Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013

Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna rekommenderas för noggrannare genomgång av materialet. Innehåll 1. Funktioner och ekvationer 3 2. Polynomfunktioner 7 3. Derivatan 10 4. Rot- och logaritmfunktioner 14 5. Integralkalkyl 16 2

1. Funktioner och ekvationer 1.1 Tal och räkneoperationer 1.1.1 Talmängderna De naturliga talen N = {0, 1, 2, 3,...} Heltal Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} De rationella talen Q = { m, n heltal, n 0} Finns tal som inte är rationella, t.ex. π, sådana kallas för irrationella tal. Mängden av rationella och irrationella tal bildar tillsammans mängden reella tal R. 1.1.2 Absolutbelopp a, om a 0 Absolutbeloppet av talet a, betecknas a, definieras som a = a, om a 0 Egenskaper hos absolutbelopp: (i) a 0 (ii) a = a (iii) a b = a b (iv) = (v) a 2 = a 2 1.2 Potenser Definition av potens (n positivt heltal): a n = a*a*...*a, n stycken termer a 0 = 1, om a 0 a -n = =, om a 0 3

Räkneregler (m, n positiva heltal): (i) a m *a n = a m+n (ii) = am-n (iii) (a m ) n = a m*n (iv) (a*b) n = a n *b n (v) (vi) = (-a) n = a n om n är jämnt, (-a) n = -a n om n är udda 1.3 Ekvationer av först graden 1.3.1 Ekvationer av första graden En förstagradsekvation är en ekvation som kan skriva på formen ax = b, där a 0. Ekvationen har exakt en lösning, x =. Observera att det är tillåtet att addera eller subtrahera samma uttryck till båda leden i en ekvation. Det är också tillåtet att multiplicera eller dividera båda leden med ett uttryck som inte är noll. Exempel 1 En trafikräknare observerar 2500 bilar mellan klockan 12 och 17. Hur många bilar passerade mellan klockan 15 och 16 om antalet bilar per timme ökar med 100 varje timme? (600) 1.3.2 Ekvationssystem Ett ekvationssystem består av två eller flera ekvationer. T. ex. 3x + 3y = 8 6x + 2y = 12 Det finns två vanliga sätt att lösa ekvationssystem av den här typen, additionsmetoden och insättningsmetoden. 4

Additionsmetoden: Vi multiplicerar ekvationerna med lämpliga tal så att koefficienterna till x (eller y) blir varandras motsatta tal, sedan adderas ekvationerna. På så sätts erhålls en ekvation av första graden. Insättningsmetoden: Väljer en ekvation och löser ut den ena variabeln med avseende på den andra. Det erhållna uttrycket sätts sedan in i den andra ekvationen. På så sätts erhålls en ekvation av första graden. Exempel 2 VPS och Jaro möts i en fotbollsmatch. Om VPS gjort ett mål till skulle de ha gjort dubbelt så många mål som Jaro. Hade VPS gjort ett mål mindre hade det blivit oavgjort. Vilket var slutresultatet? (3-2) 1.4 Kvadratrötter Kvadratroten ur talet a 0, betecknas a, definieras som det icke-negativa tal vars kvadrat är a, dvs. a 0, a = a. Räkneregler: (i) a b = a * b (ii) = (iii) a = a (iv) a < b <==> a < b 1.5 Det allmänna rotbegreppet och potenser med rationell exponent 1.5.1 Det allmänna rotbegreppet Den jämna roten av talet a 0, a, n = 2, 4, 6,... är det icke-negativa tal vars n:te potens är a. Den udda roten av talet a, a, n = 1, 3, 5,... är det tal vars n:te potens är a. 5

Ekvationen x n = a, n = 2, 4, 6 har lösningarna: - om a > 0 är lösningarna x = a - om a = 0 är lösningen x = 0 - om a < 0 saknas lösning och x = - a Ekvationen x n = a, n = 1, 3, 5 har lösningen x = a. Egenskaper hos den n:te roten (i) a b = a b (ii) = (iii) a = a, n = 1, 3, 5,... (iv) a = a, n = 2, 4, 6,... 1.5.2 Rationell exponent Vi kan också använda potensuttryck med rationell potens: a m/n = a, om a > 0, m är ett heltal och n är ett positivt heltal. 1.6 Funktioner 1.6.1 Definition En funktion av en variabel är en regel som till varje tal i en mängd A ordnar ett, och endast ett, tal i en mängd B. Om f är en funktion och vi kallar talet som f tillordnar x för y, kan vi skriva y = f(x) = "f av x". Mängden av de tal som f kan användas på kallas funktionens definitionsmängd. Antag att f är en funktion med definitionsmängd A. Mängden av alla de tal f(x) som tilldelas något tal i A kallas funktionens värdemängd. 1.6.2 Grafen till en funktion Grafen till en funktion f är mängden av alla punkter (x, f(x)) där x tillhör f:s definitionsmängd. Sätter vi y = f(x) fås alla talpar (x, y) på grafen genom att välja alla tänkbara värden för x och räkna ut motsvarande y direkt från y = f(x). 6

2. Polynomfunktioner 2.1 Polynom 2.1.1 Grundbegrepp Ett polynom av n:te graden i variabeln x kan skrivas som a n x n + a n-1 x n-1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Här är a 0, a 1,..., a n konstanter, a n 0 och n ett naturligt tal. 2.1.2 Kvadreringsregeln och konjugatregeln Konjugatregeln: (a + b)(a b) = a 2 b 2 Kvadreringsregeln: (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 Exempel 3 Beräkna 1 (2 x) 2 (2 x)(2 + x). (4x 7) 2.2 Funktioner av första graden 2.2.1 Polynomfunktioner av första graden Om två variabler x och y uppfyller en ekvation av formen y = ax + b säger vi att sambandet mellan x och y är linjärt. Grafen till ekvationen är en rät linje. Talet a kallas för funktionens riktningskoefficient. Exempel 4 Noll grader Celsius är 32 grader Fahrenheit, 110 o C = 212 o F och sambandet är linjärt. Ange en funktion som omvandlar Celsius till Fahrenheit. Ange 37 o C i Fahrenheit. När anger båda skalorna samma värde? (F = 1,8C + 32; 98,6; -40) 7

2.2.2 Olikheter av första graden Olikhetstecken: < mindre än mindre än eller lika med > större än större än eller lika med Olikheter löses enligt samma principer som ekvationer, notera dock att om man multiplicerar eller dividerar en olikhet med ett negativt tal måste man samtidig byta riktning på olikhetstecknet. Exempel 5 Jag köper fem glassar och betalar med en tia. Jag ser att jag får minst en euro tillbaka. Formulera och lös en olikhet för priset på en glass. (x 1,8) 2.3 Funktioner och ekvationer av andra graden 2.3.1 Polynomfunktioner av andra graden Det generella andragradspolynomet kan skrivas f(x) = ax 2 + bx + c (a 0). Grafen till f(x) kallas för en parabel. Den är -formad när a < 0 och U-formad när a > 0, den högsta (lägsta) punkten nås då x = -. 2.3.2 Ekvationer av andra graden En andragradsekvation kan skrivas som ax 2 + bx + c = 0. En allmän lösningsformel ges av x =. 8

2.3.3 Olikheter av andra graden Olikheter av andra graden löses utgående från förloppet hos motsvarande polynomfunktion. Exempel 6 I en park byggs två rektangulära blomsterrabatter. De förses med en brädkant och det går åt 136 meter bräder. Rabatterna är lika breda men den ena är fyra meter längre än den andra. Vilka mått har den mindre rabatten om rabatternas sammanlagda area är 66m 2? (1 x 31) 9

3. Derivatan 3.1 Gränsvärden för en funktion 3.1.1 Gränsvärde Vi säger att f(x) har talet A som gränsvärde då x går mot a, om f(x) närmar sig A då x närmar sig (men inte blir lika med) a. Vi skriver då lim x a f(x) = A. Det kan hända att funktionen inte närmar sig något bestämt tal, då säger vi att gränsvärdet inte existerar. 3.1.2 Bestämning av ett gränsvärde med hjälp av räkneregler Räkneregler: - lim x a k = k, k konstant - lim x a x = a - lim x a k*f(x) = k* lim x a f(x) - lim x a (f(x) + g(x)) = lim x a f(x) + lim x a g(x) - lim x a (f(x) * g(x)) = lim x a f(x) * lim x a g(x) - lim x a =, förutsatt att lim x a g(x) 0 - lim x x = samt lim x = 0 3.2 Kontinuerlig funktion 3.2.1 Kontinuitet Funktionen f(x) är kontinuerlig i punkten a om gränsvärdet existerar och lim x a f(x) = f(a). En funktion är kontinuerlig i ett intervall [a, b] om den är kontinuerlig i alla punkter i intervallet. 10

Om f(x) och g(x) är kontinuerliga gäller att: - k*f(x) är kontinuerlig - f(x) + g(x) är kontinuerlig - f(x)*g(x) är kontinuerlig - fx gx är kontinuerlig Alla polynom-, exponential- och logaritmfunktioner är kontinuerliga i sina definitionsmängder. 3.3 Derivata 3.3.1 Derivatans definition Funktionen f sägs vara deriverbar i punkten a om gränsvärdet lim h 0 existerar. Gränsvärdet kallas funktionens derivata i punkten a och betecknas f '(a). Derivatan är tangentens riktningskoefficient. 3.3.2 Deriveringsregler Deriveringsregler: f(x) = k (= konstant) ==> f '(x) = 0 f(x) = x ==> f '(x) = 1 f(x) = x n (n positivt heltal) ==> f '(x) = nx n-1 f(x) = k*g(x) ==> f '(x) = k*g'(x) f(x) = g(x) + h(x) ==> f '(x) = g'(x) + h'(x) f(x) = g(x)*h(x) ==> f '(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x) 11

f(x) = ==> f '(x) = f(x) = (g(x)) n ==> f '(x) = n(g(x)) n-1 *g (x) Exempel 7 Derivera (a) (x 1)(x 2) (b) (2x + 1)/(x 2 ) (c) (2x + 1) 3 (2x 3; (-2x 2)/x 3 ; 6(2x + 1) 2 ) 3.3.3 En deriverbar funktions förlopp Låt funktionen f vara deriverbar i intervallet [a, b]. - Om f '(x) 0 för varje x i [a, b] så är f(x) växande i intervallet. - Om f '(x) > 0 för varje x i [a, b] så är f(x) strängt växande i intervallet. - Om f '(x) 0 för varje x i [a, b] så är f(x) avtagande i intervallet. - Om f '(x) < 0 för varje x i [a, b] så är f(x) strängt avtagande i intervallet. Man kan alltså illustrera en funktions förlopp med hjälp av ett teckenschema för derivatan, dvs. med hjälp av derivatans tecken kan man avgöra när funktionen är växande och när den är avtagande. 3.4 Undersökning av funktionsförloppet 3.4.1 Funktionens extremvärden Antag att x 0 är en punkt i f:s definitionsmängd. - f har ett lokalt minimum i x 0 om f(x 0 ) är mindre än eller lika med f:s värden i närheten av x 0, x 0 är då en lokal minimipunkt - f har ett lokalt maximum i x 0 om f(x 0 ) är större än eller lika med f:s värden i närheten av x 0, x 0 är då en lokal maximipunkt 12

För en funktion f gäller: - f har ett globalt minimum i x 0 om f(x 0 ) är mindre än eller lika med alla värden på f, x 0 är då en global minimipunkt - f har ett globalt maximum i x 0 om f(x 0 ) är större än eller lika med alla värden på f, x 0 är då en global maximipunkt Minimum och maximum är extremvärden, minimi- och maximipunkter är extrempunkter. När man söker en funktions största och minsta värde ska man undersöka derivatans nollställen, vid behov också definitionsmängens ändpunkter, punkter där derivatan saknas samt punkter där funktionen inte är kontinuerlig. Exempel 8 Bestäm extrempunkterna för f(x) = x 2 (x + 6). (-4; 0) 3.4.2 Fermats sats För att hitta globalt maximum eller minimum för en kontinuerlig funktion i ett slutet intervall: jämför funktionens värde i derivatans nollställen i intervallet, och i intervallets ändpunkter. Exempel 9 Bestäm extremvärdena till funktionen f(x) = 6x x 3 då -2 x 4. (-40; 5,66) 13

4. Rot- och logaritmfunktioner 4.1 Allmän potensfunktion Den allmänna potensfunktionen f(x) = x r är definierad: - för alla värden på x om r är ett positivt heltal - för alla värden på x utom x = 0 om r = 0 eller ett negativt heltal - för alla värden x > 0 om r inte är ett heltal 4.2 Rotfunktion 4.2.1 Definition av en rotfunktion n:te roten ur talet a, betecknas a, är det tal x sådant att x n = a. Här är n ett positivt heltal och funktionens definitionsmängden är alla reella tal om n är udda, alla positiva tal om n är jämnt. Notera att a = a m/n. Exempel 10 Sambandet mellan bränsleförbrukningen f (liter/timme) och hastigheten v (km/timme) för en ubåt ges av ekvationen v = 0,5 750. Bestäm bränsleförbrukningen om hastigheten är (a) 0 km/timme (b) 30 km/timme. (27,4; 66,0) 4.3 Exponentialfunktion 4.3.1 Definition av en exponentialfunktion Jämför med potensen a n, nu definierar vi funktionen f(x) = a x som exponentialfunktionen med basen a. Speciella funktioner: f(x) = 10 x, f(x) = e x. Exempel 11 Lös ekvationerna (a) 2 x = 16 (b) 2 x = 8 (c) (2/3) x = 9/4 (x = 4; x = 1,5; x = -2) 14

4.4 Logaritmfunktion 4.4.1 Definition av logaritmfunktionen Inversen till exponentialfunktionen med basen a, y = a x, kallas logaritmfunktionen med basen a och betecknas y = log a (x), dvs. y = log a (x) <==> x = a y Här krävs att x > 0 samt att a > 0 och a 1. Egenskaper: - a log a (x) = x - log a (a x ) = x Räkneregler: - log a (xy) = log a (x) + log a (y) - log a (x/y) = log a (x) log a (y) - log a (x r ) = r log a (x) - log a (x) = Välkända logaritmer: briggska logaritmen log(x) = log 10 (x) samt den naturliga logaritmen ln(x) = log e (x). Exempel 12 Beräkna (a) log 10000 (b) log 2 (1/16) (c) log 10 (d) log 49 (-7) (4; -4; 0,5; -) 15

5. Integralkalkyl 5.1 Primitiv funktion Antag att funktionen f är definierad i ett intervall [a, b]. Då är funktionen F en primitiv funktion till f om F '(x) = f(x), för alla x i [a, b]. En given funktion f:s primitiva funktion kan skrivas på formen F(x) + c (c = konstant). Integralfunktionen betecknas fxdx där f kallas integrand. Att integrera en funktion betyder att man bestämmer dess primitiva funktioner. 5.1.1 Integrering av en potens och polynomfunktion x dx = xn+1 + C, n -1 Principer för integrering: - k dx = kx + C, där k är en konstant - k fx dx = k fx dx, där k är en konstant - fx gxdx = fxdx + gxdx - fx gxdx = fxdx - gxdx Exempel 13 Beräkna 5 3 1. (x 5 + x 3 + x + C) 5.2 Integral 5.2.1 Integralkalkylens huvudsats Om f är integrerbar i intervallet [a, b] så är integralen av funktionen f över [a, b] fxdx = Fx = F(b) F(a) Här är a och b under respektive övre interagrationsgräns, f(x) är integrand och x är integrationsvariabeln. 16

Exempel 14 Beräkna 2 1. (10) 5.3 Areaberäkning 5.3.1 Området mellan en kurva och x-axeln Grafiskt kan integralen tolkas som arean mellan f och x-axeln i intervallet [a, b]. Exempel 13 Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna y = 4x och y = x 3 då x 0. (4) 17