Metallers resistivitet vid 0 K

SUPRALEDNING Vad händer med en metalls ledningsförmåga vid 0 K? Jag har i föreläsningen om metallers egenskaper visat kurvor på en metalls resistans som funktion av temperaturen. Resistansen sjunker med sjunkande temperatur och når ett konstant värde vid 0 K. Resistansen vid 0 K beror på antalet föroreningar i provet. Vad sker med resistansen i en mycket ren metall vid 0 K? Enligt tidigare resonemang borde resistansen gradvis sjunka mot noll vid 0 K. Under förra seklet hade man detta som en hypotes, men andra fysiker trodde istället att resistansen skulle gå mot oändligheten vid 0 K därför att valenselektronerna skulle binda till atomerna i ett grundtillstånd vid absoluta nollpunkten. Kyltekniken utvecklades i början av 1900-talet och tog ett stort tekniskt språng framåt 1908, när man började att använda flytande helium. Man fick därmed en möjlighet att utforska material- egenskaper vid mycket låga temperaturer. Figur 1 visar en metalls resistivitet med föroreningar samt de två hypoteserna, noll respektive oändlig resistans för en ren metall. Metallers resistivitet vid 0 K oren metall ρ hypoteser ren metall 0 0 T(K) 5 Figur 1 Det första mätningarna av resistans vid låga temperaturer utfördes på mycket rent kvicksilver av Kamerlingh Onnes i Leiden. Han upptäckte att provets resistans plötsligt sjönk från ca 0.1 Ω till ca 10 5 Ω inom en tiondels grad vid 4.17 K som Figur 2 nedan visar. Kamerlingh Onnes hade upptäckt en ny och oväntad egenskap hos material nämligen den perfekta ledningsförmågan. Materialet är normalledande till en viss temperatur, övergångstemperaturen (T c ) som är materialspecifik. Vid den temperaturen sjunker resistansen på en tiondels grad till nästan omätbar nivå och materialet befinner sig i ett tillstånd med oändlig ledningsförmåga. Fler material undersöktes och man fann att flera metaller, dock inte de med bäst ledningsförmåga som normalledande, uppvisade samma resistansfall. Flera olika experiment gjordes på 1

material i detta nya tillstånd och man upptäckte att det fanns fler avvikelser i materialens egenskaper jämfört med det normalledande tillståndet (NL). Kammerlingh Onnes kallade dessa material för supraledare (SL). Inte förrän 1957 presenterades en teori som kunde förklara supraledning, den s.k BCS-teorin (efter upphovsmännen Bardeen, Cooper och Schrieffer). Jag återkommer till teorin och börjar med en beskrivning av de speciella egenskaper material har i SL tillstånd. Hg ρ 0 3 5 T c T(K) Figur 2 Meissner-effekten En supraledare som kyls i närvaro av ett konstant magnetfält, från en temperatur där den är normalledande ned under övergångstemperaturen tränger ut det magnetiska fältet i det supraledande tillståndet. Detta kallas Meissner-effekten. En supraledare är en perfekt diamagnet i det SL tillståndet. Skillnaden mot en perfekt ledare åskådliggörs i figur 3 nedan som återger ett tankeexperiment. Vi uppfinner en perfekt ledare med noll resistans under en viss övergångstemperatur. Experiment I visar vad som händer i en perfekt ledare och en supraledare vid en temperatur som är under övergångstemperaturen T c. Båda har då noll resistans. Lägger man på ett magnetfält så induceras ytströmmar som tränger ut magnetfältet enligt Maxwells ekvation: rote = B t 2

E är eklektriska fältet och B magnetiska induktionen. EXPERIMENT 1: Perfekt ledare Supraledare T<T c Magnetfält läggs på utan att ändra T: T<T c Figur 3a I detta experiment går det inte att särskilja en perfekt ledare från en supraledare. I experiment II ligger det ett konstant magnetfält över de båda vid en temperatur som är högre än T c. Proverna skyls ned till en temperatur under T c. Den perfekta normalledaren kommer fortfarande att ha ett magnetfält i provet eftersom inga strömmar induceras när magnetfältet är konstant i tiden. Supraledaren kommer att tränga ut fältet även i detta experiment. Det kallas för Meissner-effekten. 3

EXPERIMENT 2: Perfekt ledare Supraledare T>T c T ändras utan att ändra magnetfältet: T<T c Figur 3b Meissner effekten Superström Ett annat experiment som genomfördes, också första gången av Kammerlingh Onnes gick ut på att visa om resistansen verkligen är noll eller mycket liten i en supraledare. Han inducerade en ström i en cirkulär ledare av bly och kylde ringen under den kritiska temperaturen. I en ledare med resistans kommer då strömmen att successivt minska med halveringstiden L/R (L är induktansen och R är resistansen) men strömmen i SL minskade inte mätbart på flera timmar. Experimentet har upprepats många gånger och rekordet är två år (därefter bröts kylan pga av en strejk). Man har kommit fram till en övre gräns för resistiviteten i en supraledare på 10-25 Ωm (jmfr med metall 10-8 Ωm) Kritiskt fält En supraledare är en perfekt diamagnet och detta kan uttryckas på följande sätt för en lång rak ledare: 4

B = B a +µ 0 M = 0 M = 1 µ 0 B a supraledare typ I -µ 0 M -B c B c B a supraledande tillstånd normalledande tillstånd Figur 4 B a är magnetfälti luf/vakuum (eg. B a =µ 0 H) och M är magnetiseringen. Blir det pålagda fältet för stort bryter fältet supraledningen och supraledaren blir normalledande. Figur 4 åskådligör detta. Fältet som bryter supraledningen kallas det kritiska fältet. Kritiska fältet är temperaturberoende och detta kan beskrivas med en approximativ empirisk formel: B c = B c 0 1 T 2 T c 5

0.1 Kritiska fältet för supraledare typ I Pb B c (T) 0 0 2 4 6 8 T(K) -2 0 2 4 6 8 10 12 A Figur 5 Det finns två varianter på hur ett yttre fält bryter supraledningen. Antingen bryts supraledningen fullständigt vid en kritisk fältstyrka som figur 4 visar. De supraledare som uppvisar det beteendet kallas typ I supraledare. Den andra varianten är att ett kritiskt fält börjar bryta supraledningen men inte förrän fältstyrkan överskrider ett högre värde bryts den fullständigt, de som uppför sig så kallas typ II supraledare (se figur 6). -µ 0 M supraledare typ II -B c B c1 B c B c2 B a supraledande tillstånd vortex tillstånd normalledande tillstånd 6

Figur 6 50 Kritiska fältet för supraledare typ II Nb 79 (Al 73 Ge 27 ) 21 B c2 (T) 0 0 5 10 15 20 T(K) Figur 7 Vortex tillstånd Vortex tillstånd, ett tvärsnitt av materialet med ett yttre magnetfält riktat vinkelrätt mot papperet 100 nm Figur 8 kanal som är normalledande supraledande 7

Vortex-tillståndet i supraledare typ II är ett blandtillstånd, både supraledande och normalledande. I supraledande områden uppkommer kanaler av normalledande områden som figur 8 ovan visar. I dessa kanaler penetrera magnetfältet men inte i omgivande områden. När temperaturen eller yttre magnetfältet ökar minskar området som är supraledande och har försvunnit helt vid T= T c eller B a =B c2. Typ II supraledare är oftast legeringar eller metaller med hög resistans i normalledande tillstånd. Även de nya keramiska högtemperatur-supraledarna är av typ II. Värmekapacitivitet En supraledare har ett annat temperaturberoende än normalledare. Figur 9 visar en metall i normalledande tillstånd vilket kan upprättas under T c med ett pålagt magnetfält som är större än kritiska fältet vid 0 K. I supraledande tillståndet ökar värmekapacitiviteten exponentiellt vilket framgår tydligare av figur 9b som har Värmekapacitivitet för NL och SL exp(-kt c /T) SL C v /T NL γ +AT 2 T c T 2 logaritmisk y-axel och 1/T på x-axeln. Figur 9a Energigap Att värmekapacitiviteten har ett exponentiellt temperaturberoende kan förklaras med att elektronerna exciteras termiskt över ett energigap. Jag återkommer till detta senare när jag beskriver BCS-teorin. Energigapet är inte konstant utan störst vid 0 K för att sedan minska gradvis enligt figur 10. Bandgapen är i storlek 0.1 1 mev vid 0 K för olika metaller. 8

Värmekapacitivitet supraledare Figur 9b Bandgapet i en supraledare E g (T)/E g (0) log(c v ) T c /T 1.0 1.0 T/T c 1.0 Figur 10 9

BCS-teorin för supraledare BCS-teorin grundar sig på att oberoende en-elektrontillstånd i en fermigas inte är det lägsta energitillståndet vid 0 K och upp till övergångstemperaturen utan det finns ett tillstånd, supraledande tillståndet som har lägre energi än fermigasen. Det viktigaste med detta tillstånd är att det bildas ett energibandgap mellan detta grundtillstånd och exciterade tillstånd. Teorin visar att ett sådant tillstånd kan skapas av att elektroner bildar par, s.k. Cooper-par vilka uppfyller följande två kriterier: 1. De två elektroner som utgör ett par har motsatt spinn-riktningar (nödvändigt villkor) 2. Elektronerna i paret har till beloppet lika stora vågvektorer som är motsatt riktade. (ej nödvändigt villkor) I och med att paret har netto-spinn lika med noll är Cooper-paret inte en fermion utan boson och har inte längre restriktionen att inte dela tillstånd med andra elektroner med samma spinn. Alla Cooper-par kommer därför att befinna sig i samma tillstånd. Cooper-par bildas genom att två elektroner växelverkar via en fonon. Fononer kan skapas och förintas och fononerna som kopplar ihop elektroner i Cooper-par tar upp och avger energi respektive rörelsemängd så att villkoret enligt punkt 2 ovan uppfylls. Vid 0 K finns inga termiska fononer. De fononer som upprättar Cooper-par är s.k. virtuella fononer som egentligen inte finns men kan existera under en tid t som ligger inom Heisenbergs osäkerhet för mätbarhet: t E h 2 E är fononens energi och kan maximalt vara hω D. De elektroner som kan bilda Cooper-par befinner sig således i ett intervall runt ferminivån, i ett intervall i storleksordning av hω D eftersom det är den energi som kan överföras mellan elektronerna i paret via den virtuella fononen. I Cooper-paret binds elektronerna med en bindningsenergi per elektron som är lika med energiskillnaden mellan det supraledande tillståndet och ferminivån för den normalledande fermigasen. Figur 11 nedan visar hur tillståndstätheten i en frielektronmetall i supraledande tillståndet. Totala energin minskar och elektronerna som bildat Cooper-par har sänkt sin energi motsvarande bandgapet jämfört med ferminivån. Eftersom Cooper-paren är bosoner kommer alla paren att befinna sig i samma tillstånd vid bandkanten vilket spiken i kurvan visar. Figuren överdriver bandgapets storlek och avvikelsen under bandkanten. Bandgapet är i storleksordning mev och ferminivån är i storlek 5-10 ev. Alla Cooper-par befinner sig i samma tillstånd och kan därför beskrivas med en total vågfunktion. Vid T 0 K bryts Cooper-paren av ett tillskott av termisk energi om den överstiger bindningsenergin. Färre elektroner kan bilda Cooper-par med ökande temperatur vilket får till följd att bandgapet krymper. Bindningen kan också brytas med magnetisk energi som överstiger bindningsenergin, det sker vid fältstyrkan för det kritiska fältet. 10

g(e) FEM oberoende elektroner E g E F E Figur 11 Varför har då en supraledare noll resistivitet? Vid T=0 K kan tillstånden för alla Cooper-par beskrivas med en gemensam vågfunktion. Föroreningar påverkar inte denna totala vågfunktion för kollisioner mellan föroreningar och Cooper-par bryter inte parbildningen och ändrar inte dess tillstånd om det sker elastiskt vilket föroreningskollisioner gör och den totala vågfunktionen påverkas då inte heller. En opåverkad vågfunktion upplever ingen spridning. Vid T 0 K kommer NL elektroner som är termiskt exciterade att samexistera med Cooper-par. Cooper-parens noll-resistivietet parallellt med normala elektroner med resistans ger totalt noll resistans (kortslutning via Cooper-paren). Figur 12 nedan visar hur man tänker sig att elektronerna vaxelverkar via gitterstörningar. Fig 12 11

Att Cooper-paren kan beskrivas med en total vågfunktion och att alla paren befinner sig i samma tillstånd är kärnan i BCS-teorin. Man brukar benämna alla Cooper-par för ett kondensat därför att de inte påverkas individuellt på en yttre störning utan all påverkan sker kollektivt. Hur förklaras Meissner-effekten? Den kan också härledas ur BCS-teorin men det kommer inte att tas upp i denna kurs. Värt att påpekas är att skärmningen mot magnetfältet sker med ytströmmar som fullständigt kompenserar det pålagda magnetfältet så att det inte tränger in i det inre av materialet. Flödeskvantisering i en supraledande ring En ström i en ledare inducerar ett magnetfält runt ledaren. I fallet magnetiska flödeslinjer Φ I Figur 13 med en cirkulär ledare, solenoid, erhålls ett flöde i ringen som bestäms av strömstyrkan. I en supraledande solenoid kommer Cooper-pars-kondensatets vågfunktion att vara koherent eftersom vågfunktionen för varje Cooper-par är koherent. (Den totala vågfunktionen är en superposition av dessa.) Om kondensatet utsätts för ett elekriskt fält så kommer fältet att påverka alla Cooper-par lika dvs de får en impuls hk som är densamma för varje par. Det innebär att den totala vågfunktionen också får samma impuls och därmed ändrar sin fasfaktor med φ. I en sluten strömslinga kommer då det elektriska fältet att ge upphov till en ström som beror av kondensatets koherenta vågfunktion vilken måste uppfylla att den bibehåller sin koherens genom att fasfaktorns ändring under ett varv i slingan är: φ = 2πn 12

n är ett heltal. Totala magnetiska flödet blir därför också kvantiserat (utan att visa sambandet mellan ström och magnetiskt flöde): Φ=(h /2e)n n är ett heltal och 2e är laddningen hos ett Cooper-par. Tekniska tillämpningar med SL Supraledande material används huvudsakligen i supraledande elektromagneter som kan ge mycket höga magnetiska fältstyrkor därför att det går att köra stora strömmar i supraledande lindningar utan att få den uppvärmning som höga strömmar i vanliga resistiva ledningar ger upphov till. Begränsningen i storleken på magnetfältet sätts av att strömmen inte får inducera ett magnetfält som är större än det kritiska fältet så att supraledningen bryts. Typ II SL används i tekniska tilämpningar därför att dessa har de största kritiska fältet. Ett tekniskt problemet med supraledande magneter är att de måste kylas till temperaturer under övergångstemperaturen vilket innebär en hantering med flytande helium. Hög T c supraledare 1986 upptäcktes att vissa metalloxider var supraledande och med en övergångstemperatur som var mycket högre än det då kända rekordet från 1972 på T c =23.2 för Nb 3 Ge (typp II). Den första hög-t c SL som upptäcktes var (La 2- xba x )CuO 4 med T c 35 K för x 0.15. Efter denna upptäckt som givetvis belönades med ett Nobelpris har en frenetisk forskningsaktvivitet ägt rum som resulterat i nya rekord. Man har nu nått upp till T c 135 K vilket är en bra bit över kokpunkten för flytande kväve (77 K). Att kyla med flytande kväve är betydligt lättare rent tekniskt och skulle därmed kunna öka användningen av supraledare i fler tekniska tillämpningar. Dessvärre är materialen i hög-t c SL oftast keramer vilket gör det omöjligt att fabricera ledningar. De flesta högt c SL innehåller kopparoxid. Strukturerna är komplexa men innehåller kristallplan med bara koppar och syre och detta tror man är avgörande för SL. Dessa plan har god ledningsförmåga. BCS-teorin är otillräcklig för att förklara hur Cooperpar skulle kunna bildas i dessa typer av material. Hall-effekt-mätningar har visat att ledning sker medelst hål vilket också stöds av flux-mätningar som visar en laddning på +2e hos superströmmens laddningsbärare. 13

Mål Veta vad som avses med kritisk temperatur, kritiskt magnetfält och superström Vad skillnaden är mellan typ I och II SL Beskriva vilka egenskaper som skiljer supraledare från normalledare Kunna beskriva Meissner-effekten Veta att kritiska fältet är temperaturberoende Veta vad som begränsar strömstyrkan genom en supraledande kabel Veta några tekniska tillämpningar i vilka supraledare används Veta något om vad ett Cooper-par beskriver Beskriva något ur BCS-teorin Veta vilka material hög-t c SL består av 14