Reflekterande Och Matematiserande Barn Cecilia Kilhamn Göteborgs Universitet Novemberkonferensen 2015 Adaptive Reasoning Strategic Competence Conceptual Understanding Productive Disposition Procedural Fluency Matematisering Reflektion Matematiska idéer Strategier Modeller Kilpatrick et al, 2001 1
Bakgrund Mathematics in the City (MitC) är ett nationellt center för utveckling av matematikundervisning och ligger under City College of New York,School of Education, http://mitcccny.org Idéer och material i Context for Learning Mathematics bygger på forskning som Professor Catherine Fosnot bedrivit i samarbete med Freudenthalinstitutet vid Universitetet i Utrecht. http://www.contextsforlearning.com Vad gör en matematiker? Om du är matematiker, vad gör du på jobbet? Om du är elev, vad gör du på matematiklektionerna? Kan dessa två aktiviteter göras lite mer lika? ROMB REFLEKTERANDE OCH MATEMATISERANDE BARN 2
Vad gör en matematiker? Matematiserar Tänker, systematiserar, symboliserar och hittar lösningar på problem kring kvantiteter, storheter, samband och mönster. Reflekterar Byter idéer, diskuterar, tänker om. Pratar med varandra för att man kommer längre om man tänker tillsammans. Bevisar Resonerar logiskt och kommer med argument som gör att alla blir övertygade och överens. ROMB REFLEKTERANDE OCH MATEMATISERANDE BARN Matematikämnet idag Ämnet RÄKNING i folkskolan: Ø Kunna räkna rätt och snabbt. Metod: läraren visar hur, eleverna övar. Ämnet MATEMATIK idag: u Föra och följa matematiska resonemang. u Lösa problem, värdera strategier och lösningar. u Använda och analysera matematiska begrepp. u Samtala om matematik, argumentera matematiskt. Metod:??? 3
MATEMATISERANDE är att se matematiken som en aktivitet där vi: u fokuserar de matematiska idéerna i det som görs u systematiserar och kvantifierar u representerar, symboliserar och modellerar u generaliserar u argumenterar och bevisar Freudenthal: mathematization Systematization is a great virtue of mathematics, and if possible, the student has to learn this virtue, too. But then I mean the activity of systematizing, not its result. Its result is a system, a beautiful closed system, closed, with no entrance and no exit. In its highest perfection it can even be handled by a machine. But for what can be performed by machines, we need no humans. What humans have to learn is not mathematics as a closed system, but rather as an activity, the process of mathematizing reality and if possible even that of mathematizing mathematics. (Freudenthal, 1968) A particularly important aspect of mathematizing is that of reflecting on one own s activities, which may instigate a change of perspective. (Freudenthal, 1991) 4
Horisontell matematisering konkretisering - modellering Realis'sk kontext Matema'sk modell Matema'ska symboler Vertikal matematisering inom-matematiska resonemang shaping, reshaping and manipulating different sets of symbols mechanically, comprehendingly, and reflectingly (Freudenthal, 1991). Matema'sk modell/symboler Matema'sk modell/symboler Matema'sk modell/symboler 5
Det Matematiska Landskapet Reflektion Reflekterande Och Matematiserande Barn Realistiska Kontexter Utforskande av Matematiska Idéer 6
Det matematiska landskapet Fosnot & Dolk, 2001 Matematiska idéer Strategier Modeller Realistiska kontexter För att Inspirera, Engagera, Fantisera startpunkten för att Matematisera. T-shirtfabriken, Gustaviskolan, Göteborg 7
15-11-30 Utforskande av matematiska idéer Public School, New York Reflektion Vad ser du här? Vad är lika och vad är olika? Kan du upptäcka ett mönster? Vad ser du som är intressant? Varför är det så? Är det alltid så - eller är det bara just här? Hur vet vi det? Kan vi koppla det vi ser här till något vi redan vet? 8
3 + 4 4 + 3 Utforskande: Vad är lika? Vad är olika? Horisontell matematisering: Hitta på en situation som visar additionerna 3 bollar + 4 bollar är 7 bollar 3+4=7 4 bollar + 3 bollar är 7 bollar 4+3=7 Fler exempel: katter, fingrar etc Börja på 3, gå 4 steg framåt, landa på 7 3+4=7 Börja på 4, gå 3 steg framåt, landa på 7 4+3=7 Reflektion: Om termerna är samma är summan alltid lika oavsett ordningen på termerna. 3 + 4 4 + 3 Utforskande: Vad är lika? Vad är olika? tal som punkter och rörelser på tallinjen. Reflektion: samma svar men inte så tydligt varför. 9
Strategi: regrouping (uppdelning och omgruppering av tal) ( dela upp objekt) 3 + 4 3 + 1 + 3 4 + 3 3 + 4 = (1+1+1)+(1+1+1+1) = 7 4 + 3 = (1+1+1+1)+(1+1+1) = 7 Reflektion: Det är alltid lika många men i olika grupper. Om termerna är samma är summan alltid lika oavsett ordningen på termerna. 3 + 4 4 + 3 Utforskande: Vad är lika? Vad är olika? Strategi: mätning - jämföra sträckor tal som sträckor på tallinjen 10
dela upp mängder Strategi: regrouping Strategi: mätning - jämföra sträckor tal som sträckor på tallinjen tal som punkter och rörelser på tallinjen. Matematisk idé: Kommutativitet för addition 5 2 2 5 Horisontell matematisering Utforskande: Vad är lika? Vad är olika? 5 fåglar satt på en gren, 2 flög iväg, 3 blev kvar. 5-2 = 3 2 fåglar satt på en gren, 5 flög iväg det fattas 3 5-2=??? Om jag har 5 idag och hade 2 igår, då har jag 3 fler idag 5-2= +3 Om jag har 2 idag och hade 5 igår då har jag 3 färre idag 2-5= -3 5 grader idag, 2 grader igår: det har stigit 3 grader 5-2 = +3 2 grader idag, 5 grader igår, det har sjunkit 3 grader 2-5 = -3 Börja på 5, gå 2 steg bakåt, landa på 3 5-2 = 3 Börja på 2, gå 5 steg bakåt, landa på -3 2-5 = -3 Reflektion: Differensen är olika när termerna byter plats, det blir lika stort värde men olika tecken. 3 betyder samma som +3 11
5 2 2 5 Strategi: subtraktion som skillnad Utforskande: Vad är lika? Vad är olika? tal som sträcka på tallinjen Reflektion: skillnaden mellan talen är lika men modellen får inte fram vad som är olika 5 2 2 5 Utforskande: Vad är lika? Vad är olika? tal som punkter och rörelser på tallinjen Reflektion: olikheten blir tydlig men inte likheten 12
Strategi: utnyttja konstant differens: subtrahera samma tal från båda termer så förändras inte differensen (annulleringslagen för addition) Förändra så att ena termen blir 0. 5 2 2 5 (5-2) (2-2) (2-2) (5-2) 3 0 0 3 5 2 2 5 Utforskande: Vad är lika? Vad är olika? Strategi: utnyttja sambandet mellan addition och subtraktion: (inversa operationer) a-b=x b+x=a tal som punkter och rörelser på tallinjen 5 2 = 2 + = 5 2 + 3 = 5 5 2 = 3 2 5 = 5 + = 2 5 + (-3) = 2 2 5 = (-3) 13
Reflektion: Likhet: Olikhet: Avståndet mellan två tal är alltid detsamma, det kallas absolutbelopp. Vid subtraktion är riktningen viktig, differensen kan vara positiv eller negativ. Matematisk idé: Subtraktion är icke-kommutativ Tal kan ha riktning: positiva och negativa Addition och subtraktion är motsatta operationer Generalisera till: (-1) (-3) (-3) (-1) Strategi: konstant differens (-1) (-3) (-3) (-1) (-1+3) (-3+3) (-3+1) (-1+1) (-1+3) 0 (-3+1) 0 2 0 = 2 (-2) 0 = -2 Strategi: använda inversa operationen tal som punkter och rörelser på tallinjen (-1) (-3) = (-3) + = (-1) (-3) + 2 = (-1) (-3) (-1) = (-1) + = (-3) (-1) + (-2) = (-3) 14
dela upp mängder Strategi: omgruppering Strategi: mätning - jämföra sträckor tal som sträckor på tallinjen tal som punkter och rörelser på tallinjen. Matematisk idé: Kommutativitet för addition dela upp mängder subtraktion som skillnad konstant differens omgruppering Inversa operationer Matematisk idé: Addition och subtraktion är motsatta operationer jämföra sträckor Matematisk idé: Tal kan ha riktning: positiva och negativa Subtraktion är icke-kommutativ tal som sträckor på tallinjen tal som punkter och rörelser på tallinjen. Matematisk idé: Kommutativitet för addition 15
ROMB Matematiska idéer (big ideas), strategier och modeller utgör det matematiska landskapet. Reflekterande Och Matematiserande Barn Det matematiska landskapet, realistiska kontexter, utforskande av matematiska idéer, och reflektion är hörnstenarna i ROMB. Nyfikenhet, resonemang, argumentation och kommunikation är både mål och medel. Hur vi jobbar med ROMB i skolan Planera med utgångspunkt i Matematiska idéer Modeller Strategier Etablera rutiner Tummen upp Mattekompis par-prat Samling i ring Utmaningar: Vara säker i det matematiska landskapet Lyssna och följa upp elevernas tankar Sluta berömma rätt svar - hur berömma matematiserande och reflekterande? Reflekterande Och Matematiserande Barn 16
Hur fostrar vi matematiker? Fokus måste flyttas från rätt svar till hur jag kan veta att det är rätt Vi ändrar därmed den sociomatematiska normen: ett bra svar i matematiken är ett svar som är matematiskt intressant eller övertygande. Läraren styr detta genom vad som ges positiv feedback i matematik-klassrummet! ROMB REFLEKTERANDE OCH MATEMATISERANDE BARN Ge positiv feedback när: Ø elever delar med sig av nya idéer Ø elever förklarar så att vi andra förstår Ø elever lyssnar aktivt på varandra Ø elever generaliserar Ø elever argumenterar logiskt och matematiskt korrekt Ø elever ställer frågor som utvecklar matematiken ROMB REFLEKTERANDE OCH MATEMATISERANDE BARN 17
15-11-30 för mheten k c a T ärksa et m p p u id apet! k s ll d ti n lycka atiska la m mate Cecilia Kilhamn ROMB REFLEKTERANDE OCH MATEMATISERANDE BARN Referenser Idéer och material inom ROMB härstammar från Mathematics in the City, New York, grundat 1995 av Professor Catherine Fosnot, i samarbete med Freudenthalinstitutet vid Universitetet i Utrecht, Nederländerna, och är resultatet av många års forskning och utveckling finansierat av the National Science Foundation. Materialet går under benämningen Contexts for Learning. Se www.mitcccny.org Fosnot, C., & Dolk, M. (2001). Young mathematicians at work-constructing number sense, addition and subtraction. Portsmouth: Heinemann (m fl böcker i samma serie) Fosnot, C. T. (2005). Constructivism revisited: Implications and reflections. The Constructivist 16(1): 1-17. Freudenthal, H. (1968). Why to teach mathematics so as to be useful. Educational Studies in Mathematics, 1(1), 3-8. Freudenthal, H. (1991). Revisiting Mathematics Education: The China Lectures. Dordrecht, Holland: Kluwer Academic Publishers. Gravemeijer, K. (1997). Instructional Design for Reform in Mathematics Education, in Beishuizen, M., Gravemeijer, K., and van Leishout, E. (Eds.), The Role of Contexts and Models in the Development of Mathematical Strategies and Procedures. Utrecht, The Netherlands: The Freudenthal Institute. Kilpatrick, J., Swafford, J. & Fidell, B. (2001). Adding it up: Helping children learn mathemtics. National Academies Press, USA Niss, M. (2002). Mathematical competencies and the learning of mathematics. The Danish KOM Project. 18