Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö
ii
0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa flera av uppgifterna är det ett tecken på att du bör gå tillbaka till dina gymnasieböcker, eller annan relevant litteratur, och repetera. Materialet som behandlas är nödvändiga förkunskaper, som vi inte kommer att ha tid att behandla under kursens gång. 1. Förenkla uttrycken 3 2 ( 3 2 och ( 3 2 3 2. ( 1 3 2. Förenkla uttrycket 1 ( 1 5 7 + 26 14 2 5 så långt som möjligt (d v s skriv det som en kvot av två heltal utan gemensamma primtalsfaktorer. 3. Utveckla polynomet 18x ( 1 x(3x 2 5(2x 7x 2 (4x 3 3x(4 5x 2, och skriv det på standardformen a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n. 4. Förenkla uttrycket (3 + x 2 9x x 3 ( 2 12 x + 3 så långt som möjligt, d v s skriv det som en kvot av två polynom som saknar gemensamma faktorer. Ange för vilka värden på det reella talet x R som förenklingen är giltig. 5. Faktorisera polynomet 4 4x 3x 2 genom att, bland annat, kvadratkomplettera. 6. Lös ekvationen (96x 6x 3 (3x + 5 = 0. 7. Förenkla följande uttryck: a 3, 1
2 b 3, c 3 + 3 8. Avgör för vilka reella tal x följande villkor är uppfyllda. Illustrera dina lösningar på en tallinje. a x 7 2, b x 7 2, c 2 < x 7 5, 9. Lös ekvationen 2x + 3 = x. 10. Ange de exakta värdena av sin α och cos α för α = 0, π 6, π 4, π 3 utantill!. (lär dig dessa värden 11. I en rätvinklig triangel har de två kateterna längd 1 respektive 2. Bestäm sinus och cosinus för de två spetsiga vinklarna i triangeln. Kan du säga någonting ungefärligt om storleken på dessa vinklarna? 3 12. Lös ekvationen cos(3x = 2. 13. Bestäm ekvationen för den räta linje som innehåller punkterna (1, 1 och (3, 3. 14. Bestäm den reella konstanten a så att linjen y = ax 2 passerar genom punkten (2, 1.
1 2. Linjära ekvationssystem Läs kapitel 1: Linear equations i kursboken (B. Räknereglerna för matriser, som beskrivs i delavsnittet Matrix algebra i avsnitt 1.3, kommer att gås igenom mer grundligt i en senare del av kursen; det som framför allt är viktigt nu är definitionen av produkten av en matris med en vektor. Mängden rekommenderade uppgifter på varje kapitel är som regel ganska stor, men många av problemen är likartade. Den som anser sig behärska en viss problemtyp hoppar lämpligtvis direkt till nästa typ. Högre numrerade problem är ofta (men inte alltid av en något mer teoretisk natur. Rekommenderade uppgifter Ur kursboken: 1.1: 1, 3, 5, 7, 9, 19; 1.2: 1, 3, 5, 21, 31; 1.3: 1, 3, 5, 9, 13, 15, 27. Not: Fel facit till uppgift 1.2:21 i boken, här skall dessutom e = 0. Dessutom: 15. Lös följande linjära ekvationssystem: a b c { x 3y = 11, 4x + 5y = 7, { x + y = 3, 2x y = 2, { x y = 3, 2x + 2y = 6. 16. Lös följande linjära ekvationssystem: a b { x + 2y + z = 1 x y + 2z = 1 { w + 2x + y + z = 0 w x + 2y + z = 0 3
4 c 2y z = 2 2x + 3y 2z = 1 2w + 4x + 5y + z = 3 17. Lös matrisekvationen ( ( 1 2 x 3 5 y = ( a b där a, b R är godtyckliga konstanter. 18. Lös ekvationssystemet { x + 2y = 1 3x + ay = 0 där a R är en godtycklig konstant. 19. Betrakta följande linjära ekvationssystem: x + y z = 2 x + 2y + z = 3 x + y + (k 2 5z = k där k är en godtycklig konstant. För vilka värden på k har ekvationssystemet a entydig lösning? b oändligt många lösningar? c inga lösningar? 20. Visa att ett ekvationssystem med fler obekanta än ekvationer aldrig kan ha entydig lösning. 21. Vilka av följande matriser är på reducerad trappstegsform? För vilka av dem gäller att vänsterledet är på reducerad trappstegsform? ( 1 0 1 a 0 1 2 ( 1 8 1 b 0 0 2 1 0 3 1 1 c 0 0 1 3 2 0 0 1 2 0 0 0 0 4 1 ( 1 2 0 1 d 0 0 1 2 e 1 0 7 1 0 1 3 1 0 1 2 0 0 0 1 1 22. Hur många lösningar har de ekvationssystem som beskrivs av totalmatriserna i uppgift 21?
5 Hemuppgifter 23. Lös det linjära ekvationssystemet w + 2x y + z = 1, 2w + x + 2y z = 2, 4w + 3x 4y + 3z = 0. ( 12 24. Låt A vare en 3 3 -matris, och antag att matrisekvationen Ax = har unik lösning. 3 Hur många lösningar har i så fall ekvationen Ax = 0?
3 4. Vektorer och linjär geometri Litteratur för denna del är Kapitel 14 (sidorna 393 412 i texten Fundamentals of Linear Algebra av J. B. Carrell. Den finns tillgänglig på författarens hemsida: http://www.math.ubc.ca/~carrell/nb.pdf. Alla övningsuppgifter i slutet av kapitlet är användbara för denna kurs. Mitt förslag är att först göra några av de mer beräkningsmässiga uppgifterna, exempelvis 14.1 4, 6, 8, 9, 13, 26, 29, 30a, och därefter prova ett antal av mer teoretisk karaktär, såsom 16 19, 21, 31. Ytterligare några rekommenderade uppgifter finns härunder. 25. Låt u, v, w och z vara vektorerna som representeras av de riktade sträckorna AB, BC, CD respektive DB. Vilka riktade sträckor representerar följande vektorer? a u + v + w, b v + w + z, c u + v + w + z, d u w z, e v + w + 2z. ( 17 26. Beräkna alla skalärprodukter som kan bildas mellan vektorerna u = ( 22 w =. 1 2 ( 93, v = och 4 27. Bestäm längderna av vektorerna u, v och w i föregående uppgift, och vinklarna mellan dem. 28. De två vektorerna u och v uppfyller att u = 3, v = 4 och u + v = 5. Hur stor är vinklen mellan u och v? 29. Bestäm ekvationen, på parameterform, för den linje som passerar genom punkten och är parallell med planen som ges av ekvationerna x + y + z = 0 och 2x + z = 1. ( 11 1, 6
7 Hemuppgifter 30. Bestäm längderna av vektorerna u = ( 1 1 och v = 0 och är parallellt med vek- 31. Bestäm ekvationen för det plan som innehåller punkten ( 12 ( 01 torerna u = och v =. 0 1 32. Bestäm det minsta avståndet från punkten A till planet π, då ( 1 a A =, π : 3x + y = 0; 2 ( 1 b A =, π : 3x + y = 2. 2 ( 1 2, och vinkeln mellan dem. 1 ( 11 1 Svar till rekommenderade uppgifter i Carrells bok ( ( ( x c b 1. = + t, t R. y 0 a 2. 3x 2y = 5 x x 1 5 3. i y = 1 + t 1 ii y z = z 3 5 w x 1/2 1 4. y = 3/2 + t 2 z 0 1 6. Linjerna skär inte varandra. 8. x 2y + 3z = 4 9. i Skär ej. ii Linjen ligger i planet. 1 1 3 4 5 + t 1 5 7 26. p = 1 27 9, q = 1 13 19 14 14 18 10 29. 18x + 9y 7z = 0 x 1 30a. y = t 1 z 1 31. Ja, x y är ortogonal mot varje vektor på formen λ 1 x + λ 2 y, λ 1, λ 2 R.
5 6. Komplexa tal Rekommenderad läsning är häftet Komplexa tal. Begrepp och definitioner som kan laddas ned här: http://www2.math.uu.se/~vera/undervisning/baskurs/komplexa_tal.pdf. Rekommenderade problem 33. Låt z = 2 + i och w = 3 + 2i. Vad är a Re z b Im w, c z + w d z/w? 34. Skriv på formen a + bi: a (3 i 3 5, b 4i 3, 2 5i c 3 + 4i + 1 2 i. 35. Skriv talet (1 7i(2 + i 5 3i på formen a + bi, med a, b R. 36. Beräkna a (1 + i(1 i, b (2 4i(7i + 3, c 1 + i 1 i. 37. Beräkna värdet av uttrycket z 2 + (2 iz + 3i, då a z = 2, b z = i, c z = 2 + i. 38. Låt z = 5 + 2i och w = 3 4i. Beräkna a Im z 2, b Re(zw, c z w 2, d (z + w( z w. 39. Bestäm absolutbeloppen av följande tal: (3 2i(1 i a 5 + 12i, b 15 8i, c (2 + i 2. 40. Låt z = 3 + 4i och w = 5 + 12i. Bestäm zw och z/w, utan att beräkna zw och z/w. 41. Bevisa att z 2 R om och endast om Re z = 0 eller Im z = 0. 8
9 42. Bestäm argumenten av följande komplexa tal: (3 2i(1 i a 5 + 12i, b 15 8i, c (2 + i 2. 43. Skriv följande tal på polär form: a 1 + i, b 1 + i, c (1 + i(1 i. 1 i 44. Skriv (1 i 3 69 på formen a + bi, där a och b är reella. 45. Tolka följande relationer geometriskt, genom att skissa lösningsmängden i det komplexa talplanet: a Re z 1, b Im z < 1, c 2 < z i 3. 46. Lös följande ekvationer: a z 2 = 1 + i 1 i, b z 2 4z + 4 + 2i = 0, c (4 3iz 2 25z + 31 17i = 0. 47. Lös följande ekvationer: a z 4 = 8, b z 2 = 1 + i 3, c z 3 = 5 5i, d (z + i 3 = 1 + i. 48. Lös ekvationen (z i 3 = 1 + i, och markera rötternas lägen i det komplexa talplanet. Hemuppgifter 49. Bestäm det reella talet t så att Re ( 4 3i t+i = 0. 50. Bestäm absolutbeloppen av följande komplexa tal: a 4 + 5i, b 7 7i. 51. Bestäm argumenten av följande tal: a 1 3i, b 7 7i. 52. Lös nedanstående ekvationer: a z 2 (3 + 2iz + 5 + i = 0, b z 6 = 7.
7 8. Matriser och linjära avbildningar Repetera delavsnittet Matrix algebra i avsnitt 1.3, och se till att du förstår de grundläggande koncepten och definitionerna. Läs: avsnitt 2.1 fram till och med Example 9 (återstoden av kapitlet är inte nödvändigt för kursen, men kan vara väl värt att läsa av allmänt intresse, avsnitt 2.2 (viktiga avbildningstyper är rotation, ortogonal projektion och spegling, övriga är lite överkurs, avsnitt 2.3 exklusive Block Matrices och Powers of Transition Matrices, samt avsnitt 2.4 förutom The inverse of a Block Matrix. Rekommenderade problem 1.3: 9, 16, 17, 19, 20, 25, 32, 33; 2.1: 1 3, 6, 7, 9, 11 13, 17, 19, 37, 39, 41; 2.2: 1, 2, 5, 7, 13, 17, 23; 2.3: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 21, 27, 29, 43, 45, 49; 2.4: 1, 3, 5, 7, 13, 19, 29, 35, 41, 67. Hemuppgifter 2.1: 5; 2.2: 6, 21; 2.3: 12, 13; 2.4: 17, 72. 10
9 11. Nollrum och värderum; linjärt oberoende; bas, dimension Dessa tre teman är nära relaterade till varandra, och behandlas därför tillsammans. I boken behandlas de i kapitel tre, som är rekommenderad läsning i sin helhet. Rekommenderade problem 3.1: 1, 3, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 31, 33, 35, 37 39, 47; 3.2: 1, 3, 5, 7, 9, 15, 19, 21, 27, 29, 31, 33, 37, 39, 43, 45, 49; 3.3: 1, 3, 5, 7, 13, 19, 21, 23, 27, 29, 35, 39, 62, 63; 3.4: 1, 3, 5, 11, 15, 17, 19, 29, 31, 33, 37, 41, 43, 51, 53, 57, 59, 69. Hemuppgifter 3.1: 12, 23; 3.2: 2, 33; 3.3: 28; 3.4: 25. 11
12 13. Ortogonalitet, Gram-Schmidts algoritm; ortogonala matriser och avbildningar Läs avsnitt 5.1 5.3. Delavsnitten Correlation i 5.1, QR-factorization i 5.2 och The matrix of an orthogonal projection i 5.3 kan läsas kursivt av den som vill, men de ingår inte i kursen. De referenser som görs till QR-faktorisering i övningsuppgifterna nedan kan ignoreras. Rekommenderade problem 5.1: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 19, 21, 23, 25, 27, 29; 5.2: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 29, 31, 33, 35, 39; 5.3: 1, 5, 7, 9, 11, 27, 29, 31, 33 35, 37, 41. Hemuppgifter 5.1: 17; 5.2: 6; 5.3: 3, 8, 10, 12
14. Determinanter Läs avsnitt 6.1 och 6.2, exklusive delavsnitten The determinant of a block matrix och The determinant of a linear transformation. Avsnitt 6.3 handlar om hur determinantbegreppet kan tolkas geometriskt. Detta kan läsas kursivt av den intresserade, det kan vara användbart för att få bättre känsla för hur determinanter fungerar, men är inte nödvändigt för kursen. Rekommenderade problem 6.1: 1, 5, 7, 11, 13, 15, 23, 25, 29, 31, 33, 45, 46, 49. 6.2: 1, 5, 7, 11, 37, 39. Hemuppgifter 6.1: 9, 17; 6.2: 13. 13
15 16. Egenvärden och egenvektorer Här ingår avsnitt 7.1 7.3 i Bretschers bok. Delavsnittet om Dynamical Systems and Eigenvectors i 7.1 är överkurs, dock kan det vara intressant att läsa igenom exemplet på sidorna 335 340, som illusterar en viktig tillämpning av egenvärdeskonceptet. Delavsnittet Eigenvalues and similarity i 7.3 kan också hoppas över. Det som står i avsnitt 7.1 och 7.2 om spåret (eng. trace av en matris/linjär avbildning, samt om algebraisk och geometrisk multiplicitet av ett egenvärde (avsnitt 7.2 och 7.3 kan ignoreras, liksom referenser till dessa begrepp i övningsuppgifterna. Rekommenderade problem 7.1: 1, 2, 3, 5, 13, 15, 17, 19, 21. 7.2: 1, 3, 7, 9, 11, 15, 19. 7.3: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 21, 23, 33, 35, 41. Hemuppgifter 7.1: 8; 7.2: 13; 7.3: 13. 14
15 Svar till övningsuppgifterna 1. 3 2 ( 3 2 = 18, ( 3 2 3 2 = 0 2. 2/3 3. 11x 2 + 11x 3 4. 2/x 5. 4 4x 3x 2 = 3 ( x 2 3 (x + 2 6. x = 4, x = 5/3, x = 0 eller x = 4. 7. a 3, b 3, c 6 8. a 5 x 9, b x 5 eller x 9, c 2 x < 5 eller 9 < x 12. 9. Inga lösningar. 10. sin 0 = 0, sin(π/6 = 1/2, sin(π/4 = 1/ 2, sin(π/3 = 3/2; cos 0 = 1, cos(π/6 = 3/2, cos(π/4 = 1/ 2, cos(π/3 = 1/2. 11. sin α = cos β = 1/ 5, cos α = sin β = 2/ 5, där α är den mindre av de två vinklarna. Eftersom sin α < 1/2 = sin(π/6 så måste 0 < α < π/6, och β = π/2 α, π/3 < β < π/2. 12. x = ± π 18 + 2π 3 13. y = 2x + 3 14. a = 1/2 { x = 2 15. a y = 3 { x = 5/3 b y = 4/3 { x = 3 + t c där t R är ett godtyckligt tal. y = t x = 1 5 3 t 16. a y = 1 3 t där t är ett godtyckligt reellt tal. z = t w = 5 3 s t x = 1 b 3 s där s och t är godtyckliga reella tal. y = s z = t w = 11 2 9 2 t x = 3 c 2 + 1 2 t där t är ett godtyckligt reellt tal. y = t z = 2 + 2t
16 17. ( x y = ( 2b 5a 3a b. 18. Saknar lösning om a = 6, annars är { x = a a 6, y = 3 a 6. 19. Entydig lösning för k ±2, oändligt många lösningar för k = 2, inga lösningar för k = 2. 21. a, d. Vänsterledet: a, b, d. 22. a unik lösning, b inga lösningar, c inga lösningar, d oändlingt många lösningar, e unik lösning. w = 3 + s 3t x = t 23. y = s z = 4 + 5t där s och t är godtyckliga reella tal. 24. En unik lösning x = ( 00 0. 25. a AD, b BB = 0, c AB, d AC, e DB. 26. u u = (54, v v = 106, w w = 9, u v = 22, u w = 18, v w = 20. 27. u = 3 6, v = 106, w = 3. (v, w = arccos(20/(3 106, (w, u = 28. Vinkeln mellan u och v är π/2. 29. ( xy z ( 11 ( 11 = + t, där t R. 1 2 2 3, (u, v = arccos(11/(3 159, 30. u = 2, v = 6, (u, v = 5π 6 31. 2x y + z = 2 32. I båda fall är avståndet 5 2. 33. a 2, b 2, c 1 + 3i, d 4 13 + 7 13 i 34. a 18 26i, b 3 5 4 4 5i, c 25 18 25 i 35. 42 17 19 17 i 36. a 2, b 34 + 2i, c i 37. a 8 + i, b 5i, c 8 + 7i.
17 38. a 20, b 23, c 40, d 4 52i. 39. a 13, b 17, c 26 5. 40. zw = 65, z/w = 5/13. 42. a arctan 12 5, b arctan 8 19 5, c π + arctan 17. 43. a 2(cos π 4 + i sin π 4, b 1 (cos π 2 + i sin π 2, c 2 (cos 0 + i sin 0. 44. 2 69. 46. a z = ± 1 2 (1 + i, b z = 3 i or z = 1 + i, c z = 3 + 4i or z = 1 i. 47. a 2 1/4 (±1 ± i (fyra lösningar, b ± 1 ( 2 2 + i 6, c z = 50 1/6 (cos θ n + i sin θ n, där θ n = (7+8nπ 12 for n = 0, 1, 2, d z k = 6 2 cos α k + i ( 2 2 sin α k 1, k = 0, 1, 2, där α k = π 4 + 2kπ 3. 48. z 1 = 0, z 2 = 1 2 ( 3 + 3i, z 3 = 1 2 ( 3 + 3i. 49. t = 3/4. 50. a 41, b 7 2. 51. a π/3, b 5π/4. 52. a z 1 = 2 + 3i, z 2 = 1 i, b z = 7 1/6 ( cos( π 6 + n π 3 + i sin( π 6 + n π 3, n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.