Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA2 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Fredagen den 3 januari 27 35-6722 Skrivtid: 5.-2. Inga hjälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt och skriv namn på varje papper. Skriv läsligt och högst en uppgift per sida. För att erhålla full poäng på ett problem krävs en kortfattad men fullständig motivering samt ett tydligt och eakt angivet svar på enklaste form. Betygsgränserna är 5 p för 3 och godkänd, 2 p för och 25 p för 5.. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) + ln( ) lim arctan sin. (b) Beräkna integralen (3p) 2 d. 2. Bestäm eventuella lokala etrempunkter och terasspunkter till ( ) 2 samt eventuella asymptoter till kurvan y = f(). Rita också kurvan i grova drag. (5p) 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p) { y + 2y + y = e, y() = y () =.. (a) Härled formeln för partiell integration. (p) (b) Bestäm den lösning y() till differentialekvationen för vilken lim y() =. y = y 5. (a) Beräkna den generaliserade integralen (2p) e 2 + d. (b) Bestäm Maclaurinutvecklingen av ordning 6 till e 2. Använd resultatet för att bestämma ett approimativt värde på integralen med ett fel som är mindre än.5 3. e 2 d 6. (a) Formulera medelvärdessatsen och förklara innebörden av den med hjälp av en figur. (p) (b) Fisken Pelle simmar motströms i Mississippifloden med konstant fart v relativt vattnet. Han är på väg mot fisken Kajsa som håller till en bit upp i floden. Strömningsfarten i området är v s < v. Den energi Pelle förbrukar under simturen är proportionell mot både hans fart v i kubik och mot tiden det tar att simma till Kajsa. Han är förstås intresserad av att vara så pigg som möjligt när han kommer fram och vill därför minimera sin energiförbrukning. Bestäm den simfart v som ger lägst energiförbrukning. Skissera också kurvan som beskriver hur energiförbrukningen beror på v. (p) Lycka till! (p) (3p)
Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA2 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Fredagen den 3 januari 27 Skrivtid: 5.-2. Lösningsförslag. (a) Vi börjar med Maclaurinutveckling av nämnaren: arctan sin = 3 3 + 5 5... ( 3 3! + 5 5!...) = 3 6 + O(5 ). Eftersom den första icke-försvinnande termen i nämnaren är av ordning 3 så utvecklar vi täljaren t.o.m. ordning 3. Pga entydigheten hos Maclaurinutvecklingen får vi ( då ): + ln( ) = + + 2 2! + 3 3! + O( ) + ( ) ( )2 + ( )3 + O( ) 2 3 Vi får till slut = 3 6 + O( ). + ln( ) arctan sin = 6 + O( ) 3 6 + O(5 ) = 6 + O() 6 + O(2 ) (b) Faktorisering av nämnaren följt av partialbråksuppdelning ger 2 d = (2 + )(2 ) d = [ ] = ln 2 + 2 = ln 3 ln = ln 3. 2. Vi bestämmer först eventuella stationära punkter till f(): då. ( 2 + + ) d = ln 2 + ln 2 2 ( ) 2 f () = 32 ( ) 2 2( ) ( ) = 2 ( 3) ( ) 3 = = eller = 3. Sedan undersöker vi derivatans tecken och förutom de stationära punkterna tar vi även med punkten = där f och f inte är definierade: 3 f () + + + f() f() f(3) Till sist bestämmer vi eventuella asymptoter till kurvan y = f(). Eftersom f() är en rationell funktion där nämnaren är noll medan täljaren är skild från noll för = har f() den lodräta asymptoten =. P.g.a. att f() är rationell ger en enkel polynomdivision direkt eventuell sned asymptot: ( ) 2 = }{{ + 2 } Sned asymptot + 3 2 ( ) 2. Sammanfattning: Funktionen f() har en lokal terasspunkt i = med värdet f() = och en lokal minimipunkt i = 3 med värdet f(3) = 27. Kurvan y = f() har den lodräta asymptoten = samt den sneda asymptoten y = + 2 då ±. 2
5 - -2 2 6-5 Figur : Kurvan ( ) 2. 3. Den allmänna lösningen ges av y = y h + y p där y h är den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation och y p en partikulärlösning till L(y) = y + 2y + y = L(y) = e. () Lösning till homogena ekvationen: Det karaktäristiska polynomet p(r) = r 2 + 2r + = (r + ) 2 har nollställena r = r 2 = och den allmänna lösningen till L(y) = är därför y h = (C + C 2 )e. Partikulärlösning: Eftersom Ae redan finns i y h fungerar inte den ansatsen och vi inför därför hjälpfunktionen z och gör ansatsen: Insättning i () ger nu y p = ze y p = (z z)e y p = (z 2z + z)e. y + 2y + y = (z 2z + z + 2(z z) + z)e = z e = e z =. Integrering 2 ggr ger direkt att z = 2 2 är en lösning och vi får y p = 2 2 e. Den allmänna lösningen till () är därför Från begynnelsvillkoren får vi y = y h + y p = (C + C 2 + 2 2 )e. y() = + C 2 + = C 2 = y () = (C + )e + (C + C 2 + 2 2 )e ( ) = (C C 2 C + 2 y () = C C 2 + = C C 2 = C = C = 2. Den sökta lösningen är alltså y() = ( 2 2 + 2 + )e.. (a) Om F () = f() och g() är deriverbar har vi: D(F g) = F g + F g = fg + F g fg = D(F g) F g f()g()d = F ()g() F ()g ()d 2 )e 3
(b) Eftersom detta är en linjär differentialekvation av första ordningen kan vi använda metoden med integrerande faktor men det är lite onödigt i det här fallet eftersom vänsterledet efter omskrivning redan är derivatan av en produkt: y = y y + y = D(y) = y = d = d = + C 5. (a) Vi har y() = e C Eftersom då måste C då C = (standardgränsvärde) om villkoret y() då ska vara uppfyllt. Den sökta lösningen är alltså R e 2 + d = y() = e. t = = ln t d = t dt = t =, = R t = e R = R = R t R t 2 + t dt = t 2 + dt = [arctan t] R = arctan R arctan π 2 π = π då R dvs då R. e 2 + d = π. (b) Vi gör först en Maclaurinutveckling av t.o.m. ordning 3: = f() + f () + f () 2 + f (3) () + f () (ξ) = + + 2 }{{ 2 3! }}{{! } 2 + 3 3! + eξ! Maclaurinpolynomet av ordning 3 resttermen där ξ är ett tal mellan och d.v.s. ξ = θ där θ. Utnyttjar vi nu entydigheten i Maclaurinutvecklingen får vi direkt genom insättning utvecklingen av e 2 t.o.m. ordning 6: Vi har alltså e 2 d = e 2 2 = 2 + 2 6 3! + e θ 8.! ) ( 2 + 2 6 d 6 }{{} approimationen + e θ2 8 d. 2 }{{} felet Den första integralen är enkel att beräkna och ger oss ett approimativt värde på den sökta integralen: ) ] ( 2 + 2 6 d = [ 3 6 3 + 5 7 = 2 3 + 2 = 26 35.73. Eftersom < e θ2 kan vi göra en uppskattning av storleken på felet e θ2 8 d 2 8 [ ] 9 2 d = = 9 2 26 < 2 = 5 3. Vi har alltså e 2 d =.73 ±.5.
6. (a) Se föreläsning Derivator del, s 8, eller Månsson & Nordbäck, Endimensionell analys, s. 23. (b) Den tid det tar för Pelle att simma sträckan s till Kajsa är t = s/(v v s ). Pelles energiförbrukning ges därför av v3 E(v) = kv 3 t = K, v > v s v v s där k och K = ks är konstanter. Derivering ger E (v) = K 3v2 (v v s ) v 3 (v v s ) 2 = Kv 2 2v 3v s (v v s ) 2 = v = 3v s 2. Studerar vi derivatans tecken för v > v s v 3v s 2 E (v) + E(v) 27Kv2 s så ser vi att E(v) antar sitt minsta värde för v = 3v s /2. Vi ser också att E(v) då v v + s. Att v = v s innebär ju att Pelle står still i förhållande till land och att han därför aldrig kommer fram till Kajsa trots att han simmar och förbrukar energi. Vidare har vi att E(v)/v då v. Kurvan y = E(v) har därför en lodrät asymptot v = v s men saknar sned asymptot. y v = v s y = E(v) v Figur 2: Kurvan y = E(v). Pelle bör alltså simma med en fart som är 5% större än strömmens fart för att vara så pigg som möjligt då han kommer fram till Kajsa. 5