Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att lösa vissa partiella differentialekvationer (PDE). Värmeledningsekvationen. Vi betraktar en stav av längden, idealiserad som intervallet 0 x. Denna är totalt isolerad förutom i ändpunkterna, som hålls vid den konstanta temperaturen 0. u u(x, t) x Vi låter u(x, t) beteckna temperaturen i punkten x, i staven, vid tiden t. Om staven har den konstanta värmeledningskoefficienten k gäller då att u t (x, t) = k u xx (x, t), 0 < x <, t > 0 och u(0, t) = u(, t) = 0, t > 0. ( ) Vi vill finna alla lösningar u = u(x, t) till ( ) som uppfyller initialvillkoret u(x, 0) = f (x), där f (x), 0 < x <, är en mer eller mindre godtycklig funktion. Exempel. Finn alla värden på a och b, sådana att e at sin bx, 0 < x <, t > 0, är en lösning till ( ). ösning. Det är klart att u(0, t) = 0, t > 0. Vi ska även ha 0 = u(, t) = e at sin b b = nπ, n = 1, 2,..., vilket ger b = nπ/, n = 1, 2,.... Antag nu att b är ett av dessa värden. Om e at sin bx har vi u t (x, t) = a e at sin bx och u xx (x, t) = b 2 e at sin bx. Det betyder att u t (x, t) = k u xx (x, t) om och endast om a = k b 2. För varje positivt heltal n har vi alltså funnit en lösning till ( ). u n (x, t) = e kπ2 n 2 2 t sin πn x, 0 < x <, t > 0, Fouriers metod (variabelseparationsmetoden). Inspirerade av exemplet försöker vi nu hitta alla lösningar till ( ) av formen X(x) T(t), 0 < x <, t > 0. För sådana funktioner har vi u t (x, t) = X(x) T (t) och u xx (x, t) = X (x) T(t). Alltså är ekvationen ( ) uppfylld om och endast om X(x) T (t) = k X (x) T(t), 0 < x <, t > 0 och X(0) = X() = 0. 1

Detta kan skrivas om till 1 k T (t) T(t) = X (x), 0 < x <, t > 0 och X(0) = X() = 0. (#) X(x) En funktion av t är alltså lika med en funktion av x, för alla x och t. Detta kan bara inträffa om båda funktionerna är konstanta. Vi sätter denna konstant till ω 2 och får X (x) X(x) = ω2 X (x) + ω 2 X(x) = 0. Dessutom ska X(0) = X() = 0. Ekvationen X (x) + ω 2 X(x) = 0 har lösningarna X(x) = A cos ωx + B sin ωx där A, B är godtyckliga konstanter. Villkoren X(0) = X() = 0 ger 0 = X(0) = A och 0 = X() = B sin ω Om lösningen ska vara icke-trivial så måste B = 0, vilket ger ω = nπ, där n = 1, 2,.... ösningarna utgörs därför av de konstanta multiplarna av X n (x) = sin nπ x, n = 1, 2, 3,... För varje n motsvaras X n (x), enligt (#), av en funktion T n (t) sådan att 1 k T n(t) T n (t) = X n (x) X n (x) = π2 n 2 2 Funktionen T n (t) uppfyller därför differentialekvationen som har lösningarna T n(t) = kπ2 n 2 T n (t) 2 T n (t) = b n e kπ2 n 2 2 där b n är en godtycklig konstant. Sammantaget har vi alltså, för varje positivt heltal n, funnit lösningarna u n (x, t) = b n e kπ2 n 2 2 t sin πn t x, 0 < x <, t > 0, till ( ). Eftersom ( ) är en linjär differentialekvation har den egenskapen att summan av ett (ändligt) antal lösningar också är en lösning. Vi räknar därför med att u n (x, t) = b n e kπ2 n 2 2 t sin πn x är en lösning till ( ), förutsatt att serien konvergerar tillräckligt starkt. Vi söker en lösning u(x, t) som uppfyller begynnelsevillkoret u(x, 0) = f (x), 0 < x <. Om u(x, t) ges av ( ) får vi därför, genom att sätta t = 0, att f (x) = u(x, 0) = b n e 0 sin πn x = b n sin πn x 2 ( ) (# )

Högerledet i (# ) är en udda periodisk funktion, med perioden 2. Oavsett hur funktionen f (x) ser ut, för 0 < x <, kan vi utvidga den till en udda periodisk funktion, med perioden 2, för < x <. Högerledet i (# ) är Fourierserien för denna utvidgade funktion. Av detta följer att b n ges av b n = 2 0 f (x) sin πn x dx Om f (x) är styckvis kontinuerlig och sådan att f (x + ), f (x ), f +(x), f (x) existerar överallt kommer Fourierserien att konvergera överallt och för seriens summa S(x) gäller att S(x) = f (x) i alla kontinuitetspunkter och S(x) = 1 ( 2 f (x + ) + f (x ) ) i övriga punkter. Vi har därmed visat följande Sats. Om f (x) är styckvis kontinuerlig och sådan att f (x + ), f (x ), f +(x), f (x) existerar överallt så har värmeledningsekvationen u t (x, t) = k u xx (x, t), 0 < x <, t > 0, en unik lösning u(x, t) som uppfyller de homogena randvillkoren u(0, t) = u(, t) = 0, t > 0 och begynnelsevillkoret u(x, 0) = f (x). Denna unika lösning ges av b n e kπ2 n 2 2 t sin πn x (S) där b n = 2 0 f (x) sin πn x dx, n = 1, 2, 3,... (FK) Av (S) ser vi att oavsett hur u(x, 0) = f (x) ser ut kommer u(x, t) 0 då t. Det är till och med så att temperaturen går mot noll snabbt om k inte ligger nära noll. Exempel. ös värmeledningsekvationen i fallet då = 2, k = 1, u(x, 0) = 1 för 0 < x < 2, och vi har homogena randvillkor u(0, t) = u(2, t) = 0, t > 0. ösning. Enligt (S) har problemet den unika lösningen där b n e π2 n 2 4 t sin πnx 2 2 b n = 2 (1) sin πnx 2 0 2 dx [ = 2 ] πnx x=2 cos πn 2 x=0 = 2 (1 cos πn) πn 3

för n = 1, 2, 3,.... Det betyder att så vi har b 2k = 0 och b 2k+1 = 4 π(2k + 1) k=0 4 π2(2k+1)2 e 4 t π(2k + 1)x sin π(2k + 1) 2 0 < x < 2, t > 0. Exempel på inhomogeniteter. ös den inhomogena värmeledningsekvationen 6x + u t (x, t) = u xx (x, t), 0 < x < 1, t > 0, ( ) där vi har de inhomogena randvillkoren u(0, t) = 1, u(1, t) = 3 och begynnelsevillkoret u(x, 0) = x 3 + x + 1 + sin πx. ösning. Vid problem av denna typ försöker man hitta en funktion h(x) sådan att h(x) + v(x, t) och där v(x, t) är en lösning till motsvarande homogena värmeledningsekvation v t (x, t) = v xx (x, t), 0 < x < 1, t > 0 och v(0, t) = v(1, t) = 0, t > 0. ( ) Av h(x) + v(x, t) följer att u t (x, t) = v t (x, t) och u xx (x, t) = h (x) + v xx (x, t). Det betyder att ( ) kan skrivas 6x + v t (x, t) = h (x) + v xx (x, t), 0 < x < 1, t > 0. Eftersom vi kräver att v t (x, t) = v xx (x, t) följer att 6x = h (x), vilket är ekvivalent med att h(x) = x 3 + Ax + B. Vi har därför Kraven att v(0, t) = v(1, t) = 0 ger nu v(x, t) = u(x, t) x 3 Ax B 0 = v(0, t) = u(0, t) B = 1 B och 0 = v(1, t) = u(1, t) 1 A B = 2 A B, vilket ger A = B = 1. Om vi sätter x 3 + x + 1 + v(x, t) kommer v(x, t) att uppfylla ( ) och v(x, 0) = u(x, 0) x 3 x 1 = x 3 + x + 1 + sin πx x 3 x 1 = sin πx. Enligt (S) har vi där v(x, t) = b n e π2 n 2 t sin πn x 1 b n = (2) sin πx sin πn x dx, n = 1, 2, 3,... (FK) 0 4

Genom att använda (FK) ser vi att b 1 = 1 och b n = 0 för n > 1. Det ser man dock enklare av att sin πx = v(x, 0) = b n sin πn x = b 1 sin π x + b 2 sin 2π x + Alltså har vi x 3 + x + 1 + e π2 t sin π x. Vågekvationen. En annan klassisk PDE är vågekvationen. Denna gäller, till exempel, för en sträng av längden, i viloläget idealiserad som intervallet 0 x, som är fastspänd i ändpunkterna. u u(x, t) x Vi låter u(x, t) beteckna strängens vertikala utslag i punkten x, vid tiden t. Om strängen har vågutbredningshastigheten c gäller att u tt (x, t) = c 2 u xx (x, t), 0 < x <, t > 0 och u(0, t) = u(, t) = 0. ( ) Eftersom ekvationen är av andra ordningen i variabeln t har vi här två begynnelsevillkor u(x, 0) = f (x) och u t (x, 0) = g(x), 0 < x <. Vi försöker nu, på samma sätt som vi gjorde med värmeledningsekvationen, hitta alla lösningar till ( ) av formen X(x) T(t), 0 < x <, t > 0. För sådana funktioner har vi u tt (x, t) = X(x) T (t) och u xx (x, t) = X (x) T(t). Alltså är ekvationen ( ) uppfylld om och endast om X(x) T (t) = c 2 X (x) T(t), 0 < x <, t > 0 och X(0) = X() = 0. Detta kan skrivas om till 1 T (t) c 2 T(t) = X (x), 0 < x <, t > 0 och X(0) = X() = 0. (#) X(x) En funktion av t är alltså lika med en funktion av x, för alla x och t. Detta kan bara inträffa om båda funktionerna är konstanta. Vi sätter denna konstant till ω 2 och får X (x) X(x) = ω2 X (x) + ω 2 X(x) = 0. Dessutom ska X(0) = X() = 0. Ekvationen X (x) + ω 2 X(x) = 0 har lösningarna X(x) = A cos ωx + B sin ωx 5

där A, B är godtyckliga konstanter. Villkoren X(0) = X() = 0 ger 0 = X(0) = A och 0 = X() = B sin ω Om lösningen ska vara icke-trivial så måste B = 0, vilket ger ω = nπ, där n = 1, 2,.... ösningarna utgörs därför av de konstanta multiplarna av X n (x) = sin nπ x, n = 1, 2, 3,... För varje n motsvaras X n (x), enligt (#), av en funktion T n (t) sådan att 1 T n (t) c 2 T n (t) = X n (x) X n (x) = π2 n 2 2 Funktionen T n (t) uppfyller därför differentialekvationen som har lösningarna T n (t) + c2 π 2 n 2 2 T n (t) = 0 T n (t) = a n cos πcn t + b n sin πcn där a n, b n är godtyckliga konstanter. Sammantaget har vi alltså, för varje positivt heltal n, funnit lösningarna ( u n (x, t) = a n cos πcn t + b n sin πcn ) t sin πn x, 0 < x <, t > 0, till ( ). Eftersom ( ) är en linjär differentialekvation har den egenskapen att summan av ett (ändligt) antal lösningar också är en lösning. Vi räknar därför med att ( a n cos πcn t + b n sin πcn ) t sin πn x, är en lösning till ( ), förutsatt att serien konvergerar tillräckligt starkt. Vi söker en lösning u(x, t) som uppfyller begynnelsevillkoren u(x, 0) = f (x), u t (x, 0) = g(x), 0 < x <. Om u(x, t) ges av ( ) får vi därför, genom att sätta t = 0, att t ( ) f (x) = u(x, 0) = a n sin πn x (# ) Högerledet i (# ) är en udda periodisk funktion, med perioden 2. Oavsett hur funktionen f (x) ser ut, för 0 < x <, kan vi utvidga den till en udda periodisk funktion, med perioden 2, för < x <. Högerledet i (# ) är Fourierserien för denna utvidgade funktion. Av detta följer att b n ges av a n = 2 0 f (x) sin πn x dx Om f (x) är styckvis kontinuerlig och sådan att f (x + ), f (x ), f +(x), f (x) existerar överallt kommer Fourierserien att konvergera överallt och för seriens summa S(x) gäller att S(x) = f (x) i alla kontinuitetspunkter och S(x) = 1 ( 2 f (x + ) + f (x ) ) i övriga punkter. 6

På samma sätt får vi g(x) = u t (x, 0) = πcn b n sin πn x Högerledet i ( #) är en udda periodisk funktion, med perioden 2. Oavsett hur funktionen g(x) ser ut, för 0 < x <, kan vi utvidga den till en udda periodisk funktion, med perioden 2, för < x <. Högerledet i ( #) är Fourierserien för denna utvidgade funktion. Av detta följer att b n ges av b n = πcn 2 f (x) sin πn 0 x dx Om g(x) är styckvis kontinuerlig och sådan att g(x + ), g(x ), g +(x), g (x) existerar överallt kommer Fourierserien att konvergera överallt och för seriens summa S(x) gäller att S(x) = g(x) i alla kontinuitetspunkter och S(x) = 1 ( 2 g(x + ) + g(x ) ) i övriga punkter. Exempel. ös vågekvationen u tt (x, t) = u xx (x, t), 0 < x < π, t > 0 u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = sin x, u t (x, 0) = 8 cos x sin 3 x, 0 < x < π ösning. Här har vi = π och c = 1. Enligt ovan har därför ekvationen den allmänna lösningen (a n cos n t + b n sin n t) sin n x, 0 < x < π, t > 0, som uppfyller de homogena randvillkoren u(0, t) = u(π, t) = 0. Begynnelsevillkoren sin x = u(x, 0) = a n sin n x = a 1 sin x + a 2 sin 2x + 2 sin 2x sin 4x = u t (x, 0) = n b n sin n x = b 1 sin x + 2b 2 sin 2x + 3b 3 sin 3x + 4b 4 sin 4x +, där vi utnyttjat likheten 8 cos x sin 3 x = 2 sin 2x sin 4x, ger sedan a 1 = b 2 = 1, b 4 = 1 4, 0 = a n, n > 1, 0 = b 1 = b 3 = b n, n > 4. Ekvationen har därför lösningen ( #) cos t sin x + sin 2t sin 2x 1 4 sin 4t sin 4x. Exempel med inhomogeniteter. ös följande inhomogena variant av vågekvationen u xx (x, t) = u tt (x, t) + sin x, 0 < x < π, t > 0 u(0, t) = 0, u(π, t) = π, t > 0 u(x, 0) = x, u t (x, 0) = 4 cos 2 x sin x, 0 < x < π 7

ösning. Vi ansätter h(x) + v(x, t), där vi vill att v xx (x, t) = v tt (x, t) och v(0, t) = v(π, t) = 0. Då gäller u xx (x, t) = h (x) + v xx (x, t) och u tt (x, t) = v tt (x, t). Differentialekvationen kan därför skrivas som h (x) + v xx (x, t) = v tt (x, t) + sin x, 0 < x < π, t > 0, vilket ger h (x) = sin x, 0 < x < π. Denna ekvation har lösningen h(x) = Ax + B sin x. För randvillkoren har vi 0 = u(0, t) = h(0) + v(0, t) = h(0) = B π = u(π, t) = h(π) + v(π, t) = h(π) = Aπ + sin π = Aπ, vilket ger A = 1, B = 0, h(x) = x sin x och v(x, t) = u(x, t) x + sin x. För begynnelsevillkoren gäller därför v(x, 0) = u(x, 0) x + sin x = x x + sin x = sin x v t (x, 0) = u t (x, 0) = 4 cos 2 x sin x = sin x + sin 3x Det betyder att v(x, t) uppfyller den homogena vågekvationen v xx (x, t) = v tt (x, t), 0 < x < π, t > 0 v(0, t) = 0, v(π, t) = 0, t > 0 v(x, 0) = sin x, v t (x, 0) = sin x + sin 3x, 0 < x < π Ekvationens allmänna lösning är v(x, t) = Av denna följer att (a n cos n t + b n sin n t) sin n x, 0 < x < π, t > 0. v(x, 0) = sin x = a n sin n x = a 1 sin x + a 2 sin 2x +, v t (x, 0) = sin x + sin 3x = n b n sin n x = b 1 sin x + 2b 2 sin 2x + 3b 3 sin 3x +, vilket ger Alltså har vi a 1 = 1, a n = 0, n > 1, b 1 = 1, b 3 = 1 3, b 2 = b n = 0, n > 3. v(x, t) = (cos t + sin t) sin x + 1 3 sin 3t sin 3x x + ( 1 + cos t + sin t) sin x + 1 3 sin 3t sin 3x. 8

Nedan tittar vi närmare på lösningarna till värmelednings- och vågekvationerna och löser exempel på inhomogena varianter av dessa ekvationer. ösningarna till värmeledningsekvationen. För systemet u t (x, t) = k u xx (x, t), 0 < x <, t > 0 u(0, t) = 0, u(, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = f (x), 0 < x < (där f (x) utvidgats till en udda 2-periodisk funktion) har vi funnit den unika lösningen där och b n = 2 För varje t > 0 gäller att termerna 0 b n e kπ2 n 2 2 t sin πn x f (x) sin πn f (x) = u(x, 0) = u n (x, t) = b n e kπ2 n 2 2 (S) x dx, n = 1, 2, 3,... (FK) b n sin πn x t sin πn x, i (S), går mycket snabbt mot noll då n, vilket medför att u(x, t) har kontinuerliga derivator av alla ordningar med avseende på både x och t. Exempelvis har vi u xtt (x, t) = πn ( kπ 2 n 2 2 ) 2 b n e kπ2 n 2 2 t sin πn x (u xtt betyder att vi deriverat en gång med avseende på x och två gånger med avseende på t, i vilken ordning som helst). Att u(x, t) 0 då t (0 < x < ) följer av att u n (x, t) avtar exponentiellt mot 0 då t. Det är litet svårare att förstå att u(x, t) ligger nära u(x, 0) = f (x), då t är ett litet positivt tal. Vi har ( ) u(x, 0) b n 1 e kπ2 n 2 2 t sin πn x ( ) Det är klart att varje term ( ) b n 1 e kπ2 n 2 2 t sin πn x, i ( ), går mot noll då t 0 + (1 e 0 = 0). Men att en oändlig summa av sådana termer går mot noll är långt ifrån uppenbart (eller ens sant). Man kan visa att om b n < så gäller att u(x, t) u(x, 0) då t 0 +. I tillämpningarna gäller normalt att f (x) är kontinuerlig för 0 x, f (0) = f () = 0 och derivatorna f +(x), f (x) existerar överallt. Då vet vi att b n är av storleksordningen n 2, i vilket fall b n < och vi kan vara säkra på att u(x, t) u(x, 0) då t 0 +. 9

ösningarna till vågekvationen. Vi har sett att systemet u tt (x, t) = c 2 u xx (x, t), 0 < x <, t > 0 u(0, t) = 0, u(, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = f (x), u t (x, 0) = g(x), 0 < x < (där f (x), g(x) utvidgats till udda 2-periodiska funktioner) har den unika lösningen där och a n = 2 ( a n cos πcn t + b n sin πcn ) t sin πn x, 0 f (x) sin πn f (x) = u(x, 0) = b n = πcn g(x) = u t (x, 0) = x dx, n = 1, 2, 3,... a n sin πn x 2 g(x) sin πn 0 x dx πcn b n sin πn x Observera att u(x, t) är periodisk i båda variablerna x och t. Närmare bestämt gäller att ( u(x + 2, t) = u x, t + 2 ) < x <, < t <. c Vi såg att lösningarna till värmeledningsekvationen går att derivera hur många gånger som helst (för 0 < x <, t > 0) oavsett hur u(x, 0) = f (x) ser ut. ösningarna u(x, t), till vågekvationen, uppvisar normalt inte samma höga regularitet. Om grafen av u(x, 0) = f (x) (u t (x, 0) = g(x)), 0 < x <, har hörn kommer detsamma att gälla för grafen av u(x, t) (u t (x, t)), 0 < x <. På samma sätt som för värmeledningsekvationen är det inte helt lätt att avgöra om u(x, t) ligger nära u(x, 0) = f (x) och u t (x, t) ligger nära u t (x, 0) = g(x), då t > 0 ligger nära noll. Vi har u(x, 0) u t (x, 0) u t (x, t) = ( a n (1 cos πcn t) b n sin πcn ) t sin πn x ( πcn a n sin πcn t + πcn b n(1 cos πcn ) t) sin πn x (#) Det är klart att varje term ( a n (1 cos πcn t) b n sin πcn ) t sin πn x och ( πcn a n sin πcn t + πcn b n(1 cos πcn t) ) sin πn x ( ) 10

i ( ) respektive (#), går mot noll då t 0 +. Men att en oändlig summa av sådana termer går mot noll är långt ifrån uppenbart (eller ens sant). Man kan visa att om n a n < och n b n < så gäller att u(x, 0) u(x, t) 0 och u t (x, 0) u t (x, t) 0 då t 0 +. Exempel. Vi betraktar en homogen vägg, med tjockleken och värmeledningskoefficienten k. u För väggens temperatur u(x, t) gäller att u t (x, t) = k u xx (x, t), u(x, 0) = 0 = u(0, t), 0 < x <, t > 0, och u(, t) = C, t > 0. Vår uppgift är att bestämma u(x, t) för 0 < x <, t > 0, och även beräkna gränsvärdet lim t u(x, t). ösning. Vi ska alltså lösa systemet u t (x, t) = k u xx (x, t), 0 < x <, t > 0 u(0, t) = 0, u(, t) = C, t > 0 u(x, 0) = 0, 0 < x < På grund av det inhomogena randvillkoret u(, t) = C, t > 0, ansätter vi h(x) + v(x, t) v(x, t) = u(x, t) h(x) där v(x, t) är lösningen till motsvarande homogena system Då gäller v t (x, t) = k v xx (x, t), 0 < x <, t > 0 v(0, t) = 0, v(, t) = 0, t > 0 v(x, 0) = f (x) = h(x), 0 < x < 0 = k u xx (x, t) u t (x, t) = k h (x) + k v xx (x, t) v t (x, t) = k h (x), vilket ger h(x) = Ax + B, Ax + B + v(x, t). Randvillkoren ger 0 = u(0, t) = B och C = u(, t) = A. Alltså har vi h(x) = Cx, 0 < x <. För v(x, t) gäller att v(x, t) = b n e kπ2 n 2 2 t sin πn x 11

där b n = 2 = 2 = 2 0 [ Cx C n = 1, 2, 3,.... Av detta följer att och Det framgår att f (x) sin πn x dx = 2 0 cos πn x ] x= πn 2 C x=0 0 2C( 1)n cos πn + 0 =, πn πn v(x, t) = Cx 2C π Cx sin πn x dx πn cos πn x dx 2C( 1) n e kπ2 n 2 πn 2 t sin πn x ( 1) n 1 e kπ2 n 2 n 2 t sin πn x Cx lim t 0 = Cx, 0 < x <. Funktionen u (x, t) = Cx, 0 < x <, som inte beror på t, sägs vara den stationära lösningen till systemet { ut (x, t) = k u xx (x, t), 0 < x <, } t > 0 u(0, t) = 0, u(, t) = C, t > 0 Hur begynnelsevillkoret u(x, 0) = f (x) än ser ut kommer u(x, t) u (x, t) då t. För en vägg med arean A ger den stationära temperaturfördelningen värmetransporten ka u (x, t) x = kac (åt vänster, på grund av minustecknet) genom väggen. För att minska vedåtgången kan man alltså isolera väggen bättre (minska k), nöja sig med lägre temperatur (minska C) eller öka väggtjockleken (tilläggsisolera). Vi tittade även på exemplet med en inhomogen vågekvation, som du hittar i slutet av föreläsning 10. Z-transformen. aplacetransformen av en signal f (t), < t <, (där normalt f (t) = 0 för t < 0) ges av F(s) = f (t) e st dt (#) I datorernas diskreta värld går det inte arbeta med kontinuerlig tid så man samplar f (t) vid tidpunkterna t = nt, n Z (heltalen). Om T är ett litet positivt tal och f (t) är hygglig så är f (nt) e snt T = n= 12 T f (nt) (e st) n n=

en approximation av F(s). Sätter vi här z = e st och x(n) = T f (nt) så får vi summan x(n) z n n= Denna betraktelse leder oss till att definiera den så kallade z-transformen X(z), av en följd x(n), n Z, genom X(z) = x(n) z n (anges som x(n) X(z)) ( ) n= Om inget annat sägs antar vi här alltid att x(n) = 0 för n < 0. Då kan ( ) skrivas X(z) = x(n) z n = x(0) + x(1) + x(2) n=0 z z 2 + x(3) z 3 + ( ) Funktionen X(z) är definierad för alla komplexa tal z, för vilka serien konvergerar (och funktionsvärdet X(z) är lika med seriens summa). Det visar sig att till varje följd x(n) hör ett tal R, 0 R, sådant att X(z) är definierad då z > R, men inte definierad då z < R. z R För z > R är X(z) obegränsat deriverbar och derivatan X (k) (z) fås genom att derivera serien i ( ) termvis k gånger. Exempelvis X (z) = X (z) = ( n)x(n) z n 1 = x(1) z 2 2x(2) z 3 (n)(n + 1)x(n) z n 2 = (2)x(1) z 3 3x(3) z 4 + + (2)(3)x(2) z 4 + (3)(4)x(3) z 5 + Exempel. Vi påminner om att vår definition av Heavisidefunktionen är att Θ(t) = 0, för t < 0, och Θ(t) = 1, för t 0. Beräkna z-transformen av x(n) = Θ(n), n Z. ösning. Enligt ( ) får vi X(z) = x(n) z n = x(0) + x(1) + x(2) n=0 z z 2 + x(3) z 3 + = 1 + 1 z + 1 z 2 + 1 z 3 + = 1 + 1 ( ) 1 2 ( ) 1 3 z + + + z z = (geometrisk serie) = 1 1 1 z = z z 1 (Z.8) 13

Exempel. Antag att x(n) X(z) och att y(n) = x(n)λ n, där λ är ett nollskilt komplext tal. Bestäm Y(z). ösning. Enligt ( ) får vi Y(z) = y(n) z n = x(0) + x(1)λ + x(2)λ2 n=0 z z 2 + x(3)λ3 z 3 + = x(0) + x(1) z ( z ) = X λ λ + ( x(2) z ) 2 + ( x(3) z ) 3 + λ λ (Z.2) Speciellt får vi att λ n = Θ(n) λ n z λ z λ 1 = z z λ (Z.9) Räkneregler för Z-transformen. Om inget annat sägs så antar vi, som sagt, att varje följd x(n) är definierad för n Z och x(n) = 0 för stora (normalt alla) negativa n. inearitet. a x(n) + b y(n) a X(z) + b Y(z) Bevis. (a x(n) + b y(n))z n = a n= x(n) z n + b n= y(n) z n = a X(z) + b Y(z) n= Fördröjning (högerskift). Om y(n) = x(n 1), n Z, så gäller Y(z) = z 1 X(z). Bevis. Y(z) = = n= m= y(n) z n = x(m) z m 1 = z 1 x(n 1) z n n= m= x(m) z m = z 1 X(z) Negativ fördröjning (vänsterskift). Om y(n) = x(n + 1), n Z, så gäller Y(z) = z X(z). Bevis. Följer direkt av ovanstående. Huggskift. Om x(n)θ(n) X(z) och y(n) = x(n + 1)Θ(n) så gäller Y(z) = z X(z) z x(0). 14

Bevis. Y(z) = = z = z n=0 y(n) z n = x(n + 1) z n n=0 x(n + 1) z n 1 = z x(m) z m m=1 n=0 ( x(0) + m=0 x(m) z m ) = z x(0) + z X(z) Multiplikation med n. Om y(n) = n x(n), n Z, så gäller Y(z) = z X (z). Bevis. Y(z) = y(n) z n = n x(n) z n n= n= = ( z) n x(n) z n 1 = ( z) d n= dz = zx (z) x(n) z n n= Exempel. Med hjälp av ovanstående visar man lätt följande: n λ n = Θ(n) n λ n n 2 λ n = Θ(n) n 2 λ n λ2 z + λ z 2 λ z (z λ) 2 (Z.11) (z λ) 3 n 3 λ n = Θ(n) n 3 λ n λ3 z + 4λ 2 z 2 + λ z 3 (z λ) 4 n 4 λ n = Θ(n) n 4 λ n λ4 z + 11λ 3 z 2 + 11λ 2 z 3 + λ z 4 (z λ) 5 15