Övning 3 i Mät- & Reglerteknik 2 (M112602, 3sp), MT-3, 2013. Överföringsfunktioner, blockscheman och analys av reglersystem Som ett led i att utveckla en autopilot för ett flygplan har man bestämt följande överföringsfunktioner (se även schematiskt blocksschema i Fig. 1): W (s) R(s) + G r (s) U(s) G v (s) + G + p (s) Y (s) G m (s) Figur 1: Blockschema för en med (negativ) återkoppling reglerad process G p (s) som utnyttjar styrdonet G v (s). Vidare illustreras börvärde R(s), styrsignal U(s), störning W (s) som kommer in efter styrdonet men före processen, ärvärdet Y (s), mätinstrument G m (s) och regulator G r (s). Horisontgyron (mätinstrumentet som visar lutningen av ett flygplans längd- och tväraxlar i förhållande till horisonten) kan beskrivas som statisk med förstärkningen ett: G m (s) = 1 (1) Skevroder-motorn kan beskrivas som ett första ordningens system med den statiska förstärkningen 1 och tidskonstanten 0.1 sekunder: G v (s) = 10 s + 10 I avseende på skevroderutslaget kan flygplanets dynamik beskrivas som en integrator kopplad i serie med ett första ordningens system med den statiska förstärkningen 8.1 och tidskonstanten 0.71 sekunder: G p (s) = 11.4 s 2 (3) + 1.4s Vidare har man dimensionerat en PI och en PD regulator (med filter på derivataingången) för att få en önskad fasmarginal för det slutna systemet (för mera information se (Thomas, 2008): 11.3 Dimensionering med Bodediagram). Man har då fått följande överföringsfunktioner för regulatorerna: (2) 1
PI-regulator: PD-regulator: ( U(s) E(s) = 0.11 1 + 1 ) 6.2s ( U(s) E(s) = 1.9 1 + 0.35s ) 0.01s + 1 (4) (5) Schematiskt kan reglersystemet beskrivas med blockschemat i Fig. 1. Räkneövningen går ut på att simulera och jämföra reglersystemen för dessa två regulatorer. 1. (4p) Simulering: Använd Simulink för att simulera systemen med de två olika regulatorerna för en: (a) Stegformad börvärdesförändring, (b) rampformad börvärdesförändring, (c) stegformad störning (W (s))som kommer in efter rodermotorn G v (s) och före flygplanets dynamik G p (s). (d) Utvärdera simuleringarna genom att undersöka reglerkvalitet (snabbhet, storleken på reglerfel, kvarstående fel, etc.) och styrsignalaktivitet. Vilken regulator skulle du välja på basen av dessa simuleringar? 2. (3p) Statisk noggrannhet: Man har med analytiska metoder bestämt de kvarstående fel de två regulatorerna ger upphov till. En stegformad börvärdesförändring av storleken 1 ger med PI-regulatorn kvarstående felet e = 0 och med PD-regulatorn kvarstående felet e = 0. En rampformad börvärdesförändring med lutningen 1 ger med PI-regulatorn kvarstående felet e = 0 och med PD-regulatorn kvarstående felet e 0.06. En stegformad störning med storleken 1 som kommer in efter rodermotorn G v (s) och före flygplanets dynamik G p (s) ger med PI-regulatorn kvarstående felet e = 0 och med PDregulatorn kvarstående felet e 0.5. Jämför detta med simuleringarna och avgör för vilka fall simuleringarna verkar överensstämma med dessa svar. Tips: För mera information se (Thomas, 2008): 10.2 Statisk noggrannhet. 2
3. (1p) Stabilitetsanalys: Man har ritat Bode-diagram för kretsöverföringarna med de två olika regulatorerna och bestämt amplitud- och fasmarginaler, se Fig. 2 och 3. Utnyttja figurerna för att verifiera att de återkopplade systemen är stabila enligt Nyquist förenklade stabilitetskriterium. Tips: För mera information se (Thomas, 2008): 9.1 Sinusformade signaler i lineära system, 9.2 Bodediagram Inledning och 10.1 Stabilitet. Figur 2: Bode-diagram för kretsöverföringen med PI-regulatorn. Figur 3: Bode-diagram för kretsöverföringen med PD-regulatorn. 3
4. (2p) Störningsdämpning: Man har för de två regulatorerna ritat amplitudförstärkningen som funktion av frekvensen för överföringsfunktionen från störningen (W (s)) som kommer in efter rodermotorn G v (s) och före flygplanets dynamik G p (s) till ärvärde (Y (s)) och dessa ges i Fig. 4 och 5. Figur 4: Amplitudförstärkningen för överföringsfunktionen från W (s) till Y (s) med PI-regulatorn. Figur 5: Amplitudförstärkningen för överföringsfunktionen från W (s) till Y (s) med PD-regulatorn. Försök tolka figurerna och simulera systemen med en sinusformad störning. Använd åtminstone en frekvens som verkar dämpas mycket av systemet och en frekvens som dämpas mindre. Tips: För mera information se (Thomas, 2008): 10.4 Störningsdämpning. 4
5. (4p) Styrsignalaktivitet: Man har för de två regulatorerna ritat amplitudförstärkningen som funktion av frekvensen för överföringsfunktionen från: Börvärde (R(s)) till styrsignal (U(s)) och från störningen (W (s)) som kommer in efter rodermotorn G v (s) och före flygplanets dynamik G p (s) till styrsignal (U(s)). Se Fig. 6 9 Försök tolka figurerna och simulera systemen för de två olika regulatorerna med (a) ett sinusformat börvärde (R(s)) av olika frekvenser: En frekvens som verkar dämpas mycket av systemet och en frekvens som dämpas mindre. (b) sinusformad störning (W (s)) av olika frekvenser: En frekvens som verkar dämpas mycket av systemet och en frekvens som dämpas mindre. Tips: För mera information se (Thomas, 2008): 10.5 Styrsignalaktivitet. 6. (1p) På basen av hela uppgiften, vilken regulator skulle du välja och varför? Referenser Thomas, B. (2008). Modern Reglerteknik. Liber. Ljubljana. 5
Figur 6: Amplitudförstärkningen för överföringsfunktionen från R(s) till U(s) med PI-regulatorn. Figur 7: Amplitudförstärkningen för överföringsfunktionen från R(s) till U(s) med PD-regulatorn. 6
Figur 8: Amplitudförstärkningen för överföringsfunktionen från W (s) till U(s) med PI-regulatorn. Figur 9: Amplitudförstärkningen för överföringsfunktionen från W (s) till U(s) med PD-regulatorn. 7