Om Riemannytor och algebraiska kurvor

Analys 360 En Webbaserad Analyskurs Riemannytor Om Riemannytor och algebraiska kurvor Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com

Om Riemannytor och algebraiska kurvor 1 (13) 1 Introduktion Att en funktion f : D D mellan två öppna delmängder av C är en bijektiv, holomorf funktion är något helt annat än att bara kräva att den är (oändligt) differentierbar. För det första blir inversen alltid holomorf utan ytterligare antaganden, för det andra gäller att den bevarar vinklar, är alltså konform. Detta betyder att om två kurvor i D skär varandra under en viss vinkel, så gäller att motsvarande kurvor i D skär varandra under samma vinkel, inkluderande orienteringen. Den komplexa strukturen definierar ju en kanonisk orientering i planet, nämligen moturs rotation. Dessutom gäller omvändningen om vinkeln (inklusive orientering) bevaras av f, så är f holomorf. När det finns en sådan funktion f mellan D och D säger vi att D och D är konformt ekvivalenta. Den fråga som studeras inom teorin för Riemannytor är i hur grad vi kan ersätta det komplexa talplanet med en mångfald så att vi alltjämt kan studera holomorfa funktioner på detta. Det innebär enkelt uttryckt att vi lokalt kan identifiera ytan med en delmängd av C, på ett sådant sätt att övergången från en sådan delmängd till en annan beskrivs av en holomorf funktion. Det som triggade intresset för det vi idag kallar Riemannytor var att förstå hur nollställesmängder till polynom i två komplexa variabler kan se. Olika polynom kan uppenbarligen definiera mängder som i varje intressant mening är lika, och Riemannytor blir ett sätt att identifiera och formulera denna gemenskap. I det här kapitlet ska vi bl.a. diskutera just sambandet mellan algebraiska nollställesmängder och Riemannytor, varigenom vi också får en koppling till den algebraiska geometrin (som vi dock inte ska följa upp in någon betydande utsträckning). 2 Riemannytor, projektiva rum och torusar En n-dimensionell topologisk mångfald är ett parakompakt Hausdorffrum X som lokalt ser ut som R n i den meningen att det finns en öppen övertäckning {U i } av X och homeomorfismer 1 kallade kartor eller koordinater h i : U i V i R n. Mångfalden får regularitet efter vilken regularitet som finns på funktionerna h ij = h i h 1 j : V i V j V i V j. Sålunda är t.ex. X en C mångfald om alla h ij C och om R n byts mot C n, så säges X vara en komplex mångfald om alla h ij är holomorfa d.v.s. differentialerna dh ij är komplex-linjära. En komplex mångfald är av nödvändighet orienterbar och av reell dimension 2n. Definition En sammanhängande, endimensionell, komplex mångfald kallas en Riemannyta. Följande exempel innehåller tre enkla, men viktiga, exempel på Riemannytor. Exempel 1 a) C med identitetsfunktionen som karta

Om Riemannytor och algebraiska kurvor 2 (13) b) Om vi utökar C med en punkt i oändligheten får vi den projektiva linjen PC 1, också kallad Riemannsfären. För att definiera den som abstrakt mångfald sätter vi U 1 = C och U 2 = (C \ {0}) { } och definierar h 1 (z) = z i U 1 och h 2 (z) = z 1 i U 2. Då är h 2 h 1 1 = z 1 i U 1 U 2 = C \ {0}. En konkret realisering av Riemannsfären är enhetssfären med stereografisk projektion från nordpolen på t.ex. tangentplanet i sydpolen nordpolen blir då den tillagda punkten i oändligheten. c) Torusen C/Γ, där Γ = Zω 1 + Zω 2, Im(ω 2 /ω 1 ) > 0, med kvottopologin, får en komplex struktur genom att man som kartor tar omvändningen till projektionern π : V U, där V C är öppen och inte innehåller två punkter som är ekvivalenta modulo Γ. Om h = h 2 h 1 1 och z h 1 (U 1 U 2 ) så gäller då att π(h(z)) = h 1 1 (z) = π(z), alltså h(z) z Γ, och därför är h(z) = z+ konstant på varje sammanhängande komponent av h 1 (U 1 U 2 ). Det är känt från topologin 2 att en kompakt orienterbar yta (2-dimensionell topologisk mångfald) är homeomorf med en sfär med g handtag. För att konstruera en sådan antar vi att g 1 och startar med en 4g-polygon P i C med hörn i a 1, b 1, a 1, b 1,..., a g, b g, a g, b g så ordnade att om vi identifierar a i med a i och b i med b i, så får vi en sfär S försedd med g handtag. Genom denna identifikation övergår alla hörn i en punkt o S och kanterna a i och b i övergår i slutna kurvor α i respektive β i som alla utgår ifrån o. Kurvan α 1 β 1 α1 1 β1 1... α g β g α 1 svarar mot randen till P och är därför homotop med en punkt. Nästa exempel visar att en sådan yta kan förses med en komplex struktur, vilket alltså gör den till en Riemannyta. g βg 1 β 1 2 α 1 α 1 2 β 1 β 2 α 1 1 α 2 β 1 1 Exempel 2 Vi ska nu definiera öppna mängder U 0, U 1,..., U g, U g+1,..., U 2g, U 2g+1

Om Riemannytor och algebraiska kurvor 3 (13) i S utifrån urbilder Ũi i P. Här ska o ligga enbart i U 0, U i skär endast α i, U g+i endast β i och U 2g+1 skär ingen av dessa vägar. Det följer att i P är (1) Ũ2g+1 sammanhängande, (2) Ũ i har två sammanhängande komponenter och (3) Ũ0 splittras upp i 4g sammanhängande komponenter. Härnäst ska vi konstruera kartor h i : V i U i. För i = 2g+1 kan vi identifera mängderna och låta h 2g+1 vara restriktionen av den kanoniska avbildningen P S. För i = 1,..., 2g låter vi V i vara cirkelskivor. Vi får h i om vi avbildar två halvor på de två sammanhängande komponenterna av Ũi. För i = 0 delar vi in en cirkelskiva av lämplig radie i 4g lika stora cirkelsektorer. Dessa har basvinkel φ = π/2g och komponenterna av Ũ0 har basvinkel (2g 1)φ, så vi kan sätta ihop h 0 från translationer och (2g 1)-potenser. Anmärkning För g 1 är den komplexa strukturen inte entydigt bestämd. Man kan visa att mängden av komplexa strukturer har en komplex parameter om g = 1 och 3g 3 komplexa parametrar om g 2. Dessa parameterrum kallas Teichmullerrum. Om X och Y är två komplexa mångfalder, så sägs en kontinuerlig funktion f : X Y vara holomorf om h 2 f h 1 1 är holomorf för alla val av holomorfa kartor h 1 och h 2 på X respektive Y ur de givna atlasarna. Vi identifierar X och Y om det finns någon biholomorf homeomorfism mellan dem. Som exempel visade Poincaré och Koebe att en enkelt sammanhängande 1D komplex mångfald måste vara holomorft ekvivalent med antingen C, Riemannsfären eller (den öppna) enhetsdisken D = {z; z < 1}. Av dessa är endast Riemannsfären kompakt utan rand, och det är kompakta Riemannytor utan rand vi ska intressera oss för. Exempel 3 Om X och Y är kompakta Riemannska ytor, så gäller att om det finns en biholomorf homeomorfism från X minus ändligt många punkter till Y minus ändligt många punkter, så är X och Y holomorft ekvivalenta. Detta följer av att då avbildningen är begränsad nära en undantagspunkt, så har den en hävbar singularitet i denna. Vi kan också notera att om f är en holomorf avbildning från en Riemannyta X till en annan Y sådan att q = f(p), så kan vi välja lokala koordinater runt p på X och q på Y sådana att funktionen i dessa kan skrivas f(z) = z k för heltal k 1. Vi har nämligen att f(z) = z k g(z) där g är holomorf och g 0 nära p, så vi kan skriva g = h k och sedan införa ny koordinat w = zh(z) på Y. En biholomorf bijektiv funktion f från X på sig själv kallas en konform automorfism på X. Om det dessutom gäller att f f = id kallas den en involution. De konforma automorfismerna på en Riemannyta X utgör uppenbarligen en grupp. Vi ska nu se hur exemplen ovan på ett naturligt sätt generaliseras till n dimensioner. Exempel 4 Det komplexa projektiva rummet PC n definieras som mängden av alla ekvivalensklasser i C n+1 \ 0 som man får om man identifierar två punkter som skiljer sig åt enbart på en skalär faktor. Dess topologi är kvottopologin och då denna definieras lika bra genom att vi identifierar antipodala punkter på den komplexa enhetssfären i C n+1 är det klart att PC n är kompakt. För ekvivalensklasser av punkter med z i 0 kan vi använda z ( z 1 z i,..., z i 1 z i, z i+1 z i,..., z n+1 z i )

Om Riemannytor och algebraiska kurvor 4 (13) som lokala koordinater, vilket ger PC n strukturen av en n-dimensionell komplex mångfald. Man kan uppfatta PC n som Cn plus ett hyperplan i oändligheten, eftersom PC n \ H Cn om H är ett hyperplan b, z = 0. Som exempel, då n = 2, låt U 2 = {[z 0 : z 1 : z 2 ]; z 0 0} och låt L = {[z 0 : z 1 : z 2 ]; z 0 = 0} vara linjen i oändligheten, så att PC 2 = U 2 L. Då gäller att linjen az 0 + bz 1 + cz 2 = 0 skär L i punkten [0 : c : b]; vi kan alltså tänka på PC 2 som unionen av det ändliga planet och en punkt tillagd för varje uppsättning parallella linjer. Anmärkning Betydelsen av de projektiva rummen ligger i att det är dem man försöker inbädda komplexa mångfalder i. Man kan nämligen inte inbädda en komplex mångfald holomorft i något C n det följer direkt ur maximumprincipen för Riemannytor och ur det endimensionella fallet i allmänhet. Den sista observationen i Exempel 4 är då viktig. Eftersom PC 2 har en reell dimension som är > 3, kan vi inte ge en direkt geometrisk representation av objekt i den. Som ersättning brukar man titta i det reella projektiva planet PR 2, vilket vi kan representera med enhetssfären S2 med antipoldala punkter identifierade. Kurvor på i PR 2 kan därför representeras som kurvor på S2 som är symmetriska m.a.p. origo. 3 Exempel 5 (Rationell kanonisk kurva) Betrakta f : P 1 C (t 0, t 1 ) (t n 0, t n 1 0 t 1,..., t n 1) P n C som naturligtvis blir holomorf. För n = 1 blir detta identitetsavbildningen, för n = 2 ser vi att vi får en parametrisering av z 0 z 2 z 2 1 = 0, vilken alltså utgör bilden av P 1 C under denna avbildning. I fallet n = 3 har vi en parametrisering av den algebraiska mängden V = {(z 0, z 1, z 2, z 3 ) : z 0 z 3 z 1 z 2 = 0, z 2 1 z 0 z 2 = 0, z 2 2 z 1 z 3 = 0}. Låt Γ vara ett gitter i ett 2n-dimensionellt vektorrum V över R, d.v.s. en additiv undergrupp som genereras av 2n linjärt oberoende vektorer. Då blir T = V/Γ en reell 2n-dimensionell torus; två olika val av gitter ger isomorfa torusar, eftersom vi kan välja basen för V så att T = R 2n /Z 2n. Om vi emellertid ger V strukturen av ett C-vektorrum, vilket ger T strukturen av en komplex torus, så blir situationen en annan, som nästa exempel visar. Exempel 6 En holomorf avbildning mellan två torusar T och T lyfts till en holomorf avbildning F : V V med F (Γ) Γ, vars differential är invariant under Γ, vilket, enligt maximumprincipen, betyder att den är konstant. T och T är därför isomorfa precis om det finns en icke-singulär linjär avbildning F sådan att F (Γ) = Γ. Genom att fixera en bas för Γ kan vi skriva Γ = ΩZ 2n, där Ω är en n 2n-matris som kallas för T :s periodmatris. Det är nu lätt att se att de komplexa torusarna T och T är ekvivalenta precis om det finns M GL(n, C) och N GL(2n, Z) sådana att Ω = MΩN; M kommer från den komplexlinjära avbildningen och N från basvalet för Γ. Genom att numrera basen för Γ lämpligt blir de n första kolonnerna i Ω linjärt oberoende över C och vi kan ta dessa som en bas för V. Detta ger periodmatrisen formen Ω = (I Ω 2 ), där Im Ω 2 är icke-singulär (notera att Γ är ett gitter precis om (Ω t, Ω t ) är icke-singulär) och två sådana ger isomorfa torusar precis om ( ) A B Ω 2 = (A + Ω 2 C) 1 (B + Ω 2 D), GL(2n, Z). C D

Om Riemannytor och algebraiska kurvor 5 (13) Speciellt ges en endimensionell komplex torus av en periodmatris ((1, τ), ) där Im τ 0 och (1, τ) och (1, τ ) ger isomorfa torusar precis om τ = a b + + dτ a b cτ där GL(2, Z). Ekvivalensklasserna av endimensionella torusar är därför i 1-1-korrespondens med övre halv- c d planet, kvotat med operationen av SL(2, Z), vilket är en endimensionell komplex mångfald som är isomorf med C. En isomorfism ges av j(τ) = 256(τ 2 τ + 1) 3 /τ 2 (τ 1) 2 - den elliptiska modularfunktionen. Vi går inte närmare in på denna 4, utan konstaterar bara att situationen i högre dimensioner är betydligt mer komplicerad då GL(2n, Z) inte opererar diskontinuerligt på rummet av komplexa n n-matriser med icke-singulär imaginärdel. 3 Funktioner och differentialformer på kompakta Riemannytor Vi ska nu studera funktioner på kompakta Riemannytor närmare. Sats 1 Låt X och Y vara Riemannytor med X kompakt, och låt f : X Y vara en icke-konstant holomorf avbildning. Då är Y kompakt och f är surjektiv. Bevis. Det är klart att f(x) är en sluten mängd. Men den är också öppen, eftersom vi har lokala koordinater så att f(z) = z k, där k 1, vilket betyder att f avbildar öppna mängder på öppna mängder. Följdsats På en kompakt Riemannyta X är varje holomorf funktion f : X C konstant. Följdsats (Liouvilles sats) Varje begränsad holomorf funktion f : C C är konstant. Bevis. Den kan fortsättas till en holomorf avbildning P 1 C C. Följdsats (Algebrans fundamentalsats) Om f är ett polynom på C, så har f minst ett nollställe Bevis. Vi kan utvidga f till en holomorf avbildning av PC 1 genom att sätta f( ) =. Satsen garanterar då att 0 f(c). Exempel 7 De konforma autmorfismerna på Riemannsfären PC 1 utgörs av Möbiustransformationerna g(z) = az + b cz + d, där koefficienterna är komplexa tal sådana att ad bc 0. Att dessa är konforma automorfismer är klart, och om vi har en annan kandidat f(z) så kan vi genom att multiplicera med en lämplig Möbiustransformation anta att f(0) = 0, f( ) =. Men då blir f(z)/z en begränsad holomorf funktion, och alltså enligt Liouvilles sats en konstant. f måste därför också vara en Möbiustransformation. En Möbiustransformation (som inte är identiteten) har antingen två fix-punkter eller en dubbel-fixpunkt, vilket följer av att dessa definierar en andragradsekvation. Om vi därför har en automorfism på PC 1 med tre olika fixpunkter, så är den identitetsavbildningen. Vi P 1 C

Om Riemannytor och algebraiska kurvor 6 (13) ser också att om g och h är två (icke-identiteter) Möbiusavbildningar som kommuterar, så måste g avbilda fixpunkterna för h på varandra och omvänt. Detta betyder att de två funktionerna har samma fixpunkter, alternativt att h byter de två fixpunkterna för g och g byter de två för h. Men då skulle g g och h h båda ha fyra fixpunkter och är alltså identitetsavbildningen. Som exempel tar vi g(z) = z som har fixpunkterna {0, } och h(z) = 1/z som har fixpunkterna {±1}. Den första följdsatsen till Sats 1 visar att det är ointressant att studera de holomorfa funktionerna på en kompakt Riemannyta. Detta leder oss till att istället studera de funktioner på X som ges i nästa definition. Definition Låt X vara en kompakt Riemannyta. f säges då vara en meromorf funktion på X, f M(X), om f är holomorf från X till Riemannsfären P 1 C. Intressanta exempel är de rationella funktionerna, speciellt polynom, vilka är de meromorfa funktionerna på PC 1, och de meromorfa funktionerna på komplexa torusar, vilka svarar mot de dubbelperiodiska, meromorfa funktionerna på C, vilka kallas de elliptiska funktionerna. Men vi ska inte bara studera meromorfa funktioner på en Riemannyta X, utan också olika typer av differentialformer. En 1-form på X kan lokalt skrivas (om z är en lokal koordinat och f, g C ) w = f(z)dz + g(z)d z. Om vi betecknar det linjära rummet av (C ) differentialformer på X med λ 1 (X) och det underrum som består av dem som kan skrivas f(z)dz med λ 1,0 (X), och det underrum som består av dem som kan skrivas g(z)d z med λ 0,1 (X), så har vi en uppdelning λ 1 (X) = λ 1,0 (X) λ 0,1 (X) Vidare har vi underrummet Ω(X) λ 1,0 (X) som består av de (1, 0)-former för vilka f är holomorf (i varje koordinatomgivning), vilka kallas de holomorfa 1-formerna på X. Observera att en holomorf form alltid är sluten. Om funktionen g = 0 och f är meromorf har vi en meromorf 1-form, i klassisk terminologi en abelsk differentialform av 3:e slaget 5, och rummet av sådana betecknar vi med M 1 (X). Exempel 8 1-formen dz på C definierar en 1-form på enhetssfären som saknar nollställen men har en pol av ordning 2 i eftersom d(1/z) = z 2 dz. På en torus C/Γ gäller att dz blir en 1-form som saknar såväl poler som nollställen. Om f är en meromorf funktion så blir fdz en 1-form och använder vi Sats 2 på den får vi att det inte kan finnas någon meromorf funktion på en torus med precis en pol av ordning 1. Vi kan nu översätta Cauchys integralsats till Riemannytor så att om U är en öppen delmängd av X med C 1 -rand och w är en holomorf 1-form i en omgivning av U, så gäller att w = 0. Detta ger omedelbart Sats 2 Summan av residyerna för en meromorf 1-form är noll. U

Om Riemannytor och algebraiska kurvor 7 (13) Bevis. Tag bort en ɛ-omgivning kring varje pol och låt U ɛ vara det som blir kvar av X. Eftersom w är holomorf i en omgivning av U ɛ, får vi att 0 = w = ( 2πi) summan av residyerna, U ɛ där sista likheten är den vanliga residyesatsen. Följdsats Varje icke-konstant meromorf funktion f antar varje värde lika många gånger (räknat med multiplicitet). Speciellt har den lika många nollställen som poler. Bevis. Specialfallet följer om vi använder satsen på w = df/f, och det allmänna påståendet sedan om vi ersätter f med f z där z C. Definition En meromorf funktion f på en Riemannyta X, som antar varje värde n gånger, kallas en n-överlagring (av PC 1 ). Om f(p) antas i en punkt p med multipliciteten > 1, säges p vara en förgreningspunkt till f. 4 Relationen mellan kompakta Riemannytor och algebraiska kurvor Teorin för kompakta Riemannytor är i lämplig mening ekvivalent med teorin för plana kurvor i den algebraiska geometrin. Vi ska nu titta närmare på denna ekvivalens. Med en plan kurva menar vi normalt nollställesmängden till ett polynom i två variabler, d.v.s. C : f(x, y) = 0, (x, y) C 2. För att få med oändligheten är det naturligt att istället för f studera det besläktade homogena polynomet F (z 0, z 1, z 2 ) = z n 0 f(z 1 /z 0, z 2 /z 0 ), där n är gradtalet på f. Vi får f från F genom f(x, y) = F (1, x, y). Eftersom F är homogen av grad n är dess nollställesmängd väldefinierad som en delmängd av PC 26 ; denna kallas för en plan algebraisk kurva av grad n och är kompakt. Eftersom koordinatomgivningen z 0 0 i PC 2 har lokala koordinater x = z 1/z 0, y = z 2 /z 0, är F :s nollställesmängd i PC 2 en naturlig utvidgning av kurvan C i C2 ; vi låter C beteckna också hela den algebraiska kurvan. Observera att C skär linjen z 0 = 0 i oändligheten i ett ändligt antal punkter. Dessa är de punkter vars homogena koordinater uppfyller F (0, z 1, z 2 ) = 0, d.v.s., om vi parametriserar linjen i oändligheten med z = z 2 /z 1, punkterna F (0, 1, z) = 0, vilket enligt algebrans fundamentalsats är n stycken, räknat med multiplicitet. Kurvan i PC 2 är därför en kompaktifiering av kurvan i det ändliga planet. Exempel 9 Exempelvis gäller att den algebraiska kurvan z 0 z 2 2 z 3 1 + z 2 0z 1 = 0 i P 2 C, som i området x 0 0har den affina ekvationen y 2 x 3 + x = 0, medan den den i det affina planet z 2 0 har vi ekvationen z = x 3 + z 2 x där z = z 0 /z 2, x = z 1 /z 2. De två kurvorna är ritade i samma plan nedan.

Om Riemannytor och algebraiska kurvor 8 (13) I detta läge är C endast en punktmängd. Vi vill nu konstruera en abstrakt Riemannyta X C till C som är sådan att C är en holomorf bild av denna i P 2 C. Exempel 10 Om Γ = Zω 1 + Zω 2 är ett gitter i det komplexa talplanet så definierade Weierstrass följande elliptiska funktion på torusen C/Γ: (z) = (z; Γ) = z 2 + ((z ω) 2 ω 2 ). ω Γ\0 För den gäller att (z) 2 = 4 (z) 3 g 2 (z) g 3, g 2 = 60 ω Γ\0 ω 4, g 3 = 140 ω Γ\0 ω 6, där tredjegradskurvan C : y 2 = 4x 3 g 2 x g 3 är irreducibel. Vi ser att z [1 : (z) : (z)] definierar en biholomorf avbildning C/Λ PC 2, vars bild är den projektiva kurvan Vi ska nu visa följande sats: y 2 z = 4x 3 g 2 xz 2 g 3 z 3. Sats 3 Till en godtycklig irreducibel algebraisk kurva C PC 2 finns en kompakt Riemannyta X och en holomorf avbildning σ : X PC 2 sådan att σ(x) = C och som är injektiv på den inversa bilden av icke-singulära punkter på C. Omvänt kan varje Riemannyta erhållas på detta sätt ur en plan algebraisk kurva vars värsta singulariteter är dubbelpunkter. För att bevisa detta betraktar vi först den del av C som ligger i det ändliga planet och antar att f är irreducibel. Antag att f(x, y) = a n (x)y n + a n 1 (x)y n 1 +... + a 0 (x), a i C[x]. Om vi antar att a n (x) 0 så gäller att vi kan skriva f(x, y) = a n (x) n (y α i (x)), 1 och f:s diskriminant är då (x) = i j(α i (x) α j (x)), som är ett polynom i x, ty högerledet är ett symmetriskt polynom i rötterna α i (x) och är därför ett polynom i a 0 (x),..., a n 1 (x). Låt D = {x C; a n (x) = 0 eller (x) = 0},

Om Riemannytor och algebraiska kurvor 9 (13) som uppenbarligen är en ändlig mängd. Om x 0 / D har polynomet f(x 0, y) n stycken olika nollställen y i. Speciellt gäller att y f(x 0, y i ) 0. Enligt implicita funktionssatsen finns därför n entydigt bestämda holomorfa funktioner α i (x) definierade i en omgivning U C \ D av x 0, sådana att α i (x 0 ) = y i och f(x, α i (x)) = 0 då x U. Detta ger kurvan {(x, y) C 2 ; f(x, y) = 0, x / D} en komplex struktur; en parametrisering kring (x 0, y i ) ges av (x, α i (x)). På samma sätt får vi en parametrisering kring en punkt (x, y) där a n (x) = 0, (x) 0. Vi ska så undersöka rötternas uppförande nära en punkt x 0 sådan att (x 0 ) = 0. Om vi startar i en punkt x nära x 0 med en rot α 1 och fortsätter den analytiskt runt x 0, kommer vi efter ett ändligt antal, säg k stycken (k n), steg att komma tillbaka till samma funktionselement i x. Detta delar in rötterna α 1 (x),..., α n (x) i olika klasser [α 1,..., α k ],..., [α m+1,..., α n ]. Skriv nu x = x 0 + t k. Då gäller uppenbarligen att α 1 (x 0 + t k ) blir en analytisk funktion av t i en punkterad omgivning av t = 0. Den har därför en hävbar singularitet i t = 0 och det följer att t (x 0 + t k, α 1 (x 0 + t k )) definierar en komplex struktur på k grenar av f(x, y) = 0 ovanför x 0. Vi kan därför ge också en omgivning av x 0 strukturen av en n-överlagring, fast med förgreningspunkt ovanför x 0. Mer analytiskt har vi en Puiseux-serie α(x) = a j (x x 0 ) j/k 0 som sammanfattar uppförandet invid x 0 av k rötter α 1,..., α k. (En funktion α(x) som uppfyller f(x, α(x)) = 0 för ett polynom f kallas en algebraisk funktion en sådan kan alltså alltid utvecklas i en Puiseuxs-serie.) Vi gör sedan analoga konstruktioner i de andra koordinatomgivningarna i PC 2. De komplexa strukturerna kommer att överensstämma i skärningarna. För att se detta, låt X 1 och X 2 vara två ytor i en sådan skärning. Vi har då en biholomorf avbildning från X 1 minus förgreningspunkter till X 2 minus förgreningspunkter, och liksom i Exempel 3 kan denna utvidgas till en biholomorf avbildning från X 1 till X 2. Anmärkning Om C är en plan algebraisk kurva av grad n så kan vi välja koordinatsystem i PC 2 så att C har en affin ekvation på formen f(x, y) = y n + a 1 (x)y n 1 +... + a n (x) = 0 där a j C[x] (och har grad högst j). Weierstrass preparation theorem säger att om f(x, y) är holomorf och f(0, y) inte identiskt noll, så finns en omgivning av (0, 0) sådan att f(x, y) på precis ett sätt kan skrivas f(x, y) = u(x, y)w(x, y), där w(x, y) är ett polynom av denna form sådant att a j (0) = 0 för alla j, och u(x, y) är holomorf och sådan att u(0, 0) 0. Vi har sett att det till varje plan algebraisk kurva C svarar endimensionell komplex mångfald X C. Vi ska snart se att X C är sammanhängande om C är irreducibel. Men

Om Riemannytor och algebraiska kurvor 10 (13) innan dess, låt oss titta närmare på konstruktionen i fallet f(x, y) = y 2 p(x), där p(x) är ett polynom. Ovanför PC 1 har vi då två blad, så att det över en punkt x på sfären ligger två punkter (x, y) där y 2 = p(x) och p:s nollställen identifierar de två bladen. När x går runt en sådan förgreningspunkt i bassfären, går bilden från ett blad till ett annat (så om vi går två varv i bassfären så kommer vi tillbaka till startpunkten). För att få en sådan mångfald skär vi upp C mellan nollställena (och om p är av udda gradtal) och klistrar sedan ihop två upplagor av C längs dessa 7. Vi ska nu visa omvändningen till ovanstående: att varje kompakt Riemannyta kan fås på detta sätt ur en plan kurva. Vi förbereder med ett lemma. Lemma 1 Låt X vara en kompakt Riemannyta, x M(X) en m-överlagring och y M(X) en n-överlagring. Då finns ett irreducibelt polynom f(ξ, η) av grad högst n i ξ och m i η sådant att f(x, y) = 0. Bevis. Vi börjar med att visa att y löser en ekvation av grad m vars koefficienter är rationella funktioner av x. Låt D vara mängden som består av bilderna till förgreningspunkterna till x samt. Om U är en öppen mängd i komplementet till D så gäller att x 1 (U) = V 1... V m. Låt π i : U V i vara inversen till x Vi och sätt y i = y π i. Definierar vi c k = ( 1) k s k (y 1,..., y m ), där s k är den k:te elementarsymmetriska funktionen i n variabler, så får vi en samling holomorfa funktioner på PC 1 \ D. Låt nu a D ha urbilderna b 1,..., b s och låt z vara en lokal koordinat kring a med z(a) = 0. Sätt φ = z x. Då kan vi ta k så stor att φ k y blir holomorf i en omgivning av varje b k och motsvarande elementarsymmetriska funktion är z ki c i (z), som har en hävbar singularitet i z = a. Upprepas detta för alla punkter i D följer att c k :na är meromorfa funktioner på PC 1, alltså rationella sådana som löser ekvationen y m + c 1 (x)y m 1 +... + c m (x) = 0. Minimalekvationen mellan x och y blir därför högst av grad m i y och av symmetriskäl måse den ha högst grad n i x. Om f är minimalpolynomet och vi skriver det som f = f 1 f 2, så ska vi visa att t.ex. f 2 är en konstant. För detta tar vi en punkt a på X och låter U vara en koordinatomgivning till a. Eftersom f(x, y) = 0 i U, följer att f 1 (x, y) = 0 i U. Genom analytisk fortsättning följer att f 1 (x, y) = 0 på hela X, vilket motsäger att f är minimalpolynom om inte f 2 är konstant. Alltså är f irreducibelt, vilket visar lemmat. Följdsats M(X) är en ändlig algebraisk utvidgning av en enkel transcendental utvidgning av C. Bevis. Låt x M(X) vara en icke-konstant n-överlagring. Då är varje meromorf funktion på X av algebraisk grad högst n över C(x) enligt Lemma 1. Det följer ur teorin för kroppar att M(X) är algebraisk av grad högst n över C(x). Följdsatsen innebär att det finns två meromorfa funktioner x och y på X sådana att varje meromorf funktion på X fås som en rationell funktion av dessa, d.v.s. M(X) = C(x, y). Enligt Lemma 1 finns ett irreducibelt polynom f sådant att f(x, y) = 0. Låt C vara motsvarande kurva i PC 2. Vi har då följande hjälpsats.

Om Riemannytor och algebraiska kurvor 11 (13) Lemma 2 Det finns en kanonisk holomorf homeomorfism mellan X och X C. Bevis. Låt D vara de punkter på X där x eller y har en pol och betrakta avbildningen X \ D p [1, x(p), y(p)] C P 2 C. Denna lyfts till en holomorf avbildning X \ D X C \ (ändligt många punkter) som kan utvidgas till en holomorf avbildning X X C. De meromorfa funktionerna på X separerar punkter (se Riemann-Rochs sats i nästa kapitel) och då x och y genererar alla meromorfa funktioner, måste också x och y separera punkter, varför avbildningen är injektiv. Sats 1 ger nu resultatet. Följdsats Två Riemannytor är holomorft ekvivalenta precis om deras kroppar av meromorfa funktioner är isomorfa som abstrakta kroppar. Bevis. Om två ytor har isomorfa funktionskroppar kan man finna generatorer till dessa som satisfierar samma irreducibla polynomekvation och resultet följer ur lemmat. Att studera kompakta Riemannytor är alltså ekvivalent med att studera algebraiska funktionskroppar i en variabel över C eller med studiet av algebraiska plana kurvor. Ekvivalensbegreppet för funktionskroppar är just isomorfism som abstrakta kroppar, medan det är lite mer komplicerat för kurvor. Två plana kurvor C och C sägs vara birationellt ekvivalenta om det finns en biholomorf avbildning mellan C minus ändligt många punkter och C minus ändligt många punkter. Vi ger nu en sammanfattning av diskussionen ovan om sambandet mellan plana kurvor och Riemannytor. Sats 4 Varje plan algebraisk kurva är birationellt ekvivalent med en kompakt Riemannyta och omvänt. Birationellt ekvivalenta kurvor svarar mot samma Riemannyta (d.v.s. holomorft ekvivalenta ytor). Vi avslutar så detta kapitel med en beskrivning av de holomorfa 1-formerna på en algebraisk kurva (eller snarare tillhörande Riemannyta). Exempel 11 Låt C : f(x, y) = 0 vara en algebraisk n-tegradskurva. Vi vill då hitta uttryck för de holomorfa 1-formerna på X C. Vi betraktar först den del av kurvan som ligger i det ändliga planet. Utanför singulära punkter på C kan vi då använda antingen x eller y som koordinater, och vi vet att df = 1 dx = 2 dy = 0. I ett område där vi kan använda x som parameter definierar vi ω = g(x, y)dx 2 f(x, y), där g är ett polynom av grad m. För att denna ska kunna definiera en holomorf 1-form ska den kunna skrivas på formen adx + bdy, där a, b är polynom. Vi har att ω = adx + bdy = g(a 2 f b 1 f)ω, så villkoret är att det ska finnas polynom a, b sådana att a 2 f b 1 f = 1, vilket gäller om f är en icke-singulär kurva.

Om Riemannytor och algebraiska kurvor 12 (13) Vi måste så se när denna 1-form har en pol i oändligheten. För detta gör vi transformationen transformationen y = 1/v, x = u/v: g(x, y)dy ω = 1 f(x, y) = g(u/v, 1/v) 1 f(u/v, 1/v) dv/v2 m (n 1) 2 g(u, v)dv = v. 1 f(u, v) Vi ser att ω har en pol av ordning m (n 1) 2 i v = 0, så för att ω ska vara holomorf måste m n 3. Med andra ord En holomorf 1-form på Riemannytan X C till kurvan C : f(x, y) = 0 måste har formen g(x, y)dx ω = 2 f(x, y) där g(x, y) är ett polynom av grad högst n 3. Om C är icke-singulär är dessa differentialformer holomorfa. Vi ser att om n = 2 finns inga sådana former, vilket stämmer med våra gjorda observationer att då är Riemannytan lika med Riemannsfären. För kubiska kurvor finns endast en aktuell form, ω = dx/ 2 f(x, y), och denna är holomorf då och endast då kurvan är icke-singulär. Eftersom dimensionen av rummet av polynom i 2 variabler av grad högst d är 1 + 2 +... + d + (d + 1) = (d + 1)(d + 2) 2 följer speciellt att (n 1)(n 2) dim Ω(X C ) 2 med likhet precis om C är icke-singulär (observera att dx/ 2 f = dy/ 1 f på C). De polynom p(x, y) som förekommer i exemplet kallas de adjunkta polynomen till f(x, y) och motsvarande nollställesmängd kallas de adjunkta kurvorna till C (i den vanliga utvidgade betydelsen av adjunkt polynom krävs bara att ω i exemple ska vara holomorf på den ändliga delen av C, alltså ingen inskränkning på gradtalet av p). Om f endast har singulariteter som är ordinära multipel i punkter p av ordning r p (d.v.s. det finns r p olika tangenter i punkten p till kurvan C) så inses att de adjunkta polynomen är precis de som har ett nollställe av ordning r p 1 i dessa punkter. Det följer att i detta fall gäller att dim Ω(X C ) = (n 1)(n 2) 2 p r p (r p 1). 2 Noteringar 1. D.v.s. bijektiva och bikontinuerliga funktioner 2. Se kapitlet Om triangulering av ytor och Eulerkarakteristiken 3. Man förenklar ofta denna bild genom att klippa upp sfären efter en storcirkel och platta ut ena halvan. Man representerar då den del av S 2 som finns i en oktant som en triangel i planet:

Om Riemannytor och algebraiska kurvor 13 (13) välj tre punkter a 1, a 2, a 3 i planet och rita triangeln. Punkten (t 0, t 1, t 2 ) i PR 2 representeras nu genom sina barycentriska koordinater (t 0 /(t 0 + t 1 + t 2 ), t 1 /(t 0 + t 1 + t 2 ), t 2 /(t 0 + t 1 + t 2 )) (vilket svarar mot att vi klippte upp enhetscirkeln längs storcirkeln t 0 + t 1 + t 2 = 0 och sedan plattar till resultatet). 4. Se t.ex. Elliptiska funktioner enligt Weierstrass. 5. En abelsk differentialform av 1:a slaget är detsamma som en holomorf 1-form, och en abelsk differentialform av 2:a slaget är en meromorf 1-form vars residyer alla är noll. 6. Däremot är det inte meningsfullt att tala om andra värden av F, eftersom F (cx, cy, cz) = c n F (x, y, z) 7. Se t.ex. Vad är Riemannytor och vad är de bra till