AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys



Relevanta dokument
Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

September 13, Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har. (i) en riktning, och


October 9, Innehållsregister

1 Vektorer i koordinatsystem

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht Block 5, översikt

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Omtentamen i DV & TDV

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H

Vektorgeometri för gymnasister

Vektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

Vektorgeometri för gymnasister

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14,

Vektorgeometri för gymnasister

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

Basbyte (variabelbyte)

MATEMATIK 5 veckotimmar

Vektorgeometri för gymnasister

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Komihåg 5: ( ) + " # " # r BA Accelerationsanalys i planet: a A. = a B. + " # r BA

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

Matematisk fysik I. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. Tel Karlstads Universitet

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

Vektorgeometri. En inledning Hasse Carlsson

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström

Vektorgeometri för gymnasister

! &'! # %&'$# ! # '! &!! #

Explorativ övning Vektorer

Vektorgeometri för gymnasister

Kursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION

Vektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

INFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället!

Linjär algebra kurs TNA002

Version Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

LINJÄRA AVBILDNINGAR

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Vektorgeometri för gymnasister

1 Allmänt om vektorer och vektorvärda funktioner

Vektorgeometri för gymnasister

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Inlämningsuppgift 4 NUM131

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet.

Målsättningar Proffesionell kunskap om mekanik. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med

Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.13, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID:

Vi definierar addition av två vektorer och multiplikation med en reell skalär (tal) λλ enligt nedan

SF1624 Algebra och geometri

AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l.

2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn:

===================================================

Vektorer. Paraplyt, vektorn Vädret behöver dessa Blåser sin lovsång. 1. Vad är vektorer? Räkneregler för vektorer Vektorgeometri..

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

ANDRAGRADSKURVOR Vi betraktar ekvationen

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

Linjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x

Tillämpad Matematik II Övning 1

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Karta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara

SF1624 Algebra och geometri

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Beräkningsuppgift I. Rörelseekvationer och kinematiska ekvationer

Facit/lösningsförslag

Sidor i boken Figur 1: Sträckor

Vektorgeometri och funktionslära

Transkript:

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma riktning. En vektor (utom nollvektorn) kan anges med en riktad sträka, dvs en sträka från en punkt A (utgångspunkt) till en annan punkt B (ändpunkt). Två lika långa och lika riktade sträkor anger samma vektor. Vektorn från A till B kan betecknas AB. Vektorn sägs vara avsatt från punkten A. En vektor kan avsättas från en godtycklig punkt. Nollvektorn svarar mot det urartade fallet då A sammanfaller med B. Varje punkt läge i rymden kan anges med hjälp av ett koordinatsystem, som består t ex av tre mot varandra vinjkelräta koordinataxlar. Om två icke-parallela vektorer e x och e y är givna i ett plan, kan varje vektor u i planet entydigt skrivas som u = xe x + ye y. (1) Vektorerna e x och e y kallas basvektorer. Vektorerna xe x och ye y kallas komposanter, talen x och y koordinater för u (eller u s komponenter), och beteckningen u = (x, y) kan användas. Om e x, e y och e z är tre i (tre-dimensionella) rummet givna vektorer som inte ligger i ett plan, kan varje vektor u i rummet entydigt skrivas som u = xe x + ye y + ze z. (2) Vektorerna e x, e y och e z kallas basvektorer. Vektorerna xe x, ye y och ze z kallas komposanter, talen x, y och z koordinater för u (u s komponenter), och beteckningen u = (x, y, z) kan användas. Om O (i detta sammanhang kallad origo) är en fix punkt i rummet (planet) är varje punkt P bestämd av vektor OP, som kallas ortsvektorn för P, och koordinater x, y, z för OP upfattas som koordinater för P. Då har ortsvektorn för P : (x, y, z) utgångspunkten O : (0, 0, 0) (origo) och ändpunkten P : (x, y, z); beteckningen r = [x, y, z] kan användas. Man säger att man har koordinaterna x, y, z i koordinatsystemet Oe x e y e z eller Oxyz (även xyz). På motsvarande sätt fås koordinatsystemet Oe x e y eller Oxy i ett plan. Vi inför följande beteckningar: R är mängden av alla reela tal, R 2 är mängden av alla reela talpar (x, y) och R 3 är mängden av alla reela taltripplar (x, y, z). Geometriskt, R representeras av punkterna på en linje (tallinje), resp. punkterna i ett plan eller i ett tre-dimensionellt rum. En vektor med beloppet (storlek) 1 kallas enhetsvektor. Om basvektorerna i ett koordinatsystem är parvis vinkelräta enhetsvektorer kallas koordinatsystemet ortonormerat, eller cartesiskt. I ett cartesiskt koordinatsystem, (2) skrivas som u = [x, y, z] = xi + yj + zk, (3) där basvektorerna är cartesiska enhetsvektorer i = e x, j = e y, k = e z i = [1, 0, 0], j = [0, 1, 0], k = [0, 0, 1]. (4)

Antag att en vektor a= P Q har utgångspunkten P : (x 1, y 1, z 1 ) och ändpunkten Q : (x 2, y 2, z 2 ). Då kallas tre talen a 1 = x 2 x 1, a 2 = y 2 y 1, a 3 = z 2 z 1 (5) a s komponenter i koordinatsystemet xyz i rummet, och man skriver Vektors längd (storlek) a = [a 1, a 2, a 3 ]. a = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 (6) Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem och P : [x 1, y 1, z 1 ] och Q : [x 2, y 2, z 2 ] två punkter i rummet. Talet P Q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 kallas avståndet mellan punkterna P och Q i rummet. EXEMPEL 1 P Q med utgångspunkten P : (4, 0, 2) och ändpunkten Q : (6, 1, 2) har kompo- Vektorn a= nenter a 1 = 6 4 = 2, a 2 = 1 0 = 1, a 3 = 2 2 = 0. Då a = [2, 1, 0] och längden (avståndet mellan punkterna P och Q) a = 2 2 + ( 1) 2 + 0 2 = 5. Om man väljer ( 1, 5, 8) som a s utgångspunkt, då,, enligt (5), är motsvarande ändpunkten ( 1 + 2, 5 1, 8 + 0) = (1, 4, 8) EXEMPEL 2 a = [4, 0, 1] = 4i + k, b = [2, 5, 1 3 ] = 2i 5j + 1 3 k. Skalärprodukt Vinkeln mellan två vektorer erhåls genom att man avsätter dem från samma punkt. Om a och b är två vektorer och γ vinkel mellan dem är skalärprodukten av a och b a b = a b cos γ om a 0, b 0 a b = 0 om a = 0 eller b = 0. Om a = [a 1, a 2, a 3 ] och b = [b 1, b 2, b 3 ], då, a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. Vektorn a kallas normal till vektorn b om a b = 0. Skalärprodukten av två vektorer a 0 och b 0 är 0 om och endast om de här två vektorerna är perpendikulär, dvs vinkeln γ mellan a och b är γ = π/2 (90 o ) (cos γ = 0).

Man kan bestämma vektors längd och vinkeln mellan två vektorer genom skalärprodukten EXEMPEL 3 cos γ = a b a b = a = a a (7) a b a a b b (8) Beräkna skalärprodukten, längd och vinkeln mellan vektorer a= [1, 2, 0] och b= [3, 2, 1]: a b = 1 3 + 2 ( 2) + 0 1 = 1, a = a a = 5, b = b b = 14; γ = arccos a b a b = arccos ( 1) 70 = arccos ( 0.11952) = 1.69061 = 96.865 o Ortonormerad bas Den ortonormerada basen a, b, c i tre-dimensionella rummet består av ortogonala (cartesiska) enhetsvektorer i = [1, 0, 0], j = [0, 1, 0], k = [0, 0, 1]. (9) För en given vektor vi har v = l 1 a + l 2 b + l 3 c, l 1 = a v, l 2 = b v, l 3 = c v. Enhetsvektorerna i, j, k bildar standardbasen. EXEMPEL 4 Normalvektor till planet Bestäm en enhetsvektor normal till planet 4x + 2y + 4z = 7. Ekvationen för ett plan i tre-dimensionella rummet är a r = a 1 x + a 2 y + a 3 z = c, a = [a 1, a 2, a 3 ] 0, r = [x, y, z]. Enhetsvektorn i riktningen a är Likheten a r = c dividerat med a är n r = p, n = 1 a a. p = c a. n (och n) är normalvektorn till planet. I Exempel 4, a = [4, 2, 4], c = 7, a = 4 2 + 2 2 + 4 2 = 36 = 6; då n = (1/6)a = [2/3, 1/3, 2/3], och avståndet mellan planet och origo är p = 7/6.

Vektorprodukt Vektorprodukten a b av två, vektorer a = [a 1, a 2, a 3 ] och b = [b 1, b 2, b 3 ] är en vektor v = a b; dess längd är v = a b sin γ (γ är vinkeln mellan vektorer a and b) och v är perpendikulär till a och b. a, b, v bildar ett positivt orienterat högersystem. Vi har i j k v = [v 1, v 2, v 3 ] = a b = a 1 a 2 a 3 = v 1 i + v 2 j + v 3 k, b 1 b 2 b 3 EXEMPEL 5 v 1 = a 2 a 3 b 2 b 3, v 2 = a 3 a 1 b 3 b 1, v 3 = a 1 a 2 b 1 b 2 Beräkna vektorprodukten av vektorerna a = [4, 0, 1] och b = [ 2, 1, 3]: a b = i j k 4 0 1 2 1 3 = i 0 1 1 3 + j 1 4 3 2 + k 4 0 = i 10j + 4k. 2 1 Skalära fält och vektorfält Låt U vara ett område i rummet och låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem. Antag att vi för varje punkt P = (x, y, z) U har definierat en vektor v = v(p ) = [v 1 (P ), v 2 (P ), v 3 (P ), ] Då säger vi att v = v(p ) är ett vektorfält i området U (v s värden är vektorer). motsvarande sätt fås definitionen av ett skalär fält På f = f(p ) där f(p ) = f(x, y, z) är en skalär funktion av tre variabler definierad i området U (f s värden är reela tal). Området (mängden) U, som består av alla de punkter P = (x, y, z) för vilka f(p ) existerar, kallas f s definitions mängd. EXEMPEL 6 En skalär funktion (avståndet mellan punkterna i rummet) Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem. Låt vidare P : [x, y, z] vara en punkt i rummet och P 0 : [x 0, y 0, z 0 ] en fix punkt i rummet. Då kallas skalära funktionen f = f(p ) = f(x, y, z) = P P 0 = avståndet mellan punkterna P och P 0 i rummet. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2

EXEMPEL 7 Ett vektorfält (gravitationsfält) En partikel A med massan M är belägen i origo. Den attraherar genom gravitation en partikel B med massan m i punkten P : [x, y, z] med en kraft p. I ett cartesiskt koordinatsystem P : [x, y, z], P 0 : [x 0, y 0, z 0 ] = O : [0, 0, 0] och avståndet mellan punkterna P och P 0 är r = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = x 2 + y 2 + z 2. Enligt Newtons gravitationslag är p riktad mot origo och p är omvänt proportionellt mot kvadraten på avståndet till origo, Vektorn p har samma riktning som vektorn r, där p = c, c = const. (10) r2 r = [x, y, z] = xi + yj + zk är ortsvektorn för P, r = r, och 1 r är en enhetsvektor som har samma riktning som vektorn r p (en enhetsvektor längs p). Enligt (10) är då gravitationskraften p = p ( 1 ) r r = c r 3 r = c x r 3 i c y r 3 j c z r 3 k (11) Då definierar (11) för varje punkt P = (x, y, z) O = (0, 0, 0) en vektor p = p(p ) = [p 1 (P ), p 2 (P ), p 3 (P )]. p = p(p ) är ett vektorfält som kallas gravitationsfält. Betrakta en partikel A med massan M i punkten P 0 : [x 0, y 0, z 0 ] och en partikel B med massan m i punkten P : [x, y, z] (i ett cartesiskt koordinatsystem). Avståndet mellan punkterna P och P 0 är r = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2, vektorn r = P 0 P = [x x 0, y y 0, z z 0 ] = (x x 0 )i + (y y 0 )j + (z z 0 )k, har utgångspunkten P 0 : (x 0, y 0, z 0 ) och ändpunkten P : (x, y, z), och gravitationsfältet (gravitationskraften) är p = p ( 1 ) r r = c r r = cx x 0 i c y y 0 j c z z 0 k (12) 3 r 3 r 3 r 3 Låt, t ex, P 0 vara origo P 0 = [0, 0, 0] och antag att punkterna P ligger på enhetscirkel x 2 + y 2 = 1 i planet z = 0. Vi har r = x 2 + y 2 = 1 och vektorfunktionen (11) skrivas som p = p ( r) = cr, (13) Då är p s storlek konstant i varje punkt på cirkeln och har p motsatt riktning mot ortsvektorn r. För en godtycklig cirkel x 2 + y 2 = a 2 och även en godtycklig sfär x 2 + y 2 + z 2 = a 2 får man samma påstående.

PROBLEM 8.1.1 Bestäm en vektor med utgångspunkten P : (1, 1, 0) och ändpunkten Q : (4, 5, 0) och dess längd. P Q = v = [4 1, 5 1, 0 0] = [3, 4, 0] = 3i + 4j. v = 3 2 + 4 2 + 0 = 25 = 5. PROBLEM 8.1.3 Bestäm en vektor med utgångspunkten P : (1, 2, 3) och ändpunkten Q : (2, 4, 6). och dess längd. P Q = v = [2 1, 4 2, 6 3] = [1, 2, 3] = i + 2j + 3k. v = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14. PROBLEM 8.1.9 P Q = v = [2, 3, 0] = 2i + 3j och utgångspunkten vara P : (1, 0, 0). Bestäm ändpunkten Låt Q : (x 2, y 2, z 2 ). P Q = v = [x 2 1, y 2 0, z 2 0] = [2, 3, 0]. Då x 2 = 1 + 2 = 3, y 2 = 3 + 0 = 3, z 2 = 0 + 0 = 0] and Q : (3, 3, 0) v = 2 2 + 3 2 = 13. PROBLEM 8.1.18 a = [3, 2, 1] = 3i 2j + k, b = [0, 3, 0] = 3j. Bestäm a + b och a + b. a + b = [3 + 0, 2 + 3, 1 + 0] = [3, 1, 1] = 3 2 + 1 + 1 = 11. a = 3 2 + 2 2 + 1 = 14. b = 3 2 = 3. a + b = 3 + 14. a + b < a + b. PROBLEM 8.2.1 Beräkna skalärprodukten av vektorerna a = [1, 3, 2] = i + 3j + 2k, b = [2, 0, 5] = 2i 5k, c = [4, 2, 1] = 4i 2j + k. a b = 1 2 + 3 0 + 2 ( 5) = 2 + 0 10 = 8 = b a.

Här, PROBLEM 8.2.4 2b + 3c = [2 2, 0, 2 ( 5)] + [3 4, 3 ( 2), 3 1] = [4 + 12, 0 6, 10 + 3] = [16, 6, 7]. a (2b + 3c) = 1 16 + 3 ( 6) + 2 ( 7) = 16 18 14 = 16 = 2a b + 3a c. PROBLEM 8.2.25 Bestäm vinkeln mellan två planen x + y + z = 1 och x + 2y + 3z = 6. Ekvationen för ett plan i tre-dimensionella rummet är för planet x + y + z = 1 och a r = a 1 x + a 2 y + a 3 z = c, a = [a 1, a 2, a 3 ] 0, r = [x, y, z]. a r = x + y + z = 1, a = [1, 1, 1], c = c 1 = 1 b r = x + 2y + 3z = 6, b = [1, 2, 3], r = [x, y, z], c = c 2 = 6 för planet x + 2y + 3z = 6. c 1 = 1, a = 1 + 1 + 1 = 3; c 2 = 6, b = 1 + 2 2 + 3 2 = 14. Enhetsnormalvektorn till planet x + y + z = 1 är n 1 = 1 a a = 1 3 a. Enhetsnormalvektorn till planet x + 2y + 3z = 6 är n 2 = 1 b b = 1 14 b. Vinkeln mellan två plan är vinkeln mellan två normaler som är lika med vinkeln γ mellan vektorerna a och b. Man kan bestämma vinkeln mellan två, vektorer genom skalärprodukten: cos γ = a b a b = a b a a b b (14) Vi har och cos γ = a b a b = 1 1 + 1 2 + 1 3 3 14 = 6 42 = 0.92582, γ = arccos 0.92582 = 0.38760 22.2 o. PROBLEM 8.3.1

Bestäm skalärprodukten och vektorprodukten av vektorerna a = [1, 2, 0], b = [ 3, 2, 0], och c = [2, 3, 4]. a b = i j k 1 2 0 3 2 0 = k 1 2 3 2 b a = a b = 8k. = 8k; a b = b a = 1 ( 3) + 2 2 + 0 0 = 3 + 4 = 1. PROBLEM 8.3.3 a c = i j k 1 2 0 2 3 4 = i 2 0 3 4 j 1 0 2 4 + k 1 2 2 3 = 8i 4j k = [8, 4, 1]; PROBLEM 8.4.1 a c = c a = 8 2 + 4 2 + 1 = 64 + 16 + 1 = 81 = 9. a c = 1 2 + 2 3 + 0 4 = 2 + 6 = 8. Betrakta skalära fältet (tryckfält) f(x, y) = 9x 2 + 4y 2 och estäm trycket i punkterna (2, 4), (0.5, 3.25) och ( 17, 1/ 6). f(2, 4) = 9 2 2 + 4 4 2 = 4 (9 + 16) = 100. f(0.5, 3.25) = 9 0.25 + 4 (3.25) 2 = 2.25 + 42.25 = 44.5. f( 17, 1/ 6) = 9 17 + 4 (1/6) = 153 + 2/3 153.667. PROBLEM 8.4.2 En nivåkurva till funktionen f(x, y) är en kurva med ekvationen f(x, y) = c där c är en konstant. Isobarer (kurvor av konstant tryck) är ellipser 9x 2 + 4y 2 = c, c > 0, e.g., 9x 2 + 4y 2 = 1: PROBLEM 8.4.4 Isotermer (kurvor av konstant temperatur) är kurvorna med ekvationerna ln x 2 + y 2 = c. Isotermerna är cirklar x 2 + y 2 = C = e c > 0. PROBLEM 8.4.5

arctan y/x = c; då tan arctan y/x = y/x = C = tan c och isotermer är räta linjer y = Cx. PROBLEM 8.4.6 Vi har x 2 y 2 y = x, c = 0. = c, och isotermer är parabeler y = ± x 2 c, c 0, eller räta linjer PROBLEM 8.4.11 En yta med ekvationen f(x, y, z) = c där c är en konstant kallas en nivåyta till funktionen f(x, y, z). Här nivåytorna är planen 4x + 3y z = c. PROBLEM 8.4.12 Nivåytorna är elliptiska cylindrarna x 2 + 3y 2 = c, c > 0.