Mejl: Frågor & svar, tips, rättelser,...

Mejl: Frågor & svar, tips, rättelser,... 7 november Ett par kommentarer om första omgångens inlämningsuppgifter: Problem 1: Dem av er som har erfarenhet av integrering längs grensnitt i komplexa talplanet kan med fördel göra ett försök redan nu. För övriga: Jag kommer att gå igenom teori & exempel på måndag! Problem 2: Ett litet tyngre problem som kräver en del längre räkningar. Men jag tror att ni alla har förkunskaper nog från komplexanalysen att komma igång med detta problem nu. Problem 3: Ett ganska enkelt problem. Jag kommer att gå igenom Kramers-Kronig på fredag nästa vecka, men ni kan också slå upp definitionen i Arfken et al. och göra ett försök redan nu. Problem 4: Vänta med detta problem tills vi tillsammans gått igenom de olika typerna av Green's funktioner som förekommer i fysiken. Kursutvärderare är Christoffer Dahlén, christoffer.dahlen@gmail.com och Jesper Johansson, jesjo@student.chalmers.se Trevlig helg, 10 november Hej alla! Några av er undrade efter dagens föreläsning över begreppet "grenpunkt i oändligheten": "Har alla flervärda funktioner en grenpunkt i oändligheten?" Svar: Nej. Se http://www.math.odu.edu/~jhh/ch45.pdf En kommentar som jag inte hann göra på föreläsningen är att även om en flervärd funktion inte har en grenpunkt i oändligheten, så är det OK att dra ett snitt från grenpunkten för ett ändligt z

ut till oändligheten. "Poängen" med ett grensnitt är ju att förhindra att man kan snurra runt ett helt varv runt grenpunkten för ett ändligt z! Och det kan man alltid fixa genom att göra ett snitt ut till oändligheten, oavsett om "punkten i oändligheten" själv är en grenpunkt eller inte. Notera att flervärda funktioner som inte har en grenpunkt i oändligheten typiskt har grenpunkter för ett jämnt antal ändliga z (se länken ovan!). Vi kan då skära snitten parvis mellan två ändliga grenpunkter, alternativt skära dem från varje (ändlig) grenpunkt ut till oändligheten. Vårt val! Enda villkoret är att grensnitten inte får korsa varandra. (Varför?) Ses på fredag! 17 november Hej alla! En av er undrade: Jag sitter med matematisk fysik-inlämningen och har en fråga på uppgift 4a. Jag har gjort en fourier transform och räknat ut uttryck för G beroende på omega i de båda fallen. Ingår det att man ska räkna lösa integralen också eller räcker det så? Svar: Det ingår. Svaret skall vara Greens funktionen i termer av elementära funktioner. Jag fick också några frågor efter dagens föreläsning om gaugetransformationer. Arfken-Weber- Harris har en kort diskussion om ämnet, men se gärna också http://en.wikipedia.org/wiki/ Introduction_to_gauge_theory och http://en.wikipedia.org/wiki/gauge_fixing, särskilt avsnittet "Gauge Freedom". På morgonens föreläsning skrev jag ned Maxwells ekvationer i SI-systemet (vilket jag förmodar är det ni sett i tidigare kurser), men Lorenz gaugevillkoret i Gaussiska enheter. Lorenz gaugevillkoret i SI-enheter har ljushastigheten i kvadrat i nämnaren! Jag tror också att jag kan ha slarvat med ett tecken i uttrycket för det elektriska fältet i termer av potentialer. Se http://physics.gu.se/ ~tfkhj/lorenz.pdf Ses på fredag,

24 november Mitt argument på morgonens föreläsning för att få fram ett villkor för konvergens av Neumannserien var felaktigt. Se http://physics.gu.se/~tfkhj/neumann.pdf för en rättelse. Stort tack till Stina W för att ha påpekat mitt misstag! Ses på fredag (då jag kommer att gå igenom bakgrunden till problem 3, omgång 2. 24 november Hej igen, En av er mejlade mig tidigare i eftermiddag följande fråga: Jag har en fråga angående greensfunktioner, som är lite ankyten till nästa veckas inlämningsuppgift så du får känna efter om du kan svara eller inte. Jag är lite osäker på vad deltafunktionen symboliserar när man ska beräkna en greensfunktion. I exemplet vi har fått i inlämningsuppgiften har vi ekvationen: A*f=0 Där f då är vår funktion och A operatorn med derivatorna. Detta tolkar jag som en ett specialfall av: A*f=p Där p är t.ex. en punktkälla. När vi i detta fall vill beräkna greensfunktionen så har man A*G(x,x') =diracsdeltafunktion(x-x') Där greensfunktionen G symboliserar systemets svar vid en punkt x från en punktkälla i x'. Som andra ansatt det så sätter man en deltafunktion i högerledet även i det homogena fallet men då förstår jag inte alls vad den ska symbolisera fysikaliskt då det inte finns en punktkälla... Svar: Greensfunktionen kan formellt definieras som inversen till den differentialoperator (= A i frågan ovan) som verkar på den okända funktionen i vänsterledet i diffekvationen. Jämför mitt resonemang från introduktions- föreläsningen när jag använde Diracnotation för att ta fram en Greensfunktion! Speciellt: Greensfunktionen är oberoende av den inhomogena termen i högerledet. Med andra ord: Vi kan tala om Greensfunktioner också då vi har att göra med en homogen diffekvation eftersom denna definieras av en differentialoperator! Jag tror att jag i mina föreläsningar omväxlande har använt språkbruket "Greensfunktion till en diff ekvation" och "Greensfunktion till en diff operator". Den andra alternativet är mer "to the point". Greensfunktionen kan alltid tolkas som en responsfunktion, eftersom den talar om hur systemet beter sig OM man utsätter det för en störning (dvs lägger till en källterm i högerledet).

26 november Jag fick följande fråga från en av er: Skulle du kunna precisera hur långt man behöver förenkla uttrycken för Greensfunktionerna i uppgift 1? När man har reducerat integralen från 4 till 1 variabel (k) tycks man få ett väldigt svårintegrerat uttryck. Behöver man förenkla vidare eller kan man stanna här? Svar: OK att stanna där! 26 november Jag fick ytterligare en fråga idag: Det angår uppgift 4 i inlämningsuppgift 2. Saken är den att man skall bestämma lambda (bland annat), men jag och en annan vän får olika villkor på lambda och enligt Hampus är detta helt OK. Hampus påstår att detta kan självklart vara fallet, och detta beror på vilken metod man har valt att lösa problemet med. Men, frågan är då, påverkar detta val av metod poängen sedan när man lämnar in uppgiften? För vi får samma sökta funktion f men som sagt inte samma krav på \lambda. Svar: Såsom jag har formulerat problemet så räcker det att lösa det med en metod. Men klura gärna på om, och i så fall hur, det är möjligt att olika metoder kan ge olika villkor på \lambda! Bra förberedelse för tentan!

27 november En av er undrade: Fråga: Jag har några frågor kring sadelpunktsmetoden. För det första, när man komplexifierar en integrand för att utöka kurvan till det komplexa talplanet, antar jag att man får införa "branching cuts". När man sedan gör approximationen att integralen kan uppskattas genom att bara integrera en exponentialfunktion längs en linje, är det okej om denna linje går genom ens införda "branching cut"? För det andra, det finns ju sadelpunkter där realdelen antar lokala min, och sadelpunkter där realdelen antar lokala max. Kan man välja vilken som helst av dessa att genomföra sin approximation kring? Och vad händer om den sökta kurvan redan går genom ett lokalt minimum, måste den deformeras då? En fråga till: Om den sökta integralen redan går genom en sadelpunkt, då behöver man inte hitta en till kurva och en till sadelpunkt, utan kan bara utveckla kring punkten man redan hittat va? Hampus svarar: Grensnitt: Oavsett tillämpning inom komplex analys så gäller att när man har en flervärd funktion så måste man antingen bestämma sig för att bara arbeta med funktionen på en definitionsmängd där den blir enkelvärd, t.ex genom att lägga ett grensnitt, eller genom att utöka komplexa talplanet till en lämplig riemannyta. Så gäller även för sadelpunktsmetoden, har man en flervärd funktion så kommer man behöva lägga in ett grensnitt. Sen specifikt till din fråga om linjen som definerar riktningen av snabbast avtagande realdel: när man gör approximationen så använder vi ju exponentens utveckling till andra ordningen vilket är en analytisk funktion på hela det komplexa planet. Grensnittet är viktigt när man (om man behöver) gör sin deformation av integrationskurvan. Har man då ett grensnitt så för att kunna göra deformationen så måste den slutna kurvan omsluta ett område där integranden är analytisk! "För det andra, det finns ju sadelpunkter där realdelen antar lokala min, och sadelpunkter där realdelen antar lokala max." Som vi visade på räkneövningen så kan real och imaginärdelen INTE ha lokala max/min men jag tror jag förstår vad du menar. Realdelen begränsat till integrationskurvan kan ha lokala max och min och det är hela poängen. För att approximationen skall bli bra är ju tanken att vi utvecklar kring ett sådant maximum, så att bidraget från andra delar av kurvan blir exponentiellt undertryckta när vi låter parametern bli stor, använder vi ett mininum blir denna approximation väldigt dålig eftersom vi då försöker approximera integralen med bidraget från ett område som inte har stor inverkan på integralen! Finns det flera sadelpunkter så har man många valmöjligheter men ofta så kan man deformera sin kurva så att man isolerar bidraget till en sadelpunkt. Angående sista frågan så har du helt rätt. Jämför med räkningen från gårdagens räkneövning.

5 december Omgång #3 av inlämningsuppgifterna för kursen finns nu på kurshemsidan, http://fy.chalmers.se/ ~tfkhj/mf.html tillsammans med en uppdaterad loggbok och länk till Hampus övningsräkningar. Deadline för #3: 19 december En korrektion till föreläsningen i morse: Fjärde postulatet för ett vektorrum skall förstås vara: a> + ( a>) = 0> (och inte 0 i högerledet som jag av misstag skrev på tavlan och påstod vara korrekt i ett svar till en missuppfattad fråga från en av er!): En summa av två vektorer är förstås en vektor! Notera också att postulaten definierar ett allmänt vektorrum, med ett Hilbertrum ett speciellt slags vektorrum. Mer om detta på måndag. Trevlig helg, PS På begäran från kursutvärderarna Christoffer & Jesper så kommer jag (snart!) att samla all mejlkommunikation under en länk "Mejl" på hemsidan. 15 december Några hållpunkter: Rättade inlämningsuppgifter #2 kommer att lämnas tillbaks på torsdagens föreläsning. Lösningar till inlämningsuppgifter #3 lämnas till Hampus nu på fredag 19/12, 13:00 14:00, rum O6107B, Origo vån 6. Hampus kommer att meddela er via mejl när omgång #3 är färdigrättad och när och var ni kan hämta era rättade lösningar (i början av januari, i god tid före tentan). Omgång #4 publiceras på kurshemsidan nu på fredag. Deadline för inlämning: 9/1 (tid och plats meddelas senare). Tentamen för överbetyg: 12/1. Se kurshemsidan för tid och plats. För att avgöra om du ska gå upp i tentan för att kvalificera dig för ett överbetyg: se kurshemsidan för betygskriterier. Jag kommer att publicera lösningsförslag på någon av de gamla tentorna i god tid före januaritentan. Angående inlämningsuppgifter #3: En av er frågade mig om "rimligheten" hos modellen för kostnadsökning i problem 4, #3: "Är du 100% säker på att modellen och ekvationen verkligen stämmer?"

Jag har inte efterfrågat någon diskussion av modellens rimlighet, men tänk gärna igenom frågan och kommentera! En liten analys av hur rimlig modellen/ekvationen egentligen är ger "plus i kanten" (dock ej extra poäng eftersom jag inte frågat efter det i problemtexten). En helt annan sak... I ett separat mejl, se information om Perimeterinstitutets Mastersprogram. Deadline för ansökan 1/2 2015. Om du är intresserad, kontakta mig gärna för mer information. Ses imorgon kl 10! 15 december Hej igen, En av er frågade mig om problem 1, #3: Vad betyder det att värmepulsen är lokaliserad? Svar: Värmekällan är lokaliserad i ett litet område i rummet och sätts på och stängs av igen inom ett kort tidsintervall ("puls"). 17 december En av er kontaktade mig igår med fler funderingar angående problem 4, #3. I sammanfattning: Fråga: Jag hittar olika lösningar varav en konstig! beroende på hur jag väljer storheter, enheter, etc. som uppträder i problemtexten... Vilken är den korrekta läsarten? Svar (såsom tidigare!): Din företrädare som produktingenjör gav dig en ekvation med vidhängande text innan hon försvann till ett annat jobb. Beroende på hur du läser och tolkar texten så hittar du olika lösningar, du är osäker på vilken som kan funka. VD och styrelse för företaget vill att du rapporterar till dem kl 13 nu på fredag. Du får helt enkelt göra så bra du kan, givet situationen: Redovisa klart och tydligt hur du tolkat problemet, och vilka ev. antaganden du gjort (och varför!) för att komma fram till din lösning! Ses imorgon kl 13:15 i sal VD-E!

PS Ett elakt tryckfel i mina föreläsningsanteckningar propagerade upp på svarta tavlan igår: I definitionen av "ekvivalent representation" skrev jag "För alla g så finns det ett S...". Det ska förstås vara "Det finns ett S så att för alla g..."! Jätteviktigt att transformationen är oberoende av valet av gruppelement! 18 december Jag fick igår kväll följande fråga angående problem 2, #3: Fråga: Jag har lite problem med formuleringen av Fubinis teorem. Jag hittar inget om det i AWH och i beta finns två olika formuleringar, varav den ena tycks vara för förenklad för att fungera här och den andra är så bökigt formulerad med lebesguemått och summerbara funktioner att jag inte lyckas tillämpa den. Har kikat runt en del på internet och där varierar formuleringarna en del. Ibland står det att integranden ska vara kontinuerlig, ibland att integralen ska vara absolutkonvergent och ibland är det djupdykningar i Lebesguemåtten. Sen finns det ju dessutom din "lättversion" som står i föreläsningsslidesen, där det endast krävs att integranden är ickenegativ. Det elegantaste hade väl varit att använda "hardcore-versionen" med Lebesguemått hit och dit, men jag känner inte att jag har tillräckligt med kött på benen för den. Hur kräsen är du men vilken formulering vi använder? Och har du något tips på en vettig källa? Svar: Det behövs ingen djupdykning ner i Lebesguemåttet! Min lättversion från föreläsningen räcker bra. (Inom parentes: Det man dagligdags litet slarvigt kallar "Fubinis teorem" kommer i två varianter: Fubini-Lebesgue och Fubini-Tonelli. Min lättversion är en lättversion av Fubini-Tonelli teoremet. För detaljer och referenser, se Wikipedias artikel "Fubini's theorem". Men detta är överkurs, långt utöver vad vi gör i kursen...).

19 december Jag har uppdaterat kurshemsidan http://fy.chalmers.se/~tfkhj/mf.html Där finns nu sista omgången inlämningsuppgifter (deadline 9/1 kl 13:00), uppdaterad loggbok, länkar till kompletterande material för dem av er som inte var med på föreläsningarna då jag delade ut detta, samt förra årets tenta med lösningsförslag. (När jag försökte poängsätta mina egna lösningar fann jag till min förargelse att jag inte lyckats få full pott! Speciellt hade jag slarvat med uppgift 5a. Fundera på om ni kan kan göra bättre här!) Några av er har undrat över poängkriterierna för inlämningsuppgifterna. Jag drar det alltså en gång till: För betyg 3 / 4 / 5 krävs att man kommit upp i 40% / 60% / 80% av den sammanlagda poängsumman på de fyra inlämningsomgångarna. Det krävs här att man visar att man jobbat med samtliga fyra omgångar, dvs. att man lämnat in lösningar till samtliga omgångar. (Det är OK att missa någon uppgift.) För överbetyg krävs att man dessutom går upp i tentan. För betyg 4 / 5 behöver man komma upp i 50% / 70% av totala poängen på tentan. Tentan är "closed book", dvs inga hjälpmedel. Den kommer liksom tidigare år att innehålla både problem och resonerande uppgifter (av teorikaraktär). Har ni tillägnat er materialet som diskuterats på föreläsningar och övningsräkningar, samt jobbat självständigt med inlämningsuppgifterna, så har ni utmärkta förutsättningar att göra bra på tentan! God jul! 2 januari Kursdeltagare, Matematisk Fysik FTF131 GOTT NYTT ÅR! Jag fick ett par frågor på sista omgången inlämningsuppgifter: I uppgift 2a förstår jag inte riktigt vad som frågas efter. Vad menas med "visa att... svarar mot"? Räcker det att endast visa att den nya basen är ortonormal, samt att de nya moment och positionsoperatorerna uppfyller kommuteringsrelationen då de verkar på objekt i denna bas? Svar: Du ska visa att om du ersätter den vanliga representationen i ekv (1) med den modifierade representationen i ekv (2), så är detta ekvivalent med att ersätta basen {x} med en gauge-

transformerad bas såsom den definieras i problemtexten. Problemet är konceptuellt analogt med att visa att en viss similaritetstransformation på en matris svarar mot ett basbyte i ett linjärt vektorrum (jfr linjär algebra!). Exakt hur du vill utföra ditta argument är upp till dig! I uppgift 3a skulle jag gärna vilja veta mer exakt vad man ska visa. Är det de tre kraven i (http://sv.wikipedia.org/wiki/liealgebra) eller räcker det att visa att operatorerna uppfyller [L_x,L_y] = i \hbar L_z samt analogt för cykliskt permuterade index? Svar: Det räcker att visa [L_x,L_y] = i \hbar L_z samt analogt för cykliskt permuterade index. Notera att de tre kraven i Wikipedia som du refererar till är trivialt uppfyllda för en definierande representation av en Lie grupp där A,B] = AB - BA och därför inte behöver kollas: För att definiera mer allmänna Lie algebror behöver man däremot explicit vara vaksam på de tre kraven i Wikipediaartikeln. Jag undrar om man inte ska ta 1+x^2 när man väljer cirkelns radie i problem 1? (just nu står 1- x^2). Svar: Ledningen såsom den är formulerad är OK. Klura på hur du bäst kan använda den! Som oftast finns det alternativa lösningsstrategier. Kanske du kan hitta en som är fiffigare? I samma problem: ska g bara vara definierad för x <= 1 precis som med t? Svar: Du kan klura ut svaret själv, givet att g är en genererande funktion! En av er undrade varför jag drog av poäng på mitt eget lösningsförslag på problem 5a på förra årets tenta; jfr mitt mejl från 19/12! Påståendet finns ju redan i problemtexten och det står ingenting om att man ska bevisa det! Svar: Jag läste min egen problemtext slarvigt och glömde sedan bort den när jag "rättade" min egen lösning! M.a.o.: lösningen såsom jag gett den är OK och ger full poäng! Lycka till på tentan 12/1! Hälsningar