Reglerteknik M3, 5p Tentamen 2008-08-27 Tid: 08:30 12:30 Lokal: M-huset Kurskod: ERE031/ERE032/ERE033 Lärare: Knut Åkesson, tel 0701-749525 Läraren besöker tentamenssalen vid två tillfällen för att svara på eventuella frågor. Detta sker normalt sett en timme efter tentamensstart samt en timme före tentamens slut. Tentamen omfattar totalt 30 poäng, där betyg tre fordrar 12 poäng, betyg fyra 18 poäng och betyg fem 24 poäng. Lösningar och svar till alla uppgifter ska vara tydligt motiverade. Lösningsförslag till tentamen anslås på kurshemsidan senast första arbetsdagen efter tentamenstillfället. Tentamenresultat anslås senast den 10 september kl 12.30 på avdelningens anslagstavla. Granskning av rättning sker den 10 september samt den 11 september kl 12.30 13.00 på avdelningen. Uppgift 7 får enbart lösas av de som tenterar ERE031 och uppgift 8 får enbart lösas av de som tenterar ERE032 eller ERE033. Ange tydligt på tentamensomslaget vilken kurs du tenterar. Om du lämnar in lösning på både uppgift 7 och 8 så får automatiskt noll poäng på båda! Tillåtna hjälpmedel: Reglerteknik M3 - Formelsamling Bodediagram Beta och Physics handbook, Standard Mathematical Tables, TEFYMA Chalmersgodkänd räknare alternativt valfri kalkylator med rensat minne, ej handdator.
1 Betrakta det återkopplade systemet nedan. r + e regulator F(s) u process G(s) y Låt och G(s) = F(s) = K p s 2 (s + a)(s + b). En viktig egenskap hos återkoppling är att man kan stabilisera ett instabilt system, men det är viktigt att komma ihåg att återkoppling också kan göra ett stabilt system instabilt. a) Bestäm K p, a och b så att kretsöverföringen L(s) = F(s)G(s) är instabil men det återkopplade systemet är stabilt. Det räcker att svara med ett numeriskt värde på K p, a och b men ditt förslag måste motiveras. (2p) b) Bestäm K p, a och b så att kretsöverföringen L(s) = F(s)G(s) är stabil men det återkopplade systemet är instabilt. Det räcker att svara med ett numeriskt värde på K p, a och b men ditt förslag måste motiveras. (1p) c) Låt a = b = 1. Avgör om det med en P-regulator går att få ett stabilt återkopplat system. (2p) 1
2 Betrakta det återkopplade systemet nedan. r + e regulator F(s) u process G(s) y Låt processen vara G(s) = 2 s + 1 e 2s. a) Bestäm en PI-regulator F(s) = K p (1 + 1 T i s ) genom att beräkna regulatorparametrar enligt Ziegler-Nichols självsvängningsmetod. Ziegler-Nichols självsvängningsmetod gick ut på att vi ställde in en ren P-regulator och sedan ökade förstärkningen i regulatorn tills systemet precis började självsvänga. Den på detta sätt erhållna regulatorförstärkningen kallas K 0 och den erhållna svängningsperioden T 0. Enligt Ziegler-Nichols regler ska K p = 0.45K 0 och T i = 0.85T 0. (2p) b) Bestäm en PI-regulator så att kretsöverföringen L(s) = F(s)G(s) har överkorsningsfrekvensen ω c = 0.8 och det återkopplade systemet har fasmarginlen ϕ m = 45. (3p) 2
3 Följande uppgift handlar om att beräkna en approximativ linjär modell med hjälp av experimentella data. Traditionella kullager kan förbättras genom att kombinera magnetism och reglerteknik. Genom att styra magnetfältet runt en roterande axel så är det kan man se till att axeln aldrig vidrör magneterna, på detta sätt blir axelfriktionen helt försumbar. Vi ska titta på en förenklad variant av detta problem där det gäller att få en metallkula att sväva i på en viss höjd genom att reglera magnetfältet som påverkar kulan. Den förenklade modellen visas i figuren nedan. i x Kulans rörelse beskrivs med hjälp av Newton s lag mẍ = f m (x,i) mg där kraften f m är orsakad av det elektromagnetiska fältet, vilket i sin tur bestäms av strömmen, i, och avståndet till kulan x. Kraften f m är inte enkel att bestämma teoretiskt men går relativt enkelt att mäta experimentellt. 3
I figuren nedan så visas hur kraften f m beror på avståndet x för tre olika strömmar i 1,i 2 och i 3. f m (10 3 N) 200 160 120 80 i 1 = 700 ma i 2 = 600 ma i 3 = 500 ma 40 1 2 3 4 5 6 7 x (mm) En approximativ linjär modell runt en arbetspunkt (x 0,i 0 ) för hur kraften f m beror på avståndet x = x 0 + δx och strömmen i = i 0 + δi ges av f m (x 0 + δx,i 0 + δi) f m (x 0,i 0 ) + c x δx + c i δi Vi ska beräkna en jämviktspunkt för kulan. Antag att strömmen är 600 ma och kulan väger 8.4 10 3 kg. Bestäm en approximativ linjär modell runt arbetspunkten, dvs bestäm konstanterna c x och c i i den approximativa linjära modellen ovan. (3p) 4
4 I en artikel från 1922 studerade den rysk-amerikanske forskaren Minorsky riktningsstyrning av fartyg. Modellen som användes för att beskriva ett fartyg för en given hastighet var J d2 θ(t) dt 2 + D dθ(t) dt = Kδ(t) + M d (t) där θ(t) är bäringen, δ(t) är roderutslaget och M d (t) beskriver störande moment pga vågor, strömmar och vind, se figuren nedan. δ θ Genom att mäta bäringen kunde man använda en regulator för att automatiskt ställa ut lämpliga roderutslag. I artikeln gjordes också en indelning av regulatorer i olika klasser enligt nedan. I. δ(t) = k 1 θ(t) k 2 dθ(t) dt k 3 d 2 θ(t) dt 2 II. dδ(t) dt = k 1 θ(t) k 2 dθ(t) dt k 3 d 2 θ(t) dt 2 III. d 2 δ(t) dt = k 1 θ(t) k 2 dθ(t) dt k 3 d 2 θ(t) dt 2 5
a) Rita ett blockdiagram över det återkopplade systemet ovan. Representera regulatordynamiken med ett block och fartygsdynamiken med ett block. Du behöver inte ange hur överföringsfunktionerna ser ut men det ska klart framgå vad som är in- resp. utsignal från varje block. Glöm inte att ange var processtörningen kommer in i blockdiagramet. (2p) b) För lastfartyget M/S Kongo bestämdes parametrarna K = 0.0016 Hz2 J och D = 0.0059 Hz. Använd en regulator av typ I för att styra fartyget. J Sätt k 3 = 0 och bestäm k 1 och k 2 så att det återkopplade systemet får det karaktäristiska polynomet s 2 + 0.028s + 0.0004. (2p) c) Vilken av regulatorklasserna ovan svarar mot det som vi idag kallar en PID-regulator? Motivera! (2p) 6
5 Du har konstruerat ett aktivt stötdämparsystem för en bil. Det går ut på att ersätta fjädrarna och stötdämparna i bilen med ett hydraulservo, vilket ger lagom kraft nedåt för att hålla bilen upprätt och göra färden komfortabel. Kraften i servot regleras av en regulator, som mäter den aktuella höjden h på fjädringen och försöker hålla den konstant kring referensvärdet (som sätts till 0). Bilen och det aktiva stötdämparsystemet ses i figuren nedan. h Hydraulservot beskrivs av och bilen beskrivs av G servo (s) = 1 s/10 + 1 G bil (s) = 1 s + 1. Regulatorn F(s) ges av F(s) = 2( 3 s + 1) Vägens höjdförändringar kan ses som en laststörning d på processen G servo (s). a) För att förbättra egenskaperna på ojämna vägar har en laseravståndsmätare installerats längst fram på bilen, se figuren nedan. F f (s) d F(s) + + u G servo (s) + + G bil (s) h 1 7
Denna mätare gör att vi kan mäta störningen d innan den slår igenom i bilen, vilket gör att vi kan konstruera en framkoppling F f (s). Hur skall F f (s) väljas för att störningen inte skall synas alls i utsignalen h? (2p) b) I själva verket fungerar lasermätningen så bra att den mäter störningen d 0.1 sekunder innan den slår igenom i bilen. Blockschemat förändras nu till följande F f (s) d e 0.1s F(s) + + u G servo (s) + + f G bil (s) h 1 Hur ska kompenseringen F f (s) ändras så att störningen d återigen inte slår igenom i utsignalen h? (1p) c) Antag att F f (s) inte ändras som i b) utan förblir som i a). Varför kommer en störning med frekvensen ω = π att påverka bilen extra 0.1 mycket? (2p) 8
6 Det mekaniska systemet nedan består av två massor M 1 och M 2, två viskösa dämpare med dämpkonstaner b 1 och b 2, en fjäder med fjäderkonstant k samt en pålagd kraft r(t). För det mekaniska systemet betecknar v 1 och v 2 hastigheterna för de två massorna. b 1 k M 2 v 2 (t) b 2 M 1 v 1 (t) r(t) Betrakta det mekaniska systemet och bestäm överföringsfunktionen från kraften r till hastigheten v 1. (3p) 9
7 OBS! Denna uppgift får enbart lösas av de som tenterar ERE031! Den elektriska kretsen nedan har en strömgenerator som genererar strömmen r(t). R 1 och R 2 är två resistanser, C 1 och C 2 är två kapacitanser och L en induktans. För den elektriska kretsen betecknar v 1 (t) och v 2 (t) två spänningar. v 1 (t) R 1 v 2 (t) r(t) C 1 R 2 C 2 L Bestäm överföringsfunktionen från strömmen r till spänningen v 1. (3p) 10
8 OBS! Denna uppgift får enbart lösas av de som tenterar ERE032 eller ERE033! En periodisk signal som är tillräckligt snäll (formellt sett är kravet att signalen ska vara kvadratiskt integrerbar men det kan vi lämna därhän just nu) kan skrivas som en summa och sinus och cosinusfunktioner med olika frekvens och amplitud. Låt signalen beskrivas av funktionen f och låt f vara periodisk med perioden 2π. Det är då möjligt att skriva funktionen på följande sätt. f(t) = a 0 2 + a n cos(nt) + n=1 b n sin(nt) Härled uttrycken för hur a n (n 0) och b n (n 1) kan beräknas givet funktionen f. n=1 Ledning: π π cos(mt) sin(nt) dt = 0 för alla heltal m,n (3p) Lycka Till! 11
Lösningsförslag 1 Låt L(s) = F(s)G(s), vilket medför att L(s) = K p s 2 (s + a)(s + b). G ry (s) = L(s) 1+L(s) vilket innebär att polerna för G ry(s) ges av lösningarna till 1 + L(s) = 0, dvs: (s + a)(s + b) + K p (s 2) = 0. s 2 + (a + b + K p )s + ab 2K p = 0 För att avgöra när alla polerna ligger i vänster halvplan, dvs är stabila, kan vi använda oss av Routh-Hurwitz kriterium. s 2 1 ab 2K p s 1 a + b + K p 0 s 0 ab 2K p 0 G ry (s) är stabilt då samtliga element i första kolumnen är större än noll, vilket medför följande stabilitetsvillkor: { a + b + Kp > 0 ab 2K p > 0 a) Krav: L instabil och G ry stabil. Det finns många möjligheter men exempelvis medför valet a = 1 och b = 10 att vi får följande villkor för stabilitet hos G ry { Kp > 9 K p < 5 Vilket innebär att exempelvis K p = 6 medför att L blir instabil samtidigt som G ry blir stabil, dvs en möjlig lösning är a = 1 b = 10 = 6 K p 12
b) Krav: L stabil och G ry instabil. Det finns många möjligheter men exempelvis medför valet a = 1 och b = 1 att vi får följande villkor för stabilitet hos G ry { Kp > 2 K p < 1 2 Vilket innebär att exempelvis K p = 1 medför att L blir stabil samtidigt som G ry blir instabil, dvs en möjlig lösning är a = 1 b = 1 K p = 1 c) a = b = 1 medför följande villkor för stabilitet hos G ry { Kp > 2 K p < 1 2 Detta är motstridiga krav vilket medför att det inte är möjligt att stabilisera en process med en P-regulator för dessa värden på a och b. 2 a) G(jω) = 2 1 + ω 2 arg G(jω) = 2ω 180 π arctan(ω) ω π : arg G(jω π ) = 180 = 2ω π 180 π arctan(ω π) = 180 Lös numeriskt eller med hjälp av Bodediagram = ω π 1.14. A m = 1 G(jω π ) { K0 = A 0.76 = m 0.76 T 0 = 2π ω π 5.49 = = F PI (s) = 0.34(1 + 1 4.67s ) 13 { Kp = 0.45K 0 0.34 T i = 0.85T 0 4.67
b) ω c = 0.8, ϕ m = 45. F(jω) = L(jω) G(jω), L(s) = F(s)G(s) = arg F(jω) = arg L(jω) arg G(jω) { L(jωc ) = 1 arg L(jω c ) = 180 + 45 = 135 G(jω c ) = 2 1 + 0.8 2 1.56, arg G(jω c) 130 = 1 F(jω c ) = G(jω c ) 0.64 arg F(jω c ) = 135 ( 130 ) = 5 F PI (s) = K p (1 + 1 T i s ) = K 1 + T i s p T i s = arg F PI (jω) = 90 arctan(t i ω) F PI (jω) = K p 1 + (Ti ω) 2 T i ω arg F PI (jω c ) = 5 = T i 14.3. F(jω c ) 0.64 T i =14.3 = K p 0.64. Regulatorns överföringsfunktion blir därför F PI (s) = 0.64(1 + 1 14.3s ). 14
3 Kulans tyngdkraft är 8.4 10 3 9.81 0.0824 N. Ur figuren ser vi (för kurvan i 2 ) att då den elektromagnetiska kraften är lika stor som kulans tyngdkraft så är avståndet till kulan ca. 2.7 mm. c x = f m x (110 40) 10 3 (5 0) 10 3 14 N/m c i = f m i (120 40) 10 3 0.4 N/A (700 500) 10 3 Dvs runt arbetspunkten (x 0,i 0 ) = (2.7 10 3 m, 600 10 3 A) gäller att f m 0.0824 + 14δx + 0.4δi 4 δ = k 1 θ k 2 θ k3 θ M d δ K + + J θ + D θ = Kδ + M θ d a) b) { J θ + D θ = Kδ + Md (Process) δ = k 1 θ k 2 θ k3 θ (Regulator) Låt k 3 = 0 och sätt in ekvationen för regulatorn in i ekvationen för processen. J θ + D θ = K( k 1 θ k 2 θ) + Md 15
Välj polerna så att θ(s) M d (s) = 1 s 2 + ( D+Kk 2)s + Kk 1 J J Efter D J och K J c) Vi har att s 2 + ( D + Kk 2 )s + Kk 1 J J = s2 + 0.028s + 0.0004. är kända så får vi att { k1 = 0.25 k 2 = 14 F PID (s) = K p + K i s + K ds = K ds s + K p s + K i s Laplacetransformera typ II regualatorn. sδ(s) = k 1 θ(s) k 2 sθ(s) k 3 s 2 θ(s) Detta innebär att överföringsfunktionen för typ II regulatorn ges av F II (s) = k 1 k 2 s k 3 s 2. s Dvs, typ II regulatorn är en PID-regulator. 5 a) Vi vill att överföringsfunktionen frå störningen d till höjden h ska vara 0. G dh (s) = (F f(s)g servo (s) + 1)G bil (s) 1 + F(s)G servo (s)g bil (s) G dh (s) = 0 då F f (s)g servo (s) + 1 = 0. Vi kan lösa ut F f (s) som 1 F f (s) = = (s/10 + 1) G servo (s) Eftersom F f (s) är stabil så går den bra att implementera. 16
b) I detta fall är c) Vi får att G dh (s) = (F f(s)g servo (s) + e 0.1s )G bil (s) 1 + F(s)G servo (s)g bil (s) e 0.1s F f (s) = = (s/10 + 1) G servo (s) Dvs det enda som vi behöver göra i detta fall är att fördröja framkopplingen 0.1 tidsenheter. 1 G df (s) = (s/10 + 1) s/10 + 1 + e 0.1s = 1 + e 0.1s Titta nu på förstärkningen, dvs G df (jω) = 1 + e 0.1jω 1 + e 0.1jω = 2. För ω = π gäller att G 0.1 df(j π ) = 1 + 0.1 e πj = 2. Därför får vi att vi vi denna frekvens får en maximal förstärkning av störningen. Den maximala förstärkningen är 2 ggr. 6 Frilägg massorna och ställ upp balansekvationer. b 1 v 1 (t) b 2 (v 1 (t) v 2 (t)) k t 0 v 2(t)dt M 1 M 2 r(t) b 2 (v 1 (t) v 2 (t)) { M1 sv 1 (s) = R(s) b 1 V 1 (s) b 2 (V 1 (s) V 2 (s)) M 2 sv 2 (s) = b 2 (V 1 (s) V 2 (s)) k V 2(s) s 17
Lös ut V 2 ur den andra ekvationen och sätt in i den första. Detta leder efter förenkling till V 1 (s) R(s) = M 2 s 2 + b 2 s + k (M 1 s + b 1 + b 2 )(M 2 s 2 + b 2 s + k) b 2 2s 7 Introducera strömmar enligt följande figur. r(t) R 2 R 1 v 1 (t) v 2 (t) i 1 (t) i 2 (t) i 3 (t) i 4 (t) C 1 C 2 L Använd kirchoffs 1:a och 2:a lag för att ställa upp följande samband V 2 (s) = sli 4 (s) = 1 sc 2 I 3 (s) I 3 (s) + I 4 (s) = V 1(s) V 2 (s) R 1 V 1 (s) = 1 sc 1 I 1 (s) = R 2 I 2 (s) R(s) = I 1 (s) + I 2 (s) + I 3 (s) + I 4 (s) Från de tre första ekvationerna kan vi få fram hur strömmarna beror på spänningarna. Detta kan vi sätta in i den fjärde ekvationen och vi får att R(s) = sc 1 V 1 (s) + V 1(s) R 2 + V 1(s) R 1 V 2(s) R 1 Eftersom vi söker överföringsfunktionen från R(s) till V 1 (s), så behöver vi eliminera V 2 (s) ur ekvationen ovan. Vi kan få V 2 (s) som funktion av V 1 (s) genom att sätta ihop den första och andra balansekvationen. (sc 2 + 1 sl )V 2(s) = V 1(s) V 2 (s) R 1 V 2 (s) = 18 1 R 1 sc 2 + 1 R 1 + 1 V 1 (s) sl
Efter förenkling får vi att V 1 (s) R(s) = C 2 s 2 + 1 R 1 s + 1 L (C 1 s + 1 R 1 + 1 R 2 )(C 2 s 2 + 1 R 1 s + 1 L ) ( 1 R 1 ) 2 Notera att det mekaniska massa systemet beskrivs av en överföringsfunktion som har samma struktur som den elektriska kretsen. Två till synes helt olika system beskrivs alltså av differentialekvationen med samma struktur och systemen har därmed en liknande dynamik. 8 Från ledningen har vi att π π Dessutom gäller det att cos(mt) sin(nt) dt = 0 för alla heltal m,n samt att π π π 0 för alla heltal m n cos(mt) cos(nt) dt = 2π då m = n = 0 π då m = n > 0, π sin(mt) sin(nt) dt = { 0 för alla heltal m n π då m = n > 0. Bestäm a 0 För att beräkna a 0 multiplicera vi båda leden i den givna fourierutvecklingen med 1 och integrerar över en hel period. π π f(t) dt = π π a π 0 2 dt + π a n cos(nt)dt + n=1 π π n=1 b n sin(nt)dt Eftersom det för varje sinus- och cosinusterm i summan ovan gäller att integralen är 0, så återstår endast π a 0 π 2 dt = πa 0. Vilket innebär att a 0 alltså kan beräknas som a 0 = 1 π π π 19 f(t) dt
Bestäm a n Multiplicera båda leden i den givna fourierutvecklingen med cos(nt) och integrera över en hel period. Vi får då att a n = 1 π π π f(t) cos(nt) dt Bestäm b n Multiplicera båda leden i den givna fourierutvecklingen med sin(nt) och integrera över en hel period. Vi får då att b n = 1 π π π f(t) sin(nt) dt 20