framför x 5 i Taylorutvecklingen av f(x) arccos x cos x vid x.
Lösning. I Beta (avsnitt 8.6) hittar vi Taylorutvecklingarna arccos x π 2 x 6 x3 3 x5 + O(x 7 ), Multiplicerar vi dessa får vi cos x 2 x2 + 2 x + O(x 6 ). f(x) arccos x cos x ( π 2 x 6 x3 3 ( x5 + O(x )) 7 2 x2 + ) 2 x + O(x 6 ). I denna produkt får vi följande termer med x 5 : ( x) ( ) 6 x3 ( ) 2 x + ( ) ( 2 x2 + () 3 ) ( x5 2 + 2 3 ) x 5 Koecienten framför x 5 är alltså 2 + 2 3 3. 8. Beräkna den generaliserade integralen (x 2 + )(x 2 + ) dx. Lösning. Vi gör en partialbråksuppdelning och integrerar, (x 2 + )(x 2 + ) Ax + B x 2 + + Cx + D x 2 + t (x 2 + )(x 2 dx lim + ) t x 2 + + x 2 + x 2 + + x 2 + dx lim t arctan(x) + 2 arctan(x/2)] t lim t ( arctan(t) + 2 arctan(t/2)) π/2. DEL B 9. Ett rep av längd m används för att göra en cirkel och en kvadrat. Vilken är den största resp. minsta sammanlagda area dessa kan ha? Lösning. Om vi använder x m av repet för att göra cirkeln får vi en cirkel med radie x/2π och en kvadrat med sida ( x)/. Den sammanlagda arean av dessa är ( ) x 2 A(x) π + 2π ( x ) 2 π x2 + 6 ( x)2. Vi ska hitta max/min för A(x) då x. I ändpunkterna på intervallet har vi A() 25 25, A() π.
Funktionen A(x) är deriverbar för alla x så eventuella max/min i det inre av intervallet nns i punkter där A (x). Detta ger eller x π +π 2π x ( 8 ( x) 2π + ) x 8 8 (vilket är ett tal mellan och.) Vi har ( ) π A 25 + π + π. Den största arean ges av x och är 25 m2 (om man godtar en kvadrat med sidlängd m, annars nns ingen största area.) Den minsta arean fås vid x π 25 +π och är +π.. Visa att arctan(/x) π 2 arctan(x) för alla x >. Lösning. Detta är det samma som att visa att är konstant lika med π 2. Eftersom så är f(x) konstant. Eftersom så är f(x) konstant lika med π 2. f(x) arctan(/x) + arctan(x) f (x) (/x) 2 + x 2 + x 2 + + x 2 + x 2 + f() arctan() + arctan() 2 π π 2. Visa att funktionen ( f(x) ln x + ) x 2, x, är inverterbar. Vilken är denitionsmängden för inversfunktionen f (x)? Beräkna inversfunktionens derivata i punkten ln( 2 + ). Lösning. Eftersom f (x) ( x + x 2 + ) x x 2 x 2 > för alla x så är f(x) strikt växande och alltså inverterbar. Denitionsmängden för f är lika med värdemängden för f. Vi har f(), f strikt växande, lim x f(x), så värdemängden för f är alla x. För inversens derivata gäller (f ) (x) f (f (x)).
Vi har f( 2) ln( 2 + ) så f (ln( 2 + )) 2 och (f ) (ln( 2 + )). f (f (ln( 2 + ))) f ( 2) (2 ) 2 (Uppgiften kan också lösas genom att beräkna f från f, vilket ger f(x) 2 (ex +e x ), x.) 2. En kil tillverkas av en cylindrisk trädstam med radie cm på följande sätt. Först kapas stammen med ett snitt med 5 vinkel mot centralaxeln. Därefter kapas en kil bestående av de översta h cm ( h 2) med ett snitt vinkelrätt mot centralaxeln. Beräkna volymen av kilen. Lösning. I ett lämpligt valt koordinatsystem ligger kilen över området x 2 + y 2 2, x h. Ett plan vinkelrät mot x-axeln skär kilen i en en rektangel med sidorna 2 2 x 2 och x + h. Volymen av kilen är lika med integralen av arean av dessa trianglar, eller V h 2 2 x 2 (x + h ) dx. Vi beräknar denna integral med hjälp av primitiva funktioner 38, 2 avsnitt 7. i Beta: V 2 x 2 x 2 dx + 2(h ) 2 x 2 dx 2 h ( 2 x 2) 3/2 ] 3 ( π (h ) 2 h arcsin h + 2(h ) h 2 x 2 x 2 + 2 2 arcsin x ) + ( 2h h 2 2 3 h + 5 ) 3 h2. ] h