Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad Ej räknedosa Tentamen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg () krävs minst 6 poäng från del I och II tillsammans, ( 8) Var och en av dessa åtta uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av uppgifterna 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga från kurstillfället ht (duggaresultatlista bifogas) Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från I+II minst poäng från del II och III tillsammans, för betyg 5 minst poäng Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges Skriv inte mer än en uppgift på varje blad Del I Uppgift 6 kan en och en ersättas av duggapoäng Ni får inte ersätta delar av en uppgift med duggaresultat och lämna in lösning på andra delar, har ni lämnat in en lösning för en del av en av dessa sex uppgifter är det den som gäller för hela den uppgiften Däremot får ni naturligtvis välja fritt vilka av de sex uppgifterna ni utnyttjar duggaresultaten för, och vilka ni lämnar in lösningar för Om inget annat anges är deluppgifterna värda en poäng var (D) (p) (a) Bestäm vektorprodukten u v av vektorerna u = och v = (b) Bestäm ekvationen på vektorform för planet som går genom punkterna A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ) Lösningsförslag: (a) Vektorprodukten beräknas enligt formel i boken, eller enligt formeln e x e y e z u v = det ( ( ),, ( ) ) = (, 9, ) (b) För att beskriva planets ekvation på parameterform behöver vi en punkt i planet och två vektorer parallella med planet Vi kan använda punkten A och vektorerna från A till B respektive C, AB = OB OA = AC = OC OA =, och får då planets punkter, med parametrarna t och s, som x y OA + t + t AB + sac = + t + s t s, z t s p
dvs x = + t, y = s t, z = s t (D) (p) (a) Finn alla lösningar till ekvationsystemet p x + y + z =, y + z =, x + y + z =, (b) Avgör om vektorerna v =, v =, and v = är linjärt oberoende eller linjärt beroende Korrekt motivering krävs för poäng Lösningsförslag: (a) Vi genomför Gauss-Jordanreducering på systemet skrivet i matrisform (ri, med i siffra, betecknar rad nummer i): r-r r-r, r-r Vi ser att kolonn saknar pivotelement, alltså blir z en fri variabel, sätt z = t, t R Ekvation i det sista systemet ger x =, och medan andra ekvationen ger y = z = t Alltså är lösningen x y + t, t R z (b) Bilda matrisen med de tre vektorerna som rader och utför GJ-reduktion r-r, r-r r+ r, r 4 4 Eftersom vi inte skapade någon nollrad i den radreducerade trappstegsmatrisen är de tre ursprungliga raderna linjärt oberoende (Alternativt: ställ upp matrisen med vektorerna som kolonner, GJ-reducera tills du får samma slutsats (inga nollrader) och dra slutsatsen att den enda lösningen till det homogena ekvationssystemet, dvs de enda koefficienterna för de tre vektor som ger linjärkombinationen lika med nollvektorn, är den triviala lösningen: alltså linjärt oberoende)
(D) (p) (a) Beräkna A B t, då A = och B = 5 (b) Finn kolonnrummet för matrisen p 5 Lösningsförslag: (Det skulle ha varit ett B t i uppgiften, inte B c Jag ber om ursäkt för detta och hänsyn till felet har tagits i rättningen ) (a) Enligt definitionenen av transponatet är B t = och enligt definitionen av matrismultiplikation har vi att + ( ) + 7 5 A B t = = + ( ) + 7 5 + ( 5) ( ) + ( 5) 9 (b) Vi radreducerar matrisen till en radekvivalent trappstegsmatris Kolonnerna med pivotelement i denna pekar ut kolonnerna i den ursprungliga matrisen som spänner upp radrummet r+r 4 r-r, r-r 5 4 Alltså är kolonnrummet spanc, c, c 4 där c i är i:te kolonnen i orginalmatrisen, så svaret är span{,, 5 (Observera att detta svar inte är unikt ) (D) 4 (p) Den linjära transformationen T : R R, där ( ) x x + y T =, y x y 4
( ) x x kan uttryckas med en matrismultiplikation: T = A y y (a) Bestäm matrisen A samt matrisen för sammansättningen T T (b) Beräkna determinanten av B då p B = 4 Lösningsförslag: (a) Vi har att x + y x = x y y enligt definitionen av matrismultiplikation Alltså är vår sökta matris A = En sats i kursen säger att matrisen för sammansättningen S T av två linjära avbildningar S och T med matriser A respektive B motsvaras av matrisen A B I vårt fall är S = T och matrisen blir A A = A Så matrisen för sammansättningen blir 7 A = = 4 (b) Det finns rätt många rader som liknar varandra, så Gauss-reducering (och bokföring av vilka eventuella förändringar radoperationerna ger på determinanten) bör ge en enkel räkning Vi försöker skapa många nollor för utveckling, alternativt en triangulär matris: det(b) = det( ) = r-r det( ) 4 4 Utveckling längs tredje raden ger nu att det(b) = ( ) +4 det( ) = r-r det( ) En ny utveckling, nu längs rad ger det(b) = ( ) + det( ) = ( ) =, där vi slutligen använder den konkreta definitionen av determinanten för en -matris 5
5 7 (D) 5 (p) (a) A = 5 Bestäm egenvärdena för A (b) Bestäm matrisen A som har ett egenvärde med egenvektor och ett egenvärde - med egenvektor p Lösningsförslag: (a) Egenvärdena fås från sekularekvationen = det(a λi) = λ 5 7 5 λ λ λ 7 = (5 λ) det( λ ) = = (5 λ)( λ)( λ) Från detta läser vi direkt av att egenvärdena är λ = 5, λ = och λ = (b) Enligt diagonaliseringssatsen kan vi bilda en matris P med egenvektorerna som kolonner och en diagonalmatris D med motsvarande egenvärden som diagonalelement, som uppfyller A = P DP så fort egenvektorerna är linjärt oberoende, eller alternativt uttryckt, så fort P är inverterbar Därmed kan vi beräkna A från informationen i uppgiften om P är inverterbar Bilda P från de två egenvektorerna: P = Tack vare kalkylen (metod från kursen) ser vi att P är inverterbar och P = Återstår att konstatera att D = (notera: ordningen måste vara rätt, första diagonalelementet är egenvärdet som motsvarar egenvektorn i första kolonnen för P ), och multiplicera ihop för att få A = = 4 = 6
= 4 = 5 4 (D) 6 (p) (a) Finn en vektor u som tillsammans med R och bildar en ortogonal bas för (b) ( ) B =,, är en bas för ett underrum till M (M är rummet som består av alla matriser av typ ) Avgör om matrisen A = ligger i detta underrum p 4 Lösningsförslag: (a) Eftersom vi bara vill ha en ortogonal bas räcker det att hitta en x tredje vektor som är vinkelrät mot de två första Ansätt u = y så ger kravet att u ska z vara ortogonal mot de två givna vektorerna de två ekvationerna = u x + y + z och = u x + y + z Så vi löser ekvationssystemet dessa två ekvationer bildar, efter att först ha skrivit ekvationssystemet på matrisform: 5 5 5 5 r+r 5 4-5r 5 4 r+r 5 4 Tredje kolonnen saknar pivotelement så z-variabeln är en fri variabel, sätt z = t, t R Då får vi från första ekvationen x = 5 t och från andra ekvationen y = 4 5t Om vi är x smarta och väljer t = 5 får vi då vektorn u = y 4 som är en tredje vektorn i en z 5 ortogonal bas som innehåller de två vektorerna givna i uppgiften 7
(b) Vi kan sätta upp ekvationssystem och lösa för att se om det är möjligt att finna koordinater för A i den givna basen, men uppgiften kan lösas enklare än så Notera att alla vektorer i basen har samma element i de två positionerna i första raden Detta innebär att en linjärkombination av dessa vektorer alltid kommer att ha samma värden i positionerna i den första raden Men A har värdet i första positionen och värdet i andra positionen i första raden Eftersom så kan vi aldrig bilda A som en linjärkombination av elemnten i B Alltså ligger A inte i underrummet 8
Del II 7 (p) Bestäm det eller de värden på c som ger att matrisen 4 c 4 4 har ett icketrivialt nollrum, dvs ett nollrum som innehåller andra vektorer än nollvektorn För dessa värden, bestäm en bas för nollrummet Lösningsförslag: Nollrummet är lösningsrumet för det homogena ekvationssystem som har den givna matrisen som koefficientmatris Låt oss döpa matrisen till A Vi kan bestämma lösningsrummet för olika värden på c genom att Gausseliminera A och utnyttja vad vi vet om trappstegsmatrisers lösningsrum 4 4 4 c c c 4 4 4 4 8 4 8 c c 4 4 (för att förbereda för bestämmandet av lösningsrummen i de fall lösning finns genomför vi redan nu bakåtsubstitutionen) Vi noterar nu att vi har två olika fall: om c = blir tredje raden en nollrad, annars en rad med ett enda icke-nollelement, i kolonn c : I detta fall kan vi utnyttja rad för att skapa en nolla i rad, kolonn : vi kommer till den slutreducerade matrisen 8, c c 4 4 som bara har den triviala noll-lösningen Alltså har matrisen ett icketrivialt nollrum enbart för värdet c = 9
I detta fall blir den reducerade radekvivalenta trappstegsmatrisen (med nollraden borttagen) 8 8 4 4 Vi ser direkt att pivotelementen är i kolonn, och 4, så x, y och w är bundna variabler medan z är en fri variabel; vi sätter z = s, s R Första ekvationen ger då x + 8z = x = 8z = 8s, medan andra ekvationen ger y z = y = z = s och fjärde ekvationen ger w = Skriver vi nu detta på vektorform får vi lösningsmängden x 8 y = s, s R z w I enlighet med vad vi såg i början är alltså detta nollrummet för matrisen Alltså är en 8 bas för nollrummet den vektor som spänner upp lösningsmängden, dvs 8 (p) Bestäm inversen för matrisen 4 A = 4 5 Lösningsförslag: I enlighet med resultat från kursen utnytjar vi att A I I A och använder GJreducering för att erhålla det sista från det första 4 A I = 4 4 5 4 5
4 5 4 5 4 5 = I A Därmed har vi att 4 5 A =
Del III För full poäng krävs förutom en korrekt och välmotiverad lösning en redig och lättläst presentation 9 (p) (a) En 5 5-matris har sekulärpolynomet p(λ) = (λ )(λ )(λ 4)(λ + 7) Avgör om matrisen är diagonaliserbar eller inte, eller motivera varför detta inte går att avgöra Oavsett vad svaret är måste det motiveras väl p (b) Två kvadratiska matriser A och B är givna A B är inverterbar Kan du dra slutsatsen att A är inverterbar? Oavsett vad svaret är måste det motiveras väl 4p (c) Tre vektorer i R, u, v och w, är givna Vi vet att u v = och att v w = Beräkna u w, eller motivera att vi inte har tillräckligt med infomation för att kunna göra det Motivation krävs alltid för att få poäng p Lösningsförslag: (a) Eftersom sekularekvationen har grad 5 och 5 olika lösningar från varsin faktor i polynomet (x = (x )(x + )) så har matrisen 5 stycken linjärt oberoende egenvektorer enligt resultat i kursen Därmed är antalet egenvärden lika med antalet linjärt oberoende egenvektorer, och diagonaliseringssatsen ger att matrisen är diagonaliserbar (b) Ja, A måste vara inverterbar Ty fundamentalsatsen för inverterbara matriser säger att en matris är inverterbar omm dess determinant är skild från noll Detta medför att en matris är ickeinverterbar omm determinanten är noll Men determinanten av en matrisprodukt är produkten av de matriser som multipliceras ihop, så om matrisprodukten är inverterbar så måste produkten och därmed de ensklida matriserna ha en determinant skild från noll Speciellt har A determinant skild från noll som är ekvivialent med att A är inverterbar (c) Vektorprodukten av två vektorer är nollvektorn omm de två vektorerna är parallella, alltså är v och w parallella Därmed är v = c w, c R och = u v = u c w = c u w Så om c är = u w men om c = är (v) nollvektorn, och därmed uppfylls villkoren oavsett vad u och w är Eftersom vi inte vet om (v) är nollvektorn eller inte har vi inte tillräckligt mycket information för att kunna beräkna skalärprodukten (p) Matrisen 4 A = 5 7 7 5 är given Bestäm dimensioner och baser för radrum, kolonnrum och nollrum för matrisen Glöm inte att tydligt tala om vilket matrisrum varje bas hör till
Lösningsförslag: (a) Vi utnyttjar Gausseliminering av A 4 4 4 A = 5 4 4 7 7 5 5 5 4 (lite bakåtsubstitution) 6 4 8 4 7 6 5 8 6 5 8 5 5 5 5 Pivotelementen i trappstegsformen är positionerna (, ), (, ), (, ) så de raderna i orignalmatirsen (eller de raderna i den slutliga trappstegsmatrisen) är en bas för radrummet, medan de första kolonnerna i den ursprungliga matrisen är en bas för kolonnrummet Slutligen ger den radekvivalenta trappstegsmatrisen att lösningen till det homogena ekvationssystemet med A som koefficientmatris (om de okända variablerna är x, y, z, u, v, w, p) är x + 8u 4v 7p = y 6u + 5v 8p = z 5u + v + w + 5p = x 8 4 7 y 6 5 8 x = 8u + 4v + 7p z 5 5 y = 6u 5v + 8p u = α + β + γ + δ z = 5u v w 5p = v w p om vi låter de bundna variablerna bli u = α R, v = β R, w = γ R, p = δ R Alltså har vi följande baser: Radrummet { } 8 4 7, 6 5 8, 5 5 Kolonnrummet,, 7
Nollrummet 8 4 7 6 5 8 5 5,,, (p) Beräkna A 4 då Lösningsförslag: egenvärdena och egenvektorerna A = Vi undersöker om vi kan diagonalisera matrisen och behöver alltså Resultat i kursen ger direkt att egenvärdena för matrisen A är diagonalelementen i matrisen eftersom den är en triangulär matris Egenvärdena är alltså λ =, λ = samt λ = Enligt resultat i kursen ger olika egenvärden garanterat linjärt oberoende egenvektorer, och därmed vet vi att diagonalisering kommer att fungera Vi finner egenvektorerna genom lösning av ekvationssystemen med koefficientmatriser A λ i I för i =,, λ = A λ I =, vilket ger lösningsmängden {t, t R} och (om vi väljer till exempel t = ) egenvektor v = λ = + A λ I = +, + 4
vilket ger lösningsmängden {t, t R} och (om vi väljer till exempel t = ) egenvektor v = λ = A λ I =, vilket ger lösningsmängden {t, t R} och (om vi väljer till exempel t = ) egenvektor v = I enlighet med diagonaliseringssatsen bildar vi nu matriserna P = v, v, v och D = λ λ och diagonaliserar enligt formeln A = P DP λ Först beräknas P : så P = P I = Därmed har vi bestämt P och D I enlighet med resonemang i kursen har vi nu att 4 A k = P D k P = ( ) 4 4 = 5
= (p) Låt T : R R vara operatorn x x + y + z T y = y + z z y + z (a) Visa att T är en linjär operator (=linjär transformation) p (b) Bestäm en bas B så att T B är en diagonalmatris 7p a d Lösningsförslag: (a) Låt u = b och v = e, a, b, c, d, e, f R, vara två godtyckliga c f vektorer i R En direkt beräkning ger enkelt att a + d (a + d) + (b + e) + (c + f) T ( u + v) = T b + e = (b + e) + (c + f) c + f (b + e) + (c + f) (a + b + c) + (d + e + f) a + b + c d + e + f = (b + c) + (e + f) b + c + e + f T ( u) + T ( v) (b + c) + (e + f) b + c e + f Därmed är vänsterledet och högerledet i första villkoret i definitionen av linjär avbildning lika, så den likheten är visad Återstår att visa att T (k u) = kt ( u) för alla k R: ka ka + kb + kc a + b + c T (k u) = T kb = kb + kc k b + c kt ( u) kc kb + kc b + c Därmed har vi visat att vänsterledet är lika med högerledet även i det andra villkoret i definitionen, och alltså är avbildningen linjär (b) Notera att x x + y + z x T y = y + z y z y + z z 6
En bas som gör att T B är en diagonalmatris är alltså enligt den kunskap vi har en bas av egenvektorer till matrisen Utveckling av det(a λi) längs första kolonnen λ ger att sekularpolyonomet är ( λ) det( ) = ( λ)(( λ)( λ) ) = λ ( λ)(λ 5λ + 4) = ( λ)( λ)(4 λ) Så egenvärdena är λ =, λ = och λ = 4 Tre olika egenvärden ger tre linjärt oberoende egenvektorer enligt sats i kursen, så när vi har beräknat egenvektorerna har vi den eftersökta basen λ = vilket har lösningen λ I = Med t = får vi en egenvektor λ = vilket har lösningen, t, t R t λ I =, t, t R 7
Med t = får vi en egenvektor λ = 4 vilket har lösningen 4 λ I = 4 4, t t, t R t Med t = får vi en egenvektor 4 Den eftersökta basen av egenvektorer är alltså,, 4 8