S0007M Statistik2: Slumpmodeller och inferens. Inge Söderkvist

Relevanta dokument
F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT )

Introduktion till sannolikhetslära. Människor talar om sannolikheter :

TMS136. Föreläsning 2

Reliability analysis in engineering applications

TMS136. Föreläsning 1

Sannolikhetslära. Uppdaterad:

Föreläsning 1, Matematisk statistik Π + E

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1

Sannolikhetslära. 1 Enkel sannolikhet. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Sannolikhet och relativ frekvens. Marco Kuhlmann

Grundläggande matematisk statistik

1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori,

F3 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT ) För komplementhändelsen A till händelsen A gäller att

Kap 2: Några grundläggande begrepp

Matematisk statistik - Slumpens matematik

Föreläsning 1, Matematisk statistik för M

Föreläsning 1. Grundläggande begrepp

15.1 Mer om betingad sannolikhet

Matematisk statistik 9 hp för I, Pi, C, D och fysiker Föreläsning 1: Introduktion och Sannolikhet

Matematisk statistik 9hp för: C,D,I, Pi

Sannolikhetsbegreppet

Föreläsning 2. Kapitel 3, sid Sannolikhetsteori

Matematisk Statistik och Disktret Matematik, MVE051/MSG810, VT19

TMS136. Föreläsning 1

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07

händelsen som alltid inträffar. Den tomma mängden representerar händelsen som aldrig inträffar.

TMS136. Föreläsning 2

1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt , 2.5

Statistisk slutledning (statistisk inferens): Sannolikhetslära: GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSLÄRA. Med utgångspunkt från ett stickprov

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära

Kombinatorik och sannolikhetslära

Grundläggande matematisk statistik

Statistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen

Sannolikhetsteori. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 23/ /14

Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Sannolikhet och statistik. Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Utfall, Utfallsrummet, Händelse

TAMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp

Sannolikhetslära. 1 Grundläggande begrepp. 2 Likformiga sannolikhetsfördelningar. Marco Kuhlmann

Satsen om total sannolikhet och Bayes sats

Kolmogorovs Axiomsystem Kolmogorovs Axiomsystem Varje händelse A tilldelas ett tal : slh att A inträar Sannolikheten måste uppfylla vissa krav: Kolmog

14.1 Diskret sannolikhetslära

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGAD SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.

{ } { } En mängd är en samling objekt A = 0, 1. Ex: Mängder grundbegrepp 5 C. Olof M C = { 7, 1, 5} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe}

Statistik. Det finns tre sorters lögner: lögn, förbannad lögn och statistik

4.2.1 Binomialfördelning

SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende

4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler

FÖRELÄSNING 3:

Finansiell statistik, vt-05. Sannolikhetslära. Mängder En mängd är en samling element (objekt) 1, 2,, F2 Sannolikhetsteori. koppling till verkligheten

SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

Sannolikhetslära. 19 februari Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott?

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik

Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014).

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker. Matematisk statistik slumpens matematik. Tillämpningar för matematisk statistik.

Betingad sannolikhet och oberoende händelser

4.1 Grundläggande sannolikhetslära

Introföreläsning i S0001M, Matematisk statistik LP3 VT18

SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende

Introföreläsning i S0001M Matematisk statistik Läsperiod 2, HT 2018

S0005M. Stokastiska variabler. Notes. Notes. Notes. Stokastisk variabel (slumpvariabel) (eng: random variable) Mykola Shykula

Föreläsning 1: Introduktion

7-1 Sannolikhet. Namn:.

S0005M, Föreläsning 2

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M

SF1901: Övningshäfte

SF1911: Statistik för bioteknik

FMS012/MASB03: Matematisk statistik 9.0 hp för F+fysiker Föreläsning 1: Sannolikhet

STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, STATISTIK BETINGADE SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK. Tatjana Pavlenko.

13.1 Matematisk statistik

STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017

SOS HT Slumpvariabler Diskreta slumpvariabler Binomialfördelning. Sannolikhetsfunktion. Slumpförsök.

MATEMATIK ARBETSOMRÅDET LIKABEHANDLING Kränkande handlingar, nätmobbning, rasism och genus

Exempel: Väljarbarometern. Föreläsning 1: Introduktion. Om Väljarbarometern. Statistikens uppgift

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning

Dagens Teori. A) Försöket att kasta en tärning har sex utfall, vilka vi kan beteckna 1, 2, 3, 4, 5, 6. Utfallsrummet

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel

Grundläggande matematisk statistik

Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder

Svar till gamla tentamenstal på veckobladen

Aktiviteten, (Vad är mina chanser?), parvis, alla har allt material,

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Finansiell statistik, vt-05. Slumpvariabler, stokastiska variabler. Stokastiska variabler. F4 Diskreta variabler

Definition. Antag att 0. Sannolikheten för A om B har inträffat betecknas, kallas den betingade sannolikheten och beräknas enligt följande

3 Grundläggande sannolikhetsteori

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel

Föreläsning 1: Introduktion

STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1

Transkript:

Föreläsning 1 4.1 Slumpässighet 4.2 Sannolikhetsmodeller

Viktiga grundbegrepp Slumpmässig (eng: random) Ett fenomen är slumpmässigt om individuella resultat är osäkra, men resultat alltid förekommer med samma proportioner efter många upprepningar. (Ex: tärningskast) Sannolikhet (eng: probability) Sannolikheten för ett visst resultat kan definieras av andelen uppkomster av resultatet vid väldigt många upprepningar. (Relativa frekvensen)

Simulering, klave

Viktiga grundbegrepp forts... Utfallsrum (eng: sample space) Mängden, S, av alla möjliga utfall Händelse (eng: event) Ett utfall eller en mängd av utfall, d.v.s en delmängd av utfallsrummet. Disjunkta händelser Två händelser utan gemensamma utfall Oberoende händelser Två händelser är oberoende om sannolikheten att den ena inträffar inte påverkas av att den andra har inträffat eller inte.

Exempel utfallsrum 3 st kast mot basketkorgen. T=träff, M=miss S = {TTT, TTM, TMT, TMM, MTT, MTM, MMT, MMM} Hur många kast träffade? S = {0, 1, 2, 3}

Sannolikheter Sannolikhet Sannolikheten för en händelse A betecknas P(A) Om alla utfall är lika sannolika kan sannolikheten för händelsen beräknas med antal utfall i A P(A) = antal utfall i S

Regler för sannolikheter A och B är händelser. 1 0 P(A) 1 2 P(utfallsrummet) = 1 3 P(A C ) = 1 P(A), A C är komplementet till A, (icke A) 4 Om A och B är disjunkta så gäller P(A eller B) = P(A) + P(B) 5 Allmännt P(A eller B) = P(A) + P(B) -P(A och B) 6 Om A och B är oberoende så gäller P(A och B) = P(A)P(B)

Exempel tärningskast S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} U = {1, 3, 5}, L = {1, 2} U och L är ej disjunkta P(U) = 3/6, P(L) = 2/6, P(U och L) = P({1}) = 1/6 P(U eller L) = P({1, 2, 3, 5}) = P(U) + P(L) P(U och L) = = 3/6 + 2/6 1/6 = 4/6

Exempel två tärningskast Kasta två tärningar. Vad är sannolikheten att summan blir 5? Vad blir utfallsrummet (36 möjliga utfall)? Sannolikheten för varje utfall är 1/36. P(Summan blir 5) = P(1,4) + P(2,3) + P(3,2) + P(4,1) = 4 / 36 = 0.111

Exempel 1 Vid tillverkning av en viss typ av byggelement kan två slags fel, A och B, uppkomma hos de tillverkade enheterna. Man vet att P(A)=0.1, P(B)=0.2 och P(A och B)=0.05. Beräkna sannolikhet att en tillverkad enhet har a) Något fel, Svar: 0.25 b) felet A men inte felet B, Svar: 0.05 (Obs! A och B ej oberoende, Löses enkelt med Venndiagram) c) felet B men inte felet A, Svar :0.15 d) exakt ett av felen A och B. Svar: 0.2

Exempel 2 En manlig student i Luleå väljs ut slumpmässigt. Sannolikheten att han äger en mobil är 96%, sannolikheten att han äger en cykel är 70% och sannolikheten att han äger både en mobil och en cykel är 67%. Hur stor är sannolikhet att han varken äger en mobil eller en cykel? Ange ditt svar i procent utan decimaler. Lösning: Låt M vara en händelse att han äger en mobiltelefon, P(M)=0.96 Låt C vara en händelse att han äger en cykel, P(C)=0.7 Vi vet också att P(M och C)=0.67 P(att han varken äger en mobil eller en cykel) = 1 - P(M eller C) P(M eller C) = P(M) + P(C) - P(M och C) = 0.96 + 0.7-0.67 = 0.99 (alltså är sannoliheten 1-0.99 = 0.01) Svar: 1 (OBS! Så ska man skriva i MapleTA.)

Exempel 3 I en studie av antalet defekta glödlampor ska totalt 12 lampor provas. Du ska beräkna sannolikheterna för olika händelser. Ibland är det enklare att inte direkt ta sig av den händelse som ställs, utan det kan vara lättare att beräkna sannolikheten genom en omskrivning. Para ihop sannolikheterna med omskrivningarna. i) P(högst tio defekta lampor) ii) P(minst en defekt lampa) iii) P(minst två defekta lampor) Omskrivningar a) P(minst två hela) b) 1 - P(högst en defekt lampa) c) 1 - P(ingen defekt lampa) Svar : ii c; iii b; i a