Tentamen Matematsk statstk Ämneskod-lnje S1M Poäng totalt för del 1 5 (8 uppgfter) Poäng totalt för del 3 (3 uppgfter) Tentamensdatum 9-3-5 Kerstn Vännman Lärare: Robert Lundqvst Mkael Stenlund Skrvtd 9.-14. Jourhavande lärare: Robert Lundqvst Tel: Ankn 44/ 76-839 3 56 Tllåtna hjälpmedel: Räknedosa Kursboken Vännman: Matematsk statstk Kompletterande kursmateral tll kursen Matematsk statstk (formelblad, kompender Regressonsanalys och Försöksplanerng, tabeller). Tentamen består av två delar. På den första delen, som är oblgatorsk för att kunna bl godkänd, ska enbart svar lämnas n, men lösnngar får bfogas. Observera dock att dessa kommer ej att bedömas utan enbart användas vd gränsfall för att avgöra om någon uppgft kan rättas upp på grund av slarvfel. Svaren ska fyllas på det blad som bfogas tentamen. Detta blad måste lämnas n. Lägg detta blad först bland lösnngarna. Om nte det fyllda svarsbladet har lämnats n så bedöms tentamen som underkänd. För godkänt krävs mnst 19 poäng. Med 4 extrapoäng från laboratonerna och KGB så räcker det med 15 poäng av de 5 möjlga för godkänt. På den andra delen, som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständga lösnngar lämnas n. Tänk på att redovsa dna lösnngar på ett klart och tydlgt sätt och motvera resonemangen. Vd bedömnngen av lösnngarna läggs stor vkt vd hur lösnngarna är motverade och redovsade. För betyg 4 krävs godkänt på den första oblgatorska delen samt mnst 13 poäng från den andra delen för överbetyg. För betyg 5 krävs godkänt på den första oblgatorska delen samt mnst 3 poäng från den andra delen för överbetyg. OBS! Det går nte att kompensera underkänt på den första korta delen av tentamen med poäng på den andra delen. Ange på tentamensomslaget om du har lämnat n lösnngar på del genom att kryssa för uppgfterna 9, 1 eller 11. Om du plussar för överbetyg så skrv detta på tentamensomslaget. LYCKA TILL!
Tentamen Matematsk statstk, S1M, del 1, 9-3-5 1. Vd kontroll av nkommande komponenter tll en fabrk används följande procedur. I varje sändnng bestående av komponenter tas komponenter ut slumpmässgt. Om det urvalet blr enbart felfra komponenter så accepteras sändnngen och alla komponenterna går n tllverknngen. Om en eller båda av de utvalda komponenterna har defekter kontrolleras alla komponenter sändnngen. Om det sändnngen fnns 3 komponenter med defekter, hur stor är då sannolkheten att alla komponenter måste kontrolleras? Ange dtt svar procent med en decmal.. Mat är vktgt, men fel sorts mat kan framkalla allergska reaktoner. Anta att för en vss sorts curryblandnng har det vsat sg att 1% av förpacknngarna var felmärkta på så sätt att de nte angav att de faktskt nnehöll sojaolja, som man kan vara allergsk mot. För samma sorts curryblandnng har det vsat sg att uppgft om förpacknngens vkt (ska vara mnst 5 g) nte heller stämmer, och att så mycket som 15% av förpacknngarna har en för låg vkt. Det har också vsat sg att sannolkheten för båda felen är 8%. a) Du har köpt en förpacknng av den aktuella curryblandnngen. Hur stor är sannolkheten att den är felfr? Ange dtt svar procent med två decmaler. b) Du har köpt en påse, och vd vägnng vsar det sg att den har för låg vkt. Hur stor är då sannolkheten att den är felmärkt med avseende på nnehåll av sojaolja? Ange dtt svar procent med två decmaler. 3. Ett företag planerar en större nvesterng. Vnsten är osäker, men en bedömnng av möjlga utfall (enhet: mljoner kr) och sannolkheter för dessa ges följande tabell: Vnst (k) 1 1.5 4 1 Sannolkhet P ξ = k.4...1.1 ( ) Företaget har för fnanserngen av nvesterngen ett avtal som säger att man ger 1% av vnsten och en fast kostnad på kr tll fnansären. Det betyder att om ξ står för vnsten och η för nettovnsten efter att fnansären fått sn del så är η =.9ξ.. Bestäm standardavvkelsen för nettovnsten. Ange dtt svar mljontal kronor med två decmaler. 4. Vd brand oljecstern fnns rsk för s k hetzonsbldnng. En sådan zon kan bldas efter 3 mnuter, och kan sedan fortsätta att breda ut sg. Anta att utbrednngshastgheten kan beskrvas med en normalfördelnng där väntevärdet är 75 cm/tmme och standardavvkelsen är 5 cm/tmme. a) Hur stor är sannolkheten att utbrednngshastgheten vd en vss brand av detta slag är mnst 8 cm/tmme? Ange dtt svar procent med två decmaler. - 1 -
Tentamen Matematsk statstk, S1M, del 1, 9-3-5 b) Bestäm den 1:de percentlen för utbrednngshastgheten, d v s den utbrednngshastghet L 1 för vlket gäller F ( L ) 1 1 =.. F betecknar här fördelnngsfunktonen för utbrednngshastgheten. Ange dtt svar med två decmaler. 5. Radon är en gas som förekommer naturlgt mark och vssa byggnadsmateral. Eftersom gasen är radoaktv bör man nte exponeras för höga halter av gasen, och därför kan det vara lämplgt att göra mätnngar. Det fnns flera detektorer tllgänglga, och för att testa tllförltlgheten hos en sådan gjordes ett försök. I en kammare där man vsste att halten radon var 15 pcocure per lter luft sattes 1 detektorer av samma typ n. Efter 3 dagar togs detektorerna ut och man läste av vad de angav för radonhalt. Det vsade sg att bland dessa 1 detektorer blev medelvärdet och standardavvkelsen av radonhalten x = 13.94 respektve s = 1.38 (enhet: pcocure per lter luft). a) Går det utfrån dessa resultat att påvsa att den förväntade uppmätta radonhalten nte är 15 pcocure per lter? Frågan kan besvaras med ett hypotestest, där uppmätt radonhalt kan antas vara normalfördelad N(μ,σ). Vlka av följande hypoteser passar den ställda frågan? Ange dtt svar genom att ange ett par av hypoteser (exempelvs A om det paret motsvarar de hypoteser du tycker ska användas). (A) H : μ < 15 (1) H1 : μ < 15 (B) H : μ = 15 () H1 : μ = 15 (C) H : μ 15 (3) H1 : μ 15 (D) H : μ > 15 (4) H1 : μ > 15 x 15 b) Om testvarabeln används och sgnfkansnvå sätts tll 1%, vad s / n blr då det krtska värdet som denna testvarabel ska jämföras med för att man ska kunna besluta om nollhypotesen kan förkastas? Ange dtt svar med två decmalers noggrannhet. (1p) c) Bestäm ett dubbelsdgt 99% konfdensntervall för den förväntade uppmätta radonhalten. Ange den övre gränsen med två decmalers noggrannhet. (1p) 6. Draghållfastheten hos vanlgt konstruktonsstål ska jämföras med draghållfastheten hos stål med en ny legerng. I ett laboratoreförsök mättes draghållfastheten hos 5 provbtar av vanlgt konstruktonsstål och 7 provbtar av stål med den nya legerngen. Man fck följande resultat (enhet Mpa): Konstruktonsstål x = 5., s1 = 3.9 Ny legerng y = 567., s =.8 - -
Tentamen Matematsk statstk, S1M, del 1, 9-3-5 Draghållfasthetsvärdena kan antas vara normalfördelade med väntevärde μ 1 för vanlgt konstruktonsstål och μ för stål med den nya legerngen. Standardavvkelsen kan antas vara samma för båda stålsorterna och betecknas med σ. Beräkna skattnngen av standardavvkelsen σ, som ska användas konfdensntervallet för μ1 μ. Ange svaret med två decmaler. 7. Ämnet PCB är förbjudet att använda, men fnns fortfarande kvar naturen. Det är också svårt att mäta, för det fnns 9 olka PCB-varanter, och att mäta alla dessa är svårt och kostsamt. Därför vlle man en stude se om det går att med hjälp av regressonsanalys bygga en modell där totalmängden PCB (PCB utskrften nedan) kan förklaras av några vanlga varanter (PCB138, PCB153, PCB18, PCB8, PCB5, PCB16, PCB118). Sammanlagt 5 mätnngar gjordes. I nedanstående tabell 1 ges resultatet (med vssa luckor) från regressonsanalysen: Tabell 1 The regresson equaton s PCB = 1,38 + 3,9 PCB138 +,951 PCB153 + 3,49 PCB18 +,39 PCB8 + 1,4 PCB5-16 PCB16 + 3,43 PCB118 Predctor Coef SE Coef T P Constant 1,375 1,173 1,17,45 PCB138 3,869,5173 6,35, PCB153,956,688 3,54,1 PCB18 3,4938,445 7,85, PCB8,391 1,8,1,31 PCB5 1,41,913 11,44, PCB16-15,8 15,7 -,11,917 PCB118 3,4333,6635 5,17, Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson 7 37799 33971 19,5, Resdual Error?????? Total 4 39853 a) Beräkna ett dubbelsdgt 95% konfdensntervall för regressonskoeffcenten för varabeln PCB153. Ange den övre gränsen med två decmaler. b) Vad blr den justerade förklarngsgraden? Ange dtt svar procent med två decmaler. 8. I tllverknngen av kretskort etsas mönster med en gasstråle. För att optmera processen gjordes ett 3 -försök med faktorerna elektrodavstånd (A, enhet: cm), gasflöde (B, enhet: cm 3 / s ) och effekt tll elektroderna (C, enhet: W). Som svarsvarabel användes etsnngshastghet, enhet: Å/m. Faktorerna A-C sattes tll låg respektve hög nvå, och försöket upprepades två gånger. I tabell ges försöksuppställnng och resultat. - 3 -
Tentamen Matematsk statstk, S1M, del 1, 9-3-5 Tabell Delförsök A B C Y 1 1-1 -1-1 55 64 577. 38. 1-1 -1 669 65 659.5 13.4 3-1 1-1 633 61 617..6 4 1 1-1 64 635 638.5 4.9 5-1 -1 1 137 15 144.5 1.6 6 1-1 1 749 868 88.5 84.1 7-1 1 1 175 163 169. 8.5 8 1 1 1 79 86 794.5 9.6 Medelvärde 76.5 791.6 Standardavvkelse 19.5 195.7 a) Bestäm en skattnng av samspelseffekten mellan faktor A och faktor B. Ange dtt svar med två decmaler. b) Bestäm standardavvkelsen för en effekt. Ange dtt svar med två decmaler. Y Y s (1p) Slut på del 1. Glöm nte att bfoga svarsbladet med tentan! - 4 -
Tentamen Matematsk statstk, S1M, del 1, 9-3-5 Tabell för svar tll del 1. Rv ut och lägg svarsbladet först tentamen! Namn... Personnummer... Fråga Svar Poäng 1 Sannolkhet 8.4% a Sannolkhet 83.% b Sannolkheten 53.33% 3 Standardavvkelse.38 4 a Sannolkhet 8.8% b Percentl 68.59 5 a Hypotespar B3 1 b Krtskt värde 3.11 1 c Övre gräns 113.6 6 Standardavvkelse 3.5 7 a Övre gräns 1.5 b Justerad förklarngsgrad 98.79% 8 a Samspelseffekt 4.88 1 b Standardavvkelse 3.7 Totalt antal poäng 5 Lycka tll! - 5 -
Tentamen Matematsk statstk, S1M, del (för överbetyg), 9-3-5 Vd bedömnngen av lösnngarna av uppgfterna del läggs stor vkt vd hur lösnngarna är motverade och redovsade. Tänk på att noga redovsa nförda betecknngar och eventuella antaganden. 9. Vd en ndustr som tllverkar plastdetaljer är en av produkterna en crkulär hållare som ska ha dametern 3 mm. För att kontrollera processen har man en procedur som går tll så att man varje tmme slumpmässgt tar ut 5 hållare ur produktonen. Dametern på dessa mäts, medelvärdet beräknas, och efter 8 tmmar sammanställs medelvärdena. Om två eller fler av dessa medelvärden hamnar utanför ntervallet [8.6, 31.4] mm så görs en översyn av produktonsprocessen. Anta att mätvärdena av dametern kan beskrvas med en normalfördelnng med väntevärdet 3 mm och standardavvkelsen 1.6 mm, hur stor är då sannolkheten att översyn måste göras? (8p) Lösnng: Låt ξ beteckna dametern hos en detalj. Den varabeln är fördelad enlgt N ( 3, 1. 6) mm. Den fråga som ställs är P ( översyn måste göras), vlket är detsamma som att P( mnst två medelvärden utanför ntervall). Där är det alltså antalet av sammanlagt åtta medelvärden som räknas, och då kan η få beteckna just det antalet. Den varabeln är fördelad enlgt Bn ( 8, p) där p står för sannolkheten att ett medelvärde hamnar utanför ntervallet. För medelvärdet gäller att N ( 8.6, 1.6 / 5) Detta beyder att P = ξ. ( ξ utanför gränserna) = 1 P( 8.6 < ξ < 31.4) 31.4 3 P( ξ < 31.4) P( ξ < 8.6) = Φ 8.6 3 Φ = 1.6 / 5 = Φ( 1.96) Φ( 1.96) =.5 = p Då är η Bn( 8,.5), så P( η ) = 1 P( η 1) = 1.948= 1.6 /.57. Det är alltså 5.7% chans att man får sgnal om att översyn ska göras när processens väntevärde är 3 och processens standardavvkelse är 1.6 mm. (8p) 5 = 1. I en stude av vktöknngen vd ökat energntag fck 16 försökspersoner (nte övervktga, åldrar mellan 5 och 36 år) varje dag äta mat som nnehöll 1 kalorer mer än vad de behövde för att bbehålla sn vkt. Deten pågck 8 veckor, så de fck totalt sg 56 kalorer mer än de behövde. I tabell 3 ges vkterna kg före och efter den 8 veckor långa försöksperoden: Tabell 3 Försöksperson 1 3 4 5 6 7 8 Vkt före 55.7 54.9 59.6 6.3 74. 75.6 7.7 53.3 Vkt efter 61.7 58.8 66. 66. 79. 8.3 74.3 59.3 Försöksperson 9 1 11 1 13 14 15 16-6 -
Tentamen Matematsk statstk, S1M, del (för överbetyg), 9-3-5 Vkt före 73.3 63.4 68.1 73.7 91.7 55.9 61.7 57.8 Vkt efter 79.1 66. 73.4 76.9 93.1 63. 68. 6.3 Några sammanfattade mått på dessa varabler ges nedanstående tabell: Medelvärde Standardavvkelse Vkt före 65.74 1.3 Vkt efter 7.48 9.74 Dff 4.731 1.746 Här har Dff beräknats som dfferensen Vkt efter Vkt före för varje ndvd. Enlgt teorn ska 56 extrakalorer resultera en vktöknng på mnst 3,9 kg. Kan man utfrån detta materal vsa att den förväntade vktöknngen efter en det av detta slag är det som förutsägs av teorn? a) Besvara frågan genom att utföra ett lämplgt hypotestest på 5% sgnfkansnvå som bygger på rmlga normalfördelnngsantaganden. b) Besvara frågan genom att utföra ett lämplgt hypotestest på 5% sgnfkansnvå om man nte kan göra något normalfördelnngsantagande. I lösnngen ska det tydlgt framgå defntonen av de ngående stokastska varablerna och deras fördelnngar samt hypoteser och testvarabel. Det ska också framgå tydlgt ord vlka slutsatser som dras. Lösnng 1a) Låt ξ beteckna vkten före behandlng hos person nr, och η vkten hos samma person efter deten. Eftersom föväntad vkt/person före deten kan varera ganska mycket och v har en mycket tydlg stuaton med parvsa värden är den rmlga modellen s k stckprov par. V antar däför att ξ N( μ, σ 1 ) och η N ( μ + Δ, σ ) och att paren ( ξ, η ), = 1,,...,16 är oberoende. Den fråga som ställs kan besvaras med ett hypotestest där H : Δ = 3.9 kg och H1 : Δ > 3. 9 kg. För att utföra det testet måste man först blda dfferenserna för respektve person, dvs ς = η ξ, sedan blda medelvärdet av dessa, dvs ς. För dessa varabler gäller att ς N( Δ, σ ), där σ σ 1 + σ =, och att ς ( Δ, σ / 16 ) N. Eftersom v nte har någon uppgft om varablernas standardavvkelser måste den skattas med s-metoden, dvs * 1 σ = ( ς ς ). 16 1 Då gäller att ς Δ t( 15). * σ / 16 Detta betyder att v som testvarabel kan använda (8p) (6p) - 7 -
Tentamen Matematsk statstk, S1M, del (för överbetyg), 9-3-5 z 3.9 t =, s / 16 * där z är observerat värde på ς och s är observerat värde på σ. Beslutsregeln t > 15. t.5 på 5% blr: förkasta nollhypotesen om ( ) Från uppgften fås att z = 4.731, s = 1.746 och därmed 4.731 3.9 t = = 1.94 1.746 / 16 Från t-tabellen fås t.5 ( 15) = 1.753. Eftersom 1.94 > t ( ).5 15 = 1.753 så förkastas nollhypotesen på 5% sgnfkansnvå och med 5% felrsk har v påvsat att den förväntade vktöknngen är mnst 3.9 kg. Lösnng 1b) Utan normalfördelnngsantagande så kan ett teckentest användas, men det måste anpassas tll stuatonen att nollhypotesen är att den förväntade dfferensen är 3.9 stället för. V har alltså H : Den förväntade vktöknngen är 3.9 kg och H1 : Den förväntade vktöknngen > 3.9 kg. Som testvarabel används y = antalet dfferenser (Vkt efter Vkt före) som är större än 3.9. H förkastas om y är alltför stor. Om H är sann så är y en observaton på η, där η Bn(16,.5). V använder nu drektmetoden för att dra en slutsats. Med den noggrannhet som datat är redovsat får v att för 9 försökspersoner har vkten ökat mer än 3.9 kg, för försökspersoner är vktöknngen exakt 3.9 kg och för 5 försökspersoner är vktöknngen mndre är 3.9 kg. Eftersom två personer har exakt 3.9 kg:s vktöknng så utesluter v dessa och då blr η Bn(14,.5). V får då att P( η 9 η Bn(14,.5)) = 1 P( η 8 η Bn(14,.5)) = 1.788 =.1 Eftersom denna sannolkhet är större än.5 så kan H nte förkastas på 5% sgnfknasnvå. Med denna metod så kan v alltså nte påvsa någon vktöknng på mer än 3.9 kg. 11. Ett farmaceptskt företag gjorde ett experment för att studera hur snabbt en ny typ av smärtstllande medcn kunde lndra smärta. Det smärtstllande medlet gavs 4 olka doser:, 5, 7 eller 1 gram tll en grupp patenter med lknande typ av smärta. Man mätte sedan tden ( mnuter) som det tog tll dess att patenten upplevde en märkbar smärtlndrng. I studen deltog lka många män och kvnnor. Resulten av studen framgår av tabell 4, där kvnna har kodats med och man med 1. Tabell 4. Td avser tden mnuter tll dess patenten upplevde en märkbar smärtlndrng. Dos mäts enheten gram. Kön har kodats så att = kvnna och 1 = man. Patent Td Dos Kön Patent Td Dos Kön 1 35 13 19 7 43 14 11 7 3 55 15 14 7 4 47 1 16 3 7 1 5 43 1 17 7 1 6 57 1 18 7 1 7 6 5 19 13 1-8 -
Tentamen Matematsk statstk, S1M, del (för överbetyg), 9-3-5 8 7 5 8 1 9 8 5 1 3 1 1 9 5 1 7 1 1 11 5 1 3 6 1 1 1 9 5 1 4 5 1 1 En multpel regressonsanalys gjordes för att skatta en enkel modell över td tll märkbar smärtlndrng som funkton av dosnvå och kön. Resultatet framgår av Mntabutskrften tabell 5. a) Ange de modellantaganden som lgger tll grund för analysen tabell 5. Kan man påstå att den förväntade tden tll märkbar smärtlndrng skljer sg mellan män och kvnnor? I så fall, hur stor är skllnaden och på vlket sätt skljer sg män och kvnnor åt? Besvara frågorna med hjälp av ett lämplgt 9% konfdensntervall. Intervallet ska tydlgt tolkas ord. b) Efter att ha analyserat resdualerna gjordes en ny regressonsanalys där även varabeln Dos togs med modellen. Resultatet framgår av tabell 6. Var det värt att utöka modellen med varabeln Dos? Besvara frågan med ett lämplgt hypotestest på 5% sgnfkansnvå och genom att jämföra två andra lämplga mått. Hypoteser, beslutsregel och slutsats ska framgå tydlgt. (4p) (4p) Tabell 5 The regresson equaton s Td = 48.3-4.14 Dos + 5.67 Kön Predctor Coef SE Coef T P Constant 48.34 3.848 1.56. Dos -4.1373.586-7.83. Kön 5.667 3.8 1.84.8 S = 7.5498 R-Sq = 75.5% R-Sq(adj) = 73.1% Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson 3684.5 184.3 3.33. Resdual Error 1 1196.8 57. Total 3 4881.3 Tabell 6 The regresson equaton s Td = 6.4-1.3 Dos +.511 Dos^ + 5.67 Kön Predctor Coef SE Coef T Constant 6.379 5.883 1.6 Dos -1.71.17-4.73 Dos^.5111.1768.89 Kön 5.667.65.14 S = 6.49676 R-Sq = 8.7% R-Sq(adj) = 8.1% Analyss of Varance - 9 -
Tentamen Matematsk statstk, S1M, del (för överbetyg), 9-3-5 Source DF SS MS F P Regresson 3 437. 1345.7 31.88. Resdual Error 844. 4. Total 3 4881.3 Lösnng 11a) V antar att Y = β + β X + β X + ε, där ε N(, σ), = 1,,..., n, 1 1 ε, ε,..., ε är oberoende stokastska varabler, 1 Y = td, X = dos, X 1, X n 1 1, om försökspersonen är en kvnna, = 1, om försökspersonen är en man. Den förväntade tden tll märkbar smärtlndrng skljer sg mellan män och kvnnor om β. För att besvara frågan beräknas ett 9% konfdensntervall för β. Från Tabell 5 fås konfdensntervallet ± (1) = 5.667 ± 1.71 3.8 = 5.667 ± 5.34 b t.5 s b Det 9% konfdensntervallet är alltså [.36, 1.98]. Eftersom detta ntervall nte nnehåller så kan man påstå att den förväntade tden tll märkbar smärtlndrng skljer sg mellan män och kvnnor vd 9% konfdensgrad. Med 9% säkerhet kan v säga att, för fx nvå på dosen, så är förväntad td tll smärtlndrng mellan.3 och 11 mnuter längre för män än för kvnnor. Lösnng 11b) Med Dos modellen blr E( Y) = β + β X + β X + β X 1 1 3 1 För att undersöka om det värt att utöka modellen med varabeln Dos så testas H: β 3 =, gvet att X1 och X ngår modellen mot H1: β3, gvet att X1 och X ngår modellen. Testvarabeln är b3.511 T = t-kvot = = =.89. s.1768 b3 Beslutsregeln är: förkasta om H om T > t.5 () =.86. Eftersom T =.89 >.86 så kan H förkastas på 5% sgnfkansnvå och v kan med 5% felrsk påstå att det var värt att utöka modellen med varabeln Dos. V ser också att resdualsprdnngen har mnskat från 7.55 tll 6.5 och att den justerade förklarngsgraden har ökat från 73.1% tll 8.1%. Förändrngarna båda dessa mått tyder också på att det var värt att utöka modellen. - 1 -