KVANTFYSIK för F3 2009 Inlämningsuppgifter I5

ALMERS TEKNISKA ÖGSKOLA Mikroteknologi och nanovetenskap Elsebeth Schröder (schroder vid chalmers.se) 2009-11-12 KVANTFYSIK för F3 2009 Inlämningsuppgifter I5 Bedömning: Bedömningen av de inlämnade lösningarna sker summariskt. Uppgifterna kan ge upp till 3 poäng vardera (För betyg 3 krävs 6 poäng, för fyra 9 poäng och för femma 12 poäng, men detta gäller de viktade poängtalen för hela kursen). Vid bedömningen läggs inte bara vikt på ev. rätta svar på direkta frågor utan också på klarhet i presentationen, med fullständiga meningar, med logik i argumenten och med tydliga referenser till kompendiet o/e boken samt tabeller för material som hämtats där. Observera att också en redigt skisserad principlösning kan ge vissa poäng. Denna omgångs inlämningsuppgifter är: 0.) För att underlätta lösandet av inlämningsuppgifterna bör du först öva Dig genom att t ex lösa de uppgifter som ges i veckoschemat. 1.) Lös uppgift XV.6 i Exempelsamlingen. 2.) I röntgenspektret från ett materialprov finner man bland annat tre linjer med våglängderna 3,744, 0,876 och 1,542 Å. De två förstnämnda identifieras som K α -linjerna från grundämnena K respektive Sr. Räkna ut från vilket grundämne den sistnämnda linjen härrör, om också den antas vara en K α -linje. Motivera ev. antaganden. 3.) Negativa joner är ett forskningsfält med anknytning till många olika delar av fysiken. I gruppen för Atom- och molekylfysik, Institutionen för Fysik vid Göteborgs Universitet, har man genom lång tid forskat på olika aspekter av negativa joner (titta gärna på deras hemsida http://www.physics.gu.se/forskning/atomic and molecular/atomfysik/ om du är intresserat av att veta mera). Gruppens forskning har inspirerat till denna uppgift där vi ska se lite närmare på några negativa joner, Te, Se, och Si. Figure 1: RYRING i Stockholm. Tre år sedan publicerade ovannämnda forskargrupp vid GU med internationella kollegor en artikel där livstiderna för metastabila tillstånd av jonerna Te, Se, och Si uppmätts. P. Andersson et al., Physical Review A 73, 032705 (2006). 1

Mätningarna utfördes vid RYRING i Stockholm (Figurer 1 och 2). Ringen har en diameter på 51,6 m, och har ett magnetisk fält vinkelrätt mot ringen (vissa ställen). I RYRING ringen förvaras de negativa jonerna, medan de neutrala atomerna, som jonerna så småningom återgår till, fortsätter rakt ut ur ringen (Figur 3). Figure 2: RYRING. a) Ge en kort plausibel förklaring till varför jonerna stannar kvar i ringen medan de neutrala atomerna lämnar ringen. Rita gärna! Figure 3: Ur: P. Andersson et al., Physical Review A 73, 032705 (2006). Jonerna Te, Se och Si finns i sina grundtillstånd och i en eller några få metastabila tillstånd. Det är karakteristiskt för negativa joner att det bara finns enstaka (om några) metastabila tillstånd över grundtillståndet, då tillstånd med hög energi leder till att jonen har högre energi än energin som krävs för att ta bort den extra elektronen (och därmed få en neutral atom). För Te, Se och Si visas de möjliga tillstånd i figur 4. T.ex. för Se rör det sig om grundtillståndet 4p 5 2 P 3/2 (man slarvar genom att inte skriva med alla inre orbitaler) och det metastabila tillståndet 4p 5 2 P 1/2. b) För alla tillstånd som ingår i figur 4: stämmer ordningen (inom varje typ av jon, dvs för Te, för Se, och för Si ) av tillståndens energinivåer med unds regler? Motivera. Som det visas i figur 4 är det möjligt att förstöra det/de metastabila tillstånd genom absorption av ett foton, och med rätt val av fotonenergi kan man uppnå att joner som är i det metastabila tillståndet förstörs (jonen blir till neutral atom) medan de jonerna som är i grundtillståndet inte får tillräckligt med energi från fotonen för att bli av med den extra elektronen. Alla nya neutrala atomer som detekteras från ringen måste därför komma från atomer som varit metastabila joner, och man kan räkna upp antalet. En sådan mätning visas i Figur 5. c) Utgående från figur 4, vilka foton-energier är relevanta i detta studium (neutralisera alla joner som är i metastabila jon-tillstånd men hålla kvar alla joner som ursprungligen är i sina grundtillstånd) för Te, för Se, och för Si? Det antalet neutrala joner som uppmätts t.ex. i figur 5 påverkas dels av ovannämnda foto-absorption, 2

Figure 4: Ur: P. Andersson et al., Physical Review A 73, 032705 (2006). dels av processen där joner neutraliseras genom kollision med atomer i den gas som alltid finns kvar i ringen (trots att trycket hålls så lågt som möjligt). Om hänsyn tas till båda dessa processer finner studien att livstiden för 4p 5 2 P 1/2 -tillståndet i Se är 4, 7 ± 0, 7 s, och för 5p 5 2 P 1/2 -tillståndet i Te är livstiden 0, 42 ± 0, 05 s. För Si är livstiden för de längsta metastabila tillstånd mycket längre, och kollisioner med gas-atomerna förstör möjligheten till tillräckligt bra mätningar av livstiden (som förväntas vara av storleksordningen timmer). 4.) En av kvantfysikens stora framgångar är förklarandet av strukturen i elementens periodiska system. En rad egenskaper visar en karakteristisk variation inom perioderna, dvs. från vänster till höger inom det periodiska systemet. Det kan också uppvisa en klar tendens i variationen inom en grupp, dvs. uppifrån och ner. Figur 6 visar metalliska eller kovalenta radier, dvs effektiva radier för atomer när de delar elektroner i bindningar med grannatomer. Figuren illustrerar båda slagens (vänster till höger, uppifrån och ner) variation, liksom Figur 7 med de första joniseringsenergierna, dvs de för den lösast bundna elektronen i respektive atom. a) Varför minskar radierna från vänster till höger inom en period? b) Varför ökar radierna nedåt i en grupp c) - och varför är ökningen så stor mellan t.ex. Xe och s? d) Varför är jonisationsenergierna större för förstaskalselementen och e än för motsvarande andraskalselement Li Ne? 3

Figure 5: Ur: P. Andersson et al., Physical Review A 73, 032705 (2006). e) Varför ökar jonisationsenergin i allmänhet längs perioden från Li till Ne, och från Na till Ar? f) Vad orsakar trendbrottet i jonisationsenergin mellan N och O? 5.) Rotationsspektrum för bensen-dimer. I denna uppgift ska vi bestämma avståndet mellan två bensen-molekyl i en bensen-dimer. Först ska dock relevanta tröghetsmoment och rotations-vibrations-energi introduceras. I de sista sidorna av kompendiets sista kapitel diskuteras en tvåatomig molekyls vibrations- och rotations-spektrum. Energin består av elektroniska bidrag E el, vibrationsbidrag E vibr och rotationsbidrag E rot. I en första approximation antas potentialen från elektronfördelningen vara potentialen för en harmonisk oscillator kring atomernas jämviktsavstånd R 0, och rotations- och vibrationsbidragen antas vara oberoende: rotationen beräknas som för en stel rotor. De av er som deltagit i laboration A6 eller som räknat rekommenderade uppgifter vet att rotationen visst påverkas av vibrationen, bl a genom att atom-atom-avståndet ökas från den stela rotorns R 0. Dessutom är harmoniska oscillatorn endast en bra approximation mycket nära jämviktläget. En bättre Figure 6: Kovalenta radier för olika grundämnen. Tyvärr är bilden suddig, men på http://www.chem.ox.ac.uk/vrchemistry/periodic table/page04.htm finns en riktigt snygg version. 4

2400 2200 2000 1:a jonisationsenergier e Ne 1800 F kj/mol 1600 N 1400 O Ar 1200 l 1000 Be B P S 800 Li Si 600 Mg Na Al 400 1 2 3 4 5 6 7 8 uvudgrupp Figure 7: Första jonisationsenergier för periodiska systemets första, andra och tredje rad. 120 o b a c (out of plane) ~ 1.01 Å ~ 1.41 Å Figure 8: Bensen-molekylen. approximation är Morse-potentialen ( V (R) = D e (n) e 2a(n)(R R0) 2e a(n)(r R0)). (1) Det tillkommer alltså korrektioner till energiuttrycket (18.30) i kompendiet ( E nnl = E n + N + 1 ) hω n + h2 2 2µR0 2 J(J + 1). (2) a) Först undersöks vilka korrektioner till vibrationsbidraget i (2) som tillkommer när termer högre än andra ordningen tas med i taylorexpansionen av (1). Visa att lägsta ordningens korrektion approximativt är ( N + 1 2) 2 (med vilken faktor?). Ledning: termerna av ordning (R R 0 ) 3 och (R R 0 ) 4 i taylorexpansionen av (1) behandlas som en perturbation (andra och första ordningens perturbation) till harmoniska oscillatorn. Som ovan nämnd kopplar rotationen till vibrationen. Den effektiva potentialen är V eff (R) = V (R) + h2 J(J + 1) (3) 2µR2 och vi ser att endast för J = 0 fås V eff (R) = V (R), vilket var förutsättningen för beräkningarna av vibrationsbidraget i (2) och i fråga a) ovan. Minimat för potentialen V eff (R) i (3) kan approximativt 5

1 2 a B b b c A a c (out of plane) R center of mass till center of mass avstånd Figure 9: Bensen-dimeren, T-form. Den nyfikna hittar fler bensen-dimer-typer i t ex Figure 2 i V. Spirko et al., Journal of hemical Physics 111 (1999) 572. skrivas R 1 = R 0 + h 2 2µR0 3 J(J + 1) (4) a2 (n)d e (n) vilket visar att molekylen sträcks ut på grund av rotationsrörelsen. Energin med lägsta korrektionerna på vibrations- och rotations-bidrag och deras gemensamma bidrag blir då [ ( E nnl = D e (n)+ N + 1 ) ( β N + 1 ) ] 2 ( hω n + h2 2 2 2µR0 2 J(J+1) α N + 1 ) J(J+1) γj 2 (J+1) 2 2 (5) där β ges av svaret till fråga a) och och α = 3 h 3 ( ω n 4µa(n)R0 3D 1 e(n) γ = 1 a(n)r 0 ) h 4 4µ 2 a 2 (n)r 6 0 D e(n). (7) De två sista termerna är rotations-vibrations-kopplingstermen och korrektionen på stela-rotorn-bidraget. b) Ge ett argument för att de två sista termerna i (5), och särskild den sista termen, troligen ger mindre bidrag än övriga termer. c) ur blir frekvenserna i rotationsspektra med alla ovanstående korrektioner inkluderade? Samma fråga för frekvenserna i vibrationsspektra (samma urvalsregler gäller med och utan korrektioner). Nu består världen ju inte bara av tvåatomiga molekyl. Redan med treatomiga molekyl blir formalismen krångligare. En generell hantering av fleratomiga molekyl blir mödosam om alls möjlig. I vissa fall, när två av molekylens tröghetsmoment är identiska, finns dock lämplig teori. d) En skiss av bensenmolekylen syns i figur 8, med ungefärliga bindninglängder. Estimera utifrån klassisk mekanik bensens tröghetsmoment I c i riktningen ortogonalt på molekylplanet. Du kan räkna i helt antal atommassa-enheter (u) för atomerna. Argumentera för, igen klassiskt, att tröghetsmomentet I b (eller I a ) i en riktning i molekylplanet är hälften så stort. I en artikel från 1993 beskriver Arunan och Gutowsky mätningar av bensen-dimerens rotationsspektra. Dimeren är den så kallade T-formade dimer, där ena molekylen pekar en -atom mot andra molekylens centrum, se figur 9. I figuren är de tre riktningarna A, B och definierade. E. Arunan och. S. Gutowsky, Journal of hemical Physics 98 (1993) 4294. (6) 6

Table 1: Frekvenser från rotationsövergångar i bensen-dimeren, J, K J + 1, K. I spektret splittras varje rotations-topp upp i fyra linjer av orsaker vi inte ska gå in på i denna uppgiften. entret av dessa fyra linjer ( Line center ) är ungefär positionen där den osplittrade rotationstoppen skulle synas. är anges en delmängd av data från Arunan och Gutowsky, Table I. J, K Line center (Mz) 2, 2 2545.8450 2, 1 2460.7610 2, 0 2565.6717 3, 3 3360.8641 3, 2 3394.2252 3, 1 3413.6892 3, 0 3420.1125 4, 3 4202.2641 4, 2 4242.3811 4, 1 4266.0375 4, 0 4273.8795 5, 5 4900.2968 5, 4 4979.8225 5, 3 5044.3020 5, 2 5090.2390 5, 1 5117.6502 5, 0 5126.7939 6, 4 5815.3870 6, 3 5886.9433 6, 2 5937.7084 6, 1 5968.3905 6, 0 5978.6863 e) Visa att dimerens tröghetsmoment ges av bensenmolekylens tröghetsmoment: där µ d är dimerens reducerade massa. I A = 3I b (8) I B = 2I b + µ d R 2 (9) I = 3I b + µ d R 2 (10) Arunan och Gutowsky antar att eftersom det inte finns någon större barriär för molekyl 2 att vrida sig kring A-axeln är tröghetsmomentet i riktning B och egentligen medelvärdet på I B och I ovan, I B = I = (5/2)I b +µ d R 2. Detta gör bensen-dimeren till en symmetrisk topp, en molekyl (här egentligen en sorts super-molekyl : en molekyl av molekyler) med två identiska tröghetsmoment I B = I. För sådana gäller att rotationen beskrivs av två oberoende kvanttal. Man kan då välja kvanttalet J, som är associerat till kvadraten på molekylens (här: bensendimerens) totala rörelsemängdsmoment, samt ett kvanttal K som är associerat till molekylens rörelsemängdsmoment i en bestämt riktning, valt som A-riktningen. Rotationsbidraget till energin är för en sådan molekyl E rot = h2 J(J + 1) + h2 2I B 2 ( 1 I A 1 I B ) K 2 D J J 2 (J + 1) 2 D JK J(J + 1)K 2 D K K 4 (11) med K = 0, 1, 2,... Vid detta läget blir uttrycken för prefaktorerna i korrektionstermerna (D J etc) så pass komplicerade att de används i kurvanpassning av experimentella data men sällan tolkas ytterligare. Urvalsreglerna för symmetriska toppar är J = ±1 och K = 0. Frekvenserna ν i 7

rotationsspektret ges därför av νh = E rot (J + 1, K) E rot (J, K) (12) f) I tabell 1 ges ett urval av rotationsfrekvenser uppmäta i Arunans och Gutowskys experiment. Uppskatta utifrån tillräkligt många (ta inte alla!) av dessa värden avståndet R mellan de två molekylerna (mass-centrum till mass-centrum). Gör endast simpla linjära kurvanpassningar (välj axel så att teorin ger rätta linjer), gärna för hand; vara sig teorin eller urvalet av data är av en sådan kvalité att de lämpar sig för mer avancerade matlab kurvanpassningar (eller dyl.). 8