MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS

MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS SVANTE JANSON 1. Kompakta mängder Definition. En delmängd av R n kallas kompakt om den är sluten och begränsad. Sats 1. Om K är en kompakt mängd i R n och {x i } är en följd punkter i K, så har följden (minst) en hopningspunkt i K. Bevis. Enligt Bolzano Weierstrass sats har följden en hopningspunkt, och varje hopningspunkt ligger i K = K. En variant på detta, enligt [Vretblad, Sats 2.1], är följande: Sats 2. Om K är en kompakt mängd i R n och {x i } är en följd punkter i K, så finns en delföljd som konvergerar mot en punkt i K. Dessa satser har stor användning. En annan sats som också är mycket användbar, men är mer teknisk och mindre intuitiv, är följande. Definition. En övertäckning av en mängd A är en familj {U α } α A av mängder (med en godtycklig indexmängd A) så att A α A U α. Vi säger då också att familjen {U α } α A täcker K. Sats 3 (Heine Borel). Om K är en kompakt mängd i R n och {U α } α är en öppen övertäckning av K så finns en ändlig delövertäckning, dvs ett ändligt antal mängder U α1,..., U αn ur övertäckningen som (tillsammans) täcker K, alltså K N i=1 U α i. Bevis. Låt först n = 1 och antag dessutom att K är ett kompakt intervall [a, b]. Definiera E som mängden av alla x [a, b] så att [a, x] kan täckas med ett ändligt antal av mängderna {U α } α. Det är klart att a E, eftersom [a, a] = {a} kan täckas med en mängd, så E är inte tom. Vi vill visa att b E. Låt ξ = sup{x : x E}. Då gäller ξ [a, b]. Eftersom {U α } α är en övertäckning av [a, b] finns ett index α så att ξ U α. Eftersom U α är öppen finns en omgivning N(x, δ) U α. Enligt definitionen av supremum finns något t E med x δ < t. Vi kan alltså täcka [a, t] med en ändlig familj U α1,..., U αn. Lägger vi till U α ser vi att U α1,..., U αn, U α täcker [a, t] (ξ δ, ξ + δ) [a, z] för varje z < ξ + δ. Om ξ < b ger detta att z E för något z > ξ, vilket motsäger definitionen av ξ. Alltså måste ξ = b, och då följer istället b = ξ E, och beviset är klart i detta fall. Låt härnäst n = 2 och antag att K är en kompakt rektangel [a, b] [c, d]. Definiera nu E som mängden av alla x [a, b] så att [a, x] [c, d] kan täckas med ett ändligt antal av mängderna {U α } α. Vi vill återigen visa att b E. 30 januari 2002. 1

2 SVANTE JANSON Det är nu kanske inte uppenbart att E inte är tom, så för säkerhets skull definierar vi ξ = sup{x : x E} om E inte är tom, och ξ = a om E =. Som förut gäller ξ [a, b]. Vi betraktar nu det vertikala linjestycket L = {(ξ, y) : y [c, d]}. Eftersom L K täcks L av {U α } α. För varje y [c, d] finns alltså något α y A så att (ξ, y) U αy. Eftersom U αy är öppen finns då också något δ y > 0 så att (ξ δ y, ξ + δ y ) (y δ y, y + δ y ) U αy. Låt V y = (y δ y, y + δ y ). De öppna intervallen {V y } y [c,d] bildar en öppen övertäckning av [c, d], och enligt vad som nyss visats finns det en ändlig delövertäckning V y1,..., V yn. Låt δ = min δ y1,..., δ yn. Då gäller (ξ δ, ξ + δ) [c, d] N ) ((ξ δ, ξ + δ) V yi i=1 N ) ((ξ δ yi, ξ + δ yi ) V yi i=1 N U αyi. i=1 Det finns alltså en ändlig delfamilj av {U α } α som täcker (ξ δ, ξ + δ) [c, d]. Speciellt ser vi att om ξ = a så gäller a E. E kan alltså inte vara tom. Vi kan nu argumentera som för n = 1. Enligt definitionen av supremum finns något t E med ξ δ < t. Vi kan alltså täcka [a, t] [c, d] med en annan ändlig familj, och tillsammans bildar dessa en ändlig delfamilj av {U α } α som täcker [a, z] [c, d] för varje z < ξ + δ. Som ovan följer ξ = b och ξ E, vilket visar resultatet i detta fall. Med induktion över dimensionen n visas nu resultatet på samma sätt för godtyckligt n om K är ett rätblock [a 1, b 1 ] [a n, b n ]. Slutligen, låt K vara godtycklig sluten och begränsad i R n. Eftersom K är begränsad gäller K [ M, M] n för någon kub [ M, M] n. Låt V = R \ K vara komplementet till K; observera att V är öppen. Då gäller att familjen {U α } α A {V } är en öppen övertäckning av [ M, M] n, och det finns alltså, enligt vad som nyss visades, en ändlig delfamilj som täcker [ M, M] n och alltså K. Denna delfamilj är antingen av typen U α1,..., U αn eller U α1,..., U αn, V ; i det senare fallet kan vi stryka V och har fortfarande en övertäckning av K. I vilket fall som helst har vi lyckats täcka K med en ändlig delfamilj av {U α } α. Ofta använder man istället följande ekvivalenta sats. Sats 4. Låt K vara en kompakt mängd i R n och {F α } α en familj slutna delmängder av K så att varje ändlig delfamilj F α1,..., F αn har ett icketomt snitt N i=1 F α i. Då gäller α A F α. Bevis. Antag motsatsen, α A F α = och låt U α = R n \F α. Då är α A U α = R n K, så {U α } α är en öppen övertäckning av K.

MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS 3 Enligt Heine Borels sats finns då en ändlig delövertäckning U α1,..., U αn. Vi kan anta N 1. Vi har N i=1 U α i K och alltså, om vi tar komplementen, N i=1 F α i R n \ K. Eftersom dessutom t.ex. F α1 K får vi N i=1 F α i K (R n \ K) =, i strid mot antagandet. Denna sats säger att om vi har en oändlig mängd villkor, och vet att varje villkor är uppfyllt av en sluten delmängd av någon kompakt mängd, så räcker det att visa att varje ändlig familj av villkor kan uppfyllas samtidigt för att det skall vara möjligt att hitta en punkt som uppfyller samtliga villkor. Vidare gäller att satserna 1 3 bara gäller för kompakta mängder; för sats 4 gäller detsamma efter en (lite klumpig) omformulering. Detta kan sammanfattas på följande sätt. Sats 5. Låt K vara en delmängd av R n. Då är följande egenskaper ekvivalenta: (i) K är kompakt. (ii) Varje följd av punkter i K har en hopningspunkt i K. (iii) Varje följd av punkter i K har en delföljd som konvergerar mot en punkt i K. (iv) Varje öppen övertäckning av K har en ändlig delövertäckning. (v) Om {F α } är en familj delmängder av K så att det finns slutna mängder G α med F α = G α K, och varje ändlig delfamilj F α1,..., F αn har ett icketomt snitt N i=1 F α i, så gäller α A F α. Bevis. Vi har visat att (i) medför övriga egenskaper. Vidare gäller (ii) (iii) enligt [Vretblad, Sats 2.1], och (iv) (v) genom att ta komplement på samma sätt som i beviset av sats 4. (Om U α = R n \ G α är {U α } en övertäckning av K om och endast om α F α = K α G α = ; detaljerna lämnas som övning.) Beviset fullbordas av följande två implikationer. (v)= (ii): Antag att (v) gäller och att {x i } är en följd punkter i K. Låt, för j = 1, 2,..., G j = {x j, x j+1,... } och F j = G j K. Eftersom x k F j för varje k j har varje ändlig delfamilj F j1,..., F jn har ett icketomt snitt, och alltså finns någon punkt x j=1 F j. Då är x en hopningspunkt till följden {x i } och x K. (iii)= (i): Antag att (i) inte gäller, dvs att K inte är kompakt. Om K inte är sluten, tag en punkt x K \ K. För varje i 1, välj en punkt x i N(x, 1/i) K. (En sådan punkt finns eftersom x K.) Då är {x i } en följd i K som konvergerar mot x, och detsamma gäller varje delföljd. Eftersom x / K gäller inte (iii). Om istället K inte är begränsad, välj, för varje i 1, en punkt x i K med x i > i. Då är {x i } en följd i K som inte har någon konvergent delföljd alls, och (iii) gäller inte nu heller. Anmärkning. Mer generellt gäller att egenskaperna (ii) (v) är ekvivalenta för delmängder i godtyckliga metriska rum. Man använder dessa som definition, och säger att en mängd K i ett metriskt rum är kompakt om (en av) dessa egenskaper gäller.

4 SVANTE JANSON 2. Utvidgade reella talen Det är i många sammanhang praktiskt att räkna med oändligheten. För att undvika paradoxer och motsägelser måste man då vara noga med definitioner och vad man kan och inte kan göra. Det visar sig att det är lämpligt att vara flexibel och behandla oändligheten på olika sätt i olika sammanhang. Ett sådant, som är naturligt i samband med reell analys är följande, där vi skiljer på + och. (Man skriver också = +, när inte plustecknet behövs för tydlighets skull.) Definition. Den utvidgade reella tallinjen R är { } R {+ }. Den utvdgade tallinjen är ordnad på det naturliga sättet; vi har t.ex. < x < + för varje reellt x. Vi kan därför definiera öppna, slutna och halvöppna intervall som vanligt, där nu en eller båda ändpunkterna kan vara oändlig. Observera skillnaden mellan [, ] = R och (, ) = R. Man kan delvis utvidga de vanliga räkneoperationerna till R, men inte så att alla fall täcks (utan att få konstigheter). Så är t.ex. för varje reellt x x+ =, x =, x + ( ) = och x ( ) =, vidare är + = medan + ( ) inte är definierat. För multiplikation gäller t.ex. att om 0 < x så är x = och x ( ) =, medan motsatsen gäller för x < 0. Det är (ofta) praktiskt att definiera 0 = 0 ( ) = 0. Däremot är 1/0 fortfarande odefinierat. Vi definierar omgivningar till ± på följande sätt. Definition. Om δ > 0 är N(+, δ) = {x R : x > 1/δ} och N(, δ) = {x R : x < 1/δ}. Man kan nu definiera konvergens, kontinuitet, hopningspunkter osv. med hjälp av dessa omgivningar. Om {x n } är en följd reella tal, ser man lätt att x n x där x är reellt får samma betydelse som vanligt (och kan alltså användas utan risk för förväxling), och att x n + och x n också får den vanliga betydelsen. Vidare gäller t.ex.: Sats 6. Låt {x n } vara en följd i R. Då gäller att + är en hopningspunkt om och endast om följden inte är uppåt begränsad. Symmetriskt gäller att är en hopningspunkt om och endast om följden inte är nedåt begränsad. Av detta och Bolzano Weierstrass sats följer lätt: Sats 7. Låt {x n } vara en följd i R. Då har följden en hopningspunkt i R, och det finns en delföljd som konvergerar. Med terminologin i 1 kan vi säga att R = [, ] är kompakt. Genom att betrakta R istället för R kan vi alltså eliminera villkoret om begränsning i Bolzano Weierstrass sats. Samma gäller flera andra resultat, t.ex. följande, som förhoppningsvis inses lätt: Sats 8. Låt {x n } vara en monoton (dvs antingen växande eller avtagande) följd i R. Då konvergerar följden mot något gränsvärde i R.

MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS 5 Anmärkning. R är ett metriskt rum, men inte med det vanliga avståndet mellan två reella tal. Man kan däremot definiera t.ex. d(x, y) = arctan x arctan y och allt fungerar. 3. lim sup och lim inf En icketom mängd E R har ett supremum sup E R, och symmetriskt ett infimum inf E R. Båda är entydigt bestämda. Eftersom inf E = sup{x : x E}, behandlas i fortsättningen mest sup; formuleringen av motsvarande resultat för inf lämnas som övning. Sats 9. Om E R är sup E det entydigt bestämda ξ R så att t ξ = {x E : x > t} = t < ξ = {x E : x > t} Observera att i allmänhet behöver inte sup E E. Om detta gäller kallas sup E även för maximum, max E. (Om sup E / E är max E inte definierat.) Om E är kompakt gäller alltid sup E E, så maximum existerar. Ibland definierar man dessutom sup = och inf = +. Sats 9 gäller då även för E =. Låt nu {x n } vara en föjd i R (eller i R). Följden y k = sup{x n : n k}, k = 1, 2,..., är en avtagande föjd i R och konvergerar därför mot något element i R. Gränsvärdet kallas övre limes eller limes superior och skrivs lim sup x n eller lim x n. Analogt definieras undre limes eller limes inferior som skrivs lim inf x n eller lim x n. Vi har alltså lim sup x n = lim lim inf För en godtycklig följd {x n } gäller och vidare lim inf sup k n k x n, x n = lim k inf n k x n. Analogt med sats 9 ser man lätt följande: x n lim sup x n + lim inf ( x n) = lim sup x n, (3.1) lim sup( x n ) = lim inf x n. (3.2) Sats 10. Om {x n } är en följd i R så är lim sup x n det entydigt bestämda ξ R så att t > ξ = {n : x n > t} är ändlig t < ξ = {n : x n > t} är oändlig.

6 SVANTE JANSON Samma gäller {n : x n t}. Vi kan inte säga något i allmänhet om {n : x n > ξ} eller {n : x n ξ}. Motsvarande karakterisering av lim inf lämnas som övning. Ur detta följer vidare den egenskap som används som definition i [Vretblad]. Sats 11. Om {x n } är en följd i R så är lim sup x n den största och lim inf x n den minsta hopningspunkten till {x n }. Ur t.ex. sats 11 följer lätt: Sats 12. Låt {x n } vara en följd i R. Då gäller lim inf x n = lim sup x n om och endast om {x n } konvergerar (i R). I detta fall är lim inf x n = lim sup x n = lim x n. Referens [Vretblad] A. Vretblad, Topologi och konvergens. Kompendium, Uppsala, 1997. Mathematiska institutionen, Uppsala universitet, Box 480, 751 06 Uppsala