Kvantmekanik II - Föreläsning 14

Kvantmekanik II - Föreläsning 14 Kvantmekanikens tolkningar Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 1/36

Kvantmekanikens tolkningar Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 2/36

Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 3/36

Kvantmekanikens tolkningar Om ψ beskriver ett kvantmekaniskt system så innehåller ψ information om sannolikheten att få ett visst resultat vid en mätning. Vi kan då göra två tolkningar: a) Realist-tolkningen. ψ är ofullständig. Systemet befann sig i ett välbestämt tillstånd före mätningen, fast vi vet inte vilket. b) Ortodoxa tolkningen. Systemet befann sig i en blandning av tillstånd före mätningen och ett nytt tillstånd skapas vid mätningen (vågfunktionen kollapsar). Låt oss titta närmare på dessa alternativ och se vad som gäller inom kvantmekaniken. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 4/36

Frågedags Fråga 1 Betrakta en partikel med spinn 1 2 som befinner sig i spinn upptillståndet i z-riktningen,. Om vi mäter spinnet i x-riktningen är sannolikheten 50% att få resultatet /2,, och 50% att få resultatet /2,. Enligt realist-tolkningen, vad beror det på? 1 Partikeln befinner sig i en blandning av tillstånden och och det är först när vi mäter som partikeln hamnar i det ena eller andra tillståndet. 2 Partikeln befinner sig i antingen eller före mätningen, det är bara att vi inte vet vilket. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 5/36

Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 6/36

EPR-paradoxen Einstein, Podolsky och Rosen formulerade 1935 följande paradox: Betrakta sönderfallet av en π 0 -meson, π 0 e e + π 0 -mesonen har spinn 0 och elektronen och positronen kan i detta sönderfall inte få något banrörelsemängdsmoment. För att bevara det totala rörelsemängdsmomentet måste därför elektronen och positronen ha s = 0, dvs vara i singlettillståndet, e + spinn sm = 00 = 1 ( ) 2 e spinn Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 7/36

Sammanflätade tillstånd I Betrakta nu dessa två partiklar i singlettillståndet sm = 00 = 1 2 ( ) Mät nu spinnet på den ena partikeln, säg e : Om vi får måste e + ha. Om vi får måste e + ha. Så fort vi har mätt det ena spinnet vet vi vad det andra är. Detta kallas sammanflätade tillstånd (entangled states). Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 8/36

Sammanflätade tillstånd II Denna kollaps av vågfunktionen sker omedelbart, även om vi låter e och e + färdas mycket långt innan mätningen sker. Även om L = 1 ljusår (t.ex.) så vet vi så fort vi mäter spinnet på e vad spinnet på e + är 2 ljusår bort. EPR ansåg att detta var orimligt med den ortodoxa tolkningen ( action at a distance ) och förespråkade realist-tolkningen. Hur kan vågfunktionen kollapsa omedelbart över så stora avstånd? Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 9/36

Realist-tolkningen Realist-tolkningen leder till att vi tvingas konstatera att ψ är ofullständig. Det borde finnas dolda variabler (som vi ej känner, men egentligen finns där). Idén är att om vi bara kände de dolda variablerna så skulle vi känna systemet fullständigt. Kan denna tolkning stämma? Är det så vi ska se på kvantmekaniken? Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 10/36

Frågedags Fråga 2 (lite klurig) Betrakta de sammanflätade tillstånden vi har diskuterat ovan, Om vi mäter spinnet på den ena partikeln så vet vi vad en mätning på den andra skulle ge. Kan vi använda detta för att föra över information snabbare än ljuset? 1 Ja 2 Nej Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 11/36

Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 12/36

Bells teorem Låt oss undersöka Bells teorem. 1964 visade Bell att dolda-variabel-teorier är inkompatibla med kvantmekanik. Realist-tolkningen kan ej vara rätt. Ortodoxa tolkningen stämmer! Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 13/36

Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 14/36

Bells teorem I Vi ska nu bevisa Bells teorem (Bells olikhet). Beviset är elegant, men i flera steg så häng med! Grundidén är att istället för att mäta spinnet i samma riktning, t.ex. z-riktningen som för EPR-paradoxen, mät e och e + spinn i olika riktningar: { Mät e spinn i a-riktningen Mät e + a, b = enhetsvektorer spinn i b-riktningen Om a och b är parallella (anti-parallella) får vi perfekt antikorrelation (korrelation) mellan de uppmätta spinnen. Om a och b inte är parallella (antiparallella) får vi inte perfekt antikorrelation (korrelation). Om t.ex. a och b är vinkelräta får vi ingen korrelation alls. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 15/36

Bells teorem II Låt oss ange spinn upp (i den riktning vi mäter) med +1 och spinn ner med 1. Beräkna produkten av de uppmätta spinnen (för e /e + från π 0 -sönderfall). Vi skulle t.ex. kunna få e spinn [ /2] e + spinn [ /2] Produkt +1-1 -1 +1 +1 +1-1 +1-1 +1-1 -1-1 -1 +1 Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 16/36

Bells teorem III Definiera nu medelvärdet av produkten mellan spinnresultateten för många mätningar på identiskt preparerade system P(a, b) = medelvärdet av produkten för många mätningar Notera att a = b P(a, b) = 1 a = b P(a, b) = +1 För godtyckliga a och b har vi (visa!) P(a, b) = a b Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 17/36

Bells teorem IV: Dolda variabler Jämför nu med dolda variabler. Låt oss anta att en dold variabel (eller uppsättning av variabler) λ egentligen innehåller information om systemets tillstånd. Om λ innehåller information om systemets egentliga tillstånd: Resultatet vid a-detektorn (vid mätstation A) kan inte bero på orienteringen av b-detektorn (vid mätstation B). Låt oss definiera följande funktioner A(a, λ) = ±1 värdet på spinnet vid A i riktning a B(b, λ) = ±1 värdet på spinnet vid B i riktning b Dessa funktioner talar om vilket värde vi kommer att få vid en mätning av spinnet vid mätstation A och B om vi mäter i riktning a respektive b, givet den dolda variablen λ. De är deterministiska funktioner. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 18/36

Bells teorem V T.ex. så har vi A(a, λ) = B(a, λ) (1) dvs om vi mäter i samma riktning vid A och B får vi motsatt spinn. P(a, b) ges nu av P(a, b) = medelvärdet av A(a, λ)b(b, λ) Låt nu ρ(λ) vara sannolikhetstätheten för λ (helt godtycklig). Medelvärdet P ges då av P(a, b) = ρ(λ)a(a, λ) B(b, λ) dλ } {{ } A(b,λ) enl. Ekv.(1) = ρ(λ)a(a, λ)a(b, λ)dλ Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 19/36

Bells teorem VI Låt nu c vara en annan enhetsvektor (i vilken riktning vi kan mäta spinnet) P(a, b) P(a, c) = [ ] = ρ(λ) A(a, λ)a(b, λ) A(a, λ) A(c, λ) dλ Sätt in [A(b, λ)] 2 = 1 [ ] = ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ) A(a, λ)a(b, λ)dλ Men vi har nu att 1 [A(a, λ)a(b, λ)] 1 [ ] ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ) 0 }{{} } {{ } 0 +1 } {{ } 0 Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 20/36

Bells teorem VII P(a, b) P(a, c) = [ ] = ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ) A(a, λ)a(b, λ) dλ } {{ } } {{ } 0 +1 och 1 P(a, b) P(a, c) = [ A(a, = ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ)] λ)a(b, λ) dλ = [ ρ(λ) 1 A(b, λ)a(c, λ) ρ(λ)dλ } {{ } 1 = 1 + P(b, c) } {{ } 1 ] dλ ρ(λ)a(b, λ)a(c, λ)dλ } {{ } + ρ(λ)a(b,λ)b(c,λ)dλ=p(b,c) Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 21/36

Bells olikhet Detta ger oss slutligen Bells olikhet P(a, b) P(a, c) 1 + P(b, c) Bells olikhet måste vara uppfylld för vilken dold-variabel-teori som helst. Men, är den uppfylld för kvantmekaniken? Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 22/36

Frågedags Fråga 3 I Bells olikhet ingår termer av typen P(a, b) där P(a, b) är medelvärdet av produkten av spinnen för många mätningar. Vilket/vilka påståenden om P(a, b) är korrekta? 1 P(a, b) är medelvärdet av många mätningar på samma elektron och positron 2 P(a, b) är medelvärdet av många mätningar på identiskt preparerade system 3 P(a, b) beror inte på i vilka riktningar vi mäter spinnen Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 23/36

Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 24/36

Bells olikhet och kvantmekaniken I Låt oss testa om Bells olikhet är uppfylld för kvantmekaniken! Antag att a, b och c ligger i ett plan som i figuren till höger. Kvantmekaniskt har vi att (visa!) oktober 20, 2011 P(a, b) = a b vilket med riktningarna i figuren ovan ger oss P(a, b) = a b = 0 2 P(a, c) = a c = cos 45 = 2 2 P(b, c) = b c = cos 45 = 2 5/8 Kvant II - kapitel 12 (5/8) Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 25/36

Bells olikhet och kvantmekaniken II Sätt nu in 2 P(a, b) = 0 ; P(a, c) = 2 i Bells olikhet P(a, b) P(a, c) 1 + P(b, c) 2 ; P(b, c) = 2 Vi får då V.L. = P(a, b) P(a, c) 2 2 = 2 = 2 0.707 2 H.L. = 1 + P(b, c) = 1 2 0.293 Men 0.707 0.293 V.L. H.L Bells olikhet gäller inte för kvantmekaniken! Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 26/36

Experimentellt belägg för Bells olikhet Experimentellt är det visat (Aspect, Grangier och Roger, 1982) att den kvantmekaniska förutsägelsen stämmer, dvs Bells olikhet är bruten! Dolda variabler är fel! Kvantmekaniken och den ortodoxa tolkningen stämmer! Kvantmekaniken är helt enkelt inte kompatibel med dolda-variabel-teorier och experimentellt ser vi att det är den kvantmekaniska (ortodoxa) tolkningen som stämmer. Vågfunktionen ψ kollapsar momentant, även över stora avstånd. Naturen är icke-lokal, men vi kan trots det inte föra över information snabbare än ljuset. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 27/36

Den momentana kollapsen av vågfunktionen/tillståndet Den ortodoxa tolkningen gäller för kvantmekaniken! Men, det är ju trots det märkligt att vågfunktionen/tillståndet kan kollapsa momentant, även över godtyckligt stora tillstånd. Den momentana kollapsen kanske kan ske för att de sammanflätade partiklarna sitter ihop med ett maskhål? (se Maldacena och Susskind, arxiv:1306.0533, 2013). arxiv:1306.0533v2 [hep-th] 11 Jul 2013 Cool horizons for entangled black holes Juan Maldacena 1 and Leonard Susskind 2 1 Institute for Advanced Study, Princeton, NJ 08540, USA 2 Stanford Institute for Theoretical Physics and Department of Physics, Stanford University, Stanford, CA 94305-4060, USA Abstract General relativity contains solutions in which two distant black holes are connected through the interior via a wormhole, or Einstein-Rosen bridge. These solutions can be interpreted as maximally entangled states of two black holes that form a complex EPR pair. We suggest that similar bridges might be present for more general entangled states. In the case of entangled black holes one can formulate versions of the AMPS(S) paradoxes and resolve them. This suggests possible resolutions of the firewall paradoxes for more general situations. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 28/36

Frågedags Fråga 4 (klurig) Bells olikhet är bruten för det spinn-exempel vi har tittat på här. Om Ŝx, Ŝy och Ŝz skulle kommutera, skulle Bells olikhet ändå ha varit bruten? 1 Ja 2 Nej Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 29/36

Innehåll 1 Kvantmekanikens tolkningar 2 EPR-paradoxen 3 Bells teorem Härledning av Bells olikhet Tillämpning på kvantmekaniken Jämförelse med klassiskt exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 30/36

Klassiskt exempel I Låt oss för tydlighetens skull jämföra med hur ovanstående exempel skulle se ut helt klassiskt. Vi skulle då ha ett inre rörelsemängdsmoment som var fixt, fast vi inte visste exakt hur det ser ut. Antag t.ex. att vi har ett spinn som ligger i x-z-planet och är i en godtycklig riktning i detta plan. Vi kan då införa en variabel λ enligt S = (sin λ, 0, cos λ) ; λ [0, 2π] ρ(λ) = λ är nu vår dolda variabel. { 1 2π ; 0 λ 2π 0 annars Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 31/36

Klassiskt exempel II I en riktning n = (sin θ, 0, cos θ) får vi Antag nu att n S = sin θ sin λ + cos θ cos λ A(a, λ) = { +1 om a S > 0 1 om a S < 0 Detta är en enkel klassisk modell av en kvantiserat rörelsemängdsmoment. P(a, b) ges nu av 2π 1 P(a, b) = A(a, λ)a(b, λ)dλ 0 2π Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 32/36

Klassiskt exempel III Låt oss illustrera denna integral med några grafer För P(a, b) vill vi räkna ut P(a, b) = 2π 0 1 A(a, λ)a(b, λ)dλ 2π De två faktorerna ovan är illustrerade i grafen ovan. Vi ser att produkten är +1 i halva vinkelintervallet och -1 i halva, dvs P(a, b) = 0 Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 33/36

Klassiskt exempel IV För P(a, c) vill vi räkna ut P(a, c) = 2π 0 1 A(a, λ)a(c, λ)dλ 2π De två faktorerna ovan är illustrerade i grafen ovan. Vi ser att produkten är +1 i 6 8 av vinkelintervallet och -1 i 2 8 av intervallet, oktober 20, 2011 dvs 7/8 Kvant II - kapitel 12 (7/8) ( 6 P(a, c) = 8 2 ) = 1 8 2 På samma sätt får vi P(b, c) = 1 2 Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 34/36

i Bells olikhet P(a, b) P(a, c) 1 + P(b, c) Bells olikhet för det klassiska exemplet Sätt nu in P(a, b) = 0 ; P(a, c) = 1 2 ; P(b, c) = 1 2 Vi får då V.L. = P(a, b) P(a, c) = 1 2 = 1 2 H.L. = 1 + P(b, c) = 1 1 2 = 1 2 Dvs 1 2 1 V.L. H.L 2 Bells olikhet är uppfylld för detta klassiska dolda-variabel-exempel Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 35/36

Frågedags Fråga 5 Vad är den huvudsakliga skillnaden mellan det klassiska exemplet och det kvantmekaniska? 1 I det klassiska exemplet är spinnet i en given riktning, men vi vet inte i vilken, medan i det kvantmekaniska kollapsar tillståndet när vi mäter 2 I det kvantmekaniska fallet är spinnet kvantiserat, vilket det inte är klassiskt. Kvantmekanik II Föreläsning 14 Joakim Edsjö 36/36