Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar

Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar Tal Tal är organiserade efter några grundläggande egenskaper: Naturliga tal, N De naturliga talen betecknas med N och innehåller alla positiva heltal, N = 1, 2, 3,.... Exempel: 1, 34, 5679 är alla naturliga tal. I vissa sammanhang tillåts även talet 0 att tillhöra N, men inte i den här kursen. Heltal, Z De hela talen betecknas med Z, och innehåller även 0 och de negativa heltalen, Z =..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, Exempel: -3, 0, -27 är alla heltal. Alla naturliga tal är heltal. Rationella tal, Q De rationella talen betecknas med Q och innehåller alla bråktal, dvs alla tal som kan skrivas som en kvot mellan ett heltal och ett naturligt tal. Exempel: 1 4, 34 77. Alla heltal är rationella tal eftersom tex talet 4 kan skrivas som 4 1. 1

Reella tal, R De reella talen betecknas med R, och innehåller alla decimaltal, med potentiellt oändligt många decimaler. Exempel: 2, π, e. Alla rationella tal är reella tal. De reella tal som inte är rationella kallas för irrationella. Komplexa tal, C De komplexa talen betecknas med C, och vi återkommer till dessa senare i kursen. Decimaltal Decimaltal är inte en egen klass av tal, utan ett sätt att skriva tal på. Till exempel kan vi skriva 4 10 = 0,4 eller 1 4 = 0,25 På svenska används kommatecken som decimalavgränsare, och på engelska används punkttecken. Alla rationella tal kan skrivas som periodiska decimaltal. Till exempel kan vi skriva: 11 27 = 0,407407407407407... = 0,407 111 = 0,41111111... = 0,41 270 Här representerar de siffror som skrivs med ett horisontellt streck över sig att de repeterar i samma mönster oändligt många gånger. Irrationella tal kan ej skrivas på detta sett då deras decimaler aldrig bildar ett periodiskt mönster. Till exempel gäller att π = 3,141592653589793238462643383279502884197... Att avgöra vilket sorts tal det gäller Det är inte alltid uppenbart vilket sorts tal man har att göra med. Ibland räcker dock en kort uträkning: 2

Exempel: Avgör om 35 21 2 3 är ett naturligt tal. Lösning: Vi använder kända räkneregler för att förenkla uttrycket: 35 21 2 3 = 5 3 2 3 = 5 2 3 = 3 3 = 1 Svar: Ja, det är ett naturligt tal, eftersom 1 är ett naturligt tal. Ibland är det svårare: Exempel: Antag att π är ett irrationellt tal. Avgör om π 2 är ett irrationellt tal. Lösning: Vi argumenterar genom att anta att π/2 är rationellt och ser om vi kan hitta en motsägelse. Om π/2 är rationellt måste det finnas ett heltal a och ett naturligt tal b som är sådana att π 2 = a b, enligt definitionen av rationella tal. Men detta medför att: π = 2a b, Men om a är ett heltal måste 2a också vara ett heltal, och 2a/b måste således vara ett rationellt tal. Enligt antagande är dock π irrationellt, och vi har hittat en motsägelse. Således måste det gälla att π/2 är ett irrationellt tal. Svar: π/2 är irrationellt. Mängder Alla begrepp kan inte definieras. Inom matematiken tillåts ofta begreppet mängd att förbli odefinierat. En mängd är en samling eller uppsättning av objekt. Mängden beskrivs av de objekt, som kallas element, som mängden innehåller. Till exempel kan vi ha en mängd frukt som utgörs av en banan, ett äpple och en apelsin. De mest grundläggande mängderna inom matematik utgörs av tal. 3

Exempel: Följande är exempel på mängder: A = {1, 2, 3}. Mängden A består av elementen 1, 2, och 3. B = { 1, π, 3, 8}. Mängden B består av elementen 1, π, -3, och 8. 2 2 Vi avgränsar mängden med måsvingar {}, och element inom mängden med kommatecken. Inbördes ordning på elementen, eller duplicering av element förändrar inte mängden. Vi har alltså att: A = {1, 2, 3} = {2, 1, 3} = {1, 1, 2, 3}, etc Mängder kan även innehålla oändligt många element: Exempel: Mängder med oändligt många element: N = {1, 2, 3,...} Z = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Q = {Alla kvoter av heltal} R = {Alla reella tal} Mängden av alla naturliga tal Mängden av alla heltal Mängden av alla rationella tal Mängden av alla reella tal Vi kan också ha en mängd som inte innehåller några element alls. Detta betecknas med A =, och utläses A är lika med tomma mängden. Relationer för mängder Tillhörighet, Den grundläggande relationen mellan mängder och element är tillhörighet. Vi säger att ett element tillhör en mängd, och skriver tex 1 {1, 2, 3}. Om ett element inte tillhör en mängd skriver vi 4 / {1, 2, 3}. Till exempel gäller således att 56 N, 2 / N, 1/4 Q. Egenskapsbeskrivning, : Vi kan beskriva en mängd genom att beskriva egenskaper hos elementen som tillhör mängden. Formellt skriver vi: A = {x : P (x)} 4

Detta betyder att mängden A utgörs av alla element x som uppfyller egenskapen P. Till exempel så är A = {x : x är jämnt} mängden av alla jämna tal och A = {x : x > 0} mängden av alla positiva tal. Vi använder ofta skrivsättet A = {x B : P (x)} Tex, A = {x N : x > 5} för att beskriva alla naturliga tal större än 5. Delmängder,,, = Definition: Delmängd Vi säger att en mängd A är delmängd av en mängd B om alla element i A även är element i B, och betcknar detta med A B. Exempel: Låt A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, och C = {1, 2, 3}. Då gäller att: A B B A C B Definition: Mängdlikhet Två mängder A och B sägs vara lika om A B och B A, vilket skrivs A = B. Definition: Äkta delmängd Vi säger att A är en äkta delmängd till B om A B och A B, vilket skrivs A B. Exempel: Låt A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, och C = {1, 2, 3}. Då gäller att: A B B = C Märk dock att emedan B är delmängd av C så är B ej en äkta delmängd av C. 5

Mängdoperationer,,, \ Vi kan konstruera nya mängder från befintliga mängder. Definition: Union Unionen mellan två mängder A och B ger en ny mängd C som består av alla element som finns i antingen A eller B (eller i båda). Detta betecknas: C = A B = {x : x A eller x B}. Exempel: Låt A = {1, 2, 3} och B = {3, 7, 9}. Då gäller att: C = A B = {1, 2, 3, 7, 9} Definition: Snitt Snittet mellan två mängder A och B ger en ny mängd C som består av alla element som finns i både A och B. Detta betecknas: C = A B = {x : x A och x B}. Exempel: Låt A = {1, 2, 3} och B = {3, 7, 9}. Då gäller att: C = A B = {3} Obs: Notera att mängdklamrarna är nödvändiga även om mängden enbart innehåller ett element. {3} och 3 är två olika typer av objekt. Definition: Differens Differensen mellan två mängder A och B ger en ny mängd C som består av alla element som finns i A men inte i B. Detta betecknas: C = A \ B = {x : x A och x / B}. 6

Exempel: Låt A = {1, 2, 3} och B = {3, 7, 9}. Då gäller att: C = A \ B = {1, 2} D = B \ A = {7, 9} Univers och Venndiagram Det är ofta praktiskt att ha en mängd som alla andra mängder betracktas vara en delmängd av. Vi kallar en sådan mängd ett univers. Definition: Komplement Låt A vara en delmängd till universet U. Vi skriver A c för komplementet till A som definieras som alla element i U som inte finns i A, dvs U \ A. Exempel: Låt A = {3, 7, 9} och U = {1, 2, 3,..., 9} Då gäller att: A c = {1, 2, 4, 5, 6, 8} Ett Venndiagram är en visualisering av hur mängder förhåller sig till varandra och till ett univers. Låt U = N och låt A = {1, 2, 3} och B = {3, 7, 9}. Vi kan visualisera dessa mängder i ett Venndiagram genom att rita upp: 7

U 2 1 A 3 7 B 9 Exempel: Låt A, B vara som ovan. Rita ett Venndiagram, och skugga snittet mellan A och B: Lösning: Snittet är det område där A överlappar B: U 2 1 A 3 7 B 9 8

Slutledningar Betrakta utsagan/påståendet: Om det är söndag så är jag ledig Vi kan bryta upp detta påstående i mindre delar: A: Det är söndag B: Jag är ledig Vi vill sedan beskriva att om A gäller så gäller även B för att få vårt ursprungliga påstående. Detta skrivs som A } = {{} B Implikation Det är söndag medför Jag är ledig På detta sätt gör vi slutledningar A = B: Om det är söndag är jag ledig A: Det är söndag. B Alltså är jag ledig Vi kan från vårt ursprungliga påstående inte dra slutledningen att det är söndag bara för att vi är lediga. Vi kan dock dra slutsatsen att det inte är söndag om vi inte är lediga. Vi beskriver }{{} A : Det är inte söndag Icke-A }{{} B : Jag är inte ledig Icke-B Från vårt ursprungliga påstående kan vi dra slutsatsen: A = B: Om det är söndag så är jag ledig B: Jag är inte ledig. A Alltså är det inte söndag Definition: Ekvivalens Vi säger att två påståenden A och B är ekvivalenta och skriver A B om det gäller att A = B och B = A. Med ord kan vi säga A B: Om och endast om det är söndag är jag ledig 9

Exempel: x > 0 x 2 > 0 Detta gäller eftersom och x 2 > 0 = x > 0 x > 0 = x 2 > 0 10