Linköpings tekniska högskola, ISY, Fordonssystem Formelsamling Elektriska drivsystem TSFS04 Linköping 016
Innehåll 1 Magnetiska Kretsar och Material 7 1.1 Storheter, enheter och konstanter................... 7 1.1.1 Storheter............................ 7 1.1. Konstanter........................... 8 1. Ekvationer och samband........................ 8 1..1 Amperes kretslag........................ 8 1.. Flöde, flödestäthet och fältstyrka............... 8 1..3 Reluktans............................ 8 1..4 Magnetisk motsvarighet till Kcl och Kvl......... 8 1..5 Faradays lag, sammanlänkat flöde och induktans...... 9 1..6 Sammanlänkat flöde i kretsar med fler spolar........ 9 1..7 Induktans och ömseinduktans för enkel magnetisk krets.. 10 1..8 Effektivvärde för sinusformat flöde.............. 10 Transformatorn 11.1 Beteckningar och nomenklatur.................... 11.1.1 Exempel på beteckningar för effektivvärde, toppvärde och komplex representation.................... 11.1. Benämningar på transformatorns lindningar......... 11. Ekvationer och samband........................ 1..1 Transformator utan last.................... 1.. Omsättning........................... 1..3 Ekvivalent impedans...................... 1.3 Transformatormodell.......................... 13.3.1 Approximativ transformatormodell............. 13.3. Impedans vid kortslutningsprov, sett från primärsidan... 13.3.3 Impedans för tomgångsprov, sett från primärsidan..... 13.3.4 Parametersättning....................... 14.3.5 Förlusteffekter......................... 14 3
4 3 Elektromekaniska Energiöverföringsprinciper 15 3.1 Grundläggande ekvationer....................... 15 3.1.1 Moment............................. 15 3.1. Lorentz kraftlag........................ 15 3. Moment från energibetraktelse.................... 15 3..1 Kraft och moment från energi................ 15 3.. Kraft och moment från komplementenergi......... 16 3..3 Energi och komplementenergi för system med två spolar.. 17 4 Grundläggande Principer för Elmaskiner 19 4.1 Elektriska och Mekaniska vinkelstorheter............... 19 4. Mmk och magnetfält för cylindrisk rotor............... 19 4.3 Spännings- och ström-samband.................... 1 4.3.1 Inducerad spänning vid ström i fältlindning......... 1 4.3. Spänningar över stator och rotor............... 1 4.4 Momentsamband............................ 4.4.1 Cylindrisk rotor (non-saliant), kretsresonemang....... 4.4. Cylindrisk rotor (non-saliant), fältresonemang........ 5 Likströmsmotorer 3 5.1 Mmk och magnetfält.......................... 3 5. Modell.................................. 3 5..1 Spännings- och moment-samband för likströmsmotorn... 3 5.. Effektsamband......................... 5 5..3 Inverkan av stora ankarströmmar.............. 5 5..4 Likströmsmotorer med permanentmagnet.......... 6 5.3 Styrning................................. 6 5.3.1 Komponenter och kretsar för styrning............ 6 5.3. Varvtalsstyrning av dc-motorer................ 8 5.4 Effektivitet............................... 8 6 Synkronmaskiner med Cylindrisk Rotor 9 6.1 Mmk och magnetfält.......................... 9 6. Modell.................................. 9 6..1 Samband mellan moment, flöden och spänningar...... 9 6.. Ekvivalent krets för synkronmotor.............. 30 6..3 Effektvinkelkaraktäristik vid jämvikt............. 30 6..4 Driftskaraktäristik vid jämvikt................ 30 6..5 Karaktäristik för öppen och kortsluten krets......... 31 6..6 Resistans hos kopparledare.................. 31 6.3 Styrning................................. 3 6.3.1 Aspekter för varvtalsstyrning av synkronmotorn...... 3 6.3. Vektorstyrning av synkronmotorn............... 3 6.3.3 Vektorstyrningsalgoritm.................... 33 6.3.4 Nomenklatur för växelriktare................. 34
5 6.3.5 Enkelfas fyrkantsvågsväxelriktare med likspänningsmatad H- brygga.............................. 34 6.4 Effektivitet............................... 35 7 Asynkronmaskinen / Induktionsmaskinen 37 7.1 Modell.................................. 37 7.1.1 Frekvenssamband........................ 37 7.1. Ekvivalent kretsschema.................... 37 7.1.3 Momentsamband........................ 38 7.1.4 Arbetsgång för bestämning av modellparametrar...... 38 7. Styrning................................. 39 7..1 Momentsamband vid konstant V/Hz reglering........ 39 7.. Parametersättning och samband för fältbaserad dq0-reglering 39 7.3 Effektivitet............................... 40 A Matematiska Samband 41 A.1 Trigonometriska relationer....................... 41
Kapitel 1 Magnetiska Kretsar och Material 1.1 Storheter, enheter och konstanter 1.1.1 Storheter Storhet Beteckning Enhet (ex.) Magnetiskt flöde φ [Wb] eller [Vs] Magnetisk flödestäthet B [Wb/m ] eller [T] Magnetisk fältstyrka H [A/m] Reluktans R [A-varv / Wb] Resistans R [Ω] Induktans L [H], [Wb/A], [Ωs] eller [Vs/A] Reaktans X [Ω] Impedans Z [Ω] Sammanlänkat flöde λ [Wb-varv] Magnetomotorisk kraft F [A-varv] Strömtäthet J [A/m ] Alternativ för engelska storhetsbeteckningar Magnetisk flödestäthet, B T.ex. magnetic flux density, magnetic induction och magnetic field. Magnetisk fältstyrka, H T.ex. magnetic field intensity, magnetic field strength, auxiliary magnetic field och magnetizing field. 7
8 1.1. Konstanter Storhet Beteckning Värde Magnetisk vakuum permeabilitet µ 0 4π 10 7 Relativ magnetisk permeabilitet µ r - Magnetisk permeabilitet µ - Järnkärnans tvärsnittsarea A c - Järnkärnans medellängd l c - Luftgapslängd g - Lindningsvarv N - 1. Ekvationer och samband 1..1 Amperes kretslag C Hdl = Jdā S } {{ } F (1.1) där Hdl ofta förenklas till C i H il i medan den magnetomotoriska kraften F ofta förenklas till F = Ni vilket ger H i l i = F = Ni (1.5, 1.1) i 1.. Flöde, flödestäthet och fältstyrka φ = Bdā (1.3) vilket ofta förenklas till φ = BA 1..3 Reluktans S B = µh = µ r µ 0 H (1.7) För en förenklad magnetisk krets med olika segment i olika material gäller F = Ni = i H i l i = φ i l i A i µ i (1.1) och vi definierar reluktansen R för respektive segment i enligt R i = l i A i µ i (1.13, 1.14) 1..4 Magnetisk motsvarighet till Kcl och Kvl Kirchhoffs ström- och spänningslagar för elektriska kretsar kan översättas till en magnetisk motsvarighet enligt nedan (Tänk: flöde φ ström I, samt magnetomotorisk kraft F spänning U)
9 Kcl Totala flödet in i en punkt är alltid 0. φ i = 0 (1.5) i Kvl Summan av magnetomotorisk kraft i en sluten slinga är alltid 0. F i = 0 i 1..5 Faradays lag, sammanlänkat flöde och induktans Ē ds = δ B da C δt (1.6) S där C Ē ds ofta förenklas till spänningen e och δ B δt S da ofta förenklas till N dϕ dt med ϕ som tidsvarierande flöde. I sambandet som följer så definieras sammanlänkat flöde, λ, så att vi får e = N dϕ dt = dλ dt (1.7) där alltså λ = Nϕ (1.8) definierar sammanlänkat flöde. För en magnetisk krets uppbyggd av linjära material eller med dominerande luftgap definieras sedan induktans L och reaktans X enligt L = λ i och X = wl (1.9) där w är strömmens frekvens i radianer per sekund. 1..6 Sammanlänkat flöde i kretsar med fler spolar Sammanlänkat flöde för spole k givet ett magnetiskt flöde genom grenen som spolen omsluter skrivs λ k = N k φ k där alla källor till flödet φ k räknas med. Speciellt har vi för ett enkelt system med två spolar på en slinga med dominerande luftgap λ 1 = N 1 φ = N1 µ 0 A c µ 0 A c i 1 + N 1 N i = L 11 i 1 + L 1 i (1.34, 1.35) g g λ = N φ = N µ 0 A c g µ 0 A c i + N N 1 i 1 = L i + L 1 i 1 (1.38, 1.39) g
10 1..7 Induktans och ömseinduktans för enkel magnetisk krets För en magnetisk krets med en spole och dominerande luftgap fås L = N µ 0 A g g (1.31) För en enkel magnetisk krets med två spolar på en slinga med dominerande luftgap fås L 11 = N 1 µ 0 A g g L 1 = N 1 N µ 0 A g g (1.36) (1.37) L 1 = L 1 L = N µ 0 A g g (1.40) 1..8 Effektivvärde för sinusformat flöde ϕ = φ peak sin ωt e rms = 1 ωnφ peak = πfnφ peak (1.48, 1.50)
Kapitel Transformatorn.1 Beteckningar och nomenklatur.1.1 Exempel på beteckningar för effektivvärde, toppvärde och komplex representation Im För sinusformad spänning gäller U peak = U rms Û = Ue jϕ = U(cos(ϕ) + isin(ϕ)) U rms Oftast gäller U = U rms ϕ Re Notera att beteckningarna används för att förtydliga om det rör sig om vektorer eller absolutbelopp för ström och spänning medans det för kretselementen, X, R och Z = R+jX, är underförstått att Z alltid representerar den komplexa vektorn..1. Benämningar på transformatorns lindningar Man skiljer på primärlindning och sekundärlindning genom att primärlindningen tar emot effekt från källan medan sekundärlindningen avger effekt till lasten. Vidare använder man ibland hög- och låg-spänningslindning eller analogt upplindning och nedlindning. 11
1. Ekvationer och samband..1 Transformator utan last Antag att strömmen i genom primärspolen ger ett sinusformat flöde ϕ = φ max sin(ωt) då blir spänningen på primärsidan och på sekundärsidan e 1 = dλ 1 dt = N 1 dϕ dt = N 1ωφ max cos(ωt) (.1,.4) e = dλ dϕ = N (.9) dt dt För en spänning med effektivvärde E 1 på primärsidan och sinusformat flöde gäller att φ max = E 1 N 1 ω = E 1 (.5) πfn1.. Omsättning Omsättningen eller turns ratio, t.ex. här betecknad k oms, kopplar spänningar och strömmar på primär och sekundärsidan enligt V 1 V = N 1 N = k oms, i 1 i = N N 1 = k 1 oms (.10,.13)..3 Ekvivalent impedans För en ideal transformator kan en last Z på sekundärsidan ersättas med en ekvivalent last på primärsidan eller tvärtom enligt Z = ( N1 N ) Z och Z 1 = ( N N 1 ) Z 1 (.19) där Z 1 härstammar från primärsidan och Z från sekundärsidan. Konceptet kan användas för att helt eliminera en ideal transformator ur en krets genom att även ersätta spänning och strömmar enligt V = N 1 N V (.7) I = N N 1 I (.)
13.3 Transformatormodell Transformatorn brukar modelleras enligt följande kretsschema R 1 X l1 R X l Î ϕ Î 1 Î ˆV 1 ˆV R c X m där alltså omsättningsförhållandet har används för att eliminera den ideala transformatorn ur kretsen..3.1 Approximativ transformatormodell Beroende på driftstillstånd kan man approximera transformatormodellen med kretsar enligt X eq R eq R eq X eq ˆV 1 R c X m ˆV ˆV 1 ˆV R c X m där X eq = X l1 + X l och R eq = R 1 + R..3. Impedans vid kortslutningsprov, sett från primärsidan Eftersom Z ϕ = R c //X m är stor i förhållande till Z = R + jx l så gäller att Z sc = R 1 + jx l1 + Z ϕ(r + jx l ) Z ϕ + R + jx l R 1 + jx l1 + R + jx l (.8,.9) vilket alltså svarar mot kortslutning av den högra kretsen ovan..3.3 Impedans för tomgångsprov, sett från primärsidan Eftersom Z ϕ = R c //X m är stor i förhållande till Z 1 så blir spänningsfallet över Z 1 litet så att effekten P oc i princip motsvarar järnförlusterna. Därför gäller att Z oc = R 1 + jx l1 + Z ϕ Z ϕ (.33,.34) vilket alltså svarar mot en öppen variant av den vänstra kretsen ovan.
14.3.4 Parametersättning Parametrarna för transformatormodellen bestäms enligt R c = V oc P oc R eq = P sc I sc (.35) (.31) Z eq = V sc (.30) I sc X eq = Z eq Req = (V sc /I sc ) (P sc /Isc) (.3) X m = ( Z ϕ R c ) 1/ = ((V oc /I oc ) (V oc/p oc ) ) 1/ (.36,.37) där Z ϕ är parallellkopplingen mellan R c och X m. I de fall där X l1, X l, R 1 och R behövs så brukar man anta R 1 = R = 1 R eq samt X l1 = X l = 1 X eq men eftersom R 1 och R är direkt mätbara så kan man även använda dessa värden direkt..3.5 Förlusteffekter P winding = R eq,h I H, P core = V H R c,h där alla storheter refererats till högspänningssidan.
Kapitel 3 Elektromekaniska Energiöverföringsprinciper 3.1 Grundläggande ekvationer 3.1.1 Moment Momentet kring en axel definieras som en vektor i axelns riktning. Positivt moment i axelns riktning för ett högersystem avser moment moturs enligt följande T = r F 3.1. Lorentz kraftlag vilket ofta förenklas enligt F = q(ē + v B) [N] (3.1) F v = J B [N/Volymsenhet] eller (3.6) F l = Ī B [N/m] 3. Moment från energibetraktelse 3..1 Kraft och moment från energi Eftersom λ och x är tillståndsvariabler kan vi skriva dw fld = W fld λ dλ + W fld x x dx λ eller (3.4) Energin kan därmed skrivas som dw fld = i dλ f fld dx (3.) W fld (λ, x) = λ 0 15 i(λ, x)dλ (3.18)
16 För linjära system, tex system med dominerande luftgap gäller som vi vet att λ = L(x)i och vi kan därför skriva W fld (λ, x) = Uttryck för kraft och moment λ L(x) = 1 L(x)i (3.19) För roterande system kan x och f fld ersättas med θ och T fld i uttrycken nedan. Antag att vi har ett uttryck för W fld. Vi kan då använda att f fld = W fld x och i = W fld λ λ (3.5, 3.6) x och för linjära system får vi då f fld = ( 1 λ λ x L(x)) = λ L(x) = i dl dx (3.7) Det är av yttersta vikt att x och λ hålls konstanta i respektive uträkning av de partiella derivatorna ovan. Detta är svårare än många tror och det kan därför finnas anledning att istället titta på komplementenergin. 3.. Kraft och moment från komplementenergi Komplementenergi definieras och vi får därmed W fld = iλ W fld (3.34) dw fld = λ di + f fld dx (3.37) Komplementenergin beräknas analogt med energin enligt W fld(i, x) = vilket för linjära system förenklas till i 0 λ(i, x)di (3.41) W fld(i, x) = 1 L(x)i (= W fld ) (3.4) Uttryck för kraft och moment För roterande system kan x och f fld ersättas med θ och T fld i uttrycken nedan. På samma sätt som tidigare kan komplementenergins differential uttryckas enligt dw fld = W fld i di + W fld x x dx (3.38) i
17 och vi kan identifiera f fld = W fld x och λ = W fld i i (3.39, 3.40) x Det är av yttersta vikt att i och x hålls konstanta i resp uträkning av de partiella derivatorna ovan. Detta är dock betydligt enklare än att hålla x och λ konstanta i motsvarande uttryck för energi. 3..3 Energi och komplementenergi för system med två spolar För en enkel magnetisk krets med två spolar på en slinga fås följande energiuttryck dw fld (λ 1, λ, x) = i 1 dλ 1 + i dλ f fld dx vilket ofta integreras enligt (3.5) W fld (λ 1, λ, x) = λ 0 i (λ 1 = 0, λ, x = x)dλ + och motsvarande uttryck för komplementenergin blir λ1 0 i 1 (λ 1, λ = λ, x = x)dλ 1 (3.56) dw fld(i 1, i, x) = λ 1 di 1 + λ di + f fld dx vilket ofta integreras enligt (3.65) W fld(i 1, i, x) = i 0 λ (i 1 = 0, i, x = x)di + i1 0 λ 1 (i 1, i = i, x = x)di 1 (3.69) För linjära system, typiskt med dominerande luftgap, blir uttrycket för komplementenergi speciellt enkelt W fld(i 1, i, x) = 1 L 11(x)i 1 + L 1 (x)i 1 i + 1 L (x)i (3.70)
18
Kapitel 4 Grundläggande Principer för Elmaskiner 4.1 Elektriska och Mekaniska vinkelstorheter ( ) poles θ ae = θ a där θ a mäts i förhållande till statorn (4.1) ( ) poles n f e = elektrisk frekvens med varvtal n i rpm (4.) 60 ω e elektrisk vinkelhastighet ( ) ω s = ω e synkron vinkelhastighet (4.40) poles n s = 10 poles f e [rpm] (4.41) ( ) poles ω me = ω m mekanisk rotorhastighet i elektriska [rad/s] (4.46) 4. Mmk och magnetfält för cylindrisk rotor Grundton för luftgaps-mmk hos koncentrerade och distribuerade lindningar F ag1 = 4 ( ) Ni cos(θ a ) π ( ) Ni (F ag1 ) peak = 4 π F ag1 = 4 π ( ) ( ) kw N ph poles i a cos poles θ a för koncentrerad lindning med två poler för distribuerad lindning med generellt poltal (4.3) (4.4) (4.5) Här är k w är lindningsfaktor, N ph är varv per fas och i a är strömmen i lindningen. 19
0 Luftgapsmagnetfält för utbredd lindning, cylindrisk rotor H ag1 = F ag1 g = = / tvåpolig / = 4 ( ) Ni cos(θ a ) π g = / generell / = 4 ( kw N ph π g poles ) i a cos ( ) poles θ a (4.1-4.15) Mmk-våg för 1-fas sinusformad ström När i a = I a cos(ω e t) sätts in i (4.5) erhålles F ag1 = 4 ( ) ( ) kw N ph poles I a cos π poles θ a cos(ω e t) = ( 1 = F max cos (θ ae w e t) + 1 ) cos (θ ae + w e t) = F + ag1 + F ag1 (4.18-4.0) F + ag1 = 1 F max cos (θ ae w e t) (4.1) F ag1 = 1 F max cos (θ ae + w e t) (4.) Mmk-våg 3-fas sinusformad ström För 3-fas 10 med strömmarna i a = I m cos(ω e t), i b = I m cos(ω e t 10 ) och i c = I m cos(ω e t + 10 ) fås F a1 = 1 F max (cos (θ ae w e t) + cos (θ ae + w e t)) F b1 = 1 F max (cos (θ ae w e t) + cos (θ ae + w e t + 10 )) F c1 = 1 F max (cos (θ ae w e t) + cos (θ ae + w e t 10 )) vilket ger en roterande Mmk våg enligt F(θ ae, t) = 3 ( ) poles F max cos θ a w e t (4.39)
1 4.3 Spännings- och ström-samband 4.3.1 Inducerad spänning vid ström i fältlindning Magnetflöde för cylindrisk rotor med ström i fältlindning ( poles B = H ag µ 0 = B peak cos θ = 4 π µ 0 g ( kf N f poles ) I f cos Φ p = / flux per pole / = l = ) = ( ) poles θ +π/poles π/poles ( ) poles B peak cos θ rdθ = (4.4-4.43) ( ) B peak lr sett från rotorn (4.44) poles Detta ger ett sammanlänkat flöde och spänning enligt (( ) ) poles λ a = k w N ph Φ p cos ω m t = k w N ph Φ p cos(ω me t) (4.45) e a = dλ a dφ p = k w N ph dt dt cos(ω met) ω me k w N ph Φ p sin(ω me t) (4.47) e a = ω me k w N ph Φ p sin(ω me t) för konstant luftgapsflöde (4.48) Notera att uttrycket för λ a förutsätter att strömmen i statorn är noll. 4.3. Spänningar över stator och rotor Samband mellan strömmar och sammanlänkade flöden är: [ ] [ ] [ ] λs L = ss L sr (θ me ) is λ r L sr (θ me ) L rr i r (4.58) Spänningarna över lindningarna ges av v s = R s i s + dλ s dt v r = R r i r + dλ r dt (4.59) (4.60) Eliminering av de sammanlänkade flödena ger v s = R s i s + L ss di s dt + d dt L sr(θ me )i r (4.61) v r = R r i r + L rr di r dt + d dt L sr(θ me )i s (4.6)
4.4 Momentsamband 4.4.1 Cylindrisk rotor (non-saliant), kretsresonemang W fld = 1 L ssi s + 1 L rri r + L sr i s i r cos θ me = = 1 L ssi s + 1 (( ) ) poles L rri r + L sr i s i r cos θ m (4.64) T = W fld θ m = poles W fld is,i r θ me = is,i ( ) r poles = L sr i s i r sin(θ me ) (4.65) 4.4. Cylindrisk rotor (non-saliant), fältresonemang F s och F r är längden på vektorerna F s och F r som representerar mmk-vågorna F s och F r. Vinklarna δ sr, δ s och δ r representerar riktningen på dessa vektorer. W fld = πdlµ 0 (Fs + Fr + F s F r cos δ sr ) (4.71) 4g ( ) ( ) poles µ0 πdl T = F s F r sin(δ sr ) uttryckt i F s och F r (4.73) g ( ) ( ) poles πdl T = B sr F r sin(δ r ) uttryckt i B sr och F r (4.78) ( ) Med Φ p = B peak från (4.44) fås Dl poles ( ) poles Φ srf r sin δ r (4.79-4.81) T = π
Kapitel 5 Likströmsmotorer 5.1 Mmk och magnetfält Toppvärde för Mmk-våg, sågtand respektive dess grundton (F ag ) peak = ( Ca ) i a = m poles (F ag1 ) peak = 8 π ( Na poles ( ) Na i a (4.9-4.10) poles ) i a för grundtonen (4.11) där C a är antal ledare i ankarlindningen, N a antal ledare i serie och m antalet parallella vägar genom lindningen. 5. Modell 5..1 Spännings- och moment-samband för likströmsmotorn Flödena i en likströmsmotor är i princip ortogonala och man definierar fältens riktningar enligt kvadratur respektive direkt axel för ankar- respektive fält-lindningarna. Vi har att Φ d = Φ p Φ d = R 1 d flöde per pol från fältlindningen, dvs i direkt-axelns riktning Nf i f där endast inverkan av fältströmmen tagits med (7.9) 3
4 Momentsamband Från (4.81) som kopplar moment till flöden, Mmk-vågor och vinklar fås med vinkeln δ r = π T mech = π ( ) ( ) poles poles Ca Φ d F a1 = Φ }{{} d i a (7.1-7.) πm 8 π i a/f = I a/f för att understryka att det handlar om likström (7.13) T mech = K a Φ d (I f )I a Spänningssamband med K a = poles C a πm (7.3, 7.16) Medelvärdesbildning av (4.48) över en halv period ger π E a = 1 ω me NΦ p sin(ω me t)d(ω me t) = π 0 π ω menφ p = ( ) ( ) ( ) ( poles Ca poles Ca = Φ p ω m = π m 60 m / med N = Na och för multipol fås / ) Φ p n (4.51-4.53) När konstruktionskonstanterna klumpas ihop och Φ d används för att understryka riktningen på flödet Φ p kan vi därför skriva E a = K a Φ d (I f )ω m med K a = poles C a πm (7.3-4, 7.14) För ett givet Φ d (I f ) och ett E a0 uppmätt vid varvtalet ω m0 fås därmed ( ) ωm E a = E a0 (7.6-7.8, 7. - 7.3) ω m0 Samband för det linjära området I det linjära området för en likströmsmotor kan man sätta K a Φ d (I f ) = K f I f så att E a = K a Φ d (I f )ω m = K f I f ω m T mech = K f I f I a
5 Likströmsmotorns ekvivalenta kretsschema I a R a I f V f E V a R f Figur 5.1: Generell DC-motorkrets. För serie-, shunt- och kompund-kopplingar så används olika inkopplingar av fältlindningen. För kompund-motorn används två fältlindningar, kopplade både i serie och parallellt. 5.. Effektsamband Kombineras uttrycken för spänning och moment så inses att följande gäller E a I a = K a Φ d (I f )I a ω m = T mech ω m (7.5) vilket ger effektsambandet P mech = E a I a 5..3 Inverkan av stora ankarströmmar En typisk magnetiseringskurva ger ett samband mellan fältström och elektromotorisk kraft enligt ( ) ωm E a = E a0 (I f ) där E a0 (I f ) = K a Φ d (I f ) ω m0 ω m0 Med användning av begreppet shunt-ekvivalent fältström, här kallat I f,net, för att fånga samverkan mellan serie-lindning och shunt-lindning samt tillägg av påverkan av ankarström får vi I f,net = I f,shunt + N serie I f,serie (7.0, 7.1) N ( ) shunt ωm E a = E a0 (I f,net, I a ) = K a Φ d (I f,net, I a )ω m ω m0 vilket t.ex. kan modelleras enligt ( ) ωm E a = E a0 (I f,eff ) = K a Φ d (I f,eff )ω m ω m0 med I f,eff = I f,net f(i a ) eller I f,eff = I f,net f(i a, I f,net )
6 5..4 Likströmsmotorer med permanentmagnet När fältlindningen ersätts med en permanentmagnet så kan flödet Φ d bakas ihop med konstanten K a till K m = K a Φ d. Detta kan skrivas / Φ d konst. = /med K m = K a Φ d = E a = K m ω m (7.6, 7.7) T mech = E ai a ω m = K m I a (7.8) 5.3 Styrning 5.3.1 Komponenter och kretsar för styrning Vanliga strömventiler och deras symboler Komponent Symbol Egenskap Diod i Spärrar backriktingen i Tyristor, Scr i i G Spärrar i båda riktningarna tills den aktiveras av i G Triac i i G Två antiparallellkopplade tyristorer med samma styre Transistor, n-mosfet Transistor, n-igbt D G S Collector Gate Emitter Öppnar för flöde från drain till source vid positiv spänning på gate, v GS. Öppnar för flöde från collector till emitter vid positiv spänning på gate, v GE.
7 Halvvågslikriktare med diod v s(t) v R(t) R i R v s (t) = V 0 sin(ωt) = V dc = ω π π ω 0 V 0 sin(ωt)dt = V 0 π I dc = V dc R = V 0 πr Fullvågslikriktare med diod v s (t) = V 0 sin(ωt) v s(t) D 1 D 4 D D 3 v R(t) R i R v r (t) = V dc = ω π { vs (t) då v s (t) 0 v s (t) då v s (t) 0 π ω 0 (10.1) V 0 sin(ωt)dt = V 0 π (10.) I dc = V dc R = V 0 πr Enkelfas fullvågslikriktare med styrda tyristorer I dc V dc = π V 0 cos(α d ) då 0 α d π T 1 T 4 R ( ) α d = cos 1 πvdc V 0 (10.13) (10.14) v s(t) v R(t) i s,1 (t) = 4 π I dc sin(ωt α d ) (10.15) T T 3 L P = V dc I dc = π V 0I dc cos α d (10.16) Q = π V 0I dc sin α d (10.17) För induktiv last i serie med likspänningskälla fås istället I dc = V dc E dc R då V dc E dc (10.18)
8 Trefas fullvågslikriktare med styrda tyristorer V dc = 3ω ( α d +π/3 ω 3 ) π π α d ω v bc dt = V 1 1,rms cos α d då 0 α d π (10.19-10.0) Här är V 1 1,rms huvudspänningen, dvs spänningen mellan två faser. 5.3. Varvtalsstyrning av dc-motorer Varvtalsformeln för linjär motor (T mech = K f I f I a = EaIa ω m ) blir ( ) ω m = (V a I a R a ) V a T loadr a K f I f = (11.6) K f I f K f I f där typiskt I a R a = T loadr a K f I f är liten i förhållande till V a. Fältstyrning sker genom att ändra v f och därmed i f i f Ac S v f R f L f Likriktare Glättning Pulsbreddsmodulerare Fältlindning För switch med tillslagstid D fås V f = D V dc och (11.1) I f = V ( ) f Vdc = D (11.) R f R f Styrning med hjälp av ankarresistans sker genom att ändra R a. Det är lätt att inse att man för stora R a får ett kraftigt lastberoende varvtal. Styrning med hjälp av ankarspänning sker genom att ändra V a, med samma typ av krets som för fältstyrning där v f ändras. Med en switchad H-brygga kan vi för en given likspänning V dc uppnå V dc V a V dc. 5.4 Effektivitet Effektiviteten ges av η = P ut P in = P mech P rot V a I a + V f I f
Kapitel 6 Synkronmaskiner med Cylindrisk Rotor 6.1 Mmk och magnetfält Sammanlänkade flöden λ a = L s i a + L af i f (5.18) λ f = L fa i a + L fb i b + L fc i c + L ff i f (5.5-5.6) L s = 3 L aa0 + L a1, L af = L fa = L af cos (ω e t + δ e0 ) (5.10, 5.17) 6. Modell 6..1 Samband mellan moment, flöden och spänningar Från (4.81) fås att ( ) poles Φ R F f sin δ RF (5.1) T = π där Vi har även att Φ R E R ω Φ R = resulterande luftgapsflöde per pol F f = mmk för dc-lindningen δ RF = elektrisk fasvinkel mellan axlarna för Φ R och F f luftgapspänningen genereras av den resulterande luftgapsvågen 9
30 6.. Ekvivalent krets för synkronmotor Ekvivalent krets, motorreferensriktning X ϕ X al Îa R a ˆV a = R a Î a + jx s Î a + Êaf (5.3) Ê af ~ Ê R ˆV a Ê af = j ( ωe L af I f ) e jδe0 (5.) Ê R = ˆV a Îa (R a + jx al ) X s = X al + X ϕ (5.5) Här är X al = ωl al läckreaktansen och X ϕ = ω ( 3 L aa0) är magnetiseringsreaktansen medan ÊR är luftgapsspänningen. 6..3 Effektvinkelkaraktäristik vid jämvikt Överförd effekt mellan två källor Ê1 och Ê vid induktiv koppling är P 1 = P = E 1E X P 1,max = P,max = E 1E X sin(δ) (5.45) (5.46) där δ är fasvinkeln mellan Ê1 och Ê med δ positiv om Ê1 ligger före Ê. Tillämpat på en synkronmaskin kopplad till ett nät med induktansen X EQ och spänningen ˆV EQ fås P = E afv EQ X s + X EQ sin(δ) (5.47) vilket kallas effektvinkelkaraktäristiken för en synkronmaskin och δ för effektvinkeln. 6..4 Driftskaraktäristik vid jämvikt Effektbegränsningarna för en synkronmaskin kan tecknas som S = P + Q - skenbara effekten begränsas av ankarlindningen (5.48) P + (Q + V a ) ( ) Va E af = - begränsning från fältlindningen (5.51) X s X s Ofta specificeras märkeffekten som fasvinkel och skenbar effekt där de två kurvorna möts.
31 6..5 Karaktäristik för öppen och kortsluten krets Vi har att X s,u = V a,ag I a,sc (5.8) X s = V a,rated I a (5.9) SCR = AFNL AFSC = 1 X s med X s i per unit (5.30, 5.31) där X s,u - Unsaturated synchronous reactance X s - Saturated value of synchronous reactance at rated voltage, V a,rated V a,ag - Spänning från air gap conditions I a,sc - Ström från short circuit conditions I a - Ankarström vid kortslutning som motsvarar den fältström som ger V a,rated för öppen krets SCR - Short circuit ratio AFNL - Amperes Field No Load, den fältström som ger V a,rated för öppen krets AFSC - Amperes field short circuit, den fältström som ger I a,rated vid kortslutning Beviset för att X s = 1 SCR då X s mäts i per unit är SCR X s = AFNL AFSC = / = V a,rated I a / scc är en rak linje = k I a [Ω/fas] = V a,rated I a I a,rated V a,rated k I a,rated [per unit] = SCR = 1 X s då X s är i per unit 6..6 Resistans hos kopparledare Vi har att R(T 1 ) R(T ) = 34.5 + T 1 34.5 + T (5.3) där temperaturen T i mäts i grader Celsius.
3 6.3 Styrning 6.3.1 Aspekter för varvtalsstyrning av synkronmotorn Frekvensberoendet hos flödestätheten och dess inverkas på lämplig spänning och ström ges av ( ) frated B peak = B rated om V a = V rated (11.14) f e ( ) fe V a = V rated för f e f rated ger B peak = B rated (11.15, 11.16) f rated I a = I a,rated dvs strömmen I a kan väljas till I a,rated Typiskt ger detta att maxmomentet bibehålles för f e f rated medan istället maxeffekten bibehålles för f e f rated. 6.3. Vektorstyrning av synkronmotorn Vektorstyrning benämns även momentstyrning fältstyrning eller dq0-styrning. Moment för insvängd synkronmotor med utbredd lindning blir i dq0 storheter T mech = 3 ( ) poles L af i F i Q (11.3) där i F och i Q är konstantvärden av i f och i q. Med E af = ωel af i F från 5.1 fås T mech = 3 ( poles ) Eaf i Q ω e (11.35) vilket är i princip samma ekvation som för likströmsmotorn T mech = EaIa ω m. Ankarspänning och ström fås från dq0-strömmar enligt (Ls i D + L af i F ) V a = ω + (L s i Q ) e i D I a = + i Q (11.37) (11.39) Permanentmagnetiserad synkronmotor utan definierar motorkon- I permanentmagnetfallet så har vi ingen fältström I f stanten Λ PM som motsvarar L af I f istället. Vi får då (Eaf ) Λ PM = rated som motsvarar L af I f (11.47) (ω e ) rated T mech = 3 ( ) poles Λ PM i Q (11.49)
33 Eftersom Λ PM är en konstruktionskonstant bestäms alltså i Q entydigt av det önskade momentet enligt (i Q ) ref = ( ) Tref (11.50) 3 poles Λ PM dq0-transform En storhet S i abc koordinater översätts till dq0 koordinater och tillbaka enligt följande S d S q = cos(θ me ) cos(θ me π 3 ) cos(θ me + π 3 ) S a sin(θ me ) sin(θ me π 3 3 ) sin(θ me + π 3 ) S b (C.1) 1 1 1 S 0 S c } {{ } T (θ me) cos(θ me ) sin(θ me ) 1 T 1 (θ me ) = cos(θ me π 3 ) sin(θ me π 3 ) 1 cos(θ me + π 3 ) sin(θ me + π 3 ) 1 6.3.3 Vektorstyrningsalgoritm Ett exempel på en vektorstyrningsalgoritm ges av i) Räkna ut önskad ankarspänning som svarar mot märkflöden ω m (C.) V a = V a,rated (11.41) ω m,rated ii) Räkna ut ankarström som ger önskad motoreffekt vid önskat moment givet cos ϕ = 1 I a = P ref 3V a = T refω m 3V a (11.4) iii) Räkna ut Effektvinkeln - δ ( ) ωe L s I a δ = arctan V a (11.43) iv) Räkna ut (i Q ) ref och (i D ) ref (i D ) ref = I a sin δ, (i Q ) ref = I a cos δ (11.44, 11.45) v) Räkna ut i F som ger önskat moment (i F ) ref = 3 ( ) T ref (11.46) poles L af (i Q ) ref
34 6.3.4 Nomenklatur för växelriktare Växelriktare som föregås av styv DC-källa, dc bus voltage, kallas voltage source inverter. T.ex. med LC-krets. Växelriktare med stor induktans ger konstant likström, dc link current, och kallas då current source inverter. 6.3.5 Enkelfas fyrkantsvågsväxelriktare med likspänningsmatad H-brygga Kretschema för likspännings- och likströms-matad H-brygga D 1 D 4 S 1 R i L(t) L S 4 V 0 /I 0 v L (t) S D S 3 D 3 Fouriertransform för utspänning givet cykel med PÅ-tid 1 L/R ( ) 4 V L,1 = V 0 sin( 1 π) för grundton (10.1) π ( ) 4 V L,n = V 0 sin(n 1 π) för n:te övertonen (10.) n π Medelspänning för Pwm-styrd H-brygga med tillslagstid D och periodtid T τ = L/R (v L ) avg = (D 1) V 0 (10.3) (i L ) avg = (v L) avg R = (D 1)V 0 R vilket betyder att strömmen kan varieras enligt V0 R (i L) avg V0 R. (10.4) Ripplet på grund av switchningen kan skrivas ( ) ( ) V0 T i L D(1 D) (10.3) R τ Följning av referens W ref (t) ger tillslagstid och spänning enligt D(t) = (1 + W ref(t)) (10.35) (v L ) avg = W ref (t)v 0 (10.36)
35 6.4 Effektivitet Effektiviteten bestäms av η = P out P in = P in P loss P in = P in P Ra P stray P Rf P fric P core P in där P in - Total ineffekt, till både fält och ankar P Ra - Förluster i ankarlindningen, typiskt R a Ia P Rf - Förluster i fältlindningen, typiskt R f If P stray - Förluster i ankarlindningen på grund av skin-effekt och virvelströmmar, typiskt R stray Ia, temperaturoberoende P fric - Totala friktionsförluster, typiskt ωt fric P core - Järnförluster för ommagnetisering av järnet i statorn, typiskt Vt men egentligen mer korrekt ER Ibland slår man ihop effektförlusterna för skin-effekt och virvelströmmar samt för ankarresistansen enligt R a,eff = P loss,sc,load I a,sc (5.33) P Ra,eff = R a,eff I a
36
Kapitel 7 Asynkronmaskinen / Induktionsmaskinen 7.1 Modell 7.1.1 Frekvenssamband Både magnetfältet från statorn och rotorn roterar i det synkrona varvtalet. w s = πf e poles/ s = ω s ω m ω s den synkrona vinkelhastigheten som funktion av elektrisk frekvens slippet är skillnaden i vinkelhastighet delat med den synkrona vinkelhastigheten (6.1) ω m = (1 s)ω s mekaniska hastigheten på rotorn (6., 6.3) ω r = sω s relativa hastigheten mellan statorvåg och rotor f r = sf e frekvensen på den i rotorn inducerade spänningen (6.4) 7.1. Ekvivalent kretsschema R 1 X 1 X R 1,eq X 1,eq X Î 1 Î ϕ Î Î ˆV 1 R s ˆV 1,eq R s R c X m (a) Ekvivalent kretsschema (b) Theveninekvivalent kretsschema 37
38 Samband mellan spänningarna och kretselementens storlekar för de två varianterna är ˆV 1,eq = ˆV jx m 1 R 1 + j(x 1 + X m ) (6.9) Z 1,eq = jx m(r 1 + jx 1 ) R 1 + j(x 1 + X m ) = R 1,eq + jx 1,eq (6.30, 6.31) 7.1.3 Momentsamband Momentet kan uttryckas som funktion av theveninekvivalenta spänningar och kretselement enligt [ ] T mech = 1 n ph V1,eq(R /s) ω s (R 1,eq + (R /s)) + (X 1,eq + X ) (6.33) T max = 1 0.5n ph V1,eq och fås vid (6.36) ω s R 1,eq + R1,eq + (X 1,eq + X ) s maxt = R R 1,eq + (X 1,eq + X ) (6.35) 7.1.4 Arbetsgång för bestämning av modellparametrar i) Utför tomgångsprov och prov med låst rotor. Mät P nl/bl, V a,nl/bl och I 1,nl/bl. Mät sedan R 1 medan motorn är varm. ii) Räkna ut P rot = P nl n ph R 1 I 1,nl (6.37) iii) Räkna ut Q nl/bl enligt S = n ph U F I L och S = P + Q iv) Räkna ut motorparametrar enligt X nl = Q nl n ph I1,nl, X bl = Q bl f rated n ph I1,bl, R bl = P bl f bl n ph I1,bl (6.45, 6.49, 6.50) v) Sätt i det k som svarar mot motortyp och lös ut X 1 och X enligt X = (X bl X 1 ) X nl X 1 X nl X bl, X 1 = kx (6.55) vi) Använd slutligen lösningen för att räkna ut de sökta storheterna ( ) X + X m X m = X nl X 1, R = (R bl R 1 ) (6.4, 6.56) X m
39 7. Styrning 7..1 Momentsamband vid konstant V/Hz reglering Generellt beteende för momentkurvan då frekvensen ändras vid konstant V/Hz reglering fås genom att försumma R 1. Detta ger T mech = [( ω e0 poles där (V 1,eq ) 0 och (X 1,eq + X ) 0 fås ur n ph [(V 1,eq ) 0 ] (R / ω) ) ] [ ] (11.61) (R / ω) + (X1,eq + X ) 0 ( ) ωe ˆV 1,eq = ( ω ˆV 1,eq ) 0 (11.59) e0 ( ) ωe X 1,eq + X = (X 1,eq + X ) 0 (11.57) ω e0 ( ) ˆV 1,eq = ˆV Xm 1 (11.54) X 1 + X m X 1,eq = X mx 1 X 1 + X m (11.56) 7.. Parametersättning och samband för fältbaserad dq0- reglering De parametrar som ingår i momentstyrningsalgoritmen bestäms enligt L m = X m0 ω e0 (11.66) L S = L m + X 10 ω e0 (11.67) L R = L m + X 0 ω e0 (11.68) R a = R 1 (11.73) R ar = R (11.74) Momentet kan i dq0-storheter uttryckas på fler sätt beroende på val av referensvinkel θ 0 i θ S = ω e t + θ 0 och θ R = (ω e ω me )t + θ 0. Grunduttrycket är T mech = 3 ( ) ( ) poles Lm (λ DR i q λ QR i d ) (11.75) L R
40 och för för lämpligt val av θ 0 fås λ QR = 0 och i DR = 0 vilket förenklar uttrycken för moment, sammanlänkande flöden, spänningar och frekvens enligt T mech = 3 ( ) ( ) poles Lm (λ DR i Q ) (11.77) L R λ DR = L m i D (11.79) λ D = L S i D (11.80) ( ) λ Q = L S L m i Q (11.87) L R v D = R a i D ω e λ Q (11.69) v Q = R a i Q + ω e λ D (11.70) ( ) iqr ω e = ω me R ar = ω me + R ( ) ar iq = λ DR L R i D = ω me + 1 ( ) iq (11.81-11.83) τ R i D Några samband mellan dq0-storheter och abc-storheter ( ) λ D (λ a ) rms = + λ L Q S i D + L S L m LR i Q = (11.88) ( ) ) vd V a = + v (R a i D ω e L S L m Q LR i Q + (Ra i Q + ω e L S i D ) = (11.89) i D I a = (I a ) rms = + i Q 7.3 Effektivitet Den totala verkningsgraden utgörs av den avgivna effekten i förhållande till den instoppade effekten. Följande samband beskriver effektförlusterna på vägen från instoppad till uttagen effekt. P in = n ph U F I L cos ϕ Tillförd elektrisk n ph -faseffekt P stator = n ph R 1 I1 Kopparförluster i statorn P gap = P input P stator Överförd luftgapseffekt P rotor = n ph I R = sp gap = s 1 s P mech Kopparförluster i rotorn P mech = P gap P rotor = (1 s)p gap Mekanisk effekt innan friktion P shaft = P mech P rot Avgiven mekanisk effekt efter friktion η = P shaft P input = Pinput Pstator Protor Prot P input (6.19, 6.0, 6., 6.3, 6.7)
Bilaga A Matematiska Samband A.1 Trigonometriska relationer sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) cos(x) = cos (x) sin (x) sin(x) = sin(x) cos(x) sin(x + π ) = cos(x) cos(x + π ) = sin(x) sin(x + π) = sin(x) cos(x + π) = cos(x) 41