ANDRA BASER ÄN TIO EXTRAMATERIAL TILL Matematikens grunder för lärare Anders Månsson
Extramaterial till boken Matematikens grunder för lärare (art.nr. 38994), Anders Månsson. Till Tallära-kapitlet: Andra baser än tio Till Geometrikapitlet: Konstruktion av plana geometriska figurer och Avbildningar Tanken är boken Matematikens grunder för lärare ska vara en bok som lärarutbildningarna runt om i Sverige vill använda. Är därför tacksam för återkoppling på boken, om saker som läsare och lärarutbildningspersonal anser borde funnits i boken, borde ändras, borde tas bort, etc. Vänd er då till förlaget, se under rubriken Kontakt. Anders Månsson Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bok utgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess. Författaren och Studentlitteratur 2015 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund
25 januari 2016 sida 1 # 1 ANDRA BASER ÄN TIO Anta att det finns utomjordiskt liv och att de precis som vi har två händer, men bara fyra fingrar på varje hand, dvs. åtta fingrar totalt (se figur 0.1). FIGUR 0.1 Har de en matematik som liknar vår, använder de antagligen bara åtta siffror, nämligen siffrorna 0 till 7. Talen vi kallar åtta, nio och tio, skriver de 10, 11 respektive 12 (se figur 0.2). FIGUR 0.2 Utomjordingarna räknar alltså i en annan bas, nämligen basen åtta. Vi människor räknar i basen tio (dvs. A som vi införde på sidan 54 i boken). Datorer räknar i basen två med siffrorna 0 och 1. På samma sätt som vi människor inte använder¹ siffran A, använder utomjordingarna inte siffran 8 och datorer använder inte siffran 2. Vi, utomjordingarna och datorerna använder istället sifferkombinationen 10 för att beteckna basen. För oavsett vilken bas man räknar i, betecknar man basen med 10. Men 10 representerar alltså olika tal för oss, utomjordingarna och datorerna. För att undvika missförstånd kan man när det behövs indexera tal med basen man använder. T.ex. är 238 talet 23 i basen åtta. Finns inget index som visar basen, antar vi att den är underförstådd, vanligtvis basen tio (dvs. A). Allt det vi gått igenom för tiosystemet, gäller också för andra baser. Exempelvis är 3 2 4 361sju = 4 10sju +3 10sju +6 10sju +1 = 4 1 000sju +3 100sju +6 10sju +1. 1 Ibland gör vi det, t.ex. om vi räknar i en bas som är större än tio. F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R 1
Här har vi skrivit basen sju med bokstäver för att göra det mer läsligt. I figur 0.3 visas hur 10-högarna, 100-högarna och 1 000-högarna ser ut i basen sju. FIGUR 0.3 10 sju, 100 sju och 1 000 sju. För en sifferkombination med n siffror i en godtycklig bas gäller: eller abc...wx yz bas = a 10 n 1 bas + b 10 n 2 bas + c 10 n 3 bas +... + w 10 3 bas + x 10 2 bas + y 10 bas + z, (1) n 1 st n 2 st n 3 st abc...wx yz bas = a 10...0 bas + b 10...0 bas + c 10...0 bas +... + w 1 000 bas + x 100 bas + y 10 bas + z. (2) Observera att man bara använder siffror som är mindre än basen. Till exempel är 45 fem eller 172 sex inte tillåtna sifferkombinationer. Notera att en sifferkombination representerar olika tal i olika baser. Exempelvis är 45 sex = 4 6 + 5 = 29, medan 45 sju = 4 7 + 5 = 33. Exempel 0.1 432 fem i basen tio är 4 10 2 fem + 3 10 fem + 2 = 4 5 2 + 3 5 + 2 = 117. 2 FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR
25 januari 2016 sida 3 # 3 Exempel 0.2 Vi ska uttrycka 789 i basen sex. Eftersom 63 < 789 < 64 kommer sifferkombinationen att bli fyrsiffrig. Första siffran är 3, eftersom 3 63 < 789 < 4 63. Det återstår 789 3 63 = 141 av 789. Andra siffran är 3, eftersom 3 62 < 141 < 4 62. Det återstår 141 3 62 = 33 av 141. Tredje siffran är 5, eftersom 5 6 < 33 < 6 6. Det återstår 33 5 6 = 3 av 33, dvs. den fjärde siffran är 3. Alltså är 789 = 3 353sex. Räkna i en annan bas än tio Att räkna i en godtycklig bas fungerar på samma sätt som i basen tio (dvs. A). Skillnaden är att man använder en annan uppsättning av siffror, och andra additions- och multiplikationstabeller. Exempelvis använder man i basen fem bara siffrorna 0, 1, 2, 3, 4. När man adderar eller subtraherar tal, t.ex. 125 + 4 och 125 3, kan det vara en fördel att använda en tallinje som i figur 0.4.² Figuren visar att 125 + 4 = 215 och att 125 3 = 4. FIGUR 0.4 För att multiplicera kan man använda definition (1.7) på sidan 16 i boken, dvs. multiplikation som upprepad addition. Division är enligt (1.22) på sidan 27 i boken definierad utifrån multiplikation, så också här kan man använda upprepad addition. För större uträkningar kan man använda räknealgoritmerna för de fyra räknesätten. Proceduren och logiken i räknealgoritmerna för en godtycklig bas, är samma som för basen tio. Man kan såklart också göra om talen till basen tio, göra uträkningarna i basen tio och därefter göra om till den ursprungliga basen. Men då försvinner delvis meningen med att räkna i andra baser. För anledningen till att vi gör det i denna bok, är för att det hjälper oss att förstå hur tiosystemet fungerar. 2 Notera att man inte behöver indexera en siffra med basen. F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R 3
Exempel 0.3 Nedanför visas additions- och multiplikationstabellen i basen fem. + 1 2 3 4 1 2 3 4 10 2 3 4 10 11 3 4 10 11 12 4 10 11 12 13 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 11 13 3 3 11 14 22 4 4 13 22 31 Multiplikationstabellen har vi här konstruerat genom att använda upprepad addition, t.ex. 2 3 = 3 + 3 = 11 fem. Exempel 0.4 Produkten 4 13 nio kan räknas ut med upprepad addition, t.ex. 13 nio + 13 nio + 13 nio + 13 nio = 10 nio + 10 nio + 10 nio + 10 nio + 3 + 3 + 3 + 3 = 40 nio + 13 nio = 53 nio. Man kan också använda räkneregel (1.10) på sidan 18 i boken: 4 (10 nio + 3) = 4 10 nio + 4 3 = 40 nio + 13 nio = 53 nio. Exempel 0.5 Divisionen 102 fyra /3 kan man göra t.ex. genom att gissa en kvot, pröva om den stämmer och korrigera utifrån det man får. Anta att vi gissar på 10 fyra. Eftersom 3 10 fyra = 10 fyra + 10 fyra + 10 fyra = 30 fyra, 4 FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR
var 10 fyra för lite. Därför gissar vi på ett större tal, t.ex. 20 fyra : 3 20 fyra = 20 fyra + 20 fyra + 20 fyra = 100 fyra + 20 fyra = 120 fyra, vilket var för mycket. Vi prövar därför en mindre kvot, t.ex. 12 fyra : 3 12 fyra = 12 fyra + 12 fyra + 12 fyra = 10 fyra + 10 fyra + 10 fyra + 2 + 2 + 2 = 10 fyra + 10 fyra + 10 fyra + 10 fyra + 2 = 100 fyra + 2 = 102 fyra, vilket var korrekt, dvs. 102 fyra /3 = 12 fyra. Exempel 0.6 Nedanför visas exempel på räknealgoritmerna i basen 7. 1 1 4 4 5 + 3 6 4 1 1 4 2 5 0 5 2 / 6 = 5 6 5 4 2 5 5 5 1 4 2 4 2 0 10 10 /4 /3 5 2 5 6 1 4 6 /2 /2 /2/1 /1 /1 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 0 4 6 5 1 0 + 5 2 5 0 0 6 3 4 1 4 UPPGIFTER: ANDRA BASER ÄN TIO (FACIT SIDAN 9) 1. Uttryck talet i basen tio: a) 10 fem b) 10 sex c) 10 tretton d) 11 elva e) 12 tolv f) 102 tre g) 234 fem h) 100 111 två i) 7A2 tolv j) BAD femton k) ABC D l) KL M 2. Uttryck talet 100 A i alla baser fr.o.m. 2 t.o.m. E. FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR 5
3. Uttryck talet a) 123 i basen 4 b) 567 i basen 8. 4. Gör en additions- och multiplikationstabell för baserna 3, 8 och 12. 5. Räkna ut i angiven bas (dvs. utan att göra om till basen tio): a) 4 + 5 + 6 i bas 7 b) 12 åtta 4 c) 2A tretton B d) AB tolv 7 e) 11 sex 4 + 13 sex 5 f) 5 12 sju g) 10 110 två + 11 101 två 6. Förklara varför följande gäller för en godtycklig bas b: a) 10b k = 1000...00b k st b) 10 m b 10n b = 10m+n b c) 10 b 100 b = 1 000 b, 1 000 b 10 b = 10 000 b, 100 b 100 b = 10 000 b, etc. Dvs. det är samma antal nollor i högerledet som i vänsterledet. d) 5 1 000 b = 5 000 b, 73 b 100 b = 7 300 b, 416 b 100 b = 41 600 b, etc. e) 300 b + 20 b = 320 b, 5 000 b + 600 b = 5 600 b, 4 000 b + 50 b = 4 050 b, etc. f) 12 åtta +34 åtta = 46 åtta, 324 elva +123 elva = 447 elva, 403 nio +213 nio = 616 nio, etc. Dvs. hur kommer det sig att man får summan genom att addera siffrorna var för sig? Vad händer om siffrornas summor blir lika stor som eller större än basen? g) 54 nio 12 nio = 42 nio, 324 elva 123 elva = 201 elva, 456 sju 321 sju = 135 sju, etc. Dvs. hur kommer det sig att man får differensen genom att subtrahera siffrorna var för sig? Vad händer om siffran i den första termen är mindre än siffran i den andra termen? 7. Förklara varför man kan uttrycka ett tal på följande sätt: a) 37 b = 30 b +7, 534 b = 500 b +30 b +4, 3 042 b = 3 000 b +40 b +2, etc. b) 50 b = 5 10 b, 300 b = 3 100 b, A000 b = A 1 000 b, etc. 8. För att räkna ut summor som t.ex. 40 sex + 50 sex eller 400 sex + 500 sex kan man använda additionstabellen i basen 6, bara man lägger på riktigt antal nollor i slutet av siffersumman. Eftersom 4 + 5 = 13 sex har vi att 40 sex + 50 sex = 130 sex och 400 sex + 500 sex = 1 300 sex. Principen är densamma för multiplikation. Eftersom 4 5 = 32 sex, får vi 40 sex 50 sex = 3 200 sex och 40 sex 500 sex = 32 000 sex. Förklara varför man kan göra på det här sättet. 6 FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR
9. Både räkna ut och svara i angiven bas, utan att använda en räknealgoritm: a) 41 åtta + 23 åtta b) 456 tolv 321 tolv c) 4 539 D + 2 231 D d) 4 539 C 2 231 C e) 718 C 517 C f) CBA D BA0 D g) 50 8 + 70 8 h) 50 elva + 60 elva i) 100 två + 100 två j) 3 000 fem + 4 000 fem k) A00 tolv + B00 tolv l) 220 tre + 10 tre m) 3 300 fyra + 200 fyra n) 888 nio + 111 nio o) 999 tio + 111 tio p) 88 nio + 22 nio q) 88 A + 22 A r) 88 B + 22 B 10. Både räkna ut och svara i angiven bas: a) 417 8 + 36 8 b) 417 åtta 36 åtta c) 233 fyra + 321 fyra d) 111 6 222 6 + 333 6 e) 4 234 5 + 3 322 5 f) 712 B 3A3 B g) AB D + AC D + BC D 11. Både räkna ut och svara i angiven bas, utan att använda en räknealgoritm: a) 3 11 fem b) 7 21 åtta c) 4 A i bas B d) 11 2 4 e) 11 2 5 f) 22 2 7 g) 11 sex 12 sex h) 23 nio 74 nio i) A4 tolv 4B tolv j) 102 tre 211 tre k) 1 010 två 1 101 två l) 10 åtta /4 m) 11 fem /2 n) 22 nio /5 o) 54 sex /2 p) 100 fyra /10 fyra q) 100 elva /10 elva r) 220 tretton /10 tretton s) 452 6 /4 t) AA C /A 12. Både räkna ut och svara i angiven bas, genom att använda en räkne- FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR 7
algoritm: a) 324 åtta + 241 åtta b) 546 nio + 123 nio c) 6 563 sju + 4 256 sju d) 3 574 B + 1 A24 B + A1A5 B e) A7BC E + 4 BBD E f) 365 7 123 7 g) 4 103 fem 2 334 fem h) 1 011 001 två 111 111 två i) CBA D BAC D j) 123 4 3 k) 523 nio 34 nio l) 34 B 45 B m) 432 8 121 8 n) 542 9 418 9 o) 2 201 tre 2 012 tre p) A4B D 58C D q) 1 101 011 2 1 010 011 2 r) 45 7 /3 s) 778 9 /2 t) 353 7 /5 u) 2 121 tre /21 tre v) 591 B /14 B w) 27 406 C /261 C x) 21 013 8 /43 8 y) 226 347 B /385 B 8 FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR
FACIT ANDRA BASER ÄN TIO 1. a) 5 b) 6 c) 13 d) 12 e) 14 f) 11 g) 69 h) 39 i) 1 130 j) 2 638 k) 1 845 l) 461 2. 1 100 100 2 = 10 201 3 = 1 210 4 = 400 5 = 244 6 = 202 7 = 144 8 = 121 9 = 100 A = 91 B = 84 C = 79 D = 72 E 3. a) 1 323 4 b) 1 067 8 4. + 1 2 1 2 10 21011 1 2 1 1 2 2 2 11 + 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 2 3 4 5 6 7 1011 3 4 5 6 7 101112 4 5 6 7 10111213 5 6 7 1011121314 6 7 101112131415 710111213141516 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10 11 3 4 5 6 7 8 9 A B 1011 12 4 5 6 7 8 9 A B 1011 12 13 5 6 7 8 9 A B 1011 1213 14 6 7 8 9 A B 1011 121314 15 7 8 9 A B 101112131415 16 8 9 A B 10111213141516 17 9 A B 1011121314151617 18 A B 101112131415161718 19 B10 11 12131415161718191A 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 2 2 4 6 10 12 14 16 3 3 6 11 14 17 2225 4 4 101420243034 5 5 121724 31 3643 6 6 142230364452 7 7 1625344352 61 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 3 3 6 9 10 13 16 19 2023 26 29 4 4 8 10 14 18 20 24 2830 34 38 5 5 A 13 18 21 262B3439 42 47 6 6 10 16202630 36 4046 50 56 7 7 12 19242B36 41 48535A65 8 8 14 2028344048 5460 68 74 9 9 16 23303946 53 6069 76 83 AA 18 263442505A6876 84 92 B B1A29384756 65 74 83 92 A1 5. a) 21 sju b) 6 c) 1C tretton d) A4 tolv e) 11 sex f) 4 g) 110 011 två k st 6. a) Enligt (1) är 1000...00 b = 1 10b k = 10k b b) Följer direkt från räkneregel (1.37) på sidan 42 i boken. FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR 9
facit c) Följer av a) och b). d) T.ex. 73 b 100 b = (7 10 b + 3) 10 2 b = 7 103 b + 3 102 b = 7300 b e) T.ex. 300 b + 20 b = 3 10 2 b + 2 10 b = 320 b f) T.ex. 12 åtta + 34 åtta = 1 10 åtta + 2 + 3 10 åtta + 4 = (1 + 3) 10 åtta + (2 + 4) = 4 10 åtta + 6 = 46 åtta. Blir inte siffrornas summor mindre än basen, blir det mer komplicerat, eftersom man då måste växla siffrornas summor uppåt till siffror i högre tiopotenser. g) T.ex. 54 nio 12 nio = 5 10 nio +4 1 10 nio 2 = (5 1) 10 nio +(4 2) = 4 10 nio +2 = 42 nio. Är siffran i den första termen mindre än siffran i den andra termen, blir det mer komplicerat, eftersom man då måste växla siffror nedåt från högre tiopotenser. 7. a) T.ex. 534 b = 5 10 2 b +3 10 b +4 = (5 10 2 b +0 10 b +0)+(3 10 b +0)+4 = 500 b + 30 b + 4 b) T.ex. 300 b = 3 10 2 b + 0 10 b + 0 = 3 10 2 b = 3 100 b 8. T.ex. 400 sex +500 sex = 4 10 2 sex +5 10 2 sex = (4+5) 10 2 sex = 13 sex 100 sex = 1 300 sex. Och t.ex. 40 sex 500 sex = 4 10 sex 5 100 sex = 4 5 10 sex 100 sex = 32 sex 1 000 sex = 32 000 sex 9. a) 64 åtta b) 135 tolv c) 6 76A D d) 2 308 C e) 201 C f) 11A D g) 140 8 h) 100 elva i) 1 000 två j) 12 000 fem k) 1 900 tolv l) 1 000 tre m) 10 100 fyra n) 1 110 nio o) 1 110 tio p) 121 nio q) 110 A r) AA B 10. a) 455 8 b) 361 åtta c) 1 220 fyra d) 222 6 e) 13 111 5 f) 31A B g) 279 D 11. a) 33 fem b) 167 åtta c) 37 B d) 121 4 e) 121 5 f) 514 7 g) 132 sex h) 1 833 nio i) 4 298 tolv j) 22 222 tre k) 10000010 två l) 2 m) 3 n) 4 o) 25 sex p) 10 fyra q) 10 elva r) 22 tretton s) 112 6 t) 11 C 10 FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR
facit 12. a) 565 åtta b) 670 nio c) 14 152 sju d) 14 692 B e) 11 59B E f) 242 7 g) 1 214 fem h) 11 010 två i) 10B D j) 1 101 4 k) 20 103 nio l) 1 3A9 B m) 54 472 8 n) 250 187 9 o) 12 220 112 tre p) 46C A32 D q) 10001010110001 2 r) 14 7 s) 384 9 t) 52 7 u) 101 tre v) 43 B w) 106 C x) 371 8 y) 658 B FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR 11