Begrepp:: Kort om Kryssprodukt

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Introduktion till kryssprodukten Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss. Kryssprodukten av två vektorer u och v skrivs då u v. input = vektorer u v x kryssprodukt output = vektor u x v Figur 1: Kryssprodukten tar två vektorer och bildar en ny tredje vektor. Om vi beskriver kryssprodukten med en input-output modell så gäller situationen i ovanstående figur. Med denna bild så poängteras att u v är en vektor. Ibland kallar man kryssprodukten för en vektorprodukt för att poängtera just att man får en vektor 1 Definitionen av kryssprodukten Låt u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ). Kryssprodukten definieras med en determinant: i j k u v = det u 1 u 2 u 3 (1) v 1 v 2 v 3 Här är det nu bara att räkna med determinanten på vanligt sätt så att u v = i[u 2 v 3 u 3 v 2 ] j[u 1 v 3 u 3 v 1 ] + k[u 1 v 2 u 2 v 1 ] För det sista och avgörande steget så ersätter vi symbolerna i, j och k med deras vektordefinitioner: 2 och får då i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) u v = ([u 2 v 3 u 3 v 2 ], [u 1 v 3 u 3 v 1 ], [u 1 v 2 u 2 v 1 ]) = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ) (2) Denna formel är inget man behöver lägga på minnet utan man ska utifrån (1) kunna beräkna den genom att använda sina kunskaper om determinantberäkning och standarbasvektorerna. Följande exempel vissar hur man typiskt går till väga. 1 till skillnad från skalärprodukten (Eng: dot product) som är en produkt av två vektorer men där resultatet är en skalär, dvs ett tal. 2 Vektorerna i, j och k är alltså standardbasvektorerna i R 3 1

Exempel 1. Beräkna kryssprodukten u v av vektorerna u = (1, 2, 3) och v = (2, 1, 1). Vi har från (1) att u v = det i 1 j 2 k 3 = 2 1 1 = i[( 2) ( 1) 3 1] j[1 ( 1) 2 3] + k[1 1 2 ( 2)] = = i + 7j + 5k = (1, 0, 0) + 7(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1) = ( 1, 7, 5) Notera hur vi använder symbolerna i, j och k hela vägen och först i sista steget byter vi ut dem mot dess vektormotsvarigheter. Övning 1. Använd vektorerna i föregående exempel och beräkna nu v u. Övning 2. Beräkna kryssprudukterna a b och b a, där a = ( 2, 1, 1) och b = (1, 3, 2). Övning 3. Vilka slutsatser skulle du vilja dra om kommutativiteten 3 för kryssprodukten? Vad beror egenskapen på? 3 Multiplikation av vanliga tal är kommutativ (ab=ba), matrismultiplikation är icke kommutativ AB BA 2

c Mikael Forsberg 1 juni 2009 Kryssproduktens geometriska egenskaper Observera att kryssprodukten endast definieras fo r vektorer i va rt tredimensionella rum. I detta tredimensionella rum sa har kryssprodukten flera geometriska tolkningar som go r produkten anva ndbar. Kryssprodukten a r vinkel ra t mot vektorerna Den fo rsta geometriska egenskapen a r att krysspruktvektorn u v a r vinkelra t mot ba de u och v. Detta visar vi enkelt genom att anva nda uttrycket (2): u (v u) = u1 (u2 v3 u3 v2 ) + u2 (u3 v1 u1 v3 ) + u3 (u1 v2 u2 v1 ) = = 0 v (v u) = v1 (u2 v3 u3 v2 ) + v2 (u3 v1 u1 v3 ) + v3 (u1 v2 u2 v1 ) = = 0 (3) O vning 4. Visa att kryssproduktsvektorn a r ortogonal mot de inga ende vektorerna da u = ( 1, 2, 1) och v = ( 2, 1, 1). Ho gerhandsregeln Vi sa g att kryssprodukten var vinkelra t mot vektorerna. Givet tva vektorer u och v sa finns det exakt tva vektorriktningar som a r vinkelra t mot ba da dessa vektorerna. Dessa tva vektorriktningar a r parallella och pekar i motsatta riktningar. Figur 2: Hur man kan ta reda pa kryssproduktsvektorns orientering Fo r att ta reda pa vilken av de ba da riktningarna som a r den ra tta sa kan man anva nda sig av den sa kallade ho gerhandsregeln. Denna inneba r att man placerar ho ger hands pekfinger i den fo rsta vektorns riktning (u), ho gerhands la ngfinger i den andra vektorns riktning (v). Da pekar kryssproduktvektorn i ho ger hands tummes riktning, se figur 2. Kryssprodukten och arean av ett parallellogram Vektorerna u och v spa nner upp ett parallellogram. Kryssproduktsvektorns la ngd anger detta parallellograms area: u v = u v sin ϕ = arean fo r parallellogrammet da r ϕ a r vinkeln mellan vektorerna u och v. 3 (4)

Följande bild ger idén till beviset för detta resultat: Arean för ett parallellogram är basen gånger höjden och för parallellogrammet i figur 3 så har vi att basen är b = v och höjden blir h = u sin ϕ. Arean får vi om multiplicerar basen med höjden. Resultatet blir precis som vi påstod i andra likheten i ekvation (4)! u h u ϕ h v b= v Figur 3: Arean för ett parallellogram är basen b gånger höjden h. För att bevisa första likheten i ekvation (4) så behöver vi använda oss av räkneregel (15) nedan. 4 u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 = använd egenskap för skalärprodukten = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 ϕ = u 2 v 2 (1 cos 2 ϕ) = = u 2 v 2 sin 2 ϕ Eftersom vinkeln ϕ ligger mellan 0 och π så är sin ϕ 0 vilket gör att vi kan utan problem ta roten ur i båda led och komma fram till vilket var precis vad vi ville visa! u v = u v sin ϕ. Kryssprodukten och den skalära trippelprodukten Den skalära trippelprodukten av tre vektorer u, v och w definieras som u (v w) (5) Övning 5. Visa att om u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) och w = (w 1, w 2, w 3 ) så gäller att u (v w) = det u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 (6) w 1 w 2 w 3 Övning 6. Förklara med hjälp av formeln (6) varför kryssprodukten u v är ortogonal mot både u och v. (Hint: Det följer direkt från en av determinantens egenskaper.) Eftersom trippelprodukten enligt övning 5 är lika med en determinant så följer det att trippelproduktens belopp är volymen av den parallellepiped som spänns av trippelproduktens tre vektorer: u (v w) = volymen av den parallellepiped som spänns av u, v och w 4 Skalärprodukten brukar ofta definieras som a b = a b cos φ, där φ är vinkeln mellan a och b för skalärprodukten och är hur som helst en viktig egenskap för skalärprodukten. Det är denna egenskap som introducerar vinkelbegreppet till den linjära algebran... 4

Kryssproduktens algebraiska egenskaper Efersom determinanten har den egenskaper att om två rader i en matris byter plats så växlar kryssprodukten tecken om vektorerna byter plats. Detta ger oss den antikommutativa egenskapen: u v = v u (7) Determinantens egenskaper leder även fram till andra användbara räkneregler :: u (v + w) = u v + u w (8) (u + v) w = u w + v w (9) k(u v) = (ku) v = u (kv) (10) u 0 = 0 u = 0 (11) u u = 0 (12) u (v w) = (u w)v (u v)w (13) (u v) w = (u w)v (v w)u (14) u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 (15) Varför är kryssprodukten viktig? I tredimensionell geometri så kan man ofta ha nytta av kryssprodukten för att lösa olika problem. Låt oss titta på ett litet exempel på hur det kan se ut. Exempel 2. Bestäm avståndet mellan de två linjerna l 1 (s) = (1, 1, 2) s + ( 1, 1, 2) }{{} och l 2 (t) = (0, 1, 1) t + (2, 1, 1) }{{} u v Om man förbinder de båda linjerna med linjesegment så är det kortaste linjesegmentet sådant att det är vinkelrät mot båda linjerna. Detta innebär att vi kan hitta det avståndsminimerande linjesegmentets riktningsvektor genom att beräkna kryssprodukten av de båda linjernas riktningsvektorer: n = u v = ( 1, 1, 1) Bilda nu en skillnadsvektor mellan linjerna: a = (2, 1, 1) ( 1, 1, 2) = (3, 2, 1). Denna skillnadsvektor representerar ett linjesegment mellan de båda linjerna. För att få en vektor som realiserar det kortaste avståndet så behöver vi nu bara projicera denna skillnadsvektor på ovanstående kryssproduktvektor: b = proj n a = a n n = (2, 2, 2) n 2 Längden av denna projektion blir b = 2 3 så detta blir avståndet mellan de två linjerna. En naturlig föjldfråga är vilka punkter på linjerna som ligger närmast varandra. Att bestämma dessa kräver mer räkning som vi dock utlämnar eftersom det inte är nödvändigt för vårt problem. Kryssprodukten inom fysik Inom fysiken, speciellt inom mekanik och elektricitetslära så formuleras många fysikaliska samband med hjälp av tredimensionella vektorer och involverar ofta kryssprodukten. Exempel från mekaniken är moment och rörelsemängdsmoment M = F r, L = r p, där M är momentet,f en kraft och r hävarm. Rörelsemängdsmomentet L ges av lägesvektor r och rörelsemängd p. Rörelsmängd är i princip massa gånger hastighet. 5

Electricitetslärans teoretiska grund ligger i de så kallade Maxwells ekvationer: 5 D = ρ f B = 0 E = B t H = J f + D t I dessa ekvationer så är E = Elektriska fältet, D = Elektriska flödestätheten, H = Magnetfältet, B = Magnetiska flödestätheten och J f betecknar fria strömmen av laddningstäthet. = ( x, y, z ) är den så kallade nablaoperatorn och den är med i alla Maxwells ekvationer. Som ni ser så är varje komponent av nablaoperatorn en derivering vilket gör att Maxwells ekvationer är en sorts differentialekvationer. Det finns också en integralvariant av ekvationerna. 5 Dessa ekvationer är naturligtvis rätt avancerade och man behöver kunskaper från åtminstone flervariabelanalys och vektoranalys för att kunna jobba med ekvationerna. Genom förenklingar och approximationer kan man från maxwells ekvationer t.ex. härleda den klassiska Ohms lag från elkretstekniken. (U = I R). 6