Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Daniel Dufåker Mikael Marklund

matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Daniel Dufåker Mikael Marklund 1b Smak prov!

SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon 08 696 86 00 Telefax 08 696 86 10 Redaktion: Lena Bjessmo, Karolina Danström och Olof Edblom Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Jan Wilhelmsson, Karin Olofsson, Jakob Robertsson, Jerker von Vegesack och Yann Robardey. Bildredaktör: Margareta Söderberg Matematik Origo 1b ISBN 978-91-523-0924-7 2011 Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Daniel Dufåker, Mikael Marklund och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Andra upplagan Andra tryckningen Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Printed in Lettland by Livonia Print, 2011

Till läsaren Matematik Origo 1b är skriven för dig som ska läsa matematik kurs 1b på Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet eller Estetiska programmet. Boken är helt anpassad för Gy 2011 och följer ämnesplanens centrala innehåll och syfte. För oss som har skrivit den här boken är matematik så mycket mer än att bara räkna. Därför har vi valt att i Matematik Origo lyfta fram problemlösning, förståelse och det matematiska samtalet. Vår förhoppning är att Matematik Origo ska förmedla samma nyfikenhet och glädje som vi känner inför matematikämnet. Matematik Origo 1b är indelad i åtta kapitel. Varje kapitel inleds med att ange de Förkunskaper som du behöver, det Centrala innehåll som kapitlet tar upp och vad du ska kunna när du har arbetat färdigt med kapitlet. Det gör det lättare för dig att själv ta ansvar för dina studier. I början av varje kapitel finner du också ett eller flera matematiska problem. Teorigenomgång följs av lösta Exempel som belyser teorin och förklarar viktiga matematiska färdigheter. I samband med exemplen finns kortfattade instruktioner till hur du kan använda din grafritande räknare. Till varje avsnitt finns uppgifter på tre olika nivåer och av olika karaktär. På varje nivå finns uppgifter som tränar din förmåga till problemlösning. Öppna uppgifter är uppgifter som inte har ett givet svar och som många gånger kräver en matematisk diskussion. Efter varje delkapitel kommer Resonemang och begrepp. Där kan du tillsammans med dina kamrater och din lärare utveckla förmågan att förstå och använda matematiska begrepp, att föra matematiska resonemang och att kommunicera matematik. Till varje kapitel finns en större uppgift av tematisk karaktär, som vi har valt att kalla -uppgift. Här finns möjlighet för dig att utveckla de matematiska förmågor och kunskaper som behövs för ett högre betyg. I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv. I Problem och undersökningar får du tillfälle att träna problemlösning och ett undersökande arbetssätt. Här finner du lite mer omfattande och utmanande uppgifter. Tankekartan visar hur de olika matematiska begreppen hänger ihop. Tankekartan kan ses som en sammanfattning av kapitlet och är en bra utgångspunkt för ett muntligt test. I Blandade uppgifter finns uppgifter på tre nivåer. Här får du möjlighet att befästa dina kunskaper från hela kapitlet. Sist i varje kapitel finns ett Test. Där har du möjlighet att själv kontrollera dina kunskaper. Testet är uppdelat i två delar, en del som ska lösas utan räknare och en del där du får använda räknare. Lycka till med dina matematikstudier! Författarna

Innehåll 1 Tabeller och diagram 6 1.1 Avläsa och tolka diagram.................... 8 Avläsa och använda tabeller 8 Avläsa och använda diagram 13 -uppgift: Studenter över Sveriges gränser...... 18 Historia: Florence Nightingale.................. 19 Problem och undersökningar................. 20 Tankekarta................................... 21 Blandade uppgifter........................... 22 Kapiteltest................................... 25 2 Tal 26 2.1 Tal i olika former............................ 28 Talmängder 28 Negativa tal 29 Primtal och delbarhet 32 Bråk 35 Addition och subtraktion av bråk 38 Multiplikation och division av bråk 40 2.2 Potenser..................................... 43 Potenser med positiva heltalsexponenter 43 Negativa exponenter och exponenten noll 46 Prioriteringsregler 48 2.3 Talsystem................................... 51 Tal i decimalform 51 Värdesiffror 54 Tal i grundpotensform 57 Prefix 59 Det binära talsystemet 61 -uppgift: Musik och matematik................ 65 Historia: Talsystem genom historien........... 66 Problem och undersökningar................. 68 Tankekarta.................................. 69 Blandade uppgifter.......................... 70 Kapiteltest................................... 74 3 Algebra och ekvationer 76 3.1 Algebraiska uttryck......................... 78 Teckna och tolka uttryck 78 Att förenkla uttryck 81 Multiplicera in i parenteser 84 Faktorisera uttryck 86 3.2 Ekvationer................................... 88 Vad är en ekvation? 88 Ekvationslösningens grunder 90 Mer om ekvationer 92 Ekvationer med nämnare 94 Ekvationen som en matematisk modell 96 Andra- och tredjegradsekvationer 100 Olikheter 103 3.3 Formler och talföljder...................... 106 Att använda formler 106 Mönster och formler 109 Aritmetiska talföljder 112 -uppgift: Mount Everest världens tak........ 116 Historia: Fibonaccis talföljd................... 117 Problem och undersökningar................. 118 Tankekarta.................................. 119 Blandade uppgifter.......................... 120 Kapiteltest.................................. 124 4 Procent 126 4.1 Procent och procentberäkningar.......... 128 Procent ett sätt att skriva hundradelar 128 Andelen och det hela 130 Promille och ppm 133 4.2 Procentuella förändringar................. 135 Förändringsfaktor 135 Procentenheter 139 4.3 Procentberäkningar i samhället........... 141 Index och KPI 141 Ränteberäkningar 145 Lån och kreditköp 147 -uppgift: En korg full...................... 151 Historia: Procenttecknet och Big Mac-index..... 152 Problem och undersökningar................. 153 Tankekarta.................................. 154 Blandade uppgifter.......................... 155 Kapiteltest.................................. 158

5 Funktioner 160 5.1 Ekvationer, tabeller och grafer............ 162 Koordinatsystemet 162 Linjära samband 164 Från ekvation till graf 167 Proportionalitet 170 Räta linjens ekvation 172 Ekvationslösning med grafritande räknare 176 5.2 Vad är en funktion?........................ 178 Funktion och funktionsvärde 178 Definitionsmängd och värdemängd 181 Exponentialfunktioner 184 Potensfunktioner 188 -uppgift: Stockholm Maraton................ 193 Historia: Kryptering.......................... 194 Problem och undersökningar................. 195 Tankekarta.................................. 196 Blandade uppgifter.......................... 197 Kapiteltest................................. 200 6 Statistik 202 6.1 Tolka tabeller och diagram............... 204 Frekvenstabell 204 Tolka och granska diagram 206 6.2 Granska statistik........................... 213 Urval 213 Svarsbortfall 218 -uppgift: Släng inte maten spara miljön..... 221 Historia: Opinionsundersökningar............. 222 Problem och undersökningar................. 223 Tankekarta.................................. 224 Blandade uppgifter.......................... 225 Kapiteltest.................................. 228 7 Sannolikhetslära 230 7.1 Enkla slumpförsök......................... 232 Den klassiska sannolikhetsdefinitionen 232 Sannolikhet som relativ frekvens 236 7.2 Slumpförsök i flera steg.................. 240 Produktregeln 240 Träddiagram 243 Komplementhändelse 247 -uppgift: Snörspel och dobbel................ 250 Historia: Sannolikhetslära och spel............. 251 Problem och undersökningar................. 252 Tankekarta.................................. 253 Blandade uppgifter.......................... 254 Kapiteltest.................................. 256 8 Geometri och bevis 258 8.1 Vinklar och trianglar...................... 260 Olika slags vinklar 260 Vinklar i trianglar 263 8.2 Omkrets, area och volym.................. 267 Enheter för area och volym 267 Geometriska figurer 269 Volym och area 273 Skala 277 Symmetri 280 8.3 Matematiska bevis........................ 287 Matematisk argumentation 287 Satser och bevis 291 Pythagoras sats 295 -uppgift: Typografi.......................... 298 Historia: Det finns ingen kungsväg......... 299 Problem och undersökningar................ 300 Tankekarta.................................. 301 Blandade uppgifter.......................... 302 Kapiteltest................................. 306 Facit Matematik Origo 1b 308 Register 342 Exempel och uppgifter har fokus på samhällsvetenskapliga och ekonomiska frågeställningar.

4 Procent Delkapitel 4.1 Procent och procentberäkningar 4.2 Procentuella förändringar 4.3 Procentberäkningar i samhället Förkunskaper Tal i bråk- och decimalform Ekvationslösning Potenser med heltalsexponenter Avrundning Förkunskaper, innehåll och mål Varje kapitel inleds med att berätta vilka förkunskaper som behövs och vad eleven förväntas lära sig av kapitlet. Det hjälper eleven att själv ta ansvar för sina studier. Centralt innehåll Fördjupning av procentbegreppet: promille, ppm och procentenheter Begreppen förändringsfaktor och index samt metoder för beräkning av räntor och amorteringar för olika typer av lån 126

Procenträkning förekommer överallt i samhället. I tidningar, reklamblad, tv- och radiokanaler presenteras jämförelser och undersökningar där man visar resultaten med hjälp av procent. Till exempel uttrycker man valresultat, löneökningar, rabatter, moms och inte minst räntekostnader i procent. Förr i världen kallade man en person som lånade ut pengar mot orimligt hög ränta för procentare. Även om det ordet inte längre används, så möter vi i dag ständigt erbjudanden om snabba lån eller avbetalningsköp där räntan blir orimligt hög. När du är klar med det här kapitlet ska du kunna skriva bråk och decimaltal i procentform använda promille och ppm utföra procentberäkningar med förändringsfaktor beräkna upprepade procentuella förändringar ange skillnaden mellan procent och procentenheter tolka och använda begreppet index beräkna ränta beskriva olika sätt att amortera lån Procentfunderingar Priset på en spikmatta höjs från 400 kr till 500 kr. Därefter sänks priset från 500 kr tillbaka till 400 kr. Hur stor är prishöjningen i procent? Är den procentuella prishöjningen större än, mindre än eller lika stor som prissänkningen? Motivera ditt val. Undersök andra tal på liknande sätt. Vad kan du dra för slutsats? Ungdomar och procent I Umeå är ca 50 % av invånarna under 30 år, i Stockholms län är det bara 35 %. Trots påståendet här ovanför bor det fler ungdomar i Stockholms län. Hur kan det komma sig? Det bodde 2 025 750 personer i Stockholms län i slutet av år 2009. Hur många av dessa var under 30 år. Befolkningen i Stockholms län ökade med ca 2 % under år 2010 och man antar att den kommer att öka med 3 % under år 2011. Med hur många procent har då befolkningen ökat från slutet av år 2009 till slutet av år 2011? Behöver man veta hur stor befolkningen var i slutet av år 2009 för att kunna svara på föregående fråga? Motivera ditt svar. Inledande problem Med ord, bild och ett inledande problem, placeras kapitlets innehåll i ett matematiskt sammanhang. 127

Andelen Teori och exempel Förståelse skapar motivation. Teorigenomgångarna är skrivna för att vara lätta att följa utan att för den skull väja för det som är svårt. Exemplen är rikligt kommenterade och har utförliga förklaringar. Andelen, delen och det hela En journalist frågar eleverna vid två gymnasieskolor om de är vegetarianer. Vi kallar skolorna A och B. Vid skola A är 27 elever vegetarianer, medan det finns 45 vegetarianer i skola B. Är det vanligare med vegetarianer på skola B än på skola A? För att besvara frågan måste vi ta reda på andelen vegetarianer på respektive skola. Andelen vegetarianer ges av förhållandet mellan antalet vegetarianer (delen) och det totala antalet elever (det hela). Skola A har totalt 346 elever, medan skola B har 598 elever. Andelen vegetarianer på skola A = 27 0,078 = 7,8 % 346 Andelen vegetarianer på skola B = 45 0,075 = 7,5 % 598 Eftersom 7,8 % > 7,5 % betyder det att det är vanligare med vegetarianer på skola A. Andelen, delen och det hela Vid all procenträkning använder man begreppen andelen, delen och det hela. Sambandet mellan dem skrivs Andelen = Delen Det hela Man skriver om sambandet beroende på vad det frågas efter. 7 Exempel: Vid en realisation sänktes priset på en cykel till 3 350 kr. Cykeln hade tidigare kostat 3 600 kr. Med hur många procent sänktes priset? Lösning: Här ska man beräkna andelen, när man känner delen och det hela. Prissänkningen = 3 600 kr 3 350 kr = 250 kr Delen Priset före sänkningen = 3 600 kr Delen Det hela Sänkningen i procent = 250 0,07 = 7 % 3 600 Delen Andelen = Det hela Svar: Cykelns pris sänktes med 7 %. Det hela 130 procent 4.1 procent och procentberäkningar

7 Exempel: Hur mycket är 23 % av 569 kr? Lösning: Här ska man beräkna delen, när man känner andelen och det hela. Delen kan beräknas på två sätt: 1. 1 % av 569 kr = 569 kr = 5,69 kr 2. 0,23 569 kr = 130,87 kr 131 kr 100 23 % av 569 kr = 23 5,69 kr = = 130,87 kr 131 kr Svar: 23 % av 569 kr är 131 kr. Skriv 23 % i decimalform Delen = Andelen Det hela 7 Exempel: Rabatten på en tv är 1 710 kr. Det motsvarar 18 %. Hur mycket kostar tv:n utan rabatt? Lösning: Här ska man beräkna det hela, när man känner delen och andelen. Priset på tv:n kan beräknas på två sätt: 1. 18 % av priset är 1 710 kr. 1 % av priset är 1 710 kr = 95 kr 18 100 % av priset = 100 95 kr = = 9 500 kr 2. Vi kallar priset för x kr. 18 % av x kr är 1 710 kr 0,18 x = 1 710 x = 1 710 0,18 x = 9 500 Delen Andelen Hela priset Svar: Tv:n kostar 9 500 kr utan rabatt. NIVÅ 1 4114 Beräkna a) 14 % av 50 b) 8,5 % av 300 c) 150 % av 86 4115 a) Hur många procent är 3 av 4? b) Hur många procent är 14 av 50? c) Hur många procent är 11 av 12? Avrunda till hela procent. 4117 En flygbiljett mellan Stockholm och New York kostar 3 900 kronor. Barn under 3 år åker för 50 % av priset. a) Hur mycket kostar resan sammanlagt för Lasse och hans tvååriga dotter Emma? b) Elin betalar 9 750 kr för flygbiljetter Stockholm New York. Hur många kan det vara som reser? 4116 a) 8 % av ett tal är 24. Vilket är talet? b) 14 % av ett tal är 70. Vilket är talet? c) 0,5 % av ett tal är 0,28. Vilket är talet? procent 4.1 procent och procentberäkningar 131

4118 Enligt en undersökning är 13 % av alla svenska elever på mellanstadiet inte simkunniga. I en mellanstadieskola gick 435 elever. Hur många av dem kan man förvänta sig inte vara simkunniga? 4119 I ett land med 10,5 miljoner invånare ökade folkmängden med 126 000 invånare under första halvåret. Hur stor var ökningen uttryckt i procent? 4120 När The Rolling Stones spelade på Ullevi i Göteborg i augusti år 2007 kostade en ståplats 1 295 kr. När biljetterna tagit slut såldes samma biljett för 4 000 kr på svarta börsen. Hur många procent dyrare blev den då? 4121 Fredrika erbjöds köpa en ny båt för 285 000 kr. Försäljaren påstår att det är 85 % av ordinarie pris. Vilket är båtens ordinarie pris enligt försäljaren? 4122 Ett par löparskor som tidigare hade kostat 790 kr såldes för 250 kr under helgen. a) Med hur många procent sänktes priset? b) När Markus gör beräkningen får han svaret 32 %. Vad kan Markus ha gjort för fel? 4123 Tornet till vänster på bilden är byggt av tre lika stora klossar. a) Hur många procent lägre blir tornet om vi tar bort den översta byggklossen? b) Hur många procent högre blir tornet i mitten om vi lägger tillbaka den tredje klossen? c) Undersök hur många procent lägre tornet blir om det från början består av 4, 5, 6 eller n klossar och man sedan tar bort en kloss. NIVÅ 2 4124 En mp3-spelare kostade lika mycket i två ö olika varuhus. Under rean gav det ena varuhuset 50 % rabatt på mp3-spelaren, medan det andra varuhuset gav 30 % rabatt. Prisskillnaden blev under rean 290 kronor. a) Vad kostade mp3-spelaren innan rean? b) Ge förslag på hur mycket mp3-spelarna kan ha kostat i de två varuhusen om de kostar lika mycket på rean. 4125 Från år 2005 till år 2010 ökade en kommun sin befolkning med 5,2 % vilket motsvarar 16 200 personer. Hur många bodde i kommunen år 2010? 4126 Ett träd ökar i längd med 8,0 dm på ett år. Det motsvarar 25 %. Hur högt är trädet när året har gått? 4127 Sabine och hennes sambo Lars jobbar båda inom vården. Sabine Origo tjänar Extramaterial. 23 100 kr i månaden och Lars tjänar 21 600 kr i månaden. Sabine får vid den årliga löneöversynen en lönehöjning på 3,7 % och Lars en höjning på 2,9 %. a) Hur många procent högre blir Sabines lön än Lars? b) Hur många procent lägre blir Lars lön än Sabines? 4128 Formulera en egen uppgift med procenträkning Den ska innehålla 32 elever och svaret ö ska bli 5 %. Jämför din uppgift med en kamrats. NIVÅ 3 Problemlösning för alla Färdighetsträning behövs, men räcker inte. Matematik Origo har problemlösning för alla elever på alla nivåer. Behövs mer träning eller mer utmanande uppgifter, så finner du det i Matematik 4129 Man vet att andelen ljushåriga bland dem som har blå ögon är större än andelen ljushåriga av hela befolkningen. Måste då andelen med blå ögon av de ljushåriga vara större än andelen med blå ögon av hela befolkningen? (Uppgift nr.1 i kvalificeringsomgången den 6 oktober 1999 av Skolornas Matematiktävling arrangerad av Svenska Dagbladet) 132 procent 4.1 procent och procentberäkningar

Bilföraren som körde av vägen var kraftigt onykter. Hon hade över 1 promille alkohol i blodet och brottet betecknas som grovt rattfylleri. Påföljden kan bli upp till två års fängelse. Promille och ppm Andelar som är mindre än en procent uttrycks ibland i promille. Promille betyder tusendel. Tecknet för promille är. Vid riktigt små andelar används ppm, som kommer från engelskans parts per million och betyder miljondel. När man räknar med promille och ppm gör man i grunden som vid procenträkning. 7 Exempel: Skriv i decimalform a) 15 b) 12 ppm Lösning: a) 15 = 0,015 är tusendelar och därför flyttas decimalkommat 3 steg b) 12 ppm = 0,000 012 ppm är miljondelar och därför flyttas decimalkommat 6 steg 7 Exempel: a) Hur mycket är 36 av 4,5 ton? b) Hur många ppm är 2,1 mm av 140 m? Lösning: a) 36 = 0,036 är tusendelar och därför flyttas decimalkommat 3 steg 0,036 4,5 ton = 0,162 ton = 162 kg Svar: 162 kg b) 140 m = 140 000 mm Gör om till samma enhet 2,1 = 0,000 015 = 15 ppm ppm är miljondelar och därför flyttas 140 000 decimalkommat 6 steg Svar: 15 ppm NIVÅ 1 4130 Skriv i decimalform a) 5 b) 120 c) 12 500 ppm d) 82 ppm 4131 Skriv som promille a) 0,0048 b) 0,2873 c) 7 d) 0,61 % 1 000 4132 Hur mycket är a) 14 av 3 500 kr? b) 8 av 1 kg? c) 3,5 ppm av 3,5 miljoner kr? 4133 Hur många promille är a) 6 kg av 3 ton? b) 15 m av 2 mil? procent 4.1 procent och procentberäkningar 133

4333 Julia lånar 50 000 kr för att möblera sin lägenhet. Hon räknar med att kunna amortera 10 000 kr varje kvartal. Årsräntan är 7,95 % under hela perioden. a) Efter hur många månader har hon betalat tillbaka lånet? b) Vilka olika belopp ska hon betala vid varje betalningstillfälle till dess att lånet är återbetalt? 4334 En tv som du skulle vilja ha kostar 4 880 kr. Eftersom du inte har råd att köpa den just nu så hyr du den under ett år. Du får betala en snabbkreditavgift på 250 kr och sedan 229 kr i månaden. Efter ett år kan du välja mellan att köpa den för halva priset, lämna tillbaka den eller fortsätta att hyra den. a) Om du väljer att köpa tv:n, vad blir då den totala kostnaden? b) Hur länge skulle det dröja innan du kunde köpa tv:n kontant om du i stället sparade 229 kr/mån? 4335 Amina lånar 200 000 kr för att starta ett eget företag. Hon behöver inte betala tillbaka något förrän efter 15 år då företaget beräknas ge vinst. Varje år växer hennes skuld med årsräntan på 6%. a) Hur mycket är Amina skyldig efter 3 år? b) Med hur många procent har skulden ökat på fem år. c) Hur många år dröjer det innan skulden har fördubblats? Resonemang och begrepp NIVÅ 3 4336 En firma har sitt eget kreditköpsystem. På varje köp över 1 000 kr betalar man 25 % av beloppet direkt. Sedan lägger man på 20 % på det belopp man har kvar att betala och delar med 12 för att få en månadsbetalning. Sara köper en jacka för 1 595 kr. Hur ser betalningen ut för Sara om hon använder det beskrivna kreditköpsystemet? 4337 Hanna och Janne ska köpa ett hus för 2,3 miljoner. De får låna 60 % av priset som bottenlån och kan välja mellan bunden ränta på 4,9 % eller rörlig ränta på 3,7 %. De får sedan ta ett topplån med 5,95 % ränta på 80 % av det återstående beloppet. Resten måste de betala kontant. a) Hur mycket måste de betala kontant? b) Beräkna deras månadskostnad under det första året, under förutsättning att de inte behöver amortera något. De tar hälften av bottenlånet med rörlig ränta och hälften med bunden ränta. 4338 Som student erbjuds Lukas kredit på en ö dator. Villkoren är: 0 % ränta upp till 24 mån samt en administrativ avgift på 25 kr/mån. Kommunikations- Maximalt lånebelopp är 18 000 kr. Handpenning på 10 uppgifter % erläggs i butiken vid köptillfället. Lukas köper en dator för 14 995 kr. Han kan tänka sig att betala mellan 500 och 1 000 kr per månad. Ge ett förslag på hur han ska lägga upp betalningen. Varje delkapitel avslutas med Rätt eller fel? påståenden som prövar elevernas begreppsförståelse och inbjuder eleverna till att samtala matematik. Vad menas med en indexseries basår? Vad är KPI? Varför har KPI fått så stor betydelse? I vilka sammanhang används ränta? Vad är det för skillnad på bunden respektive rörlig ränta? Förklara vad som menas med att ett kapital växer med ränta på ränta. Vad innebär det att amortera ett lån? 150 procent 4.3 procentberäkningar i samhället

En korg full Konsumentprisindex, KPI, ska visa den allmänna prisutvecklingen. Man kan tänka sig en stor korg med allt som vi köper. Korgen innehåller varor och tjänster i den proportion som hushållen brukar köpa. KPI följer hur priset på den här korgen utvecklas över tiden. Under året är det samma varor i korgen och man uppdaterar priserna från månad till månad. Inför varje nytt år ser man över KPI-korgens innehåll för att spegla det aktuella köpmönstret. KPI-korgen år 2010 Rekreation 11,6 % Post, tele 3,4 % Transport 13,4 % Hälsovård 3,2 % Restauranger och logi 6,5 % Inventarier 5,5 % Utbildning 0,4 % Diverse 5,4 % Talen i procentform anger hur stor andel av hushållens utgifter som går till respektive huvudgrupp. -uppgift I alla kapitel möter eleverna en större uppgift, som vi har valt att kalla -uppgift. Här finns möjlighet för eleverna att använda flera olika matematiska förmågor och visa de kvaliteter som behövs för ett högre betyg. Livsmedel 13,6 % Boende 27,9 % Alkohol, tobak 3,7 % Kläder 5,4 % Vad lägger de flesta hushåll mest respektive minst pengar på? Familjen Palmstiernas totala utgifter per månad är 32 000 kr. Hur mycket lägger de på alkohol och tobak per månad om de följer det allmänna köpmönstret? Familjen Torstensson använder runt 3 000 kr per månad till transporter. Uppskatta familjens samlade utgifter per månad. Familjen Sibaharti använder ungefär 700 kr till hälsovård per månad. Gör en uppskattning av familjens boendekostnad. Anta att utgifter för kläder och skor i KPI-korgen minskar till 4 %. Hur stor är den procentuella minskningen? I tabellen nedanför ser man hur hushållens utgifter har förändrats under år 2010. Skriv av och fyll i det nya värdet. Hur många procent kommer hushållens utgifter att öka med under året? KPI-korgen Förändring (%) under 2010 Boende 5,2 Kläder, skor 2,0 Alkohol, tobak 0,1 Livsmedel 2,7 Diverse 2,4 Restaurang och logi 2,6 Rekreation 1,4 Post, tele 1,6 Transporter 3,3 Hälsovård 2,0 Inventarier 1,5 Utbildning 1,8 Summa Nytt värde (%) Vad blir KPI för år 2011 om KPI för år 2010 är 303 och innehållet i korgen antas vara detsamma? Utgå från KPI-korgen år 2010. Hur stor andel skulle boendet uppta om utgiften för boende ökar med 10 % och alla andra utgifter är oförändrade? -uppgift procent -uppgift 151

historia Ser du procenttecknet i den italienska texten från 1684? 40 per cento o 40 per c 40 po 40 % Procenttecknets utveckling. Procenttecknet och Big Mac-index Procenttecknet Vid den tiden utfärdade kejsar Augustus en förordning om att hela världen skulle skattskrivas. Så inleds berättelsen om Jesu födelse i Lukasevangeliet och det är kanske den mest lästa av alla texter i världslitteraturen när det gäller skatter. Kejsar Augustus (65 f.kr. 14 e.kr.) genomförde skattereformer som omvandlade naturaskatter till penningskatter och la därmed grunden till Roms blomstringstid som varade i 200 år. Skatten för varje såld slav var 4/100 och för varje frigiven slav 5/100. Det infördes även en arvsskatt på 5/100 av alla större arv. Samtidigt infördes en skatt med 1/100 på allt som såldes på auktion. Räkning med hundradelar kan man alltså se långt tillbaka i vår historia. Vårt procenttecken härstammar från 1400-talets Italien. Där skrev man 40 hundradelar som 40 per cento. Från detta skrivsätt utvecklades sedan procenttecknet. Land Big Mac-index USA 100 Ryssland 63 Kanada 113 Mexiko 70 Kina 53 Danmark 147 Schweiz 142 Norge 194 Sydafrika 66 Sverige 166 Thailand 59 Big Mac-index 2010.? Vad kostar en Big Mac i Kina om den kostar 40 kr i Sverige? 152 procent historia Big Mac-index Big Mac-index uppfanns 1986 av tidskriften The Economist för att mäta hur olika valutor är värderade mot varandra. Det används också för att jämföra prisnivåerna i olika länder, men det ger absolut inte hela bilden. I Sverige och västvärlden är en Big Mac relativt billig snabbmat. Men den är förhållandevis dyr i jämförelse med en måltid på ett lokalt matställe i stora delar av Asien, Afrika och Sydamerika. Big Mac-index anses ändå ge resenärer en viss vägledning när man ska räkna ut hur stor reskassa man bör ha i olika länder. Anledningen till att tidskriften valde just Big Mac sägs vara att den kan tillverkas helt inom det egna landets gränser och att den går lika snabbt att tillverka över hela världen. Om en Big Mac i Sverige är dyrare än i Danmark, så innebär det att ingredienserna eller arbetskraften måste vara dyrare i Sverige än i Danmark. Historia I alla kapitel finns en eller två sidor med historiska avsnitt som belyser matematiken ur ett idéhistoriskt perspektiv. Här ges bakgrunden till den matematik som kapitlet tar upp.

MÅNADSKORT Ett bussbolags intäkter för månadskort är under en månad 5 931 800 kr. Månadskortet kostar 1 900 kr. När priset på månadskortet höjs med 6 % minskar antalet sålda månadskort med 6 %. Vad kommer månadskortet att kosta efter höjningen? Vilket av följande alternativ stämmer? Motivera ditt val. A Bussbolagets intäkter är desamma som tidigare. B Bussbolagets intäkter för månadskorten kommer att öka. C Bussbolagets intäkter för månadskorten kommer att minska. Vilken av informationen här ovanför behöver man minst känna till för att kunna besvara föregående fråga? Motivera ditt svar. problem och undersökningar LÖNEFÖRHÖJNING Andreas och Lisa fick båda löneförhöjning med lika många kronor vardera. Andreas löneförhöjning var 5 % och Lisas var 2,5 %. Undersök med beräkningar och resonemang för vilka löner detta kan vara möjligt. (Np MaA vt 2002) KAFFE MED MJÖLK En behållare innehåller kaffe och en annan innehåller exakt lika mycket mjölk. Vi tar en sked kaffe och blandar det med mjölken. Sedan tar vi en sked ur blandningen och blandar det med kaffet. Nu har vi fått två olika blandningar, en med lite kaffe i mjölken och en med lite mjölk i kaffet. Vilket av följande alternativ stämmer? 1. Det är mer mjölk i kaffet än kaffe i mjölken. 2. Det är mer kaffe i mjölken än mjölk i kaffet. 3. Det är lika mycket mjölk i kaffet som kaffe i mjölken. RÄKNA RÄNTA MED EXCEL Om du skulle sätta in 10 000 kr på ett bankkonto och sedan inte röra pengarna på kontot på flera år, så skulle pengarna öka med ränta på ränta. Gör ett kalkylblad i Excel, där du anger insatt startkapital och aktuell räntesats. Använd dig av formeln K = Ca x, där K är det totala kapitalet, C är startvärdet (10 000), a är räntesatsen som förändringsfaktor och x är antal år. Beräkna det innestående kapitalet efter 1 år, 2 år, 3 år osv. Efter hur många år har kapitalet fördubblats, under förutsättning att inga uttag eller ytterligare insättningar sker, om räntesatsen är 1,5 %? Om räntesatsen är 5 %? Om räntesatsen är 0,25 %? Matematiska förmågor Matematik Origo låter eleverna utveckla olika matematiska förmågor. I alla kapitel tränas kommunikations-, resonemangs- och problemlösningsförmågorna. procent problem och undersökningar 153

tankekarta Procent Andel procent hundradel promille tusendel ppm miljondel Procentberäkningar bråkform, decimalform, procentform andelen = delen det hela nya värdet = förändringsfaktorn gamla värdet Procent i samhället index lån ränta amortering Procentuella förändringar förändringsfaktor = nya värdet gamla värdet ökning: förändringsfaktor > 1 minskning: förändringsfaktor < 1 procentenheter Index indexserie basår KPI inflation Ränta rörlig ränta bunden ränta ränta på ränta Tankekarta I slutet av varje kapitel finns en tankekarta som sammanfattar kapitlet. Det hjälper eleverna att sortera och analysera hur de matematiska begreppen hänger ihop. 154 procent tankekarta

NIVÅ 1 1 Skriv i procentform a) 0,035 b) 4 c) 2 4 25 Blandade uppgifter 2 Maria har ett lån på 40 000 kr. Hur mycket får hon betala i årsränta om räntesatsen är 9,8 %? 3 Niclas arbetar på en skola. Där kan han spara datafiler på en gemensam server. Vid ett tillfälle stod följande information på skärmen: Kapacitet 558 GB, använt 481 GB, ledigt 77,4 GB. Hur många procent av kapaciteten var ledig? 4 Ett västerbottniskt uttryck lyder harta borti harta och harta borti he. Det betyder hälften av hälften och hälften av det. Tolka uttrycket och tala om hur många procent det motsvarar. 5 Amir ska köpa en tv och försäljaren lockar med en rabatt på 8 %. Amir vill hellre ha en prissänkning på 500 kr. Vid vilket pris på tv:n är båda alternativen lika fördelaktiga? Till varje kapitel hör flera sidor med blandade uppgifter. Det är en blandning av uppgifter från hela kapitlet indelade i tre olika nivåer. 7 Tabellen visar genomsnittspriset på biobiljetter från år 2000 till och med år 2005. År 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Biljettpris (kr) 67,4 71,0 73,0 75,4 76,7 76,4 a) Gör en indextabell för utvecklingen av biljettpriserna med år 2000 som basår. b) Med hur många procent ökade priset från år 2000 till år 2001? c) Hur många procent lägre var priset på biobiljetter år 2000 jämfört med år 2003? 8 En bil kostar 120 000 kr. Bilens värde minskar med 5,0 % per år under en treårsperiod. Beräkna vilket värde bilen har efter tre år. 9 En liter mjölk kostade 2,41 kr år 1980. Vad borde den ha kostat år 2010 om mjölkpriset följt KPI? blandande uppgifter 6 I ishockey har man fem utespelare på planen och i bandy har man tio. Hur många procent fler utespelare har motståndarlaget om man får en spelare utvisad i a) ishockey b) bandy 10 Karl-Johan ska göra 1,5 liter 0,9-procentig fysiologisk saltlösning. Hur mycket salt ska han ta? 11 Oljehalten i en bensinblandning ökades från 2,5 % till 3 %. a) Med hur många procentenheter ökade oljehalten? b) Med hur många procent ökade oljehalten? 12 Bensinpriset höjdes tre gånger under en vecka. Först med 2,2 %, sedan med 3,1 % och slutligen med 2,8 %. Hur många procent steg priset sammanlagt under den veckan? 13 Griphook sätter in 3 800 kr på ett bankkonto med 3,25 % räntesats och låter pengarna växa med ränta på ränta. Hur mycket pengar finns på kontot efter a) 10 år b) n år 14 I en gruva i Ukraina bröts 250 000 ton uranmalm. Efter bearbetning fick man 18 000 kg uran. Hur många ppm uran innehöll malmen? procent blandade uppgifter 155

kapiteltest Del 1 Utan räknare 1 Vad är 5 % av 500 kr? 2 Skriv i procentform a) 1,2 b) 5 10 c) 32 3 Maria har a kr i sin plånbok och Stina har 0,85a kr. Hur många procent mindre pengar har Stina än Maria i sin plånbok? 4 Anders har en summa pengar på ett konto med räntesatsen 2 %. Han får 100 kr i årsränta. Hur mycket pengar har han på kontot? 5 Tabellen visar hur Markus månadslön har ökat de senaste 5 åren. För att lättare kunna följa löneutvecklingen, så har han gjort en indexserie. År 1 2 3 4 5 Lön (kr) 26 400 26 900 27 300 27 800 28 200 Index 98 100 101 103 105 a) Vilket år har han valt som basår? b) Med hur många procentenheter har lönen förändrats från år 2 till år 5? c) Ställ upp ett uttryck för att beräkna hur många procent lönen har höjts från år 1 till 3. 6 Peter har satt in 1 000 kr på ett bankkonto där räntesatsen är 1,75 %. Kapitalet får växa med ränta på ränta under 3 år. Vilket av följande uttryck visar hur mycket som finns på kontot efter 3 år? A 1 000 0,0175 3 B 1 000 1,0175 3 C 1 000 3 1,0175 D 1 000 + 3 0,0175 1 000 7 Emil har ett gammalt slitet rep som är 25 meter långt. Han klipper av 20 % i den mest slitna änden. a) Hur många meter klipper han bort? b) För att få tillbaka den ursprungliga replängden förlänger Emil repet med ett nytt rep. Hur många procent måste han förlänga det gamla repet med för att det ska bli 25 meter igen? 8 Längden i en rektangel minskar med 10 % samtidigt som bredden ökar med 10 %. Visa att arean i den nya rektangeln är mindre än arean i den ursprungliga rektangeln. 158 procent kapiteltest

Del 2 Med räknare 9 Ordna i storleksordning. Börja med det minsta. 45 av 300 kr 3,5 % av 450 kr 4 000 ppm av 3 500 kr kapiteltest 10 Gränsen för rattfylleri går vid 0,2 alkoholhalt i blodet. En kvinna som har 4,5 liter blod har 1 ml ren alkohol i blodet när hon stoppas av polisen. Kommer hon att kunna dömas för rattfylleri? Motivera ditt svar. 11 Värdet på en aktiefond ändrades tre gånger under en kort period. Först ökade värdet med 1,2 %, därefter med 2,8 % och slutligen minskade det med 2,1 %. Med hur många procent har fondens värde förändrats under perioden? 12 En webbsajt har 25 000 besökare i månaden. Man räknar med att besöksfrekvensen kommer att öka med 3,9 % per månad det närmaste året. Hur många besökare räknar man med att ha om 5 månader? 13 Räntan på ett banklån ökade med 0,3 procentenheter från 5,35 %. a) Hur många procent ökade räntan? b) Hur många kronor ökar räntekostnaden om man har ett lån på 1,2 miljoner? 14 Philip betalar 30 % av lönen i skatt. Av det som är kvar använder han 1/3 till hyra och 1/4 till mat. Hur många procent av lönen har han kvar när han har betalat skatt, hyra och mat? Test 15 Marita har tjänat 5 280 kr på sitt sommarjobb. Hon sätter in pengarna på ett sparkonto med räntesatsen 2,4 %. När hon har haft pengarna på kontot i tre månader sänks räntesatsen med 0,5 procentenheter. Fem månader efter det att hon satt in pengarna tar hon ut dem och åker utomlands. När hon kommer hem är det mellandagsrea och hon köper lite nya kläder. Hon tycker att hon gör ett par riktiga fynd, men eftersom hon inte har tillräckligt med pengar på sitt konto tar hon ett sms-lån på 1 000 kr. Sist i varje kapitel ligger ett test, som direkt knyter an till målen i kapitlets inledning. Det ger eleverna möjlighet att själva kontrollera sina kunskaper. Testet är uppdelat i två delar: en del som ska lösas utan räknare och en del där räknaren får användas. Hur mycket pengar finns på hennes konto tre månader efter insättningen och hur mycket pengar har hon på kontot då hon tar ut dem? På rean är alla varor nedsatta med 30 %. Hon handlar för 995 kr. Hur mycket kostade varorna innan rean? Hennes sms-lån kostar 230 kr i uppläggningskostnad och 150 kr i ränta som ska betalas efter en månad. Dessutom tillkommer en faktureringsavgift på 45 kr. Hur många procent dyrare blev varorna genom att hon tog lånet? Blev det billigare eller dyrare att köpa varorna på detta sätt jämfört med att köpa dem till ordinarie pris utan lånet? Uppskatta vilken räntesats uttryckt i procent, som Maritas totala kostnader för sms-lånet motsvarar. procent kapiteltest 159

matematik 1b Matematik Origo är moderna läroböcker skrivna för Gy 2011 med Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter Tematiska uppgifter, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla Målbeskrivningar, tankekarta och test till varje kapitel Serien består av Matematik Origo 1b, 2b och 3b för Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet och Estetiska programmet Matematik Origo 1c, 2c, 3c, 4 och 5 för Natur vetenskapsprogrammet och Tekniska programmet Till varje bok i serien Matematik Origo hör en lärarguide. ISBN 978-91-523-0924-7 (523-1354-1)