Handbok materalstyrnng - Del B Parametrar och varabler B 41 Beräkna standardavvkelser för efterfrågevaratoner och prognosfel En standardavvkelse är ett sprdnngsmått som anger hur mycket en storhet varerar. Måttet karakterserar tllsammans med medelvärdet ett statstskt materal. I den här handboksdelen behandlas följande olka metoder för beräknng av standardavvkelser. Exakt beräknng Beräknng med hjälp av absoluta medelavvkelser Beräknng med hjälp av uppskattad varatonsbredd Beräknng från antagande om Possonfördelnng Framställnngen avser prmärt standardavvkelser för efterfrågevaratoner och prognosfel för användnng anslutnng tll dmensonerng av säkerhetslager och säkerhetstder vd materalstyrnng. 1 Användnngsområde Det fnns ett stort antal användnngsområden för standardavvkelser. I materalstyrnngssammanhang används varabeln standardavvkelse första hand för dmensonerng av säkerhetslager och andra motsvarande buffertmekansmer. Beräknng av standardavvkelser för efterfrågevaratoner och prognosfel utgår från ett antal peroders efterfrågevärden respektve efterfrågevärden och prognosvärden. Det är vanlgt att prognosperoden, oftast lka med en månad eller fyra veckor, används som perodlängd vd beräknngarna. Det är emellertd nte något som hndrar att man väljer dag eller vecka som perodlängder. Kopa för personlgt bruk. Får ej koperas eller sprdas. Stg-Arne Mattsson 1 Verson 1
2 Exakt beräknng av standardavvkelser Standardavvkelsen är ett statstskt begrepp som kan beräknas exakt för ett antal värden på en stokastskt varabel med hjälp av följande formel om de nkluderade värdena utgör ett stckprov. ( E ) σ = n 1 2 E = medelvärdet av alla efterfrågevärden n = antal efterfrågevärden Standardavvkelsen enlgt ovan kan beräknas Excel genom att använda funktonen STDAV. Denna formel kan användas vd dmensonerng av säkerhetslager om standardavvkelsen avser efterfrågevaratoner. Är det stället fråga om efterfrågans prognosfel används följande formel för exakt beräknng av standardavvkelser. ( E P ) σ = n 1 2 P = prognostserad efterfrågan under perod n = antal efterfrågevärden 3 Beräknng med hjälp av absoluta medelavvkelser Standardavvkelsen för efterfrågevaratoner och prognosfel kan också beräknas approxmatvt som den absoluta medelavvkelsen från medelefterfrågan respektve prognosfel och efter multplcerat med hjälp av en korrgerngsfaktor. Detta beräknngssätt är något enklare än den exakta beräknngen enlgt punkt 2. Den absoluta medelavvkelsen, MAD, är ett utryck för hur mycket olka efterfrågevärden medeltal avvker från medelefterfrågan respektve hur mycket prognosen medeltal avvker från den verklga efterfrågan. För varatoner efterfrågan kan MAD beräknas med hjälp av följande formel. MAD = E E n E = medelvärdet av alla efterfrågevärden n = antal efterfrågevärden 2
Absoluta medelavvkelsen enlgt ovan kan beräknas Excel genom att använda funktonen MEDELAVV. Motsvarande MAD för prognosfel kan beräknas med hjälp av följande formel. MAD = E n P P = prognostserad efterfrågan under perod n = antal efterfrågevärden Absoluta medelavvkelser kan också beräknas med hjälp av exponentell utjämnng enlgt följande formel. ( 1 ) MAD( 1) MAD( t) = α E E + α t E = medelvärdet av alla efterfrågevärden α = utjämnngskonstanten för exponentell utjämnng MAD(t) = absoluta medelavvkelsen för perod t MAD(t-1) = absoluta medelavvkelsen för perod t-1 Motsvarande formel används för beräknng av absoluta medelavvkelser för prognosfel. För att approxmatvt beräkna standardavvkelsen för efterfrågevaratonerna respektve prognosfelsvaratonerna används efter följande formel. σ = 1. 25 MAD Konstanten 1.25 gäller under förutsättnng att efterfrågan respektve prognosfel är normalfördelad. Normalfördelnngen fnns beskrven handboksdel V11. Om efterfrågan nte är normalfördelad ger detta samband mellan standardavvkelse och absolut medelavvkelse endast ett närmevärde på standardavvkelsen. Den är emellertd en de flesta sammanhang tllfredsställande approxmaton och är vanlgt använd vd säkerhetslagerberäknng. Exempel Efterfrågan under tre på varande följande veckor har vart 6, 4 respektve 11 stycken. Denna efterfrågan motsvarar en medelefterfrågan per vecka på 7 styck. Absoluta medelavvkelsen för efterfrågevaratonerna blr då ( 1+ 3 + 4) / 3 2. 67 MAD = ( 6 7 + 4 7 + 11 7 ) / 3 = = Följaktlgen blr standardavvkelsen lka med 1.25 2.67 = 3.34. Motsvarande exakt beräknade standardavvkelse med hjälp av STDAV Excel blr 3,61. 3
4 Beräknng av standardavvkelser med hjälp av uppskattad varatonsbredd I vssa sammanhang saknas hstorska data för beräknng av standardavvkelser helt eller delvs. Man kan då få en ungefärlg uppfattnng om standardavvkelsens storlek genom att baserat på erfarenhet uppskatta varatonsbredden, dvs skllnaden mellan det högsta och lägsta förekommande efterfrågevärdet per perod respektve skllnaden mellan det höga och lägsta förekommande prognosfelet under ett antal peroder. Vd uppskattnngen av lägsta och högsta värden bör nte exceptonella händelser nkluderas. Om man kan anta att efterfrågan respektve prognosfelet är normalfördelat, vlket ofta är fallet utom för mycket lågfrekvent efterfrågan, kan standardavvkelsen beräknas med hjälp av följande formel. σ = EPmax EP mn 6 Där EPmn är det lägst förekommande och EPmax det högst förekommande efterfrågevärdet per perod. Att använda faktorn 6 nämnaren nnebär att 99.7 % av alla teoretskt möjlga värden enlgt normalfördelnngen har beaktats. 5 Beräknng av standardavvkelser från antagande om Possonfördelnng I de sammanhang hstorska data för beräknng av standardavvkelser helt eller delvs saknas och man nte kan utgå från att efterfrågan respektve prognosfelet är normalfördelat kan man stället approxmatvt beräkna standardavvkelsen genom att anta att varatonerna är Possonfördelade. Detta är exempelvs fallet om det är fråga om lågfrekvent efterfrågan med få uttag per år. Possonfördelnngen fnns beskrven handboksdel V12. För en Possonfördelnng är standardavvkelsen lka med roten ur medelvärdet. Om man följaktlgen kan uppskatta medelefterfrågan respektve medelprognosfelet per perod kan man beräkna ett approxmatvt värde på standardavvkelsen per perod. 6 Felkänslghet för standardavvkelser vd beräknng av säkerhetslager Eftersom säkerhetslager beräknas som en säkerhetsfaktor gånger standardavvkelsen under ledtd kommer ett procentuellt fel uppskattnngen av standardavvkelsen att bl ett lka stort procentuellt fel beräknngen av säkerhetslager. Detta gäller specellt när säkerhetslager beräknas med utgångspunkt från cykelservce eller brstkostnader. Om beräknngen sker med utgångspunkt från fyllnadsgradsservce ngår standardavvkelsen två gånger, dels vd beräknng av servcefunktonens värde och dels vd säkerhetslager- 4
beräknngen. I detta fall är felkänslgheten högre, dvs en vss felprocent beräknngen av standardavvkelsen leder tll en högre felprocent för säkerhetslagret. Specellt vd låga servcenvåer, stora orderkvantteter och korta ledtder kan felprocenten för säkerhetslagret bl mer än dubbelt så hög som motsvarande för cykelservce. Smulerngsstuder har vsat att felaktgheter beräknade standardavvkelser är av relatvt stor betydelse för kaptalbndnngen lager. De har dock klart mndre betydelse än felaktgheter prognoser och ledtder, specellt för högomsatta artklar. Smulerngsstuder har också vsat att felmargnalen för beräknade standardavvkelser måste lgga nom +/- 20 % för att felmargnalen för servcenvån skall hålla sg nom storleksordnngen en procentenhet. Är det fråga om fall med stora efterfrågevaratoner måste felmargnalen för beräknade standardavvkelser vara ännu mndre för att nå en procentenhets felmargnal för servcenvån. Precsonen bestämnng av standardavvkelser är praktskt taget betydelselös för erhållen servcenvå för artklar med extremt låg omsättnng eftersom beräknade säkerhetslager avrundas uppåt och med stort sett alltd blr större än vad som är beräknngsmässgt motverat. 7 Kompletterande synpunkter I affärssystem brukar standardavvkelser beräknas per perod, vanlgtvs per månad. Specellt vanlgt är detta när standardavvkelsen avser prognosfel eftersom nya prognoser oftast tas fram varje månad eller fyraveckorsperod. Vd säkerhetslagerberäknng krävs emellertd uppgfter om standardavvkelsen under ledtd som oftast nte är lka lång som en beräknngsperod. Man måste för konvertera standardavvkelsen per perod tll standardavvkelsen under ledtd. Detta gäller även om standardavvkelserna beräknas per dag, vecka eller annan perodlängd. Hur detta kan genomföras redovsas handboksdel B43, Ledtdsanpassa standardavvkelser för efterfrågevaratoner. Det kan också vara aktuellt att ta hänsyn tll varatoner ledtd vd beräknng av standardavvkelser för efterfrågan respektve prognosfel under ledtd. Hur man kan nkludera hänsyn tll sådana efterfrågevaratoner redovsas handboksdel B44, Beräkna standardavvkelser vd ledtdsvaraton. Det antal efterfrågevärden som tas med vd beräknng av standardavvkelser har betydelse för den noggrannhet man kan uppnå. Det är vanlgt att standardavvkelser beräknas med avseende på månatlga efterfrågevärden respektve prognosfel och att beräknngarna omfattar ett års hstork, dvs för tolv månadsvärden. Smulerngsstuder har vsat att man med så få värden som underlag för beräknngar får räkna med att få en felmargnal på storleksordnngen +/- 20 procent och för fall med mycket stora efterfrågevaratoner ytterlgare något mer. Vll man lgga nom en felmargnal på +/- 10 procent måste man nkludera storleksordnngen 40 efterfrågevärden. Med perodlängd månad skulle detta nnebära att det krävs en efterfrågehstork på storleksordnngen tre år. Att basera beräknngarna på så gamla efterfrågedata kan bdra tll försämrad noggrannhet av andra skäl. Ett bättre alternatv kan då vara att stället basera standardavvkelseberäknngen på veckovsa eller daglga efterfrågevärden. Hstorsk efterfrågan på den här detaljerngsnvån fnns ofta tllgänglg kvalfcera- 5
de affärssystem. Antalet efterfrågevärden som tas med vd beräknngarna påverkar också hur mycket beräknade standardavvkelser varerar från beräknngstllfälle tll beräknngstllfälle, exempelvs från månad tll månad. Ju fler efterfrågevärden, desto mndre varatoner. Att varatonerna beräknade standardavvkelser är så små som möjlgt är betydelsefullt eftersom varatoner standardavvkelser leder tll oavsktlga varatoner servcenvåer och med leveransförmåga. Som påpekades ovan ger beräknng av standardavvkelser med hjälp av absoluta medelavvkelser, MAD, korrekta värden endast under förutsättnng att efterfrågevaratonerna respektve prognosfelen är normalfördelade. En smulerngsstude har vsat att det nte förelgger några sgnfkanta skllnader mellan MAD-beräknade och exakt beräknade standardavvkelser vd praktken vanlgt förekommande efterfrågefördelnngar (Mattsson, 2004). Även om efterfrågan under normala omständgheter varerar från perod tll perod, är varatonerna allmänhet måttlga förhållande tll medelefterfrågan. Det nträffar emellertd att efterfrågan mer eller mndre oförutsägbart kan bl mycket stor under enstaka peroder. Detta kan exempelvs bero på att man fått en tllfällg extremt stor kundorder. Fenomenet nträffar också lager som både utgör centrallager och försörjer andra lager samtdgt som det försörjer den lokala marknaden. Sådana extremvärden bör nte ngå beräknngen av standardavvkelser för säkerhetslagerberäknng. De leder både tll oekonomskt stora säkerhetslager och tll stora varatoner leveransförmåga. Metoder för att dentfera och elmnera extremvärden av det här slaget redovsas handboksdel F41, Efterfrågekontroll. Standardavvkelsen för efterfrågevaratoner, dvs för den perodvsa efterfrågan förhållande tll dess medelvärde är nte densamma som standardavvkelsen för prognosfel, dvs för den perodvsa skllnaden mellan efterfrågan och prognos. Detta gäller även om prognosen är medelvärdesrktg, dvs prognosen är medeltal lka med medelvärdet av efterfrågan. Det teoretska förhållandet mellan standardavvkelsen för prognosfel och standardavvkelsen för efterfrågevaratoner framgår av följande tabell för några olka värden på utjämnngskonstanten om exponentell utjämnng används för prognostserng och för några olka värden på antal peroder om gldande medelvärde används för prognostserng. Utjämnngskonstant Antal peroder Förhållande 0,1 19 1,03 0,2 9 1,05 0,3 6 1,09 0,4 4 1,12 Tabell 1 Förhållande mellan σ(prognosfel) och σ(efterfrågevaraton) Av tabellen framgår exempelvs att standardavvkelsen beräknad med utgångspunkt från prognosfel blr 9 % högre än standardavvkelsen baserad på efterfrågevaratoner om exponentell utjämnng med en utjämnngskonstant på 0,3 används för prognostserng. 6
Referensltteratur Mason, R. Lnd, D. (1990) Statstcal technques n busness and economcs, Irwn, sd 124. Mattsson, S-A. (2002) Känslghetsanalys av beställnngspunktssystem, Forsknngsrapport, Insttutonen för Teknsk Logstk, Lunds Unverstet. Mattsson, S-A. (2004) Standardavvkelse som mått på efterfrågevaratoner vd säkerhetslagerberäknng, Forsknngsrapport, Insttutonen för Teknsk Logstk, Lunds Unverstet. Mattsson, S-A. (2007) Standardavvkelser för säkerhetslagerberäknng, Forsknngsrapport, Insttutonen för Teknsk Logstk, Lunds Unverstet. Russel, R. Taylor, B. (2000) Operatons management, Prentce Hall, sd 826. Slver, E. Pyke, D. Peterson, R. (1998) Inventory management and producton plannng and schedulng, John Wley & Sons, sd 109. Vaughan, T. (1995) The effect of samplng varablty on statstcal order pont computaton, Producton and Inventory Management Journal, Nr. 3. 7
8