x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

Relevanta dokument
c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

x 1 x 2 T (X) = T ( x 3 x 4 x 5

Linjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X =

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

LINJÄRA AVBILDNINGAR

e = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Veckoblad 3, Linjär algebra IT, VT2010

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

Vektorgeometri för gymnasister

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

29 november, 2016, Föreläsning 21. Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess

M = c c M = 1 3 1

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: c 1

Vektorgeometri för gymnasister

14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010

Linjär Algebra. Roy Skjelnes. Matematiska Institutionen, KTH.

15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

= ( 1) ( 1) = 4 0.

Matriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1

Vektorgeometri för gymnasister

Linjär algebra på några minuter

2x + y + 3z = 1 x 2y z = 2 x + y + 2z = 1

Vektorgeometri för gymnasister

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

Linjär algebra på 2 45 minuter

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen. 2x y + z = 3 x + 2y = 0

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Vektorgeometri för gymnasister

x = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs

TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016

MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = =

8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0

MVE022 Urval av bevis (på svenska)

SF1624 Algebra och geometri

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.

Vektorgeometri för gymnasister

Linjär Algebra F14 Determinanter

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Version Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SF1624 Algebra och geometri

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

Eftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Determinanter, egenvectorer, egenvärden.

2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1

Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

Egenvärden och egenvektorer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v

Vektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.

Mer om analytisk geometri

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

MVE520 Linjär algebra LMA515 Matematik, del C

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Linjär algebra Tio förrätter och två efterrätter Roy Skjelnes

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Del 1: Godkäntdelen. TMV141 Linjär algebra E

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65

x + y z = 2 2x + 3y + z = 9 x + 3y + 5z = Gauss-Jordan elemination ger: Area = 1 2 AB AC = 4. Span(1, 1 + x, x + x 2 ) = P 2.

Linjär algebra Föreläsning 10

Transkript:

Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten AX = x + x + x + x x + x + x x + x + x i R På detta sätt ger matrisen A upphov till en funktion, eller avbildning, från R till R Vi vill skriva detta som T A : R R Och mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m 0 Exempel Matrisen A = ger en avbildning T 0 A R R Geometrisk vill avbildningen sträcka x-ledet med faktor två, och spegla y-ledet omkring x-axeln Exempel Matrisen A = ger en avbildning T A : R 0 R Punkten e = skickas till, och punkten e 0 = skickas till Detta betyder att enhets kvadratet med hörn i origo, e och e och e + e vrids med grader moturs, och sträcks med i varje led Vi kan skriva 0 = sqrt 0 Detta betyder att avbildningen T A ges som samansätningen av avbildningen T C och T B, där C = 0 B = 0 Avbildningen T C : R R ges som multiplikation med matrisen C, och denna matris är rotationsmatrisen med vinkel grader moturs Avbildningen T B : R R sträcker x och y -led med faktorn Den sammansätta avbildningen T B T C : R R som först roterar

planet med grader, och sedan sträcker koordinaterna med faktorn ges av att först multiplicera med C, och sedan med matrisen B Det vill säga T B T C (X) = B C X Håll ordning på vilken ordning matriserna skall multipliceras I detta exemplet är BC = CB, vilket betyder att man också kan beskriva T A som först att sträcka med faktorn och sedan rotera I allmänhet vill inte matrisprodukten vara kommutativ, och de två olika produkterna ger två olika avbildningar Exempel Tentamen 00-06-0, Uppgift Här är man given matrisen A = Först skall man beräkna potenserna A n med n = ±, ±, 0 Vi har att A 0 är identitetsmatrisen Inversmatrisen A = 0 0 0 Man räknar ut A = A A och A = A A Matrisen A ger en avbildning T A : R R Andra del av uppgiften är att bestämma 0 T A (Ω), där Ω är rektangel med hörn i origo, e =, e 0 = och 6 e + e = Vi beräknar att T (e ) = A e = och att T (e ) = A e = Detta betyder att T 6 A (Ω) är rektangel med 6 8 hörn i origo,, och 6 Enhetskub och volym Vi låter enhetskuben K R n vara kuben som bestäms av hörnen e,, e n och origo I R har vi en äkta kub, i planet är enhetskuben lika med enhetskvadratet, och i linjen är enhetskuben lika med ett linjesegment Vi definerar enhetskuben K R n att ha volym Detta betyder att till varje avgränsad mängd i L R n kan vi fråga oss hur många enhetskuber som får plats i L, och detta antalet definierar vi som volymen till L Låt A vara en (n n)- matris, och betrakta den associerade avbildningen T A : R n R Vi har att det(a) = Volym(T A (K)) Exempel 6 I Exempel så vi att enhetskvadratet skickades till ett rektangel med area Och vi har att determinanten till matrisen A är -, och specielt att beloppet är I Exempel skickades enhetskvadratet till ett kvadrat med sidolängder Arean blir =, vilket också är determinantens värde

7 Inverterbarhet Vissa avbildningar T A : R n R n är inverterbara Detta betyder att det finns en avbildning U : R n R n sådan att de två sammansätningarna U T A och T A U båda blir lika med identitetsavbildningen Vi har att en avbildning T A : R n R n är inverterbar om och endast om matrisen A är inverterbar, vilket är ekvivalent med determinanten till A är nollskild Den inversa avbildningen till T A ges av matrismultiplikationen T A Exempel 8 Tentamen 00 0, Uppgift : Matrisen A = ger en avbildning T A : R R Området Ω skickas till ett rektangel med hörn 0 9 0 Vi skall bestämma Ω Det är nog att bestämma urbilderna av de fyra punkterna ovan Detta ger linjära ekvationssystem Urbilden till hörnet ges av T A (X) =, vilket tillsvarar ekvationssystemet x T A (X) = A = y Detta kan man lösa ut med Gauss-Jordan, hörn för hörn Ett annat sätt att lösa uppgiften är att beräkna inversa avbildningen Matrisen A har determinant, och är således inverterbar med invers A = Inversa avbildningen till T A ges av T A Vi har att T A ( ) = = Och att T A ( ) = 8 och beskriver Ω 0 Dessa två hörn, tillsammans med origo 9 Linjär avbildning En avbildning T : R n R m kallas linjär om T (sx + ty ) = st (X) + tt (Y ) för alla vektorer X och Y i R n, och alla skalärer s och t Detta är ett viktigt begrepp som abstraherar egenskaperna vid matrismultiplikationen

0 Matrismultiplikation och linjära avbildningar Om A är en (m n)-matris, då är den associerade avbildningen T A : R n R m linjär Vi har nämligen att T A (sx + ty ) = A (sx + ty ) = sax + tay = st A (X) + tt A (Y ) Det omvända gäller också Låt T : R n R m vara en linjär avbildning Då finns det en (unik) matris A sådan att T = T A Matrisen ges som följer (0) A = T (e ) T (e ) T (e n ) Exempel Tentamen 009 0, Uppgift Vi skall bestämma matris för en linjär avbildning T : R R som uppfyller T ( 0 ) = T ( 0 ) = T ( 0 0 ) = Vi vill använda Formel 0, och till detta behöver vi att bestämma T (e ), T (e ) samt T (e ) Ok, den sista är klar, vi har nämligen att T (e ) = För att bestämma T (e ) skriver vi e = 0 = t 0 + t 0 + t 0 0 0 Detta linjära ekvationssystem har lösning t = t = och t = 0 Avbildningen T : R R är linjär, och vi har att T (e ) = T ( 0 + 0 0 ) = T ( 0 ) + T ( 0 0 ) = + = 7 Vi skriver sedan e som en linjär kombination av de tre vektorerna och erhåller att e = 0 0 0 Detta ger att T (e ) = T ( 0 ) T ( 0 0 ) = = Matrisen vi söker blir A = 7 9 9

Exempel Låt T : R R vara den linjära avbildning som ges som ortogonal projektionen ned på linjen L = {x + y = 0} Bestäm matrisen A sådan att T A = T Det är inte lätt att läsa av T (e ) och T (e ), vilket vi behöver för att använda Formel 0 Vi skriver linjen L som L = {t tal t} Detta betyder att v = är en bas för L Vi har också att w = v är en bas Och då v har längd är w en orthonormal bas för L: Varje vektor har längd ett, och varje två olika vektorer är orthogonala Då har vi att ortogonalprojektionen av en godtycklig punkt X ges av T (X) = proj L (X) =< X, w > w x Om punkten X =, så har vi att y x y x y T (X) = w = 6 Specielt har vi att T (e ) = och att T (e ) = söker är A = 6 9 9 Matrisen vi Exempel Låt T : R R vara spegling om linjen L = {x + y = 0} Vi har att T (X) = X + proj L (X) Av detta kan vi bestämma T (e ) och T (e ), och sedan få matrisen A sådan att T A = T Uppgifter Tentamen 006, Uppgift och Tentamen 000, Uppgift Tentamen 0007, Uppgift 7 Tentamen 000, Uppgift Tentamen 000, Uppgift Tentamen 009, Uppgift Anton-Rorres, Sektion 9: 8,9,-, Sektion 0: -0, - och Sektion :,6 Department of Mathematics, KTH, Stockholm, Sweden E-mail address: skjelnes@kthse Nionde upplagan Section : -6, 8-9 och Sektion,,