TMV225 Inledande matematik M. Veckoprogram för läsvecka 4

Relevanta dokument
TMV225 Inledande matematik M

TMV225 Inledande matematik M

Modul 4 Tillämpningar av derivata

SF1625 Envariabelanalys

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Envariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.

vux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

SF1625 Envariabelanalys

5B1147 Envariabelanalys, 5 poäng, för E1 ht 2006.

SF1625 Envariabelanalys

Introduktion till Python Teoridel

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

Föreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018

Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b)

6 Derivata och grafer

Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 27 Origo 3c)

MVE465. Innehållsförteckning

Viktigaste begrepp, satser och typiska problem från kursen ALA-A år 2013.

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

SF1625 Envariabelanalys

Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer.

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

Parametriserade kurvor

Projekt Finit Element-lösare

CTH/GU LABORATION 1 MVE /2013 Matematiska vetenskaper. Mer om grafritning

SF1625 Envariabelanalys

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

SF 1625 Envariabelanalys, 7.5 hp, för M1 ht 2009.

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

Konvergens för iterativa metoder

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag

4 Fler deriveringsregler

SF 1625 Envariabelanalys, 7.5 hp, för M1 ht 2008.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5.

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm

1 Föreläsning 12, Taylors formel, och att approximera en funktion med ett polynom

RIEMANNSUMMOR. Den bestämda integralen definieras med hjälp av Riemannsummor. Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. lim.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Laboration: Grunderna i Matlab

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i Envariabelanalys 1

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Mer om funktioner och grafik i Matlab

Newtons metod och arsenik på lekplatser

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus. Matematik 1. Maplelaboration 2.

Föreläsning 1. Numeriska metoder grundkurs II, DN1240. Carina Edlund Mottagningstid i rum 4516: onsdagar kl.

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform.

MATEMATIK Datum: Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

MA2001 Envariabelanalys

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

f(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h

3.3. Symboliska matematikprogram

Checklista för funktionsundersökning

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 1 1/ maximum

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans

3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3,

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

TMV225 Inledande Matematik M

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

Planering för Matematik kurs D

Laborationstillfälle 1 Lite mer om Matlab och matematik

Beräkningsverktyg HT07

Transkript:

MATEMATISKA VETENSKAPER TMV5 016 Chalmers tekniska högskola Läsvecka 4 Examinator: Anders Logg TMV5 Inledande matematik M Veckoprogram för läsvecka 4 Denna vecka kommer vi först att definiera och studera de viktiga funktionerna ln och exp. Därefter fortsätter vi med vårt studie av derivator och ser hur de kan användas för att beräkna extremvärden och gränsvärden. Vi kommer också att lära oss Taylors formel som en generalisering av linjärisering för approximation av funktioner. Denna vecka kommer också den andra duggan som genomförs i Maple TA. Ta chansen att samla värdefulla bonuspoäng. Två poäng står på spel den här veckan och kan komma till god användning på tentan om några veckor! Vi ses på föreläsningarna! Anders Föreläsningar Avsnitt 1 Innehåll F09 A.3.1 5 Inversa funktioner, exp(x), ln x, arcsin x,... F10 A.4.1, A.4.3 5 Relaterade hastigheter, l Hôpital, extremvärden F11 A.4.8, A.4.10 Extremvärdesproblem, Taylors formel Övningar Uppgifter Ö09 A.3.1.{7, 8, 11, 13, 14, 0, 8} A.3..{1,, 5, 6, 7, 10, 6} A.3.3.33, A.3.5.{15, 31} A.3.3.{7, 8, 1, 17, 18, 1,, 8} A.3.4.{9, 10, 1, 14} A.3.5.{, 3, 6, 8, 13, 14, 19, 0, 3, 7, 8} Ö10 A.4.9.1, A.4.1.1, A.4.3. A.4.9.{1, 3, 7, 11, 13, 15, 17, 3} A.4.1.{8, 16, 6} A.4..{0, 1, } A.4.3.{1, 3, 9, 11, 13, 15, 17, 19} A.4.4.18, A.4.5.15, A.4.8.17 A.4.4.{, 4, 6, 13, 4, 6, 7} A.4.5.{4, 10, 16, 4, 30, 3} A.4.8.{10, 18, 0, 1} A.4.10.{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 31} Ö11 Datorövning 4.1, 4., 4.3, 4.4, 4.5 1 AE = Adams/Essex, AL = Anteckningar i inledande matematik, RP = Pettersson, JM = Madjarova Understrukna uppgifter = extra viktiga, alternativt demonstreras av övningsledare.

http://xkcd.com/

Datorövningar läsvecka 4 Datorövning 4.1 Skriv ett program som beräknar ln(10) utifrån definitionen av den naturliga logaritmen. Jämför värdet med det exakta värdet (som ges av funktionen log(10)). Ledning: Dela in intervallet [1,10] i N intervall och approximera arean under kurvan med N st lådor med basen h =(10 1)/N och höjden y n = 1/x n = 1/(1 + hn) för n = 1,,3,...,N. Hur stort behöver N vara för att ge fem korrekta decimaler? Datorövning 4. Skriv ett program som beräknar e = exp(1) från gränsvärdet exp(x) = lim N! (1 + x/n) N genom att beräkna värdet för N = 1,,3,...,1 10 5. Jämför värdet med det exakta värdet (som ges av funktionen exp(1)) Datorövning 4.3 Bestäm gränsvärdet lim x!0 sin(px)/x numeriskt genom att plotta kvoten f (x)/g(x) då x! 0. Plotta också kvoten f 0 (x)/g 0 (x). Jämför med l Hôpitals regel. Ledning: Låt x = 0.1,0.01,0.001,...,1 10 16 och använd funktionen semilogx. Datorövning p 4.4 Skriv ett program som beräknar största värdet av funktionen f (x) = exp( (x p) ) genom att leta efter lösningen i derivatans riktning. Låt x 0 = 1 och beräkna därefter 100 iterationer enligt x n = x n 1 + g f 0 (x n 1 ) där g > 0. Notera att om derivatan är positiv så kommer vi att ta ett steg till höger, och omvänt om derivatan är negativ så tar vi ett steg till vänster. När vi närmar oss extrempunkten närmar sig derivatan noll och stegen blir mindre och mindre. Använd numerisk derivata (funktionen D_h från uppgift 3.1). Bestäm ett lämpligt värde på g genom att pröva dig fram. Datorövning 4.5 Skriv ett program som plottar funktionen f (x) =sin(x) på intervallet [ 10, 10] tillsammans med första, tredje, femte och sjunde ordningens Taylorutveckling T n f (x) runt x = 0.

Facit D4.1 1 from math import log 3 N = 800000 4 h = (10.0-1.0) / N 5 6 area = 0.0 7 for n in range(1, N + 1): 8 x = 1. 0 + n* h 9 y = 1.0 / x 10 area += h* y 11 1 print area, log(10) 1 N = 800000; h = (10.0-1.0) / N; 3 4 area = 0.0; 5 for n = 1:N 6 x = 1 + n*h; 7 y = 1 / x; 8 area = area + h*y; 9 end 10 11 format long 1 [area, log(10)] D4. Fem korrekta decimaler kräver (ca) N = 800000. 1 from math import exp 3 for N in range(1, 1000001): 4 print (1 + 1.0/N)**N, exp(1) 1 for N =1:100000 [(1 + 1/N)^N, exp(1)] 3 end D4.3 1 from pylab import * 3 x = logspace(-1, -16, 16) 4 5 semilogx(x, sin(pi*x) / x, g-o ) 6 semilogx(x, pi* cos(pi*x), r-o ) 7 xlabel( x ) 8 grid( True) 9 show()

1 x = logspace(-1, -16, 16); 3 clf 4 semilogx(x, sin(pi*x)./ x, g-o ) 5 hold on 6 semilogx(x, pi* cos(pi*x), r-o ) 7 xlabel( x ) 8 grid on D4.4 1 from pylab import * from D_h import * 3 4 def f(x): 5 return sqrt()* exp(-(x - pi)**) 6 7 x = linspace(-10, 10, 1000) 8 plot(x, f(x)) 9 xlabel( x ) 10 ylabel( f(x) ) 11 grid( True) 1 13 x = 1.0 14 h = 1e-8 15 gamma = 0.5 16 17 for n in range(100): 18 dfdx = D_h(f, x, h) 19 x += gamma* dfdx 0 print x, f(x) 1 plot(x, f(x), o ) 3 show() 1 f = @(x) sqrt()*exp(-(x - pi).^); 3 x = linspace(-10, 10, 1000); 4 plot(x, f(x)) 5 xlabel( x ) 6 ylabel( f(x) ) 7 grid on 8 hold on 9 10 x = 1.0; 11 h = 1e-8; 1 gamma = 0.5; 13 14 for n = 1:100 15 dfdx = D_h(f, x, h); 16 x = x + gamma*dfdx; 17 [x, f(x)] 18 plot(x, f(x), o ) 19 end

D4.5 1 from pylab import * 3 x = linspace(-10, 10, 1000) 4 5 plot(x, sin(x)) 6 plot(x, x, -- ) 7 plot(x, x - x**3 / 6, -- ) 8 plot(x, x - x**3 / 6 + x**5 / 10, -- ) 9 plot(x, x - x**3 / 6 + x**5 / 10 - x**7 / 5040, -- ) 10 xlabel( x ) 11 grid( True) 1 axis([-10, 10, -, ]) 13 14 show() 1 x = linspace(-10, 10, 1000); 3 plot(x, sin(x)) 4 hold on 5 plot(x, x, -- ) 6 plot(x, x - x.^3 / 6, -- ) 7 plot(x, x - x.^3 / 6 + x.^5 / 10, -- ) 8 plot(x, x - x.^3 / 6 + x.^5 / 10 - x.^7 / 5040, -- ) 9 xlabel( x ) 10 grid on 11 axis([-10, 10, -, ])