PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA. 4.1 Kvadreringsreglerna. Kvadraten på en summa



Relevanta dokument
Har du förstått? I De här talen är primtal a) 29,49 och 61 b) 97, 83 och 89 c) 0, 2 och 3.

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

Motivet finns att beställa i följande storlekar

Sidor i boken , , 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Röd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA

Algebra, kvadreringsregler och konjugatregeln

8-1 Formler och uttryck. Namn:.

Manipulationer av algebraiska uttryck

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Sammanfattningar Matematikboken Z

Javisst! Uttrycken kan bli komplicerade, och för att få lite överblick över det hela så gör vi det så enkelt som möjligt för oss.

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..

Sidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid

NMCC Sigma 8. Täby Friskola 8 Spets

A B C D E. 2 Det står KANGAROO på mitt paraply. Du kan se det på bilden. A B C D E

Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Matematik och modeller Övningsuppgifter

1 RUM & KÖK 1 RUM & KÖK RÄTTVIS HYRA SÅ BERÄKNAR BOTKYRKABYGGEN DIN LÄGENHETS HYRA

Trepoängsproblem. Kängurutävlingen 2011 Cadet. 1 Vilket av följande uttryck har störst värde? 1 A: B: C: D: E: 2011

DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Problem Svar

8-3 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln. Namn:

Algebra och rationella uttryck

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.

26:e Städernas turnering, Våren 2005

ANDRA BASER ÄN TIO EXTRAMATERIAL TILL. Matematikens grunder. för lärare. Anders Månsson

Exempelsamling :: Vektorintro V0.95

INDUKTION OCH DEDUKTION

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

Vektorgeometri för gymnasister

Läxa 1 efter sidan 11

Konsten att bestämma arean

Explorativ övning 11 GEOMETRI

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet.

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

RödGrön-spelet Av: Jonas Hall. Högstadiet. Tid: minuter beroende på variant Material: TI-82/83/84 samt tärningar

Gemensam presentation av matematiskt område: Geometri Åldersgrupp: år 5

Snabbslumpade uppgifter från flera moment.

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

1Mer om tal. Mål. Grundkursen K 1

UPPGIFT 2 KVADRATVANDRING

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument

Ekvationssystem - Övningar

Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p.

Laboration: Att inhägna ett rektangulärt område

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1

Arbetsblad 3:1. Tolka uttryck. 1 Kajsa är a år gammal. Para ihop varje påstående med rätt uttryck.


Version Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Tillbyggnad av enbostadshus

Riksfinal. Del 1: 6 uppgifter Tid: 60 min Maxpoäng: 18 (3p/uppgift) OBS! Skriv varje uppgift på separat papper och lagets namn på samtliga papper.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version

PASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

205. Begrepp och metoder. Jacob Sjöström

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter

Ordlista 1A:1. siffra. tal. antal. räkneord. Dessa tio ord ska du träna. Öva orden

Lathund algebra och funktioner åk 9

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A VÅREN Tidsbunden del

Prov Antal uppgifter Uppgiftsnummer Rekommenderad provtid

Begrepp :: Determinanten

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x

Pernilla Falck Margareta Picetti Siw Elofsdotter Meijer. Matte. Safari. Direkt. Lärarhandledning. Andra upplagan, reviderade sidor

OBSERVERA ATT DETTA EXEMPELMATERIAL INTE MOTSVARAR ETT HELT KURSPROV I OMFATTNING OCH INNEHÅLL.

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

Inglasat uterum/inglasad balkong

Kängurutävlingen Matematikens Hopp 2001

och symmetri Ur det centrala innehållet Förmågor Problemlösning Metod

Upphämtningskurs i matematik

Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram

Lösningsförslag Cadet 2014

En skärgårdsdröm Ett gammalt sommarställe har efter en totalrenovering fått ett helt nytt uttryck och blivit ett sommarnöje för flera generationer.

Matematik CD för TB. tanv = motstående närliggande. tan34 = x 35. x = 35tan 34. x cosv = närliggande hypotenusan. cos40 = x 61.

Matematik 3000 kurs B

ALGEBRA OCH FUNKTIONER

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning

Känguru 2011 Student (gymnasiet åk 2 och 3)

Hanne Solem Görel Hydén Sätt in stöten! MATEMATIK

BEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6

Avdelning 1, trepoängsproblem

Jämställd tandreglering för barn och ungdomar mellan 3-19 år i Landstinget Kronoberg

Inledning...3. Kravgränser Provsammanställning...22

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

14. Potentialer och fält

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa

För att använda sifferkrypto använder man en rektangel om 5 gånger 6 bokstäver.

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

28 ALLT OM VILLOR & HUS

Transkript:

PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA 4.1 Kvadreringsreglerna Kvadraten på en summa Den finländska modellfamiljen med mamma, pappa och två barn äger ett kvadratformat hus. Här nedan i figur 4 har vi en planritning av huset. Figur 4. I vänstra delen av figur 4 ser vi att föräldrarnas rum är en kvadrat med sidan 5 m och tamburen en kvadrat med sidan 3 m. I högra delen av figur 5 har vi ersatt 5 m och 3 m med a respektive b. Vi bestämmer arean av hela huset genom att först bestämma areorna av de enskilda rummen i vänstra delen av figuren: Rum Arean av rummet i kvadratmeter Tambur 3 3=9 Kök 3 5=15 Barnkammare 5 3=15 Föräldrarnas rum 5 5=25 AREAN AV HELA HUSET 9 15 15 25=64 På ett annat sätt är arean av hela huset i kvadratmeter 3 5 3 5 = 3 5 2 =64=8 8.

Sedan bestämmer arean av hela huset genom att bestämma areorna av de enskilda rummen i högra delen av figuren. Nu änvänder vi bokstäver i stället för siffror. Rum Arean av rummet Tambur b b=b 2 Kök b a=ab Barnkammare a b=ab Föräldrarnas rum a a=a 2 AREAN AV HELA HUSET b 2 ab ab a 2 =a 2 2ab b 2 På ett annat sätt är arean av hela huset a b a b = a b 2. Härav följer nu att a b 2 =a 2 2ab b 2 något som vi kan bevisa algebraiskt på följande sätt: a b 2 = a b a b =a 2 ab ab b 2 =a 2 2ab b 2. Vi har härlett minnesregeln för kvadraten på en summa. a b 2 =a 2 2ab b 2 Kvadraten på en differens Föräldrarna i en annan finländsk modellfamilj i grannskapet konstaterade att deras kvadratiska hus med sidan 10 m hade blivit för stort för att barnen hade flyttat ut till en annan ort. Pappan i familjen tänkte göra huset mindre men ändå behålla det kvadratiskt för att sänka värmekostnaderna. Här nedan i figur 5 har vi en planritning av huset. De streckade linjerna föreställer husets ursprungliga storlek. Pappan lämnade endast föräldrarummet kvar.

Figur 5. I vänstra delen av figur 5 ser vi att föräldrarnas rum är en kvadrat med sidan 7 m och tamburen är en kvadrat med sidan 3m. Hela huset hade ursprungligen sidan 10 m. I högra delen av figur 5 har vi ersatt 10 m med a, 3 m med b och 7 m med a-b. Vi bestämmer arean av huset i vänstra delen av figuren efter att pappan gjorde det mindre genom att först bestämma arean av föräldrarnas rum i kvadratmeter: A=7 7=49. På ett annat sätt är arean av föräldrarnas rum i kvadratmeter 10 3 10 3 = 10 3 2 =49. Sedan bestämmer vi arean av föräldrarnas rum genom att använda högra delen av figur 5 och bokstäver i stället för siffror. Föräldrarnas rum har arean a b a b = a b 2 kvadrat med sidan a b. för att det är en Arean av föräldrarummet får vi också genom att först bestämma husets ursprungliga area. Den är a 2. Av den här arean subtraherar vi areorna av tamburen b 2, köket a b b=ab b 2 och barnkammaren a b b=ab b 2. Så är arean av föräldrarummet a 2 b 2 ab b 2 ab b 2 =a 2 b 2 ab b 2 ab b 2 =a 2 2ab b 2. Härav följer nu att a b 2 =a 2 2ab b 2 något som vi kan bevisa algebraiskt på följande sätt: a b 2 = a b a b =a 2 ab ba b 2 =a 2 2ab b 2. Vi har härlett minnesregeln för kvadraten på en differens. a b 2 =a 2 2ab b 2 4.2 Konjugatregeln Med hjälp av konjugatregeln kan vi beräkna produkten av en summa och en differens. Den utflyttade sonen i den finländska modellfamiljen bor i en studielägenhet. Planritningen av studielägenheten har vi i figur 6. Med hjälp av figuren bestämmer vi den sammanlagda arean av köket och vardagsrummet.

Figur 6. Vi får den sammanlagda arean av köket och vardagsrummet genom att bestämma arean av den kvadrat som innehåller vardagsrummet, köket och badrummet. Sedan subtraherar vi av den här arean ytan av badrummet. Alltså A VARDAGSRUM OCH KÖK =a 2 b 2. Ett annat sätt att beräkna den sammanlagda arean av köket och vardagsrummet är att vi först märker att areorna av köket och balkongen är lika stora. Båda två har arean a b b=ab b 2 Så får vi den sammanlagda arean av köket och vardagsrummet genom att addera areorna av vardagsrummet och balkongen. Vardagsrummet och balkongen bildar tillsammans en rektangel med sidorna a b och a b. Alltså A VARDAGSRUM OCH KÖK =A VARDAGSRUM A BALKONG = a b a b. Härav följer nu att a b a b =a 2 b 2 något som vi kan bevisa algebraiskt på följande sätt: a b a b =a 2 ab ba b 2 =a 2 b 2. Vi har härlett konjugatregeln. a b a b =a 2 b 2 4.3 Tilläpningar på minnesregler Minnesreglerna, alltså kvadreringsreglerna och konjugatregeln, bör vi kunna utantill. Av det kommer vi att ha en stor nytta i fortsättningen. Dessutom gäller det att kunna tillämpa smidigt minnesreglerna åt båda riktningarna. Vi utvecklar uttrycket x 2 2 då vi skriver det som ett

polynom utan parentes. Exempel 1. Skriv x 2 2 som polynom med hjälp av minnesregeln för kvadraten på en summa. Vi använder formeln a b 2 =a 2 2ab b 2. Nu är a= x och b=2. Så får vi x 2 2 =x 2 2 x 2 2 2 =x 2 4x 4. Har du förstått? I x 1 2 är lika med a) x 2 1 2 b) x 2 2x 1 c) 2x 2 1 Har du förstått? II 3x 2a 2 är lika med a) 3x 2 12xa 2a 2 b) 9x 2 12xa 4a 2 c) 3x 2 2a 2 Har du förstått? III x 5 2 är lika med a) x 2 10x 25 b) x 2 25 c) x 2 10 x 25 Exempel 2. Skriv x 2y 2 som polynom med hjälp av minnesregeln för kvadraten på en differens. Vi använder formeln a b 2 =a 2 2ab b 2. Nu är a= x och b=2y. Så får vi x 2y 2 =x 2 2 x 2y 2y 2 = x 2 4xy 4y 2 Har du förstått? IV 1 2 2 a är lika med a) 1 a2 4 b) 1 2 2 a =1 a c) a 2 a 1 4 Exempel 3. Skriv som polynom med hjälp av konjugatregeln. a) a 2 a 2 b) 2x 3 2x 3 c) Vi använder formeln a b a b =a 2 b 2 i alla punkter. I a)-punkten är a=a och b=2. Så är a 2 a 2 =a 2 2 2 =a 2 4. I b)-punkten är a=2x och b=3. Vi får 2x 3 2x 3 = 2x 2 3 2 =4x 2 9. I c)-punkten är a= och b=. Nu får vi = 2 2 = 2 2 2 2.

Har du förstått? V c d c d är lika med a) d 2 c 2 b) c 2 2cd d 2 c) c 2 d 2 Exempel 4. Skriv 1 3 a 1 2 1 3 a 1 som polynom. 2 Enligt konjugatregeln får vi 1 3 a 1 2 1 3 a 1 2 = 1 2 3 a 1 2= 2 a2 9 1 4. Har du förstått? VI 2 1 12 x 1 12 x är lika med a) 1 12 x 2 b) x 2 9 4 c) 1 1 4 x2 Exempel 5. Skriv x y y x som polynom. x y y x kan vi skriva på formen x y [ x y ]= x y [ 1 x y ]= 1 x y 2 Nu kan vi använda kvadreringsregeln. Vi får x y y x = x y 2 = x 2 2xy y 2 = x 2 2xy y 2 Har du förstått? VII 2 är lika med a) 2 b) 2 2 2 c) 2 2 Har du förstått? VIII 2 är lika med a) 2 b) 2 2 c) 2 2 2 Har du förstått? IX är lika med a) 2 2 b) c) 2 2 Har du förstått? X är lika med a) b) 2 2 2 2 2 c) 2 2 4.4 Begreppsfrågor IV

1. Vad avses med minnesreglerna? Räkna upp dem vid namn. 2. Hur kan man geometriskt bevisa kvadreringsreglerna? 3. Med vilken regel kan man beräkna produkten av en summa och en differens? 4. Ett polynom består av kvadraten på en variabel, kvadraten på en konstant och dubbla produkten av variabeln och konstanten. Ge ett exempel på ett sådant här polynom. Kan man kvadrera polynomet? 5. Vilken regel skall man använda då man vill skriva en differens som en produkt? 6. Hur har man använt minnesreglerna i räkneoperationen 16=25 9=5 2 3 3 =4 2 = 1 3 2 =1 2 2 1 3 3 1 = 6 2 2 =6 2 2 6 2 2 2 =16? 4.5 Uppgifter Skriv uttrycken i uppgifterna 1-4 som polynom. Förenkla uttrycken i uppgifterna 5-10. 1. a) e f 2 b) 5 x 2 c) 6 2 2 d) a y 2 e) x 7 2 f) 10 3 2 2. a) a 1 a 1 b) 2 z 2 z c) 2a 2 2a 2 d) hy ab hy ab 3. a) x 1,5 x 1,5 b) 1 2 a 1 4 1 2 a 1 4 c) a b b a 4. a) 2a 3 3b 2 2a 3 3b 2 b) 1,5 x 0,5 y 2 c) 1000 1 1000 1 5. a) a a b ab b) mn m n 5 c) x y x y 2x 2 y 2 6. a) 2x x x 2 x 2 b) 3m n m 3n 3 m n m n 7. a) m 2n 2 m 2 4n 2 b) 2m n 2 n 4m n c) 3a b 3a b 3a b 2 8. a) ab 2x 2 ab 2x 2 4abx b) 5ab xy xy 5ab xy 5ab 2 10 abxy 9. a) 3m 2 n 3 2 m 4 9n 6 10 m 4 n 6 b) ab 2 ab a 2 b ab a 2 b 2 ab 1 a 3 b 2 10.* Låt P a,b = a 2 b 2 a 2 b 2 a b a b 2ab b a a 2 b 2 a b 2 2. Bestäm värdet av P a,b då a) a=1,b= 1 b) a=b.