En bokstav kan säga mer än tusen ord

En bokstav kan säga mer än tusen ord Liv Sissel Grønmo I Nämnaren 26(1) diskuteras en medveten användning av tal- och skriftspråket som en förutsättning för att utveckla goda algebraiska begrepp. I denna artikel behandlas uppgifter som syftar till att hjälpa eleverna att förstå och översätta från en situation beskriven muntligt eller skriftligt till att beskriva samma situation med ett algebraiskt symbolspråk. Från ord till bokstavssymboler Första aktiviteten kallas Från ord till bokstavssymboler. Ord är ju också symboler så språkbruket är en aning komplicerat. I aktiviteten skall eleven börja med innehållet i texten som beskriver situationen i uppgiften. Att eleverna parvis diskuterar för att bli överens, är en väsentlig del av processen. Elever har ofta svårigheter med att läsa uppgifter så att de förstår dem. Att lära eleverna läsa och diskutera innehållet i uppgiften, innan de försöker att lösa den, är ett sätt att få dem att klara detta bättre. Dels genom att vi betonar vikten av detta och dels genom att eleverna hjälper varandra. Eleverna skall också lära sig att reflektera över och diskutera vilka storheter som är okända innan de ställer upp symboluttrycket. Även om eleverna skall diskutera två och två kan det vara lämpligt att då och då stoppa diskussionen och ta upp viktiga punkter tillsammans i helklass. Några grupper kan redovisa vad de kommit fram till som utgångspunkt för vidare diskussioner. Avsikten med de föreslagna aktiviteterna är att eleverna skall använda språket aktivt för att befrämja egen förståelse. Algebra i skolan har i alltför länge varit en tyst aktivitet. Liv Sissel Grønmo är amanuensis i matematikdidaktik vid Institutt for Lærerutdanning og Skoleutvikkling, ILS, vid universitetet i Oslo. Översättning av Bo Rosén Det är lärarens uppgift att leda diskussionen och att påpeka och understryka viktiga matematiska begrepp. Men läraren skall undvika att ge svar för tidigt. Ofta är det bättre om man kan göra sig till tolk för motargument utan att ge svar. På det sättet kan man få gruppen att fortsätta att diskutera och reflektera. Språket i uppgift 1 är en aning konstruerat i förhållande till hur man vanligtvis uttrycker sig till vardags. Jag har medvetet uttryckt situationen så för att orden skall ligga närmare det matematiska symbolspråket. Om man beskriver situationen med hjälp av vardagsspråk Lena behöver dubbelt så många blå som vita kakelplattor i badrummet ger det i många fall den motsatta associationen till den korrekta och skapar ofta större problem när man skall översätta till bokstavsymboler. Genom att omforma uppgiften så att man använder är lika med kommer det att ligga närmare det vi skriver med matematiska symboler. Men språket kommer då att verka uppstyltat. I uppgift 2 och 3 har jag inte gjort sådana omformuleringar. Texten till dessa uppgifter är mer i överensstämmelse med hur vi uttrycker oss till vardags. Uppgifterna är exempel på hur man kan skapa situationer för diskussion i klassrummet. Eleverna bör arbeta med flera uppgifter av liknande slag, gärna från läroboken, och sätta ord på vad uppgiften går ut på innan de ställer upp symboluttrycket. 20 Nämnaren nr 4, 1999

Från ord till bokstavssymboler I algebra är det ofta nödvändigt att kunna gå från en situation, som är beskriven med ord, till att beskriva samma situation med bokstavsymboler. Man kan likna det vid att översätta från ett språk till ett annat, t ex från svenska till engelska. I uppgifterna nedan skall ni öva på att översätta från ord till bokstavssymboler. Uppgift 1 Antalet blå kakelplattor som Lena behöver till badrummet är lika med dubbelt så många som antalet vita plattor hon behöver. a) En av er skall med egna ord berätta för den andre vad som är innehållet i situationen som beskrivs i uppgiften. Diskutera så att ni blir överens. b) Vilka är okända storheter i den situation som beskrivs? c) Vilka bokstavssymboler vill ni beteckna de okända storheterna med? d) Skriv ett matematiskt uttryck för situationen. Detta kallar vi att översätta från ord till bokstavssymboler. e) Rita en bild av badrumet med de blå och vita kakelplattorna. f) Undersök om resultatet ni får då ni ser på teckningen stämmer överens med det ni får om ni använder symboluttrycket. Uppgift 2 Fabriken AB Godis skall sälja påsar med sega gubbar i. Man har bestämt att det alltid skall vara fyra gånger så många röda som gula gubbar i påsarna. a) Berätta situationen med egna ord. b) Vilka är de okända storheterna? c) Vilka bokstavssymboler väljer ni för de okända storheterna? d) Översätt situationen från ord till bokstavssymboler. e) Välj några värden för att kontrollera att uttrycket ni satt upp stämmer. Uppgift 3 Jan har dubbelt så många pennor i sitt pennskrin som Nils har kan man skriva i kortform på följande sätt: Jans antal pennor = 2 Nils antal pennor Vi väljer nu följande symboler för de okända storheterna: Nils antal pennor = n och Jans antal pennor = j Då kan vi skriva detta med bokstavssymboler på följande sätt: j = 2 n Diskutera varje situation som är beskriven nedan. Skriv först hur de blir i kortform. Bestäm därefter vilka bokstavssymboler ni vill använda för de okända storheterna. Till sist skall situationen översättas till ett matematiskt uttryck med bokstavssymboler. a) Rut har tre gånger så många pennor som Nils. b) Anders har hälften så många pennor som Nils. c) Sara har två pennor mer än Jan. d) Mai-Lin hade samma antal pennor som Nils. Hon delade sina pennor lika mellan sig och sina två bröder. Hur många pennor har hon nu? Nämnaren nr 4, 1999 21

Omvänt sammanhang Efter att eleverna arbetat med aktiviteter av typen Från ord till bokstavssymboler kan det vara lämpligt att gå över till att arbeta med aktiviteten Omvänt sammanhang. Eleverna bör ha erfarit att det är lätt gjort att sätta upp det motsatta symboluttrycket innan man fokuserar på det i en sådan aktivitet. Aktiviteten innehåller förslag till uppgifter som hjälper eleverna att reflektera över varför de ibland gör fel då de går från ord till symbol och hur de kan undvika det. Här är det åter plats för diskussion och reflektion och lärarens roll är att sörja för att detta kommer till stånd. Inte heller nu får vi som lärare vara för snabba med att berätta för eleverna vad de skall göra. Ge dem i stället tillräckligt med tid till att diskutera, göra egna fel och rätta till dem. Problemet med att sätta upp sammanhanget motsatt är utförligt beskrivet i forskning om matematikundervisning (Students-and-professors, MacGregor & Stacey, 1993). Problemet är delvis knutet till strukturen i vardagsspråket i relation till det matematiska symbolspråket. I elevaktiviteten har jag valt att säga att vardagsspråket gillrar en fälla för oss för att det ger oss fel associationer vid översättning till matematiska symboler. Om man fokuserar på detta som en missuppfattning kan det lätt medföra att elever tappar självförtroendet och tror att matematik är något de inte kan förstå. Genom att få dem att omforma uttrycket i ord innan de sätter upp bokstavsuttrycket och genom att lära dem att kontrollera resultatet efteråt försöker vi få dem att förstå svårigheten och hur man kan hantera den. Det är min erfarenhet, både som lärare och som fortbildare av lärare, att många som är duktiga i matematik lätt faller i fällan om de inte är tillräckligt uppmärksamma. Många elever som gör fel uppfattar att de misslyckas men förstår inte varför. Det är lärarens uppgift att få eleverna att reflektera och diskutera uppgifter som fokuserar på sådana problem den språkliga orsaken till att vi lätt går i fällan hur man kan omforma uttryck så att de lättare kan översättas till matematiska symboler hur man kan kontrollera resultatet t ex med hjälp av tabell. I uppgift 1 i Från ord till bokstavssymboler skall eleverna göra en teckning över badrummet. Att göra en teckning eller skiss kan ibland vara till hjälp. Genom att jämföra värden de får i bokstavsuttrycken med det de får då de ritar bilden kan eleverna kontrollera resultatet. Elever gör sällan fel när de avbildar situationen. I uppgift 1 i Omvänt sammanhang är kontexten sådan att det är lätt att se om uttrycket man satt upp stämmer eller ej. I uppgift 2 är det inte så. I uppgift 3 finns exempel man kan använda när man har diskuterat och arbetat en del med detta. Man behöver träna färdigheter. Detta gäller också vid översättning från ord till bokstavssymboler. På sikt kan kanske delar av detta automatiseras. Men om eleverna saknar den grundläggande förståelsen så hjälper det inte med automatisering. Det är helt avgörande för resultatet att man tar sig tid till grundliga diskussioner och reflektioner innan man tränar med sikte på automatisering. 22 Nämnaren nr 4, 1999

Omvänt samband Du har kanske redan lagt märke till att du bör vara väldigt försiktig när du översätter från ord till bokstavssymboler. Det är lätt gjort att skriva det omvända sambandet. Det sätt som situationen är beskriven med ord gör att man lätt gör fel. Man kan säga att vardagsspråket ger oss fel signaler (associationer) när vi skall översätta det till matematiskt språk. Det svåra med att översätta från ett språk till ett annat är att man inte alltid kan översätta ord för ord. Gör man det blir översättningen oftast dålig. Vi måste känna till och ta hänsyn till regler för hur det enskilda språket är uppbyggt. Detta gäller också när vi översätter från vardagsspråk till ett med matematiska bokstavssymboler. De följande uppgifterna skall hjälpa dig att översätta från ord till bokstavssymboler. Uppgift 1 Läraren bad några elever att översätta följande situation till bokstavsymboler. De skulle också skriva ner vad symbolerna stod för. I en grupp människor var det dubbelt så många ögon som näsor. Titta på lösningarna. Vilken av dem anser du är den riktiga? Skriv ner varför. Vilken är skillnaden mellan gruppernas sätt att beskriva vad bokstavssymbolerna står för? Vilket av dem är riktigt? Varför? Diskutera uppgiften med din kamrat. Kom överens om vad ni menar. Uppgift 2 Några elever skulle översätta följande situation från ord till bokstavssymboler: En rektangel är tre gånger så lång som den är bred. Grupp A skrev l = 3 b och Grupp B skrev 3 l = b. a) Beskriv med egna ord vad de olika uttrycken betyder om l står för antal meter i längd och b står för antal meter i bredd? b) Vilket uttryck anser ni är det riktiga? c) Hur skulle ni vilja förklara vad som är riktigt för den grupp som har gjort fel? Nämnaren nr 4, 1999 23

Översättningsproblem Det sätt vi uttrycker oss på kan ibland göra att vi får problem när vi skall översätta till ett matematiskt symbolspråk. Man kan nästan säga att vardagsspråket gillrar en fälla för oss. Fällan i detta fallet är att vi svarar med ett uttryck som betyder det motsatta. Ett sätt att undvika att gå i fällan är att noga kontrollera de värden man får om man använder symboluttrycket. Detta kan göras med en värdetabell. Med dess hjälp kan uttrycket kontrolleras och man kan undvika att gå i fällan. Nedan finns två tabeller till uppgift 1 på föregående sida. 2 ö = n ö (antal ögon) 1 2 10 20 n (antal näsor) 2 4 20 40 ö = 2 n ö (antal ögon) 2 4 20 40 n (antal näsor) 1 2 10 20 Vilken av tabellerna anser du är korrekt? Ett annat sätt att med ord beskriva situationen i uppgift 1 är Antal ögon är lika med två gånger antal näsor Om vi beskriver situationen i ord med hjälp av är lika med så är det ofta lättare att översätta från ord till matematiska bokstavssymboler. Det kan kännas lite onaturligt att säga det så. Det är inte på det sättet som vi oftast uttrycker oss till vardags. Ändå kan det vara klokt att formulera situationen med ord på det sättet innan vi skriver bokstavssymboler. Hur skall situationen i uppgift 2 beskrivas med en mening som innehåller är lika med? Kom ihåg att vi alla kan gå i fällan och sätta upp det omvända uttrycket. Vårt vardagsspråk lurar oss. Du bör alltid kontrollera att uttrycket du har satt upp är riktigt. Uppgift 3 Skriv om meningarna som beskriver situationerna nedan så att de innehåller är lika med. Använd din beskrivning som utgångspunkt för att sätta upp sambandet med bokstavssymboler. Jämför med din kamrat. Gör en tabell för att kontrollera. a) På många bondgårdar är det sex gånger så många hönor som tuppar. b) I många butiker är priset på Flax choklad fem gånger så högt som priset på Fix choklad. c) På alla Lisebergs åkattraktioner är priset för barn hälften av priset för vuxna. d) I fårflocken är antalet får fjärdedelen av antalet ben. 24 Nämnaren nr 4, 1999

Regler från vardagslivet Vi använder ofta regler i vardagslivet för att beräkna samband mellan storheter. Vi gör det nästan automatiskt, utan att tänka på det använder vi matematik i en eller annan form. Ibland är regeln skriven med bokstavssymboler och andra gånger är den skriven med ord. Uppgift 1 Hur lång tid det tar att steka en lammstek beror på stekens vikt. I en kokbok står det att man skall låta steken stå i ugnen 25 minuter för varje kilo den väger plus 20 minuter. a) Vilka är de okända storheterna (variablerna) i situationen? b) Bestäm vilka bokstäver ni vill använda som symboler för storheterna. Skriv ner ett uttryck med bokstavssymboler som gör att ni kan beräkna stektiden för en lammstek. c) Hur lång tid tar det att steka en lammstek på 2 kg? Hur lång tid tar det med en stek på 1,5 kg eller en på 3,2 kg? Uppgift 2 Man beräknar ofta medicindosen för ett barn utifrån doseringen för en vuxen. I en broschyr finns en regel för hur man skall räkna på barndoseringar. mängden vuxenmedicin barnets ålder i år Mängden barnmedicin = (barnets ålder i år + 12) Här är regeln angiven i en blandning av ord och matematiska symboler (plus, likhetstecken, bråksteck) Vi har tidigare kallat detta för att beskriva det i kortform. Ofta är det ett bra sätt. En vanlig instruktion kan bli för lång och en beskrivning med bara bokstavssymboler kan bli svår att förstå. När vi skall översätta från ord till bokstavssymboler kan en kortform vara ett bra mellanled. a) Skriv en räkneberättelse om medicindosering för barn, som med ord beskriver vad kortformen ovan uttrycker. b) Välj bokstavssymboler för barnets ålder, för mängden medicin som barnet skall ha och för mängden medicin som den vuxne skall ha. Skriv regeln för hur du skall beräkna medicindoseringen för barn med bokstavssymboler. c) En vuxen persons medicindos är 50 ml. Hur mycket medicin av samma slag skall ett tre år gammalt barn ha? Ett sju år gammalt barn? d) Varför tror du att man tar hänsyn till barnets ålder då man beräknar hur mycket medicin det skall ha? Varför skall inte vuxna ha olika mängd medicin beroende på ålder? e) Hur tror du att man kommit fram till regeln för medicinering av barn? f) Diskutera uppgiften med din kamrat. Kom överens om vad ni menar. Nämnaren nr 4, 1999 25

Regler från vardagslivet Denna aktivitet skall försöka visa på att relationer mellan storheter (variabler) är något som man ofta stöter på i vardagslivet. Det är viktigt att eleverna upplever att matematik finns i mycket av det vi gör även om vi inte är medvetna om det. Speciellt gäller detta undervisningen i algebra, som lätt kan bli ett meningslöst manipulerande med symboler. Det finns gott om exempel på regler som kan användas som utgångspunkt för diskussioner i klassrummet. Hur mycket garn behövs för att sticka en olle? och Hur mycket bensin behöver en moped för att köra en sträcka? är ett par exempel. En del läromedel har också goda ideér. Det är viktigt att aktiviteterna engagerar till en diskussion mellan eleverna. Uppgifterna ger inte samma undervisningsutbyte om de bara skall lösas individuellt och eventuellt förklaras efteråt i helklass. Representationsformer För att undervisningen i algebra skall lyckas krävs att eleverna har varierad erfarenhet av och övning på att översätta mellan olika representationsformer (Se t ex Janviermatrisen i Nämnaren 23(4)). Det är en förutsättning för att de skall kunna utveckla goda begrepp. Detta är speciellt viktigt när det gäller att knyta matematiska representationsformer som tabeller, grafiska funktioner och algebraiska uttryck till verklighetsnära situationer. Det är ofta något som den traditionella matematikundervisningen har försummat. Om alla elever skall få en bred erfarenhet av att använda ord, muntligt och skriftligt, måste undervisningen läggas till rätta för detta. (se Nämnaren 26 (1)). Pararbete och arbete i mindre grupper blir härigenom naturliga arbetsformer. Om eleven har arbetat i grupp så blir det lättare att delta i helklassdiskussioner. Det är då gruppen och inte den enskilde eleven som står för ett visst förslag eller en viss uppfattning. Elever reagerar ofta på att vi använder en förenklad form då vi knyter en matematisk representation till situtioner från verkligheten. Speciellt gäller detta om eleverna har erfarenhet från situationen i fråga. Detta ger möjlighet att diskutera modell och verklighet, en viktig diskussion för att öka den matematiska kompetensen hos eleverna. Ingen matematisk modell kan fånga alla aspekterna i en verklig situation. Den som ställer upp modellen avgränsar problemet, idealiserar verkligheten. Detta betyder att man inte kan lita blint på resultat man får från beräkningar baserade på matematiska modeller. Resultatet kommer att ha begränsningar beroende på den modell man valt. Ändå har matematiska modeller visat sig vara det kanske mest effektiva hjälpmedlet man har när det gäller att beskriva och förstå verkligheten runt oss. Att man inte kan lita blint på resultatet, även om man har använt matematik, är en viktig lärdom! I kommande nummer av Nämnaren presenteras förslag på aktiviteter när man skall översätta den motsatta vägen, från formel till ord. Ofta visar det sig vara ännu svårare än att gå från ord till symboler. Referenser Grønmo, L. S. (1999). Att sätta ord på algebra. Nämnaren 26(1). Göteborg: Göteborgs universitet. Grønmo, L. S. & Rosén, B.(1998). Att tänka algebraiskt. Nämnaren 25(4). Göteborg: Göteborgs universitet. Lowe, I. M fl. (1993). Access to algebra. Book 1. Brunswick: Curriculum cooperation. MacGregor, M. & Stacey, K. (1993). Seeing a pattern and writing a rule. Hirabayshi, I., Nohda, N., Shigematsu, K., Lin, F.-L. (red). Proceedings of the 17th International Conference for the Psychology of Mathematics Education 1, pp 181-188. Tsukuba, Japan: PME Program Commettee. Rosén, B. (1996). Funktionslära i skolmatematik. Nämnaren 23(4). Göteborg: Göteborgs universitet. 26 Nämnaren nr 4, 1999