HYDRAULIK Rörströmning I Rolf Larsson, Tekn Vattenresurslära För VVR145, 19 mars, 2014
NASA/ Astronaut Photography of Earth - Quick View VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 2
Innehåll 1. Introduktion; tillämpningar 2. Energiförluster i rör 3. Lokala energiförluster 4. Kontinuitetsekvationen 5. Exempel VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 3
1. Introduktion; tillämpningar Vatten, avloppsvatten, fjärrvärme, fjärrkyla, olja och gas är exempel på fluider/media av enorm betydelse för samhället som transporteras via rörledningssystem. I Sverige: Förbrukning av vatten: ca 200 l/(person o dygn) Anskaffningsvärde vatten- och avloppsledningar: SEK 250 miljarder Sammanlagd längd vattenledningar: 67 000 km VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 4
Två aspekter viktiga vid projektering av ledningssystem 1) Hydraulisk kapacitet I ett trycksatt system beror transportkapaciteten av tryckfallet längs ledningen. Tryckfallet åtföljs av energiförluster: - Sträckförluster/friktionsförluster. Energiförluster associerade med friktion/skjuvspänningar vid rörväggar. - Punktförluster/lokala förluster. Förluster som uppstår pga oregelbunden strömning (och turbulens) vid rörkrökar, ventiler, dimensionsövergångar m.m. 2) Erforderlig hållfasthet hos rörmaterial Dimensionering oftast baserad på belastning i form av höga/låga tryck i samband med flödesförändringar (t.ex. ventiler som öppnas el stängs) VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 5
Rörledningssystem, exempel VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 6
2. Energiförluster i rör Energiekvationen mellan två punkter i rörssystem: z 1 p 1 ρg V 2 1 2g z 2 p 2 ρg V 2 2 2g Σ L 12 Σh h Σh För praktiska beräkningar behöver vi samband mellan förluster och medelhastighet: h friktion h lokal = funk (V) = funk (V) VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 7
Friktionsförluster (eller sträckförluster) Det finns olika ekvationer/modeller för att beräkna friktionsförluster. Vi använder Darcy-Weisbachs ekvation (Eq. 6.12) h f f L V2 D 2g or h f f L 16 Q2 D 5 2g 2 Där h f f D V Q = friktionsförlust pga friktion över en rörsträcka (m) = friktionskoefficient (-), t.ex. från Moody diagram = rördiameter (m) = medelhastighet (m/s) = flöde (m 3 /s) VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 8
Moodydiagram, (även Fig. 6.10) VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 9
3. Lokala energiförluster Lokala förluster (punktförluster) uppstår vid rörkrökar, ventiler övergångar i diameter, knutpunkter etc. I långa rörsystem är de lokala förlusterna ofta försumbara i förhållande till friktionsförluster (sträckförluster) I korta ledningar kan lokala förluster dominera De lokala förlusterna orsakas av snabba förändringar i hastighet (magnitud och/eller riktning) vilket ger turbulens och energidissipation Typiskt ger accelererande flöden små förluster, medan decelererande flöden ger stora förluster VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 10
Lokala energiförluster (forts) Vanligen skrivs de lokala förlusterna på följande sätt h lokal K L V 2 2g Där h lokal K L V 2 /2g = lokal energiförlust = lokal förlustkoefficient (beroende på typ av förlust, geometri etc.) = hastighetshöjd VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 11
Lokala energiförluster - sektionsökning Förlustkoefficient, K L, vid abrupt sektionsökning (V = V 1 ): D 2 /D 1 1.5 2.0 2.5 5 10 K L 0.31 0.56 0.71 0.92 0.98 VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 12
Lokala energiförluster utströmning till reservoar VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 13
Lokala energiförluster - sektionsminskning Förlustkoefficient, K L, vid abrupt sektionsminskning (V = V 2 ): D 2 /D 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 K L 0.50 0.45 0.42 0.39 0.36 0.33 0.28 0.22 0.15 0.06 0.00 VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 14
Lokala energiförluster olika typer av rörinlopp (V = V 2 ) VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 15
Lokala energiförluster rörkrökar VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 16
Lokala energiförluster tvära rörkrökar VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 17
Lokala energiförluster div. fall (Table 6.4) VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 18
4. Rörsystem (rör i serie) Lösning Energiekvationen Total skillnad i energinivå, H motsvaras av totala e-förluster H = h f1 + h f2 + h local Kontinuitetsekvationen Q = Q 1 = Q 2 VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 19
4. Rörsystem (parallella ledningar) Lösning Energiekvationen Total skillnad i energinivå, H motsvaras av totala e-förluster oavsett flödesväg, dvs h f1 + h local,1 = h f2 + h local,2 Kontinuitetsekvationen Q = Q 1 + Q 2 VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 20
7. Exempel VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 21
J11:Calculate the smallest reliable flowrate that can be pumped through this pipeline. D = 25 mm, f = 0.020, L = 2 x 45 m, Vertical distances are 7.5 m and 15 m respectively. Assume atmospheric pressure 101.3 kpa. 1 2 VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 22
J12: Water is flowing. Calculate the gage reading when V 300 is 2.4 m/s. (NOTE El. = elevation) 2 1 VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 23
J18 : A 0.6 m pipeline branches into a 0.3 m and a 0.45 m pipe, each of which is 1.6 km long, and they rejoin to form a 0.45 m pipe. If 0.85 m 3 /s flow in the main pipe, how will the flow divide? Assume that f = 0.018 for both branches. VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 24
Example parallel pipes: A 300 mm pipeline 1500 m long (f = 0.020) is laid between two reservoirs having a difference of surface elevation of 24 m. What is the maximum obtainable flowrate through this line (with all the valves wide open)? When this pipe is looped with a 400 mm pipe 600 m long (f = 0.025) laid parallel and connected to it, what increase of maximum flowrate may be expected? Assume that all local losses may be neglected. VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 25
TACK FÖR IDAG! VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 26
HYDRAULIK Rörströmning II Rolf Larsson, Tekn Vattenresurslära För VVR145, 24 mars, 2014
NASA/ Astronaut Photography of Earth - Quick View 24 mar VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 2
Innehåll 1. Rörsystem förgrenade system / trereservoirproblemet 2. Icke-stationär rörströmning - Utflöde från reservoir med varierande tryck 3. Exempel VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 3
1. Rörsystem förgrenade system / trereservoirproblemet 1 2 3 Lösning 3 möjliga flödessituationer: 1) Från reservoir 1 och 2 till reservoir 3 2) Från reservoir 1 till reservoir 2 och 3 3) Från reservoir 1 till 3 (Q 2 = 0) VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 4
För situation enl. Fig. : Energiekvationen H J = z J + p J /(ρg) + V J2 /2g hf 1 + hlocal 1 = z 1 H J hf 2 + hlocal 2 = z 2 H J Eftersom H J är okänd, : 1) Antag värde på H J 2) Beräkna Q 1, Q 2, och Q 3 3) Om Q 1 + Q 2 = Q 3, OK 4) Om Q 1 + Q 2 Q 3, 1) hf 3 + hlocal 3 = H J z 3 Kontinuitetsekvationen Q 3 = Q 1 + Q 2 VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 5
2. Icke-stationär rörströmning - Utflöde från reservoir med varierande tryck Eftersom trycket i ledningen varierar med nivån i magasinet, så kommer även utflödet att variera I figuren representerar V volymen i magasinet vid en viss tidpunkt. Det finns även ett inflöde, Q i, och ett utflöde, Q o. VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 6
Icke-stationär rörströmning, forts. Volymförändringen i magasinet under ett litet tidsintervall dt, kan uttryckas som dv = (Q i Q o ) dt och dv = A s dz A s dz = (Q i Q o ) dt (kont.ekv.) Där både in- och utflöde kan variera i tiden. Utflödet kan vanligtvis uttryckas som en funktion av z, med hjälp av energiekvationen. Exempelvis utströmning genom en liten öppning: Q o = A hole C D (2gz) 1/2 (Eqn. 5.12) VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 7
Icke-stationär rörströmning, forts. Om man söker den tid det tar för nivån att förändras från z 1 till z 2 så utgår man från kontinuiteten omskriven som dt = [A s /(Q i Q o )] dz Uttrycket integreras t1 t2 t dt = z1 z2 [A s /(Q i Q o )] dz Uttrycket kan beräknas om Q i = konstant och Q o kan skrivas som en funktion av z. Q o bestäms via energiekvationen under antagande om kvasi-stationaritet. Om vattennivån förändras hastigt måste en accelerationsterm inkluderas. VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 8
3. Exempel VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 9
J22 : A 900 mm pipe divides into three 450 mm pipes at elevation 120. The 450 mm pipes (length, see table) runs to reservoirs with elevations according to table. When 1.4 m 3 /s flows in the big pipe, how will the flow divide? Assume f = 0.017 in all pipes. Reservoir Elevation (m) Pipe length (m) A 90 3200 B 60 4800 C 30 6800 VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 10
J23 : Three reservoirs are connected with pipes via a connection point O at elevation 120. With the data according to the table calculate the flowrates in the lines. Assume f = 0.020. Reservoir Elevation (m) Pipe length (m) Diameter (mm) A 150 1600 300 B 120 1600 200 C 90 2400 150 VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 11
Example unsteady pipe flow The open wedge-shaped tank in the figure has a length of 5 m perpendicular to the sketch. It is drained through a 75 mm diameter pipe, 3.5 m long, whose discharge end is at elevation zero. The coefficient of loss at the pipe entrance is 0.5, the total of the bend loss coefficients is 0.2, and the friction factor is f = 0.018. 1 Find the time required to lower the water surface in the tank from elevation 3 m to 1.5 m. Assume that the acceleration effects in the pipe are negligible. 2 VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 12
TACK FÖR IDAG! VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 13
HYDRAULIK Rörströmning III Rolf Larsson, Tekn Vattenresurslära För VVR145, 26 mars, 2014
NASA/ Astronaut Photography of Earth - Quick View 24 mar VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 2
Innehåll 1. Friktionsmotstånd i rör, allmänt 2. Friktionssamband för laminär strömning 3. Friktionssamband för turbulent strömning 4. Icke-cirkulära tvärsnitt hydraulisk radie 5. Exempel VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 3
1. Friktionsmotstånd i rör. Allmänt. Reynold s 2:a experiment friktionsmotstånd laminär/tubulent strömning Laminärt: h friction ~ dp/dx ~ V Turbulent: h friction ~ dp/dx ~ V 2 VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 4
a) Hastighetsprofil och skjuvspänning, generellt b) Molekylärt utbyte av rörelsemängd (laminärt) c) Makroskopiskt utbyte av rörelsemängd (turbulent) VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 5
Generella samband (både för laminär o turbulent strömning: 2 För att komma vidare behöver man ett samband mellan skjuvspänning och hastighet VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 6
2. Friktionssamband för laminär strömning För laminär strömning gäller där = kinematisk viskositet (m 2 /s) VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 7
Friktionssamband för laminär strömning (forts) (Poiseuille s ekvation 6.11) 32 Jfr Darcy-Weisbachs ekvation (Eq. 6.12) h f L V D 2g f = 64/Re (gäller laminär rörströmning) VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 8
3. Friktionssamband för turbulent strömning Turbulent hastighetsprofil Idealiserad bild VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 9
Modell för turbulent skjuvspänning τ Boussinesq s ansats där = virvelviskositet (eddy viscosity) Prandtl s modell där = blandningslängd (mixing length) = κ y κ = van Karmans konstant = 0.41 Sammantaget VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 10
Nikuradse s experiment Ett viktigt bidrag till hur man kan bestämma friktionskoefficienten (f) som en funktion av Reynolds tal (Re) och rörväggens råhet (k s ) En omfattande serie av experiment där f och hastighetsfördelning mättes för varierande Re och k s I dessa experiment användes påklistrade enhetliga sandkorn (av skilda storlekar) för att variera k s VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 11
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 12
Hur friktionskoefficienten (f) beror av råhet (k s ) jämförd med laminär skiktets tjocklek (δ L ) a) L >> k S : f = f(y 0 ), y 0 = y 0 ( L ), L = L (Re) f = f(re) b) L k S : f = f(y 0 ), y 0 = y 0 ( L, k S ), f = f(re, k S /D) c) L << k S : f = f(y 0 ), y 0 = y 0 (k S ) f = f(k S ) y 0 = avstånd för vilken V=0 enligt log-profil VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 13
I praktiken: 4 olika strömningssituationer k s /D = relativ råhet (relative roughness) VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 14
Moodydiagram, (även Fig. 6.10) VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 15
Det laminära underskiktet och friktionshastigheten Det laminära (viskösa) delen av gränsskiktet har en tjocklek ( ) (från mätningar) 4 där = kinematisk viskositet = ( )1/2 = friktionshastighet (definition) Med Darcy-Weisbachs ekvation: 4 f L V D 2g Får vi nu: 0 8 VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 16
4. Icke-cirkulära tvärsnitt hydraulisk radie Även om cirkulära tvärsnitt är vanligast så förekommer även andra geometrier. Friktionsförluster för icke-cirkulära tvärsnitt beräknas m.h.a. begreppet hydraulisk radie (R h ) Den hydrauliska radien definieras som R h = A/P (m) där A = tvärsnittets area (m 2 ) P = våta perimetern (m), dvs den sträcka där fluiden är i kontakt med rörväggen VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 17
Icke-cirkulära tvärsnitt hydraulisk radie (forts.) För ett cirkulärt tvärsnitt gäller enligt definitionen 2 /4 4 Detta värde på diametern kan sättas in i Darcy-Weisbachs ekvation, och uttrycken för Reynolds tal och relativ råhet: h f L V 4 2g 4 / 4 OBS Ovanstående gäller turbulent strömning. Bör ej tillämpas för laminära fall. VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 18
5. Exempel VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 19
J4: If the turbulent velocity profile in a pipe 0.6 m in diameter may be approximated by v = 3.56 y 1/7 (v in m/s, y in m) and the shear stress in the fluid 0.15 m from the pipe wall is 6.22 Pa, calculate the eddy viscosity, mixing length, and turbulence constant k at this point. The density of the fluid is 900 kg/m 3. VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 20
Example laminar sublayer Water is flowing in a 100 mm pipe with an average velocity of 1 m/s. Pipe friction factor is 0.02 and kinematic viscosity, ν = 1 10-6 m 2 /s. Calculate the thickness of the laminar sublayer VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 21
Example turbulent pipe flow. 200 l/s of water is pumped through a straight 300 mm pipe. The pipe has a roughness value of k s =0.3 mm and the water temperature is 20 C. Calculate the head loss for 1000 m of pipe and required pump power assuming that the end points of the pipe are at the same level. VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 22
J6: A horizontal rough pipe of 150 mm diameter carries water at 20 C. It is observed that the fall of pressure along this pipe is 184 kpa per 100 m when the flowrate is 60 l/s. What size of smooth pipe would produce the same pressure drop for the same flowrate? VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 23
Example non-circular pipe. Calculate the loss of head and the pressure drop when air at an absolute pressure of 101.3 kpa flows through 600 m of a 450 mm by 300 mm smooth rectangular horizontal duct ( ledning ) with a mean velocity of 3 m/s. Air = 1.225 kg/m 3, dynamic viscosity air = 1.789 10-5 pa s. VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 24
J7: Water flows through a section of 300 mm pipeline 300 m long running from elevation 90 to elevation 75. A pressure gage at elevation 90 reads 275 kpa, and one at elevation 75 reads 345 kpa. Calculate head loss, direction of flow, and shear stress at the pipe wall and 75 mm from the pipe wall. If the flowrate is 0.14 m 3 /s, calculate the friction factor and friction velocity VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 25
TACK FÖR IDAG! VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 26