Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen, 5p 4 januari 004, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Ansvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel- och tabellsamling (skall returneras) samt miniräknare. Leif Ruckman Varje uppgift kan ge max 10p. Lösningar skall utansvårighet kunna följas. Införda beteckningar skall förklaras. För betyget Godkänd krävs minst 30 p och för Väl godkänd krävs 45 p. Uppgift 1. I en personalmatsal serverar man ärtsoppa på torsdagarna. Kokar man för mycket soppa får man slänga bort det som blir över. Kokar man för lite soppa blir gästerna missnöjda. Gästerna tar själva soppa så mängden soppa varierar från gäst till gäst som en normalfördelad variabel med väntevärde 50 g och en standardavvikelse på 0 g. a) Hur stor är sannolikheten att en slumpmässigt vald gäst tar mer än 17 g soppa? b) Hur mycket soppa skall man koka för att vara 99% säker på att soppan räcker till 350 gäster? Uppgift. Samma matsal som i uppgift 1. 3% av gästerna spiller ärtsoppa på golvet. Hur stor sannolikhet är det att, utav 00 gäster, minst 11 stycken spiller ärtsoppa på golvet? Definiera en slumpvariabel X och ange dess fördelning. Beräkna sannolikheten ovan approximativt med olika approximationer. Ange för var och en om tumreglerna är uppfyllda eller ej.
Uppgift 3. Samma matsal som uppgift 1. Antalet pannkakor som en gäst tar i samband med sin ärtsoppemåltid kan anses vara en slumpvariabel. 0% av gästerna tar ingen pannkaka alls. Det är ingen gäst som tar 6 eller 5 X fler pannkakor. För 1 till 5 pannkakor gäller sannolikhetsfunktionen, där X är 1.5 antalet pannkakor gästen tar. a) Beräkna väntevärdet för antalet pannkakor en gäst tar? b) Beräkna variansen för antalet pannkakor en gäst tar. c) Beräkna sannolikheten att 50 gäster tillsammans tar minst 100 pannkakor. d) Berätta vad CGS är och hur CGS kommer in i beräkningarna ovan. Uppgift 4. Samma matsal som uppgift 1. 56 slumpmässigt utvalda gäster tillfrågades hur lång tid det tar att gå från deras tjänsterum till matsalen. Resultatet från stickprovet blev x 5 minuter och s0.4 minuter. Beräkna ett 99% konfidensintervall för den genomsnittliga tiden. Förklara i ord vad resultatet från beräkningarna betyder så att en som inte läst statistik kan förstå innebörden av konfidensintervallet. Uppgift 5. Samma matsal som uppgift 1. Antag att X Tiden som en gäst sitter i matsalen är en normalfördelad variabel. Man önskar testa H 0 : µ30 minuter mot H 1 : µ>30 minuter. För 10 slumpmässigt utvalda gäster noteras hur lång tid de sitter i matsalen. Följande data erhålls; 7 31 4 0 8 34 49 18 31 3 a) Genomför testet på 5% signifikansnivå. b) Vad menas med testets styrka? c) Om vi ökar urvalets storlek till 0 personer, hur kommer det att påverka styrkan? Förklara gärna med en skiss.
Uppgift 6. Samma matsal som i uppgift 1. Av någon anledning brukar människor bli hungriga samtidigt och då uppstår kö i matsalen. Vid olika tider på dagen är det olika lång kö. Och naturligtvis tar det längre tid innan man får sin mat om det finns många i kön när man kommer. För 8 personer har man observerat hur många som fanns i kön när personen anlände och hur många minuter det tog innan personen fick sin mat. Data anges nedan. Antal personer i kön. Antal minuter till personen får sin mat. 0 8 17 13 11 15 19 9 8 3 8 5 5 7 8 3 a) Rita in data i ett spridningsdiagram. b) Anpassa en regressionslinje ya+bx enligt minsta kvadratmetoden. Rita in linjen i ditt diagram. c) Uppskatta utifrån regressionsekvationen hur lång tid en person får vänta på att få sin mat då det står 18 personer i kö då han kommer.
Lösningar. Uppgift 1. X Mängd soppa, gram X är N(µ50, σ0) X µ 17 50 a) P(X>17) P > P(Z > 1.65) P(Z 1.65) 0.9505 σ 0 350 b) Låt Y i 1 normalfördelad. X i Eftersom X är normalfördelad så är också summan 350 350 ( X ) E( X i ) 350 50 87500 gram E(Y) E 350 0 i 1 i i 1 350 V(Y) V X i [Om alla gäster tar soppa oberoende av varandra] V X i 1 140000 Y E(Y) y 87500 y 87500 P(Y y) P P z 0.99 V(Y) 140000 140000 Från tabellen vet vi att P(Z.36) 0.99 y 87500 Så.36 y 87500 +.36 140000 88370 140000 ( ) Svar: Man måste koka 88370 gram soppa (ca 88 kg) för att vara 99% säker på att det skall räcka till 350 personer. Uppgift. X Antal gäster som spiller soppa på golvet Under förutsättning att gästerna spiller soppa oberoende av varandra så är X binomialfördelad med n 00 och π 0.03. Vi söker P(X 11) [Exakt beräkning med SPSS] 0.0401 Men nu har vi ju inte tillgång till SPSS i tentasalen och får då approximera. i
Enligt approximationsschemat kan vi approximera bin med Po om n 10 och π 0.1. Detta är uppfyllt i denna uppgift. Man kan också approximera bin med NF om nπ och n(1-π) båda är större än 5. Vi kontrollerar nπ µ 00. 0.03 6, n(1-π) 00. 0.97 194. Även detta är en tillåten approximation. Vi beräknar även V(X) nπ(1-π) 00. 0.03. 0.97 5.8. Approximation 1. X är approximativt Po(µ6) P(X 11) 1 P(X 10) [tabell] 1 0.9574 0.046. Approximation. X är approximativt N(µ6, σ 5. 8 ) P X µ σ 10.5 6 ( X 11 ) [ kontinuitetskorrektion] P P( Z 1.87) P( Z 1.87) 0. 0307 Uppgift 3. X Antal pannkakor som en gäst tar. P(X0) 0. 5 1 P(X 1) 0.3 1.5 5 P(X ) 0.4 1.5 5 3 P(X 3) 0.16 1.5 5 4 P(X 4) 0.08 1.5 5 5 P(X 5) 0 1.5 a. E(X) µ Xp(x) 0 0. + 1 0.3 + 0.4 + 3 0.16 + 4 0.08 + 5 0 1.6 pannkakor b. V ( X ) σ X p( x) µ 0 0. + 1 0.3 + 0.4 + 3 0.16 + 4 0.08 + 5 0 1.6 1. 44 5.8
c. Låt Y 50 X i i 1 E(Y) 50 1.6 80 pannkakor V(Y) 50 1.44 7 Enligt CGS är Y approximativt N ( µ 80, σ 7) Y µ 100 80 P ( Y 100) P > P( Z >.36) P(Z.36) 0.0091 V(Y) 7 d. CGS säger att om vi tar ett urval om n enheter från en och samma fördelning så är summa (och medelvärdet) approximativt normalfördelat. Approximationen blir bättre ju större stickprovet är. Tumregel n 30. I detta exempel har vi summan av 50 variabler från en diskret fördelning och enligt CGS är då denna summa approximativt normalfördelad. Uppgift 4. n 56 X Tidsåtgång för att promenera till matsalen från tjänsterummet. x 5 minuter s 0.4 minuter Ett 99% konfidensintervall för µ. s x ± z n 0.4 5 ±.576 56 [4.94, 5.06] 99% Med 99% säkerhet ligger den genomsnittliga tidsåtgången, för restaurangens gäster, att promenera från tjänsterummet till matsalen mellan 4.94 minuter och 5.06 minuter. Uppgift 5. X Tiden som en gäst sitter i matsalen. X är N(µ, σ) a. H 0 : µ 30 minuter H 1 : µ > 30 minuter
n 10 x 31. minuter s 9.47 minuter Signifikansnivå: α 5% Testfunktion: X µ t är t-fördelad med n-1 9 frihetsgrader. s / n Förkastelseområde: t > 1.83 31. 30 Resultat: t obs 0.41 < 1. 83 H 0 kan ej förkastas. 9.47 / 10 Slutsats: På 5% signifikansnivå finns det inget som tyder på att gästerna i genomsnitt sitter längre än 30 minuter. b. Testets styrka är sannolikheten att upptäcka en felaktig nollhypotes. Dvs. om personerna i genomsnitt sitter längre än 30 minuter så har vi med ett test med hög styrka stor chans att få ett signifikant resultat.
c. Antag att den lodräta linjen i figuren anger den kritiska gränsen då H 0 förkastas. Antag också att H 1 är sann och µ är placerat enligt figuren. Den heldragna linjen visar fördelningen för t då n är 10. Den streckade figuren representerar t då n är 0. Eftersom standardavvikelsen för x är s / n så minskar spridningen med ökad stickprovsstorlek. Sannolikheten att hamna till höger om den kritiska gränsen ( förkasta H 0 ) ökar därmed då n ökar vilket alltså betyder att styrkan ökar om n ökar från 10 till 0.
Uppgift 6. a. 9 8 Fitted Line Plot Väntetid min - 0,630 + 0,4648 Antal pers i kön S 0,605385 R-Sq 93,3% R-Sq(adj) 9,% Väntetid min 7 6 5 4 3 8 10 1 14 16 Antal pers i kön 18 0 b. XAntal pers i kön YVäntetid min X*X Y*Y X*Y 0 8 400 64 160 8 3 64 9 4 17 8 89 64 136 13 5 169 5 65 11 5 11 5 55 15 7 5 49 105 19 8 361 64 15 9 3 81 9 7 11 47 1710 309 74 b n n xy x x ( x) y 8 74 11 47 8 1710 11 58 1136 0.46478873
a y bx 47 11 0.46478873 0.630453 8 8 Y ' a + bx 0.63 + 0. 4648X c. Uppskattad väntetid då 18 personer står i kön. -0.63+0.4648. 18 7.73 minuter (7 min 44 sek) dvs. knappt 8 minuter