Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för Statistik Tentamen i Statistik, STA A och STA A3 (9 poäng) 3 februari 4, klockan 85-35 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling (med approximationsschema) och tabellsamling (dessa skall returneras) Egen miniräknare Ansvarig lärare: Jan Rudander, telefon 7 5 83 Övrigt: För att få maximala poäng på en uppgift krävs att antaganden och motiveringar noga anges samt att lösningen även i övrigt är så utförlig att den utan svårighet kan följas! För betyget Godkänd krävs minst 4 poäng, för betyget Väl Godkänd krävs minst 6 poäng Uppgift En tekniker som jobbar med support på en datorfirma sitter en stor del av dagen och svarar frågor som kommer in via e-mail En dag svarade han på 3 stycken mail Tiden det tog i minuter att svara på dessa mail var följande: 5,, 4, 3, 8, 6, 8, 9, 3, 4, 6,, 3, 6, 9,, 4,, 6,, 7,, 7,, 8, 9, 4, 4,, 3, a Redovisa materialet i ett stam-blad-diagram (stem-and-leaf-display) b Redovisa materialet i en boxplot Kommentera boxplotten Uppgift I en låda har Catrin laddningsbara batterier till sin radiostyrda bil Hon har totalt batterier i lådan varav 8 stycken är fulladdade De resterande 4 batterierna är helt urladdade eftersom lillasyster Hannah har lånat dessa batterier till sin bil och sedan lagt tillbaka dem i lådan utan att ladda dem och utan att säga något till Catrin a En kväll får Catrin lust att köra lite med sin bil Hon plockar därför ut 4 av batterierna ur lådan och sätter in dem i sin bil Hur stor chans är det att bilen fungerar? OBS: För att bilen ska fungera krävs att alla fyra batterierna i den är fulladdade b När Catrin provkörde bilen visade det sig att den inte fungerade Hon plockade därför ut de fyra batterierna ur bilen för att testa deras laddning Hur stor chans är det att Catrin finner att tre av batterierna är laddade och att ett är oladdat?
Uppgift 3 En slumpvariabel X har följande sannolikhetsfunktion: x 3 4 5 x 3 3a Illustrera ( x) med hjälp av en lämplig graf 3b Beräkna väntevärdet för X 3c Beräkna standardavvikelsen för X 3d Anta att X och X är två stycken oberoende slumpvariabler som båda följer X + X 5 samma fördelning som X ovan Beräkna 3e Anta att X,, X är stycken oberoende slumpvariabler som alla följer samma fördelning som X ovan Beräkna ( X + + X 5) Uppgift 4 I ett land finns partierna A, B och C arti A är störst och har i många val fått egen majoritet De andra två partierna är klart mindre men om inte A får egen majoritet brukar B och C bilda regering tillsammans Statsminister blir i så fall partiledaren i det största av partierna B och C Inför nästa val har några i ett av partierna genomfört en liten väljarundersökning Resultatet blev att av de tillfrågade (slumpmässigt valda) var det 47 som tänker rösta på A, 3 som tänker rösta på B och som tänker rösta på C Du har fått i uppdrag att hjälpa de ansvariga för undersökningen med följande: 4a Gör ett konfidensintervall med 95 % konfidensgrad för andelens av väljarna som tänker rösta på A Förklara i ord innebörden av intervallet 4b Gör ett konfidensintervall med 95 % konfidensgrad för andelen av B och C- väljarna som tänker rösta på B Förklara i ord innebörden av intervallet Relatera till statsministerposten Uppgift 5 Vid tillverkning av CD-skivor blir det ibland små defekter på skivan Antalet sådana defekter varierar från skiva till skiva som en oissonfördelad slumpvariabel med i genomsnitt 5 defekter per skiva Antalet fel på olika skivor är oberoende av varandra 5a Hur stor är risken att en CD-skiva har eller fler fel? 5b Hur stor sannolikhet är det att av stycken skivor är det högst stycken som har eller fler fel?
Uppgift 6 Ett företag har för en kostnad av 5 :- gjort upp ett avtal med en av biograferna i staden Avtalet innebär att var och en av företagets 6 anställda en gång per månad får titta på valfri film helt gratis Avtalet gäller under ett halvår Företaget vill nu veta om avtalet var en vettig satsning dvs om de anställda har utnyttjat möjligheten så pass mycket att kostnaden på 5 :- kan anses motiverad Man genomförde därför en statistisk undersökning Man valde slumpmässigt ut stycken av de anställda och frågade dessa hur många gånger under den aktuella sexmånadersperioden, de hade utnyttjat gratisbiljetten Svaren framgår av tabellen nedan Antal gånger som Antalet personer gratisbiljetten utnyttjats i urvalet 8 7 3 3 4 5 5 5 6 6a Beräkna ett konfidensintervall med 95 % konfidensgrad för µ Exakt vad är µ i detta sammanhang? Förklara innebörden av konfidensintervallet så konkret som möjligt i termer av problemtexten 6b I förhandlingarna mellan förtaget och biografen hade biografen som förslag att i stället för ett fast pris på 5 :- skulle förtaget betala 3:- till biografen för varje gratisbiljett de anställda utnyttjade Företaget tyckte dock att ett sådant avtal var för riskabelt, man föredrog i stället den fasta kostnaden 5 :- Vilket av de två avtalsförslagen hade blivit billigast för företaget, det fasta priset 5 :- eller styckpriset 3:- per utnyttjad gratisbiljett? Kan du med 95 % säkerhet fastslå vilket avtal som hade varit billigast?
Uppgift 7 Bröderna Bengt och Leif har konstruerat varsitt dataspel som de har lagt ut till försäljning på sin gemensamma hemsida Antalet spel som Bengt lyckas sälja under en vecka varierar ungefär som en normalfördelad slumpvariabel med väntevärde och standardavvikelse 3 Försäljningspriset har han satt till :- per spel Antalet spel som Leif lyckas sälja under en vecka varierar också ungefär som en normalfördelad slumpvariabel men den har väntevärde 8 och standardavvikelse riset på Leifs spel är satt till :- Vi antar i denna uppgift att Leifs försäljning och Bengts försäljning är oberoende av varandra 7a Hur stor chans är det att Bengt tjänar minst :- under en vecka? 7b Hur stor chans är det att Bengt säljer fler spel än vad Leif gör under en vecka? 7c Hur stor chans är det att Bengt tjänar mer pengar än vad Leif gör under en vecka? Uppgift 8 En konsumentorganisation följer prisutvecklingen på dagligvaror i landet Varje månad besöker man ett mycket stort antal slumpmässigt utvalda butiker i landet I varje butik tar man reda på vad en viss matkorg skulle kosta att inhandla (Det är noga specificerat vad matkorgen ska innehålla så att prisjämförelserna ska bli rättvisa) För januari månad i år kom man fram till att det genomsnittliga priset i landet för denna matkorg var 63 kronor Kalle Karlsson i Karlstad funderade på om prisnivån i Värmland skiljer sig åt jämfört med genomsnittet i övriga landet För att ta reda på detta genomförde han en egen liten statistisk undersökning Han tog reda på vad matkorgen skulle kosta i 6 slumpmässigt valda butiker i Värmland Resultatet blev följande: 59 559 63 637 584 644 8a Sätt upp hypoteserna för ett, i detta sammanhang, lämpligt statistiskt test 8b Ta fram kritisk gräns då signifikansnivån är 5 % Formulera beslutsregeln tydligt 8c Räkna ut observerat värde på testvariabeln och formulera slutsatser Var som vanligt noga med att ange motiveringar och alla eventuella antaganden du gör!
STA A tentamen 43, lösningar Uppgift X_UG Stem-and-Leaf lot 3 Frequency Stem & Leaf 4, 3444, 56667788999 9, 334, 68 3, 3, Extremes (>4) Stem width: Each leaf: case(s) N 3 X_UG p n + Tex ositionen för p-procents percentilen ges av 75 övre kvartil har position L 75 ( 3 + ) 3 5 Den 3:de observationen nerifrån har värdet 3 medan den 4:de har värdet 4 Övre kvartilen blir därmed Q 3 + 5 ( 4 3) 3 5 å L p 3 75 motsvarande sätt får man fram medianen 9 + 5 ( 9) 9 5 nedre kvartilen 6 + 75 ( 6 6) 6 Uppgift Q 5 Q och 5 a X antal oladdade batterier av de fyra i bilen är ( N,n,π ) Hyp med parametrarna N, n 4 och π S / N 4/ / 3 Vi söker sannolikheten att bilen fungerar g 4C 8 C4 7 4 X m C 495 99 dvs 44 b Vi söker ( X X ) 4 ( X _ och _ X ) ( X ) 7 45 ( X ) ( X ) 8586 och 495 495 g 4C 8 C3 4 56 4 ( X ) 455 m C 495 495 4 Vi sätter in detta i formeln ovan och får ( X ) 4/ 495 4 X X 57 X 45/ 495 45 ( X ) ( X ) Här är
Uppgift 3,4,3,, MeanX, 3 4 5 X x 3 4 5 sum x 3 x ( x) 6 6 8 5 Σx ( x) 7 x ( x) 8 3 5 Σx ( x) 8 9 µ 3b Väntevärdet E( X ) Σx( x) SeTabellenOvan 7 3c Variansen E ( X ) µ SeTabellenOvan 89 7 6 σ, ger standardavvikelsen σ σ 6 689 3d Sätt Y X + X Y 5 Y + Y 3 + Y 4 + Y 5 Här är ( Y ) ( X + X ) ober ( X ) ( X ) 4, ( Y 3) ( X ) ( X ) + ( X ) ( X ) 3 ( Y 4 ) ( 3) + + 3 3 7, Y 5 4 + 3 + 3 Vi söker Sätt in ovan: ( Y 5 ) 4 + + 7 + 53 X + + X 5 3e Att X + + X 5 är det samma som att X 5 Enligt CGS är X approximativt NF om n är stor I vårt fall är fördelningen för de enskilda X i -variablerna ganska symmetrisk (se grafen över (x) i 3a), med andra ord åtminstone lite normalfördelningslik Detta gör att approximationen nog fungerar bra trots att n bara är och därmed inte riktigt uppfyller bokens tumregel på n 3 (Anmärkning: Jämför med era grafer på laboration 3, uppgifterna gällande CGS) Vi söker X µ 5 7, 689 / σ X ( 5) ( 5) X X + + X X ( N 7) 4 Med ½-korrektion får vi antagligen ett mer korrekt svar: X µ 55 7 55 55 X X + + X X, 6 689/ N σ X 676
Uppgift 4 4a Vi förutsätter att landet är så stort att vi kan approximera Hyp med Bin (tumregeln kräver n / N 5 ) Kontrollera tumregeln för att approximera Bin med NF! x 47 Skattning ˆ π p 47 Konfidensintervall n p ( p) 47 53 I p ± zσ p ± z 47 ± 96 ( 37,5678) π p n 978 Skattningen ˆ π 47 antyder att parti A inte har egen majoritet Vi kan dock inte vara 95 % säkra på detta eftersom konfidensintervallet även innehåller π -värden som är större än 5 4b Kontrollera tumregeln för att approximera Bin med NF Skattning x 3 ˆ π p 5849 Konfidensintervall n 53 p ( p) 5849 45 I p ± zσ p ± z 5849 ± 96 ( 45,776) π p n 53 37 Det går inte att med 95 % säkerhet avgöra vilket av de två partierna B och C som är störst och som därmed skulle få statsministerposten i en eventuell samlingsregering bestående av B och C Uppgift 5 5a X antal fel på en CD-skiva X o( µ 5) Vi söker ( X ) ( X 9) o tabell 968 38 5b Sätt Y antalet skivor av de som har minst fel Då gäller Y Bin n, π 38 Vi söker ( Y ) ( ) + + 3949 + 979 + 88 388 38 Approximativ lösning: Tumreglerna för att approximera Bin med o är uppfyllda med god marginal arametern µ n π 38 3 8 finns dock inte i tabellen Om vi tillåter oss att använda Y o( 3) i stället, får vi ( Y ) o tabell 3799 vilket (som väntat) stämmer mycket bra överens med det exakta svaret 38 ovan
Uppgift 6 x f xf x f 8 8 8 7 4 8 3 3 39 7 4 5 4 5 5 75 375 6 6 36 sum n Σf Σxf 96 Σx f 88 Σfx 96 Medelvärdet x 96, n ( Σfx) 96 Σfx 88 variansen s n 46 ger n 99 standardavvikelsen s s 46 396 6a s N n 396 6 I µ x n N 6 369 Enligt CGS så är medelvärdet X approximativt normalfördelad om n är stor I vårt fall är tumregeln n minst 3 är uppfylld med bred marginal så intervallets faktiska konfidensgrad borde därför stämma bra överens med konfidensgraden 95 % som vi siktat på ( x ± t s ) x ± t 96 ± 98 ( 59,339) arametern µ är hur många gratisbiljetter som de 6 anställde i genomsnitt har utnyttjat Om vi inte hade otur när vi drog vårt stickprov (risken för detta var ca 5 %) så har intervallet lyckats ringa in sin parameter, dvs i så fall gäller 59 < µ < 3 33 Med andra ord vet vi med 95 % säkerhet att de anställda har utnyttjat mellan 59 och 333 biljetter per person i snitt 6b Att 59 < µ < 3 39 är det samma som att 6 59 < N µ < 6 3 39, dvs 554 6 < antal _ utnyttjade _ biljetter < 9974 Eftersom antalet biljetter måste vara ett heltal, är detta detsamma som att 555 antal _ utnyttjade _ biljetter 997 Detta konfidensintervall för antalet biljetter gör vi om till ett konfidensintervall gällande styckprisavtalets kostnad: 3 555 styckprise t antal _ utnyttjade _ biljetter 3 997, dvs
4665 förtetaget s _ kostnad _ med _ styckprisavtal 599 Skattad kostnad med styckprisavtalet är 3 N ˆ µ 3 6 96 538 kronor Enligt denna skattning verkar det alltså som om det fasta priset har lönat sig Vi kan dock inte vara 95 % säkra på detta eftersom konfidensintervallet (46 65, 59 9) även innehåller värden som är mindre än 5 Uppgift 7 X antal spel Bengt säljer under en veckat X N(,3), Y antal spel Leif säljer under en veckat Y N( 8,), 7a Vi söker X µ, σ 3 ( X ) ( X ) ( N 67) tabell 7486 75% 7b Vi söker ( X > Y ) ( X Y > ) Sätt X Y Slumpvariabeln är NF ty (se kompletteringshäftet, avsnitt 75) Räknereglerna för väntevärden och varianser ger µ E( X Y ) 8 4 och ( X ) 3 + ( ) 3 σ V Y, dvs σ 3 36 56 Vi söker µ 4 3656 ( X > Y ) ( > ) ( N ) 8665 87%, σ 7c Vi söker ( X > Y ) ( X Y > ) Sätt nu i stället X Y Även är NF (av samma anledning som i 7b var det) Väntevärdet är µ E X Y 8 och variansen är σ σ 4 ( X ) 3 + ( ) 5 V Y 5 5 Vi söker ( 4) µ ( X > Y ) ( > ), 5 N σ Uppgift 8, dvs standardavvikelsen är ( 8) 9 % 8a Sätt X i priset på matkorgen i butik nr i i,,,6 H : µ 63 (snittpriset för matkorgen är samma i Värmland som i övriga landet), H : µ 63 (snittpriset för matkorgen är inte samma i Värmland som i övriga landet)
Count X 63 8b Om pop vore NF och µ 63 så vore testvariabeln T exakt t-fördelad S / n med n-6-5 frihetsgrader Med α 5% (dubbelsidigt test) hittar vi värdet 57 i t- tabellen Beslutsregel: Förkasta nollhypotesen om det observerade värdet av T är mindre än -57 eller större än 57 Σx 368 8c x 64 67, n 6 s s 766 37455 ( Σx) 368 Σx 999 s n 6 766 ger n 5 x 95 6467 63 Observerat värde är t 4 vilket inte ligger tillräckligt s / n 37455/ 6 långt ute i någon av svansarna för att vi ska kunna förkasta nollhypotesen Vi kan alltså inte förkasta H på 5 % signifikansnivå Vi har inte med 95 % säkerhet lyckats påvisa att snittpriset för matkorgen skiljer sig åt i Värmland jämfört med övriga Sverige Anmärkning : Om testet ska ha exakt 5 % signifikansnivå krävs att populationen är exakt normalfördelad En ändlig population kan i och för sig aldrig vara exakt NF men den skulle kunna vara nästan NF och i så fall skulle signifikansnivån nästan stämma När det är ett så litet stickprov som n6 finns det tyvärr inget riktigt bra sätt att avgöra om stickprovet kommer från en population som är NF-liknande eller inte Vi kan i alla fall ta fram en dotplot: Dot/Lines show counts,8,6,4,, 56 58 6 6 64 x_uppg8 Denna dotplot uppvisar inga konstigheter, tex ser stickprovet hyfsat symmetriskt ut Med andra ord verkar det möjligt att stickprovet kommer från en NF-liknande population (även om vi inte får betrakta dotplotten som ett bevis på att populationen är NF-liknande) Längre än så här kommer vi inte om vi inte har mer fakta (tex att tidigare erfarenheter skulle ha lärt oss att matkorgs-populationer ofta är NFliknande)
Summa summarum: Det är mycket möjligt att populationen av matkorgar i Värmland, är hyfsat NF-liknande och i så fall skulle signifikansnivån 5 % stämma bra Vi kan dock inte utesluta att populationen är väldigt olik en normalfördelad population (tex väldigt skev) och i så fall skulle signifikansnivån 5 % vara mycket osäker Eftersom vi har ett mycket litet stickprov (n6) så kan vi inte heller förlita oss på CGS (tumregeln säger ju att n ska vara minst 3) Anmärkning : Den intresserade kan prova att i SSS upprepade gånger slumpa fram stickprov från en normalfördelning och ta fram en dotplot för varje stickprov Han/hon kommer då troligen att märka att trots att stickproven faktiskt kommer från en normalfördelning så ser dotplotten ofta mycket värre ut än dotplotten vi hade ovan Det är tex inte alls ovanligt att med ett så litet n som n6, blir stickprovet ganska ofta väldigt skevt åt ena eller andra hållet