Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Föreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess Stas Volkov 217-1-3 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 1/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process N(μ, σ) CGS N(μ, σ) Sats 6.1 Om X N(μ, σ), E(X) = μ, V(X) = σ 2 så är X μ σ N(, 1) Om X i N(μ i, σ i ) och Y = n Y N a i μ i, n i=1 i=1 n a i X i gäller i=1 a 2 i σ2 i om alla X i är oberoende av varandra Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 2/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process N(μ, σ) CGS Centrala gränsvärdessatsen CGS Låt X 1, X 2,..., X n vara oberoende stokastiska variabler med samma fördelning och E(X i ) = μ, V(X i ) = σ 2 (ändliga). Då gäller att: ( n i=1 P X ) i nμ σ a Φ(a) då n för alla a n 1. Om Y = n X i gäller Y N(nμ, σ n) i=1 2. Om X n = 1 n n X i gäller X n N(μ, i=1 σ n ) Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 3/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process E(X) & V(X) Exempel Halvkorrektion Binomialfördelning Beteckning: X Bin(n, p) Förekomst: Ett försök med händelse A med P(A) = p upprepas n oberoende gånger. Då X = antalet gånger A inträffar. Egenskaper: ( ) n p X (k) = p k q n k, k =, 1,..., n, q = 1 p k E(X) = n p, V(X) = n p q (härleds strax!) F X (x) finns i tabell 6 för några värden på n och p. Om X Bin(n 1, p) och Y Bin(n 2, p), oberoende så är X + Y Bin(n 1 + n 2, p) Om npq 1 så är X N(np, npq) Om n 1 och p så är X Po(np). Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 4/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process E(X) & V(X) Exempel Halvkorrektion Väntevärde och varians för Bin(n, p) Låt Y i Bin(1, p) = Bernoulli(p), dvs p Yi () = 1 p och p Yi (1) = p. Då blir E(Y i ) = k k p Yi (k) = (1 p) + 1 p = p E(Y 2 i ) = k k 2 p Yi (k) = 2 (1 p) + 1 2 p = p V(Y i ) = E(Y 2 i ) E(Y i ) 2 = p p 2 = p(1 p) Låt X = n i=1 Y i, (där Y i ober.) då är uppenbarligen X Bin(n, p), E(X) = np V(X) = np(1 p) npq Detta motiverar även normalapproximation då n är stort samt additionsegenskapen hos binomialfördelningen. Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 5/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process E(X) & V(X) Exempel Halvkorrektion Binomialfördelning, X Bin(2, p).4 p = p =.3 p =.5.3 5 5.5.5 1 2 p =.7 1 2.4 p =.9 1 2.4 p =.95 5.3.3.5 1 2 1 2 1 2 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 6/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process E(X) & V(X) Exempel Halvkorrektion Exempel: företagskonkurser enligt Moodys, kreditvärderingsinstitut Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 7/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process E(X) & V(X) Exempel Halvkorrektion Företagskonkurser (forts) I goda tider sker företagskonkurser relativt oberoende av varandra. Enligt Moodys så är sannolikheten för en konkurs inom fyra år för ett Aaa företag 1/5. Vad blir sannolikheten att 3 eller fler företag i en pool på 1 gått i konkurs inom fyra år? Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 8/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process E(X) & V(X) Exempel Halvkorrektion Halvkorrektion vid N-approx av diskret s.v. X Bin(1,.4), Y N(4, 1.4 (1.4)) = N(4, 1.55) Då Y X.4.3 Exakt P(X 4) P(X 5).4.3 Normalapproximation P(Y 4) P(Y 5) 2 4 6 8 1 k 2 4 6 8 1 y Exakt för X: P(X 4) + P(X 5) = 1. Men å andra sidan P(Y 4) + P(Y 5) =.759 1 Halvkorrektion: P(Y 4.5) + P(Y 4.5) = 1 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 9/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process E(X) & V(X) Exempel Halvkorrektion Företagskonkurser (normalapproximation) Slh n för en konkurs inom 4 år för ett Baa3 företag 2.6%. Vad blir slk n att 2 eller fler företag i en pool på 1 gått i konkurs inom 4 år? ( X Y där Y N 26, ) 1.26 (1.26) ( ) 2 26 P(X 2) P(Y 2) = 1 Φ =.8834 25.3 ( ) 19 26 alt. P(X 2) 1 P(Y 19) 1 Φ =.9179.8834 25.3 ( ) 19.5 26 Halvkorr.: = 1 P(Y 19.5) 1 Φ =.918 25.3 Exakt: = 1 k=2 ( 1 k ).26 k (1.26) 1 k =.961 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 1/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Exempel Poissonfördelning Beteckning: X Po(μ) Egenskaper: p X (k) = e μ μk, k =, 1,... k! E(X) = μ, V(X) = μ F X (x) finns i tabell 5 för några värden på μ. Om X Po(μ 1 ) och Y Po(μ 2 ), ober. så är X + Y Po(μ 1 + μ 2 ) Om μ 15 så är X N(μ, μ). Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 11/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Exempel Poissonfördelning, X Po(μ).4 µ = 1 µ = 2.4 µ = 5.3 5.3.2.5.1.15.1.5 2 4 µ = 1 2 4 2 4 5 x 1 3 µ = 2 4 3 2 1 2 4 2 4 2.5 x 1 3 µ = 3 2 1.5 1.5 2 4 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 12/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Exempel Företagskonkurser (Poissonapprox.) I goda tider sker företagskonkurser relativt oberoende av varandra. Enligt Moodys så är sannolikheten för en konkurs inom fyra år för ett Aaa företag 1/5. Vad blir sannolikheten att 3 eller fler företag i en pool på 1 gått i konkurs inom fyra år? 1. Med Poisson (inte normal-!) approximation (npq 2 < 1 men n = 1 > 1, p =.2 < ) P(X 3) = 1 P(X 2) = 1 2. Med exakt räkning 2 k= P(X 3).323 323 49 (2) k k! e 2.323 323 58 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 13/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonprocess Stokastisk process En stokastisk process {X(t), t T} är en följd av stokastiska variabler, en slumpmässig funktion av t. För ett fixt t är X(t) en stokastisk variabel. Diskreta processer: läs Markovprocesser (FMSF15) Kontinuerliga processer: läs Stationära stokastiska processer (FMSF1) Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 14/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonprocess X(t) X(t) X(t) X(t) Diskret process i diskret tid Diskret process i kontinuerlig tid 3 3 2.5 2 1.5 1.5 5 1 15 2 tid (t) -1-2 -3-4 -5-6 Kontinuerlig process i diskret tid 5 1 15 2 tid (t) 2.5 2 1.5 1.5 5 1 15 2 tid (t) Kontinuerlig process i kontinuerlig tid 15 1 5-5 -1 5 1 15 2 tid (t) Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 15/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonprocess Fördelning för ökningar En stokastisk process {X(t); t T} har Oberoende ökningar om X(t 2 ) X(t 1 ), X(t 3 ) X(t 2 ),..., X(t n ) X(t n 1 ) är oberoende för alla n 3 och alla t 1 < t 2 < < t n i T. Stationära ökningar om fördelningen för X(t + h) X(t) inte beror av t utan bara av h. Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 16/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonprocess Poissonprocess En poissonprocess med intensiteten λ är en diskret s.p. med kontinuerlig tid {X(t), t } med följande egenskaper Antalet händelser i icke överlappande intervall är oberoende, dvs oberoende ökningar. X(t) Po(λ t) X(t) X(s) Po(λ(t s)), ökningar. < s < t, dvs stationära Tiden Y mellan ökningarna är Y Exp(λ). Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 17/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonprocess Realisering av poissonprocess, X(t) Po(λt) Processen startar med värdet då t =, dvs X() = Tidsavstånden mellan processens ökningar är Exp(λ)-fördelade. 1 3 tidsutvecklingar av en poissonprocess med λ = 1 8 X i (t) 6 4 2 2 4 6 8 1 12 14 16 t Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 18/19
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonprocess Exempel: en demonstration i Göteborg En viss organisation skulle demonstrera i Göteborg. Demonstrationen ska äga rum mellan kl. 14 och 16. Antal demonstranter som passerar Svenska mässan tills tidpunkten t antas vara en poissonprocess med intensiteten, λ = 1 demonstranter/minut (dvs ankomsttiders mellanrum är exponentialfördelad med samma väntevärde λ 1. ) Vad är sannolikheten att det hinner komma minst 15 demonstranter inom de första tio minuter? Vad är sannolikheten att det hinner komma minst 125 demonstranter innan demonstrationen är slut? Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och Poisson-förd. 19/19