Innehåll Vårt talsystem... 4 Heltal till och med en miljon... 4 Decimaltal... 5 Heltal upp till en miljard... 6 Heltal upp till en kvadriljon... 6 Räknesätten... 7 Addition och subtraktion... 7 Addition och multiplikation... 8 Multiplikation och division... 9 Termer... 10 Addition (+, plus )... 10 Subtraktion (-, minus )... 10 Multiplikation ( eller, gånger )... 10 Division (/ eller, delat med )... 10 Uppställning addition och subtraktion... 11 addition utan övergång... 11 addition med övergång... 12 subtraktion utan övergång... 13 subtraktion med övergång ej växling över noll... 14 subtraktion med övergång - växling över noll... 15 Multiplikation av flersiffriga tal... 16 Multiplikation av decimaltal... 19 Kort division... 20 Kort division utan växling... 20 Kort division med växling... 21 Kort division nämnaren är större än täljaren... 22 Vilket tal är störst vid multiplikation och division?... 23 Resultat av multiplikation och division... 23 Delbarhetsregler... 24 Bråk... 25 Bråkens namn... 25 Storleksordna bråk... 25 Blandad form och bråkform... 26 1
Addition och subtraktion av bråk... 27 Multiplikation och division av bråk med heltal.... 28 Multiplikation av bråk med bråk... 28 Division av bråk med bråk... 29 Förkorta och förlänga bråk... 31 Procent... 33 Räkna ut hur många procent något är... 33 Räkna ut hur mycket x % av något är... 33 Procentenheter... 34 Potenser, kvadrater och kvadratrötter... 34 Negativa tal... 35 Addition och subtraktion av negativa tal... 35 Multiplikation och division av negativa tal... 36 Avrundning och överslagsräkning... 37 Avrundning... 37 Överslagsräkning... 39 Primtal, faktorisering och primtalsfaktorisering... 40 Faktorisering... 40 Primtal... 40 Primtalsfaktorisering... 40 Ekvationer... 41 Utnyttja sambandet mellan räknesätten.... 41 Balansmetoden... 41 Enheter, prefix och enhetsomvandlingar... 42 Enheter... 42 Prefix... 46 Enhetsomvandlingar... 46 Geometri... 48 Plana figurer (tvådimensionella figurer)... 48 Vinklar... 50 Symmetri... 51 Area och omkrets... 52 Tredimensionella kroppar... 55 Beräkna volym... 56 2
Termer... 57 Korta sammanfattningar... 58 Räknesätten... 58 Addition och subtraktion... 58 Addition och multiplikation... 58 Multiplikation och division... 58 Termer... 59 Addition (+, plus )... 59 Subtraktion (-, minus )... 59 Multiplikation ( eller, gånger )... 59 Division (/ eller, delat med )... 59 Uppställning... 60 addition utan övergång... 60 addition med övergång... 60 subtraktion utan övergång... 60 subtraktion med övergång ej växling över noll... 60 subtraktion med övergång - växling över noll... 60 Delbarhetsregler... 61 3
ental tiotal hundratal tusental tiotusental hundratusental miljontal Vårt talsystem Heltal till och med en miljon Exempel: tjugofemtusen trehundraåtta 25 308 tre miljoner 3 000 000 femhundraåtta tusen 508 000 femhundraåttatusen elva 508 011 en miljon femhundraåttatusen trehundraåtta 1 508 308 en miljon femtioåttatusen trehundraåtta 1 058 308 en miljon åttatusen trehundraåtta 1 008 308 två miljoner trehundrafyrtiofemtusen tre 2 345 003 Kontrollera alltid genom att: 1) Läsa upp talet du skrev. Står det vad du tänkte? 2) Kontrollera att alla siffror står på rätt plats. I talet "fem miljoner åttatusen trehundrasex" ska åttan stå på tusentalsplatsen och femman på miljontalsplatsen. Gör de det? Kolla!! 4
hundratusendel tiotusendel tusendel hundradel tiondel ental tiotal hundratal tusental tiotusental Decimaltal, Exempel: tjugofem komma ett åtta tre = = tjugofem hela, en tiondel, åtta hundradelar och tre tusendelar = 25,183 läses ibland slarvigt tjugofem komma etthundraåttiotre "183" är då antal tusendelar - eftersom sista siffran är en tusendelssiffra. noll komma sex nio = sex tiondelar och nio hundradelar = 0,69 läses ibland slarvigt noll komma sextionio "69" är då antal hundradelar - eftersom sista siffran är en hundradelssiffra. 0,600 = 0,60 = 0,6 Den enda siffra som har ett värde större än noll är tiondelssiffran. Talets värde ändras inte för att vi lägger på nollor efteråt. Sexan förblir tiondelssiffra eftersom den fortfarande står på samma plats direkt efter kommat. Jämför med vad som händer med siffrornas värde om vi lägger till en nolla efter ett heltal, utan att sätta dit ett komma. För heltal blir alla siffror i talet värda tio gånger mer för varje nolla vi sätter dit, eftersom siffrorna flyttar fram ett steg i positionssystemet för varje nolla vi lägger på. 0,6 är ett större tal än 0,18 Varför? Jo, för 0,6 är sex tiondelar och 0,18 bara en tiondel och åtta hundradelar. 5
ental tiotal hundratal tusental tiotusental hundratusental miljontal tiomiljontal hundramiljontal miljardtal ental tiotal hundratal tusental tiotusental hundratusental miljontal tiomiljontal hundramiljontal miljardtal tiomiljardtal hundramiljardtal biljontal tiobiljontal hundrabiljontal tusenbiljontal tiotusenbiljontal hundratusenbiljontal miljonbiljontal tiomiljonbiljontal hundramiljonbiljontal miljardbiljontal tiomiljardbiljontal hundramiljardbiljontal Kvadriljontal Heltal upp till en miljard Exempel: en miljard trehundraåttiofem miljoner sexhundratrettioniotusen fyrahundraarton 1 385 639 418 en miljard trehundrafem miljoner sexhundratrettioniotusen fyrahundraarton 1 305 639 418 två miljarder åttiofem miljoner sexhundraniotusen fyrahundra arton 2 085 609 418 två miljarder fem miljoner niotusenåtta 2 005 009 008 fyra miljarder nittiofem 4 000 000 095 fyra miljarder tvåhundratremiljoner femtiotusensex 4 203 050 006 Heltal upp till en kvadriljon 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 x x = På engelska då? Tyvärr har olika språk inte samma namn för de stora talen. På engelska heter det så här: tiopotens svenska engelska (USA) 10 6 miljon million 10 9 miljard billion 10 12 biljon trillion 10 15 1000 biljoner quadrillion 10 24 kvadriljon --- På engelska är användningen dessutom olika i Storbritannien och USA, även om den amerikanske betydelsen blir vanligar. Sedan är det ju så att det är väldigt sällan man behöver tala om så stora tal. Det förekommer oftast inom olika vetenskaper och då använde man andra uttryck som ni kanske kommer att stöta på så småningom. Den som är road av dessa uttryck redan nu får säga till! 6
Räknesätten Addition och subtraktion Tänk dig att det ligger tre katter i en korg. Sedan kommer det dit två till. Då finns där fem katter. Det här kan du beskriva så här på mattespråk: 3 + 2 = 5 Det blir förstås lika många katter om vi tänker att vi har två katter som går omkring och stöter på de tre katterna i korgen. På mattespråk: 2 + 3 = 5 Men tänk nu att någon undrar hur många katter det fanns i korgen från början. Tja, det får du ju reda på om du tar bort de två som kom dit igen. På mattespråk: 5 2 = 3 Någon annan kanske vet att det var tre katter från början men undrar hur många som kom dit. Det måste ju vara det som blir kvar om man tar bort det som fanns från början. På mattespråk: 5 3 = 2 Du ser att talen 2, 3 och 5 hänger ihop. Du kan beskriva hur de hänger ihop på fyra olika sätt: 3 + 2 = 5 2 + 3 = 5 5 2 = 3 5 3 = 2 Det här kan man använda för att kontrollera om man räknat rätt. Att 362 111 = 251 kan du kontrollera genom att räkna ut 251 + 111. Det ska bli 362. Annars har du räknat fel någonstans. För följande ska ju gälla: 251 + 111 = 362 111 + 251 = 262 362 111 = 251 362 251 = 111 Du kan också använda det här för att lösa ekvationer. Om 367,45 + x = 576,99 så vet du att x = 576,99 367,45 (Eftersom x och 367,45 tillsammans blir 576,99 måste ju x vara det som blir kvar om du tar bort 367,45 från 576,99) 7
Addition och multiplikation Om jag ska addera samma tal flera gånger så skriver jag så här: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 För att slippa skriva så mycket kan jag i stället skriva så här: 8 3 Båda uttrycken betyder samma sak. I multiplikationsuttrycket talar det första talet om hur många av det andra talet jag ska addera. Alltså: 8 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 Jag ska addera åtta treor! Ritar jag det här som en bild så ser jag att jag får samma svar (24) om jag adderar tre åttor: 8 + 8 + 8 = 3 8 = 24 Jag kan addera antalet katter i varje rad tre gånger (8 + 8 + 8) eller addera antalet katter i varje kolumn 1 åtta gånger (3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3). Det är lika många katter på bilden hur jag än gör. Jag kan alltså alltid byta plats på talen i en multiplikation utan att svaret ändras. Jag kan också multiplicera en del av ett tal i taget, så här: 3 13 = 3 10 + 3 3 Du ser på figuren ovan hur det fungerar. Tre rader med tretton katter i varje är lika många katter som vi får om vi först tar 3 rader med 10 katter i varje (första rutan) och sedan lägger till 3 rader med 3 katter i varje. Det här har du bland annat nytta av att förstå när du ska multiplicera med 10, 100 och 1000! 1 en kolumn är en rad på höjden 8
Multiplikation och division Tänk dig att det ligger tre högar med två enkronor i varje på ett bord: 1 1 1 1 1 1 Totalt finns där då 3 2 = 6 enkronor Om vi i stället direkt ser att det är 6 enkronor på bordet och att det är tre högar undrar vi kanske hur många kronor det finns i varje hög. 2 Tja, då måste vi dela upp våra 6 kronor i tre högar. Vi måste dela 6 med 3 och det skriver 6/3 eller och i det här fallet vet vi ju att det är två. Alltså: 6/3 = 2 När vi delar upp det vi har i ett bestämt antal högar kallas det delningsdivision. Vi kanske i stället vet att det ligger två kronor i varje hög och undrar hur många högar det måste vara. Då delar vi 6 med 2 i stället och svaret blir 3 för vi behöver ta 2 enkronor 3 gånger för att få ihop 6 enkronor. Alltså: 6/2 = 3 När vi undrar hur många gånger ett visst antal behöver tas för att vi ska får det vi har kallas det innehållsdivision. Man kan säga att talet 6 innehåller tre 2:or. Med innehållsdivision blir det lätt att dividera med bråk också: Ett delat med en halv blir naturligtvis två, eftersom vi behöver två halvor för att få en hel. Du vet också att vi kan byta plats på talen vi multiplicerar, så precis som vid addition och subtraktion kan vi beskriva hur tre tal hänger ihop på fyra olika sätt även när det handlar om multiplikation och division: 2 3 = 6 3 2 = 6 6/2 = 3 6/3 = 2 Även här kan du använda de här sambanden för att kontroller att du räknat rätt. Om du får 42/2 till 21 ska 2 21 bli 42! Och du kan förstås också använda de här sambanden för att lösa ekvationer! 2 Det verkar kanske lite löjligt med de här talen, för det syns ju! Men tänk om du visste att det fanns 4023 kronor på bordet och någon hade delat upp de här pengarna i 3 högar. Då blir det inte lika självklart. (Eller det kanske du tycker? Det blir i alla fall 4023/3 kronor i varje hög.) 9
Termer Addition (+, plus ) Räknesättet heter addition. När vi räknar med addition adderar vi. Vi beräknar summan av de termer vi adderar. 3 + 5 = 8 term summa Subtraktion (-, minus ) Räknesättet heter subtraktion. När vi räknar med subtraktion subtraherar vi. Vi beräknar differensen mellan termerna. 8 5 = 3 term differens Multiplikation ( eller, gånger ) Räknesättet heter multiplikation. När vi räknar med multiplikation multiplicerar vi. Vi beräknar produkten av faktorerna. 3 8 = 24 faktor produkt Division (/ eller, delat med ) Räknesättet heter division. När vi räknar med division dividerar vi. Vi beräknar kvoten mellan täljaren och nämnaren. täljare nämnare kvot Minnesregel: täljaren står på taket, nämnaren står där nere 10
Uppställning addition och subtraktion addition utan övergång Exempel: 243 + 532 1. a. Ställ upp talen som ska adderas så att ental hamnar ovanför ental, tiotal ovanför tiotal o.s.v. b. Sätt också ut ett plustecken så att det syns vilket räknesätt du använder. c. Dra ett streck under alltsammans. Under strecket kommer du att skriva svaret. 2. a. Addera en talsort i taget. Börja med entalen och arbeta dig åt vänster. b. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver. 1) 2) 2 4 3 2 4 3 + 5 3 2 + 5 3 2 7 7 5 Kontrollera gärna ditt svar: Om du drar bort det du la till så ska du få kvar det du hade från början! Om du inte kan subtraktionsuppställning än kan du använda miniräknare för kontrollen! 11
addition med övergång Exempel: 567 + 785 1. Precis som vid uppställning utan övergång! 2. Även här räknar du en talsort i taget och börjar med entalen. Det du ska lära dig nu är vad du gör om du får en summa med två siffor. a. Redan vid entalen trasslar det sig. Du kan ju bara skriva en siffra i varje ruta och 5 + 7 blir ju 12. Då gör du så här: i. skriv entalssiffran (2) i rutan för ental. ii. Tiotalssiffran skriver du i stället ovanför de tiotalssiffror som redan står i talet. Du får sedan räkna med den när du lägger ihop de andra tiotalen. b. Tiotalen blir alltså 1 + 6 + 8 = 15. Alltså 5 tiotal och ett hundratal. Femman skriver du under tiotalen och ettan över hundratalen du redan hade. Den ska ju läggas ihop med dem sedan. c. Nu räknar du hundratalen och får 1 + 5 + 7 = 13, alltså 3 hundratal och 1 tusental. Nu finns det ju inget mer att räkna ihop så du skriver trean under hundratalen och ettan tillvänster om hundratalssiffran, på tusentalsplatsen. d. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver. 1) 2) 1 1 5 6 7 5 6 7 + 7 8 5 + 7 8 5 1 3 5 2 Kontrollera gärna ditt svar: Om du drar bort det du la till så ska du få kvar det du hade från början!! Om du inte kan subtraktionsuppställning än kan du använda miniräknare för kontrollen! 12
subtraktion utan övergång Exempel: 543-231 1. a. Ställ upp talen som ska subtraheras så att ental hamnar ovanför ental, tiotal ovanför tiotal o.s.v. Det största talet ska stå överst. b. Sätt också ut ett minustecken så att det syns vilket räknesätt du använder. c. Dra ett streck under alltsammans. Under strecket kommer du att skriva svaret. 2. a. Subtrahera en talsort i taget. Börja med entalen och arbeta dig åt vänster. Tänk på att du alltid tar den övre siffran minus den undre! b. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver. 1) 2) 5 4 3 5 4 3-2 3 1-2 3 1 3 1 2 Kontrollera gärna ditt svar! Det du dragit bort + det du fick kvar ska bli det största talet du hade från början! 13
subtraktion med övergång ej växling över noll Exempel: 523-347 1. Precis som vid uppställning utan övergång! 2. Även här räknar du en talsort i taget och börjar med entalen. Det du ska lära dig nu är vad du gör om den nedre siffran är störst. a. Redan vid entalen trasslar det sig. Du ska ju ta den övre siffran minus den nedre. I det här fallet 3 7. Men sju är ju större än tre! Vad göra? i. Du måste växla in ett av dina tiotal till 10 ental. Stryk ett streck över den övre tiotalssiffran för att markera att du knyckt en av dem. ii. Skriv sedan 10 ovanför entalssiffrorna. Nu har du 13 ental och 13 7 = 6. iii. Skriv dit sexan på entalsplatsen under strecket. b. Nu skulle du räknat ut 2 4, men du har ju växlat in ett av tiotalen i det övre talet. Alltså har du bara 1 kvar. Men 1 4 är inte direkt bättre! i. Nu måste du växla in ett av dina hundratal till 10 tiotal. Stryck ett streck över den övre hundratalssiffran för att markera att du knyckt en av dem. ii. Skriv sedan 10 ovanför tiotalssiffrorna. Nu har du 11 tiotal och 11 4 = 7. iii. Skriv dit sjuan på tiotalsplatsen under strecket. c. Nu har du fyra hundratal kvar, eftersom du växlat in ett av dem. Räkna ut 4 3 = 1 och skriv ettan på hundratalsplatsen under strecket. d. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver. 1) 2) 10 10 5 2 3 5 2 3-3 4 7-3 4 7 1 7 6 Kontrollera gärna ditt svar! Det du dragit bort + det du fick kvar ska bli det största talet du hade från början! 14
subtraktion med övergång - växling över noll Exempel: 503 347 1. Precis som vid uppställning utan övergång! 2. Även här räknar du en talsort i taget och börjar med entalen. Det du ska lära dig nu är vad du gör om det t.ex. inte finns några tiotal när du skall växla till dig fler ental. a. Enda skillnaden är att du då måste växla till dig tiotal från hundratalen innan du kan växla till dig ental. i. Du måste växla in ett av dina tiotal till 10 ental. Men det går ju inte Det finns inga! ii. Växla då till dig 10 tiotal genom att växla in ett hundratal. Stryk ett streck över hundratalssiffran som vanligt. iii. Nu kan du växla till dig 10 ental. Då stryker du ett streck över tian ovanför tiotalen för att visa att du knyckt en av dem. iv. Nu kan du räkna ut 13 7 = 6 och skriva sexan på rätt plats. b. Nu har du redan 9 tiotal att dra bort fyra från. Räkna ut 9 4 = 5 och skriv femman på rätt plats (tiotalsplatsen under strecket). c. Nu har du fyra hundratal kvar, eftersom du växlat in ett av dem. Räkna ut 4 3 = 1 och skriv ettan på hundratalsplatsen under strecket. d. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver. 1) 2) 10 10 5 0 3 5 0 3-3 4 7-3 4 7 1 5 6 Kontrollera gärna ditt svar! Det du dragit bort + det du fick kvar ska bli det största talet du hade från början! 15
Multiplikation av flersiffriga tal Titta på multiplikationen 15 23 Vi kan skriva om den som upprepad addition: 15 23 = 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 Ganska tråkigt och omständligt Vi kan rita en bild av den: Tja, att rita en sådan här bild är väl heller inte något du vill göra varje gång du ska multiplicera. Men det är kanske bra att göra någon gång, för att se vad det är du egentligen gör. Om vi ska utföra multiplikationen 15 23 kan vi göra på olika sätt. Vi kan räkna med mellanled på olika sätt och vi kan använda uppställning. Vi ska börja med att räkna med mellanled med hjälp av distributiva lagen för multiplikation. Den räknelag som säger att t.ex. 4 12 = 4 (10 + 2) = 4 10 + 4 2 Hur tillämpar vi det på 15 23? Vi tar vår figur igen och delar den i två delar. Nu se vi att 15 23 = 15 20 + 15 3 Här är det ju ganska enkelt att se att 15 20 + 15 3 = 300 + 45 = 345. Hade vi haft större tal att jobba med hade vi kanske behövt göra en uppdelning till: 15 20 15 3 15 20 + 15 3 = = 10 20 + 5 20 + 10 3 + 5 3 = = 200 + 100 + 30 + 15 = 300 + 45 = 345 10 20 10 3 5 20 16 5 3
Vi använder alltså distributiva lagen 3 och delar upp vår multiplikation i delar, tills dessa är så enkla att vi kan räkna dem i huvudet. Hela beräkningen ovan kan skrivas som nedan: 15 23 = = 15 20 + 15 3 = = 10 20 + 5 20 + 10 3 + 5 3 = = 200 + 100 + 30 + 15 = = 300 + 45 = 345 10 20 5 20 10 3 5 3 Problemet kan också lösas med hjälp av en tabell: Skriv den multiplikation du ska beräkna i rutan högst upp till vänster Dela upp den andra faktorn i talsorter i den översta raden och den första i första kolumnen För varje ruta i mitten skriver du produkten av det tal som står överst och det tal som står till vänster. Jämför med bilderna du använde ovan! Addera dina delprodukter och skriv de summor du får i den nedersta raden. Addera talen i raden längst ned och skriv svaret på din multiplikation längst ner till höger. 15 23 20 3 10 200 30 5 100 15 300 45 345 Det här fungerar även med ännu större tal: 305 243 200 40 3 300 60 000 12 000 900 0 0 0 0 5 1000 200 15 61 000 12 200 915 74 115 1 61 000 eller 61 000 + 12 200 + 915 = 73 000 + 1 115 = 74 115 12 200 + 915 74 115 Om additionen längst ner blir svår att göra i huvudet gör du den skriftligt! 3 Distributiva lagen säger att vi kan dela upp en multiplikation och addera delresultaten, t.ex. 2 x 13 = 2 x 10 + 2 x 3 17
Uppställning- multiplikation Om vi ska lösa samma multiplikation med uppställning blir det så här: 23 15 1 5 Börja med att multiplicera 5 3. Det blir 15. I den bild vi använde tidigare är detta prickarna längst ned till höger. Längst till höger i vår uppställning står ju entalen. I den produkt vi nyss räknade ut är 5 entalssiffra. Därför skriver du den under siffrorna längst till höger. Tiotalssiffran kan du inte skriva in på rätt plats ännu. Du kommer ju att få fler tiotal när du multiplicerar 5 och 2 (som egentligen är 5 och 20). Skriv därför ettan som minnessiffra någonstans. 23 15 1 115 Nu ska du multiplicera femman med tvåan i översta raden. Det innebär att du ska ta fem ental gånger två tiotal, alltså 5 20, rutan nedtill tillvänster i vår bild. 5 20 är 100 eller om du vill, 5 två tiotal är 10 tiotal. Nu måste du lägga till det tiotal du redan hade. 10 + 1 = 11. Stryk ettan du hade skrivit upp som minnessiffra. Tiotalssiffrorna ska ju stå på andra platsen bakifrån. Du kan skriva dit den sista ettan från dina 11 tiotal. De 10 tiotal som då blir över är ju ett hundratal. Eftersom du inte har fler siffror som ska multipliceras med fem behöver du inte skriva någon minnessiffra utan kan direkt skriva den ettan på hundratalsplatsen tredje platsen bakifrån. 23 15 1 115 3 Nu har du gjort de multiplikationer du ska med femman. Det motsvarar summan av alla prickar i den nedre halvan av bilden vi använde ovan. Nu ska vi räkna ut summan av alla prickar i den över halvan, d.v.s. 10 23. Vi börjar med att räkna ut det finns i det översta högra hörnet. Vi förenklar genom att först tänka 1 3 = 3. Egentligen är det ju 1 tiotal vi multiplicerar med 3, så den trea vi får som produkt är ju 3 tiotal = 30. Alltså skriver vi in den på tiotalsplatsen på raden under 115. Här fick vi inga hundratal som behöver skrivas i minnet. 23 15 1 115 23 Då har vi en produkt kvar att beräkna. 1 tiotal gånger 2 tiotal (10 20) = 20 tiotal = 2 hundratal eller 200. Vi skriver en tvåa på hundratalsplatsen. Vi har nu räknat ut hur många prickar det finns i den övre vänstra halvan av vår figur. 23 15 1 115 +23. 345 Då återstår bara att summera våra delprodukter. Vi räknar som vanlig addition. Att 23 är betyder 230 beror ju på att vi har bestämt var de olika talsorterna ska skrivas. Vi vet att tvåan i 23 är en hundratalssiffra. Observera att det inte spelar någon roll vilken plats faktorernas står på i förhållande till varandra vid uppställning! Man brukar sätta de sista siffrorna under varandra oberoende av talsort. Däremot är det viktigt att talsorterna står på rätt plats i dina delprodukter, som sedan ska adderas. 18
Multiplikation av decimaltal Det finns olika metoder du kan använda när du ska multiplicera decimaltal. Några ska du få komma på själv så småningom, med hjälp av lite olika frågor. Just nu ska du bara lära dig ett sätt att tänka på som du i princip alltid kan använda. Kom ihåg det här: 1. Multiplikation med decimaltal, allmänt = 0,4 Du ser ovan att det är samma sak att dividera med 10 som att multiplicera med en tiondel. Du kan skriva 45,6 49,4 som 456 0,1 494 0,1 = 456 494 0,1 0,1 = 456 494 0,1/10 = = 456 494 0,01 Kan du det här kan du alltid avgöra var decimalen ska stå i en produkt av två decimaltal. 2. Börja med överslagsräkning! Om du ska räkna ut lite krångligare produkter är det bra att börja med överslagsräkning: 0,467 23,865 0,5 24 = 12. Ditt svar ska alltså bli ungefär 12. Nu kan du t.ex. använda uppställning. Skriv dit dina faktorer med komman o.s.v.. När du räknar låtsas du dock inte om att där står några kommatecken. 23,865 0,467 3462 3352 2231 167 055 1 431 90 + 9 546 0 11 144 955 Notera! Minnessiffrorna vid additionen av delprodukterna är inte utskrivna. Var ska nu kommat skrivas? Jo, eftersom vi vet att produkten är ungefär 12 ska det skrivas efter den andra ettan. Svaret blir 11,144 955. Den här metoden kan du använda även om du t.ex. använder tabellmetoden för att multiplicera. Om du t.ex. ska multiplicera 3,45 med 4,08 så börjar du med att göra ett överslag: 3,45 4,08 3,5 4 = 7 2 = 14. Använd tabellmetoden för att beräkna 345 408. Du får produkten 140760 Eftersom du vet att den produkt du söker ska vara ungefär 14 vet du då att 3,45 4,08 = 14,0760 19
Kort division Kort division utan växling Vid kort division delar du upp en talsort i taget. Exempel: 639/3 Vi kan skriva om den här divisionen som 600/3 + 30/3 + 9/3 = 200 + 10 + 3 = 213 Det blir dock onödigt mycket att skriva. I stället tittar vi på en siffra en talsort i taget, men skriver bara ut kvoten: Vi börjar med att titta på hundradelssiffran; Vi får 6/3. 3 går 2 gånger i tre, så i kvoten skriver vi en tvåa på hundratalsplatsen. Sedan tittar vi på tiotalen. Vi får 3/3 och eftersom 3 går en gång i 3 får vi i kvoten en etta på tiotalsplatsen. Till sist tar vi entalen; 9/3 = 3 och vi får en trea på entalsplatsen. 20
Kort division med växling Ibland går inte varje talsort jämt upp när man arbetar med kort division. Då får man växla även här: Exempel: 525/3 Vi börjar med att dela upp hundratalen; 5/3. 3 går 1 gång i 5 men då får vi två hundratal över. De hundratalen får vi växla in till 20 tiotal. Vi visar att vi gör det genom att skriva en liten två snett ovanför tvåan på tiotalsplatsen. Ettan skriver vi efter likhetstecknet. Vi vet att det är en hundratalssiffra eftersom det var 5 hundratal vi skulle dela upp. 2 Nu delar vi upp tiotalen. Vi har 22 tiotal. 3 går 7 gånger i 22 eftersom 3 x 7 = 21. Men vi får 1 tiotal över. Det växlar vi in till 10 tiotal och visar det genom att skriva en liten etta snett ovanför femman på entalsplatsen. Sjuan skriver vi tiotalsplatsen efter likhetstecknet. 2 1 Nu har vi bara entalen kvar. Vi har 15 ental. 3 går 5 gånger i 15 eftersom 3 x 5 = 15. Nu gick det jämt upp! 2 1 Du kan kontrollera att du räknat rätt genom att multiplicera kvoten med nämnaren. Då ska du få täljaren: 3 x 175 = 300 + 210 + 15 = 525. OK! Stämmer! 21
Kort division nämnaren är större än täljaren Vi vill beräkna 3/11 med tre decimaler. Då måste vi räkna ut fyra decimaler för att kunna avrunda riktigt. För att hålla rätt på platserna skriver jag ut positionerna för decimalerna. 3 3,0000 = 0, Vi kan också skriva = 0, Decimalerna ändrar inte talets värde, de 11 11 hjälper oss att hålla koll på tiondelar och hundradelar senare i beräkningarna Vi kan ju direkt se att kvoten blir mindre än ett. Vi behöver inte ens en hel elva för att få tre. Tre är ju bara en del av elva. Men vad skall vi skriva då? Vi kan inte skriva hur många gånger 11 går i 3 ental. Men vi kan växla in våra tre ental till 30 tiondelar. Vi markerar att vi gör det genom att skriva de ental vi växlar in snett framför tiondelssiffran. Vi ser att 11 går 2 gånger i 30. 2 gånger 11 är 22. Men det blir 8 tiondelar kvar (30 22 = 8). 3, 3 0 0,2 _ 11 Nu växlar vi in de 8 tiondelar vi får över till 80 hundradelar. 11 går 7 gånger i 80. 11 gånger 7 är 77. Vi får 3 hundradelar i rest (80 77 = 3). 3 8 3, 0 0 0,27 11 Dessa tre hundradelar växlar vi in till 3 tusendelar. Tja, 11 gick två gånger i 30 tiondelar. 11 går två gånger i 30 hundradelar också. Och vi får förstås resten 8 nu också. Och nästa gång kommer 11 att gå 7 gånger och resten att blir tre o.s.v. 3/11 är alltså lika med 0,2727272727 Med tre decimaler blir svaret 0,273. Hade vi inte fått samma rest så snabbt hade vi fått fortsätta på samma sätt som innan. 22
Vilket tal är störst vid multiplikation och division? Resultat av multiplikation och division Multiplikation av tal större än ett brukar inte vålla några problem. Om det ena talet däremot är mindre än ett vad händer då? Under multiplikation av decimaltal kan du läsa om att man multiplicerar med 0,4 får man samma produkt som om man först multiplicerar med 4 och sedan delar med tio. Man kan också, om man multiplicerar ett tal med ett tal mindre än ett, se det som att man tar en del av det andra talet 4. Multiplicerar man ett tal med 0,89 tar man 89 hundradelar av talet som multipliceras. Man kan säga 8 tiondelar och 9 hundradelar om man så vill. Multiplicerar man med 2,5 tar man 2 hela och 5 tiondelar eller 25 tiondelar, alltså två hela plus hälften av det tal man multiplicerar. Ju mindre talet man multiplicerar med är, desto mindre blir produkten. Produkten blir också alltid mindre än den faktor som multipliceras med decimaltalet. Ex: 0,8 x 2 = 1,6 en tiondel av 2 är 0,2. Åtta tiondelar av 2 är 8 x 0,2 = 1,6 och 1,6 < 2. Division med tal större än ett brukar också gå bra. Om man däremot skall dividera med tal mindre än ett måste man fundera lite över vad division innebär. Vi tittar på ett exempel: Ex: 5 x 2 = 10 Vi kan också skriva 10/2 = 5 Det senare kan vi se som att vi delar upp 10 i två högar. Då får vi 5 i varje hög. Men vi kan också se det som att 2 går 5 gånger i 10. Vi kan ta två fem gånger och få 10. Division och multiplikation är varandras motsatser! Om vi multiplicerar en kvot med nämnaren får man täljaren. Vi tittar på nästa exempel: Ex: Vad blir 1/0,2? Vi kan lösa uppgiften genom att fråga oss Vad skall vi multiplicera 0,2 med för att det skall bli 1? Vi undrar alltså hur många gånger 0,2 går i 1. Tja, 5 x 0,2 är 1 så svaret är alltså 5. Skall vi nu, utan att räkna ut svaret, se vilken kvot som är störst får vi tänka på att ju större nämnaren är, desto färre gånger går den i täljaren. Om täljaren är den samma måste vi multiplicera nämnaren med ett mindre tal om nämnaren är större. Ju mindre täljaren är, desto större kvot! Tänk också på att kvoten alltid blir större än täljaren när man dividerar med ett tal mindre än noll. Ex: 2/0,4 > 2/0,5 (2/0,4 = 5, 2/0,5 = 4) Om nämnaren är = 1 blir kvoten alltid lika med täljaren. Om nämnaren är större än 1 blir kvoten alltid mindre än täljaren. Om nämnaren är mindre än 1 blir kvoten alltid större än täljaren. Övertyga dig själv om det riktiga i ovanstående exempel genom att titta på några enkla exempel som du hittar på själv! Om du inte lyckas: Be din lärare om hjälp i skolan! 4 Vissa pedagoger gillar inte det sättet, men jag har pratat med flera matematiker som tycker att det är helt OK. 23
Delbarhetsregler När vi pratar om delbarhet handlar det alltid om heltal. Ett tal är delbart med ett annat om kvoten blir ett heltal. Exempel: 10 är delbart med 2 för kvoten mellan 10 och 2 är 5 och 5 är ett heltal 5 är inte delbart med 2 för kvoten mellan 5 och 2 är 2,5 och 2,5 är inte ett heltal. Du kan undersöka om ett tal är delbart med ett annat genom att prova att dela dem i huvudet, med någon skriftlig metod eller med miniräknare. Ofta behöver du dock inte göra det. För vissa tal kan man enkelt se om ett tal är delbara med dem eller inte. Det finns regler som beskriver hur du ser det. Det här är de enklaste delbarhetsreglerna: Alla tal som slutar på en jämn siffra är delbara med 2 de är jämna tal. Alla tal som slutar på fem eller noll är delbara med 5. Alla tal som slutar på noll är delbara med 10. För att kunna använda några andra delbarhetsregler måste du veta vad siffersumman för ett tal är. Siffersumman för ett visst tal (heltal!) räknar du ut genom att addera de siffror som bygger upp talet. Exempel: 478 har siffersumman 4 + 7 + 8 = 19 19 har siffersumman 1 + 9 = 10 315 har siffersumman 3 + 1 + 5 = 9 Nu kan du lära dig några fler delbarhetsregler: Alla tal vars siffersumma är delbar med tre är delbara med 3. Alla jämna tal vars siffersumma är delbar med tre är delbara med 6. Alla tal vars siffersumma är delbar med nio är delbara med 9. Om du vill veta om ett tal är delbart med fyra får du dela med två först. Om då kvoten också är delbar med två så är talet delbart med 4. Kan du dela med två ytterligare en gång var ditt första tal delbart med 8 också. När det gäller sju finns det inga regler. Du får prova dig fram. Observera att om ett tal är delbart med något jämnt tal är det också delbart med två: Ex: 88 = 8 11 men två är en faktor i 8 (2 4) så då kan jag skriva 2 4 11 = 2 44 också. Samma sak gäller för tal i treans tabell är ett tal t.ex. delbart med 6 är det också delbart med 3. Ex: 72 = 6 12 = 3 2 12 = 3 24 24
Bråk För att förstå den här texten behöver du veta vad täljare och nämnare är. Om du inte är säker: titta på termer under räknesätt! Bråk kan användas för att ange t.ex. hur stor del av en sak eller en mängd saker man pratar om. Bråket tre sjundedelar betyder lika stor del av något, som tre delar av något som har delats i sju lika stora delar eller grupper: Bråket tre sjundedelar kan skrivas så här på mattespråk: eller 3/7 Nämnaren, alltså sjuan i det här fallet, talar om hur många bitar eller delar som är en hel eller alltihop. Det blir lite som en enhet som talar om vilkens sorts bitar vi pratar om. Är det fjärdelar eller femtedelar, eller vad är det? Lite som vi vill veta vilken valuta vi pratar om när vi pratar om pengar. Är det kronor eller dollar eller?? Täljaren, alltså trean i det här fallet, talar om hur många sådana bitar eller delar vi pratar om. Bråk som förhållande Du kan också stöta på bråk när man anger förhållande mellan mängder. Tittar du på en flaska saft brukar man ange hur saften ska spädas på det sättet. Saften kanske ska spädas 1:4. Det betyder att du ska ha en del saft till fyra delar vatten. Du får totalt fem delar vätska. En av dem är saft och du får alltså 1/5 saft. Ett vanligt bråk (1/5 ovan) heter fraction på engelska. När man anger förhållanden (1:4 ovan) heter det ratio på engelska. Bråkens namn ½ = en halv, därefter blir det mer logiskt. Vi har tredjedelar, fjärdedelar, femtedelar, sjättedelar, sjundedelar, åttondelar, niondelar, tiondelar, elftedelar, tolftedelar, trettondelar o.s.v. Storleksordna bråk ¼ av en stor sak är förstås mer än ¼ av en liten sak, men när man storleksordnar bråk pratar man alltid om så stor del av samma sak eller samma antal saker. Nämnaren lika Om alla bråk har samma nämnare är det jättelätt att storleksorda bråk. Är nämnarna lika är det ju samma sorts bitar vi pratar om. De är lika stora. Då är bråket förstås större om vi har fler bitar; 3/7 av något är mindre än 4/7. 3/7 < 4/7 i ord: tre sjundedelar är mindre än fyra sjundedelar 25
Täljaren lika Om alla bråk har samma täljare är det också ganska enkelt. Då har vi ju lika många bitar. Då är det bitarnas storlek som avgör. Är nämnaren liten blir det få men stora bitar. Är nämnaren stor blir det många men små bitar. Vi får ju t.ex. mindre tårtbitar om vi är många som delar på en tårta. 3/10 är alltså mindre än 3/6. 3/10 < 3/6 I ord: tre tiondelar är mindre än tre sjättedelar Jämför med kända bråk Om både täljare och nämnare får man ta till andra knep. Man kan börja med att titta på om det finns bråk som är större än ett de kommer förstås att vara större än de som är mindre än ett. Alla bråk där täljaren är lika med nämnaren är exakt ett (eftersom vi då har tagit alla bitar av den hela) Alla bråk som där täljaren är större än nämnaren är större än ett. Vi kan också så om det är några bråk som är exakt en halv, eller större eller mindre än en halv. Om täljaren är precis hälften av nämnaren är bråket exakt en halv. Är täljaren mindre än så är bråket mindre än en halv, är den större är det större än en halv. Det går förstås att göra så med fler bråk; är täljaren en tredjedel av nämnaren är bråket exakt en tredjedel, är den mindre är den mindre än en tredjedel o.s.v. Hur mycket mindre än? Det finns lite andra sätt man också kan prova. Du kan tänka ut en del själv. Du får ett exempel till här: Bråk som 8/9, 7/8 och 6/7 kan du storleksordna genom att titta på hur mycket det fattas till en hel. I det första fallet fattas 1/9, i det andra 1/8 och i det tredje 1/7. 8/9 är alltså störst och 6/7 minst. Omvandla till decimalform Om man inte lyckas storleksordna bråken på något annat sätt kan man alltid omvandla dem till decimalform först. Skall du t.ex. omvandla 3/7 till decimalform dividerar du helt enkelt 3 med 7. Vet du inte hur man gör det; titta på avsnittet om kort division! OBS! Tänk på att om nämnaren är 10, 100, 1000 eller likanande är det bara att skriva in täljaren på rätt plats i positionssystemet! 37/10 måste t.ex. vara 3,7: 37/10 = 30/10 + 7/10 = 3 + 7/10 Blandad form och bråkform Alla heltal kan förstås skrivas som bråk. 1 = 7/7 = 14/14 = 197/197 eller vad du nu vill. Har du alla bitar eller grupper har du en hel. Har du dubbelt så många som i en hel har du två; 2 = 14/7 = 200/100 = 57/57 o.s.v. Alla bråk som är större än 1 kan skrivas både i bråkform alltså bara som ett bråk, t.ex. 14/5 eller i blandad form alltså med de hela delarna för sig och det som inte räcker till en till hel för sig, det sistnämnda då i bråkform. 5 går ju 2 hela gånger i 14, och så får vi 4 femtedelar över. 14/5 blir alltså 2 4/5 i blandad form. Det kan också skrivas så här: 26
Addition och subtraktion av bråk Addition och subtraktion av bråk är enkelt. Det gäller bara att komma ihåg att nämnaren bara är en sort. Du kan bara addera eller subtrahera bråk med samma nämnare, alltså bråk av samma sort. Ett bra knep är att använda ord: två fjärdedelar + en fjärdedel är förstås tre fjärdedelar! Och fem sjundedelar två sjundedelar är förstås tre sjundedelar. 2/4 + 1/4 = ¾ 5/7 2/7 = 3/7 Om man ska addera bråken 2/3 och 2/6 måste man först göra om dem så de får samma nämnare. Se förkorta och förlänga bråk! 27
Multiplikation och division av bråk med heltal. Att multiplicera ett bråk med ett heltal eller tvärt om är också lätt. Du vet att 4 1/3 = 1/3 4 eftersom ordningen inte spelar någon roll vid multiplikation. Multiplikation med heltal kan ju skrivas om som upprepad addition och då ser vi att 4 1/3 = 1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3 = (4 1)/3 = 4/3 Eller Du multiplicerar alltså bara täljaren med heltalet i fråga. Det blir på samma sätt med division. Du delar täljaren med heltalet i fråga: (6/7)/3 = (6/3)/7 = 2/7 Tänk att tre personer ska dela på sex sjundedelar. Då får de 6/3 sjundedelar var, alltså 2 sjundedelar. Multiplikation av bråk med bråk Titta på multiplikationen ½ x ¾ Som vid multiplikation med decimaltal mindre än noll kan vi betrakta detta som att man tar en viss del av den andra faktorn. Här tar vi hälften av ¾. Det får vi t.ex. om vi tar hälften så stora bitar men lika många: 3/8. Titta nu på 2/3 x ¾ Vi kan betrakta detta som att vi tar 2/3 av ¾. Skall vi ha 1/3 av ¾ får vi ta bitar som är en tredjedel så stora. Vi måste dela varje fjärdedel i 4 bitar. Vi får tolftedelar. 3 x 4 = 12. Totalt får vi 3/12. Skall vi ha 2/3 av ¾ måste vi ta 2 sådana bitar. Alltså 6/12. Vad är det alltså vi gör? Jo, först delar vi det vi har (den andra faktorn) i mindre bitar. Skall vi ha ett visst antal tredjedelar av den andra faktorn måste varje bit i den delas upp i tre bitar. Då får vi totalt så många bitar som produkten av nämnare 1 och nämnare 2. Sedan räknar vi efter hur många bitar vi skall ha av de nya bitarna. Det är produkten av täljare 1 och täljare 2. Alltså: Vid multiplikation av två bråk multipliceras täljare med täljare och nämnare med nämnare. Exempel: 2/3 x ¾ = (2x3)/(3x4) = 6/12 Kan förkortas med 6 till ½. Prova att rita en bild så ser du att detta exempel stämmer. ¾ av ett varv på en cirkel är t.ex. tre av de fyra kvartar man kan dela in cirkeln i. En tredjedel av tre stycken kvartar är en kvart. Två sådana är ett halvt varv. 28
Division av bråk med bråk Innehållsdivision Väldigt många bråkdivisioner kan du lösa genom att tänka innehållsdivision. Exempel 1: eftersom - det behövs två halvor för att få en hel. Exempel 2: eftersom I exempel två ser du att om du har samma nämnare behöver du ju bara dividera det första talets täljare med de andra talets täljare. Nämnaren är ju bara en sort som talar om vad det är för sorts delar vi jobbar med. Ibland är det ju rätt enkelt att tänka innehållsdivision utan att nämnarna är lika. Du bör t.ex. veta att det går två fjärdedelar på en halv, så en halv delat med en fjärdedel måste alltså vara två. Om det inte är så uppenbart som i de här fallen kan du alltid göra bråken liknämniga genom att förkorta eller förlänga som när du adderar eller subtraherar bråk. Då kan du tänka som ovan igen. 29
Allmän metod för division av bråk Det finns en allmän metod som man kan använda när man dividerar bråk. Den bygger på det här: Tänk dig att du ska utföra divisionen. Du ska göra dem liknämniga. Båda nämnarna är primtal, så du kan inte förkorta utan måste förlänga. När nämnarna är lika innehåller de exakt samma primfaktorer. Eftersom de inte har några gemensamma primfaktorer nu och båda är primtal är alltså de enklaste bråken med gemensam nämnare du kan hitta de du får om du förlänger varje bråk med det andra bråkets nämnare : och Nu kan du skriva divisionen så här i stället: I avsnittet om innehållsdivision av bråk konstaterade vi att om nämnarna är lika behöver vi bara dividera täljarna med varandra. Vi får alltså kvoten 33/14. Skriver vi upp allt vi gjort ovan i ett svep blir det så här: Titta på det här lite noggrannare - varifrån kommer 33 och 14? Vi får dem när vi förlänger bråken och vi ser att 33 = täljaren i bråk 1 x nämnaren i bråk 2 och 14 = nämnaren i bråk 1 x täljaren i bråk 2 Det här kan användas vid alla bråkdivisioner. För alla bråk gäller följande (a, b, c och d är vilka heltal som helst som är större än 0). 30
Förkorta och förlänga bråk Förkorta Tänk dig en chokladkaka med 24 rutor. Om du tar åtta av de rutorna har du ju tagit 8/24 av hela kakan. Men du har också tagit två rader av åtta - alltså 2/6. Eller så kan du dela kakan i tre bitar som består av två rader var. Då har du tagit en av tre bitar alltså 1/3. Att skriva ett om ett bråk så att det blir mindre tal i täljare och nämnare kallas att förkorta bråket. Hur gör man det där på mattevis då? Tja, om du går från att titta på bitar till att titta på rader så får blir det ju som att du slår ihop bitarna fyra och fyra du delar upp dem i grupper med fyra bitar i varje. Då får du ju 24/4 = 6 grupper (innehållsdivision!), alltså en fjärdedel så många grupper. Du måste alltså dela nämnaren med 4! Men de bitar hade tagit slås ju också ihop fyra och fyra alltså måste täljaren också delas med 4! Går du från rader till de större bitarna med två rader i varje så slår du ihop raderna två och två. Då får du dela både täljare och nämnare med två: Du kunde också ha slagit ihop bitarna åtta och åtta från början: Du kan fortsätta så länge det finns något tal som det går att dela både täljare och nämnare med. När det inte finns det längre har du förkortat bråket så långt det går. Alltså: Om du delar både täljare och nämnare med samma tal är bråket fortfarande värt lika mycket. 31
Förlänga I stället för att slå ihop bitar i grupper kan du förstås dela upp grupper i mindre bitar. Om du från början delar chokladkakan i tre bitar och tar en av dem 1/3 kan du ju dela upp varje bit i t.ex. åtta bitar. Då får du åtta gånger så många bitar totalt sett (nämnaren) och de du ätit blir också åtta gånger så många men mindre förstås (täljaren). Du multiplicerar alltså både nämnare och täljare med åtta! Allmänt gäller: Om du multiplicerar både nämnare och täljare med samma tal är bråket fortfarande värt lika mycket. Du har nytta av att kunna förkorta och förlänga bråk t.ex. när du vill addera eller subtrahera bråk som från början har olika nämnare. Då kan du antingen förlänga eller förkorta dem så att de får samma nämnare. Exempel 1: Övertyga gärna dig själv om att det stämmer genom att rita! Exempel 2: Att förkorta och förlänga bråk kan också vara användbart när man ska omvandla ett bråk till procentform eller decimalform. Då förlänger eller förkortar man så att man får nämnaren 10, 100, 1000 eller vad som nu är enklast. Exempel: 32
Procent Man kan ange andelar av något i bråk. Man kan också ange andelar i procent. Procent är samma sak som antal hundradelar. 57/100 kan skrivas 57 % (57 procent). Skall du skriva om ett bråk som procent kan du prova att förlänga eller förkorta så att nämnaren blir 100 så är det klart. Ibland behöver du inte göra det du vet ändå. Exempel: Tag 1/2 till exempel. Du vet att en hel allting är 100 % (det måste förstås vara alla de hundra hundradelarna alltså 100 %). Hälften är förstås hälften av dessa alltså 50 %. På samma sätt är 1/4 = 100/4 % = 25 % Funkar inget av detta omvandlar du bråket till decimalform med hjälp av miniräknare eller kort division och så läser du av hur många hundradelar det är; 0,2987 är t.ex. 29,87 %. Precis som ett bråk kan vara större än 1 så kan man ha mer än 100 %. Om jag äter 1 och en halv tårta har jag t.ex. ätit 150 % av en hel tårta. Räkna ut hur många procent något är Det viktiga är att veta vad det hela är. Vad är det du jämför med? Är det hur mycket pengar du har på ditt konto? Är det vad ett par byxor kostar innan prishöjning eller efter prishöjning? Vet du vad du jämför med så måste du också veta vad du jämför med detta. Kanske hur mycket du fick i ränta (i kronor) när du hade si och så mycket pengar på kontot? Det du jämför med det hela kallar vi delen. Du får antal procent genom att räkna ut delen / det hela och skriva svaret i procentform. Exempel: Putte har 20 000 kronor på sitt bankkonto. På ett år får han 100 kronor i ränta. Vad är räntan i procent? 100/20 000 = 1/200 = 0,005 = 0,5 % Svar: Räntan var 0,5% Räkna ut hur mycket x % av något är Du kan räkna ut hur mycket x % av något är på flera sätt. Här får du två varianter i form av två exempel. Exempel 1 Börja med att räkna ut hur mycket 1 % är Hur mycket är 24 % av 200? 1 % = 200/100 = 2 24% = 24 x 2 = 48 Svar: 24 % av 200 är 48 Exempel 2 Gör om till decimalform först Hur mycket är 24 % av 200? 24 % = 0,24 Jag ska ta 24 hundradelar av 200. Det gör jag om jag multiplicerar 0,24 med 20! 0,24 x 200 = 0,24 x 100 x 2 = 24 x 2 = 48 Svar: 24 % av 200 = 48 33
Procentenheter Det gäller att skilja på procent och procentenheter. Om räntan är 10 % och höjs till 12 % ökar den med 2/10 = 20 % men bara med 12 10 = 2 procentenheter. Potenser, kvadrater och kvadratrötter På samma sätt som man kan skriva om upprepad addition av samma tal som multiplikation kan man skriva om upprepad multiplikation av samma tal som en potens. Exempel: 3 + 3 + 3 + 3 = 4 3 3 3 3 3 = 3 4 3 4 läser man tre upphöjt till fyra I uttrycket 3 4 kallas trean bas och fyran expontent Att ta ett tal upphöjt till två, alltså multiplicera det med sig själv, kallas att ta kvadraten på talet. Namnet har att göra med att arean på en kvadrat är sidan x sidan (och båda sidorna är ju lika långa i en kvadrat alltså multiplicerar man ett tal med sig själv när man räknar ut arean). 3 2 = 9 är alltså kvadraten på 3. Ett tals kvadratrot kan man säga är motsatsen till kvadraten. Ett tals kvadratrot svarar på frågan: Vilket positivt tal ska jag ta kvadraten på för att få det här talet? Kvadratroten ur 9 är alltså 3 eftersom 3 2 = 9 Man skriver så här: OBS! Av tekniska orsaker skrivs potenser i dina läxor oftast så här: 10 ^ 2 i stället för 10 2. Det betyder precis samma sak och du kan själv skriva om det till det vanliga sättet innan du läser uppgiften. 34
Negativa tal Addition och subtraktion av negativa tal Att addera med ett negativt tal är samma sak som att subtrahera. Ex: 5 + (-4) = 5 4 = 1 Vad händer om man subtraherar med ett negativt tal? Vi kan roa oss med ett exempel: Ett flygplan flyger på 500 m höjd och ett annat på 300 m höjd. Höjdskillnaden är (500 300) m. På samma sätt borde man kunna räkna ut höjdskillnaden mellan det första flygplanet och en ubåt på 200 m djup. På samma sätt som man brukar kalla källarvåningar för - 1, -2 o.s.v., med bottenvåningen som noll, anger vi ubåtens avstånd till havsytan som -200 m. Om vi räknar ut höjdskillnaden mellan flygplan 1 och ubåten på samma sätt som mellan de två flygplanen får vi uttrycket (500 (-200))m. Man kan inse att avståndet är 500 m ovanför vattenytan och 200 m under vattenytan, alltså (500 + 200) m = 700 m. Det blir det bara om vi räknar de två minustecknen som plus! Vi kan också titta på följande serie subtraktioner: 5 3 = 2 5 2 = 3 5 1 = 4 5 0 = 5 5 (-1) =? Tittar vi från början ser vi att differensen blir större ju mindre den andra termen blir. Minskar den andra termen med 1 ökar differensen med 1. Det verkar rimligt att mönstret skall fortsätta även om den andra termen råkar bli mindre än 1. Så är också fallet. 5 (-1) = 6 5 (-2) = 7 o.s.v. Att subtrahera ett negativt tal innebär alltså samma sak som att addera motsvarande positiva tal. Exempel: 5 (-6) = 5 + 6 = 1 35
Multiplikation och division av negativa tal Att multiplicera eller dividera ett negativt tal med ett positivt brukar inte vara något problem. Det känns inte konstigt att 2 x -3 = -6. Och eftersom ordningen på faktorerna inte spelar någon roll vid multiplikation (2 x 3 = 3 x 2) är det heller inte konstigt att -3 x 2 = -6. Tittar vi på division är det inte heller konstigt att t.ex. -10/2 = -5. Kvoten gånger nämnaren skall ju bli täljaren. Det känns inte heller konstigt att hälften av -10 är -5. Däremot känns det kanske lite skumt att säga att två går -5 ggr i -10. minus fem gånger känns lite abstrakt. Kanske blir det bättre om man säger att man får ta bort två fem gånger för att få minus 10. Om man dividerar två negativa tal då? Tja, då verkar det inte orimligt att säga att -2 går fem gånger i - 10. -10/-2 = 5. Kvoten av två negativa tal är alltså positiv. Vi kan titta på multiplikation av två negativa tal på ett annat sätt: Vi kikar på en serie igen: -3 x 4 = -12-3 x 3 = -9-3 x 2 = -6-3 x 1 = -3-3 x 0 = -0-3 x (-1) =? På samma sätt som vid addition är det inte orimligt att anta att mönstret fortsätter. Om produkten växer med tre varje gång den varierande faktorn minskar med ett bör detta gälla även om även den andra faktorn blir negativ. Så är också fallet. Multiplicerar man ett negativt tal med ett annat negativt tal blir produkten positiv. Då ser vi också att kvoten mellan en positiv täljare och en negativ nämnare blir negativ. Produkten av kvoten och nämnaren är ju lika med täljaren, som är positiv. Då måste kvoten vara negativ om nämnaren är negativ. Serien ovan fortsätter -3 x (-1) = 3-3 x (-2) = 6 o.s.v. Exempel: -5 x -5 = 25-30/-6 = 5 36
Avrundning och överslagsräkning Avrundning Ibland vill man avrunda ett tal. Man kanske vid en beräkning får ett tal som aldrig tar slut. Delar jag ett med tre får jag t.ex. 0,3333333333333333333.. Jag kan fortsätta i evighet. Det tar inte slut i alla fall. Jag måste bestämma hur många siffror jag skall ha med. Hur många siffror jag vill ha med kan jag tala om på olika sätt. Jag kan tala om hur många decimaler jag vill ha med i svaret. Jag kan tala om hur många gällande siffror jag skall ha med. Jag kan säga att jag skall avrunda till närmsta hundradel eller närmsta tiotal eller till heltal. I affären avrundar jag den totala summan jag handlar för till närmsta femtioöring. Avrundning till givet antal decimaler Om jag skall avrunda till ett visst antal decimaler måste jag veta vad decimaler är. Decimaler är siffrorna efter kommat. De som betyder tiondelar, hundradelar etc. Ex 1: Vi tar talet 23,45832 Om jag vill avrunda det till två decimaler skall det tal jag skriver vara så nära 23,45832 som möjligt men bara ha två decimaler kvar. 23,45832 ligger mellan 23,45 och 23,46. Eftersom siffran efter femman är en åtta ligger talet närmare 23,46 än 23,45. Hade åttan varit en fyra eller mindre hade talet legat närmare 23,45. Hade åttan varit en femma hade talet legat närmare 23,46 eftersom det finns siffror större än noll i nästa position. Även om det inte finns det avrundar man uppåt om siffran efter den sista som skall stå kvar är en femma. Alltså: Avrundning till 2 decimaler 23,45832 23,46 23,34432 23,34 23,34532 23,35 23,345 23,35 Ex 2: Avrundning av talet 23,001635 a) till 1 decimal 23,0 b) till 2 decimaler 23,00 c) till 3 decimaler 23,002 d) till 4 decimaler 23,0016 e) till 5 decimaler 23,00164 37