Lösningsförslag till problem Lisa Nicklasson november 0 Att beskriva trianglar Vi ska börja med att beskriva hur trianglar kan representeras i x, y)-planet Notera att varje triangel har minst två spetsiga dvs mindre än π ) vinklar Varje triangel kan också, efter skalning, antas ha en sida med längd Vi kan då rita upp triangeln i planet, med hörn i origo, punkten, 0) och någon punkt a, b) där 0 < a < och b > 0 Låt a, b) beteckna en sådan triangel, med ett hörn i punkten a, b) a,b) 0 6 Notera att en triangel med tre spetsiga vinklar kan ritas upp på flera olika sätt Linjär avbildning av en liksidig triangel Låt oss nu starta med en liksidig triangel och avbilda denna på en godtycklig triangel, båda representerade enligt ovan Vi ska sedan visa att cirkeln som finns inskriven i den liksidiga triangeln avbildas på en inskriven ellips
Den liksidiga triangeln måste ha sitt hörn i punkten, ) Detta kan verifieras med Pythagoras sats Låt vara triangeln, ) Triangeln kan delas upp i två rätvinkliga trianglar, båda med basen och höjden, ) π π 0 6 Hypotenusan, som också är en sida i, har då längden ) ) + + Triangeln är alltså liksidig Vi vill nu avbilda denna liksidiga triangel på en godtycklig triangel a, b) Avbildningen ska då uppfylla följande: 0, 0) 0, 0), 0), 0), ) a, b) Den linjära avbildning som ges av matrisen ) α A 0 β avbildar uppenbart 0, 0) och, 0) på sig själva Vidare kan vi bestämma α och β så att även vårt tredje villkor är uppfyllt Vi vill alltså att ) ) ) α a, 0 β b dvs a + α b β
Vi kan då lösa ut α och β som α a β b Matrisen A avbildar alltså på a, b) Vi vill nu studera avbildningen av den i inskrivna cirkeln För att göra det behöver vi först bestämma cirkelns ekvation Allmänt gäller att medianerna i en triangel delar varandra i proportionerna :, ) r r 0 Eftersom medianernas skärningspunkt också är cirkelns mittpunkt får vi att cirkelns radie är en tredjedel av triangelns höjd, alltså / Vi ser då också att cirkelns centrum är punkten, ) Cirkelns ekvation är alltså x + y ) ) ) Sats Den linjära avbildning som representeras av matrisen A avbildar ) på en ellips som är inskriven i a, b) Vi ska först se på vilken punkt cirkelns centrum avbildas: ) ) ) α A 0 β + α ) a+ ) β b Vi kan kontrollera att detta överensstämmer med medianernas skärningspunkt i triangeln a, b)
a,b) 0 Som bekant vet vi att sträckan från, 0) till medianernas skärningspunkt är en tredjedel av sträckan från, 0) till a, b) Då ges x-koordinaten av och y-koordinaten av x + a y b a +, Vi har alltså visat att cirkelns mittpunkt avbildas på medianernas skärningspunkt i triangeln a, b) Bevis av satsen Betrakta a, b) som placerad i ett ξ, η)-plan, där ) α x ξ 0 β) y η) Vi har alltså vilket ger { ξ x + αy η βy, x ξ α β η y η β Cirkeln i den liksidiga triangeln avbildas på en kurva i ξ, η)-planet med ekvation ξ α β η η + ) β ) Vi ersätter α och β med deras uttryck i a och b, vilket ger ξ a η ) + b ) b η
Kom nu ihåg att ellipsens förväntade centrum är i punkten a+ därför variabelbytet s ξ a + t η b ξ s + a + η t + b, b ) Vi gör Insättning av detta i ekvationen ovan ger, efter förenkling detaljerna lämnas åt läsaren), s + a a + b t a st b ) Vi ska i nästa avsnitt se att orten för s, t) som uppfyller ) verkligen är en ellips Notera att A avbildar punkter som ligger på cirkeln och på punkter som ligger på a, b) och ovanstående ellips Detta är alltså den sökta inskrivna ellipsen i a, b) Ellipskurvor Betrakta andragradskurvan x + A y Bxy ) där A, B 0 Vi ska verifiera att detta är en ellips med centrum i origo om och endast om B < + A Låt först säga att andragradskurvan faktiskt är en ellips med centrum i origo Ellipsen måste då skära linjen y x i någon punkt R, R) och förstås också i R, R)) Om vi sätter in detta i ekvationen får vi vilket skrivs om som R + A BR + A B)R Uppenbarligen måste + A B > 0, dvs B < + A Detta är alltså ett nödvändigt villkor Antag nu att B < + A Vi vill alltså visa att ) är en ellips Vi betraktar först fallet då A Då gäller att 0 < B <, och x + y Bxy Av symmetriskäl gissar vi att ellipsens huvudaxlar är y x och y x Detta måste förstås verifieras Vi börjar med att undersöka ekvationen i en punkt r, r ) Detta ger r ) + r ) Br ) Vi kan lösa ut r som r B 5
Det visar sig att detta är det maximala avståndet från origo, för en punkt på ellipsen Notera att r går mot oändlighet då B går mot Vi undersöker också ekvationen i en punkt r, r ) Insättning ger r + r + Br, och vi kan lösa ut r som r + B Det visar sig att detta är det minimala avstådet från origo, för en punkt på ellipsen Notera att r alltid ligger inuti enhetscirkeln, medan r alltid ligger utanför Vi vill nu verifiera att detta verkligen är en ellips med huvudaxlar y x och y x För detta ändamål inför vi nya koordinataxlar som överensstämmer med dessa Detta motsvarar en rotation på π Kalla de nya koordinaterna s och t Vi har då ) ) x cos π sin π s ) ) s ) t s ) y sin π cos π t t t+s Vi har alltså x t + s y t s Vår ekvation översätts då till vilket är ekvivalent med s + t) + s t) Bt s ) B)t + + B)s Orten för s, t) som uppfyller denna ekvation är mycket riktigt en ellips, vilket vi ville visa Vi behöver också behandla fallet då A För att bestämma riktningsvinkel för ellipsens huvudaxlar använder vi polära koordinater Sätt { x r cos θ Ekvationen ) blir då y r sin θ r cos θ + A r sin θ Br sin θ cos θ Vi använder att sin θ cos θ sin θ och skriver om ekvationen som r cos θ + A sin θ B sin θ 6
Vinkeln för storaxeln är den vinkel θ som ger maximalt värde för r För att hitta denna vinkel inför vi funktionen ϕθ) cos θ + A sin θ B sin θ Notera att maximum för r motsvarar minimum för funktionen ϕθ) För att avgöra var funktionen har sitt minimum betraktar vi derivatan ϕ θ) cos θ sin θ + A cos θ sin θ B cos θ A ) sin θ B cos θ Derivatans nollställe ges av θ som uppfyller A ) sin θ B cos θ ) vilket är då tan θ B A Observera att tan θ, vilket motsvarar θ π, då A Detta stämmer överens med vår studie av specialfallet A Vinkeln θ som löser ekvationen ovan bestämmer alltså storaxeln Vinkeln för lillaxeln ges då av θ + π Vad blir då ekvationen för ellipsen? Som tidigare inför vi nya koordinataxlar s och t som överensstämmer med ellipsens huvudaxlar Detta nya plan fås alltså genom en rotation med vinkel θ av x, y)-planet Omvänt når vi x, y)-planet genom ett rotation med vinkel θ av s, t)-planet Vi har alltså ) ) s ) x cos θ) sin θ) y sin θ) cos θ) t ) s ) cos θ sin θ sin θ cos θ t ) cosθ)s + sinθ)t sinθ)s + cosθ)t det vill säga { x cosθ)s + sinθ)t y sinθ)s + cosθ)t Ekvationen ) blir då, efter en omskrivning läsaren uppmanas att verifiera detta) cos θ + A sin θ + B sin θ)s + sin θ + A cos θ B sin θ)t + Eftersom cos θ sin θ cos θ får vi +sin θ A sin θ + Bcos θ sin θ)st cos θ + A sin θ + B sin θ)s + sin θ + A cos θ B sin θ)t + + A ) sin θ + B cosθ))st Vi ser nu att koefficienten för st är lika med 0 enligt ), så ekvationen blir cos θ + A sin θ + B sin θ)s + sin θ + A cos θ B sin θ)t vilket är ekvationen för en ellips 7