FÖ: MVE045, Riemann integral, grunder Zoran Konkoli, HT 2018 VIKTIG: Vi hinner inte gå igenom allt som ni skall kunna under föreläsningar. Varje föreläsning är alltid en tolkning av ADAMS boken, och ibland bara visa delar. Alltså man måste läsa själv ganska mycket. Läraren ger bakgrunden som är nödvändig att man kan läsa själv. Detta dokument är sammanfattningen av denna tolkning som gavs under föreläsning. Tavla bilder är bara menade som en påminnelse kring vad har diskuterats under föreläsningen. Här är viktig läsning för Riemann integral grunder: AD/5.2 Areas as limits of sums AD/5.3 The definite integral AD/5.4 Properties of the definite integral AD/5.5 The fundamental theorem of calculus AD/5.6 The method of substitution AD/5.7 Areas of plan regions Rekomenderade övningar: AD/5.2: P1, P8 AD/5.3: P1, P4, P10 (express limit as a definite integral), P11, P15 AD/5.4: P1, P2, P3, P6, P7, P17 AD/5.5: P1, P3, P5, P4, P9, P11, P13, P49, P39, P40, P41, P42, P47 (tips: räkna derivatan av höger och vänster sidan) Rekommenderade videon https://www.youtube.com/watch?v=wuvtyaankzm&list=plzhqobowtqdmsr9k-rj53dwvrmyo3t5yr https://www.youtube.com/watch?v=fnjqaiesc2s&list=plzhqobowtqdmsr9krj53dwvrmyo3t5yr&index=9 Ytan under en graf Varför behöver vi räkna sådant? Att räkna ytan under en graf är ett upprepande motiv som dyker upp ofta i alla tekniska sammanhang. Typiskt exempel är kontroll teori.
För en varierande funktion vill vi veta hur den beter sig i genomsnitt i en tids intervall. Ofta, så betraktar man ett rörligt tids intervall som förflyttar sig i tiden, och vi betraktar genomsnittet i detta rörande intervallet. Detta behövs för att: styra robotar så att de blir alerta i ändringar som händer i reell tid kontrollera elektriska centraler i reell tid kontrollera styrkan som master strålar med i reell tid (vi sill inte stråla mera en nödvändigt), vi vill veta hur mycket regn vi fick genomsnitt över en period (väder prognos, jordbruk) finanser: hur mycket är ett företag värt i genomsnitt under de senaste månader (och vi vill veta detta varje månad) Kortfattat, sådana genomsnitt beräkningar förekommer alltså överallt. T.o.m. bakterien som skall hitta mat är undvika farliga miljöer använder sig av liknande kontroll principer att styra maskineriet som gör att den rör sig (processen heter chemotaxis på engelska). Alltså, hur räknar man genomsnitt av en kontinuerlig funktion? Så att ytan under grafen AA aaaa AA(aa, bb, ff), som vi kommer att beteckna som integral av f över a till b, är exakt lika dan som ytan av ett rektangulär med samma bas. Höjden av denna rektangel definierar genomsnittet av f, som vi betecknar med ff. Det är inte så svårt att se att genomsnittet ff (höjden av fyrkanten) måste vara sådant att bb aa bas (bb aa) * höjd (ff ) = ytan ( ff(xx)dddd),
alltså ff = bb aa ff(xx)dddd bb aa Det finns ett annat sätt att acceptera att detta är faktisk rymligt sätt att räkna genomsnitt. Titta på denna videon: https://www.youtube.com/watch?v=fnjqaiesc2s&list=plzhqobowtqdmsr9krj53dwvrmyo3t5yr&index=9 Men hur räknar man ytan under en graf? (Steg 1): Indelning av intervallet. Betrakta bilden. Vi gör så här: Först, vi gör en indelning av intervallet [a,b] i n mindre intervaller. Varje sådan indelning kallas för P, och det viktiga är att kolla vad är storleken för den max intervallet som förekommer. Vi vill att den skall minska mot noll. Vi vill förfina fördelningen mer och mer. Notera att
Δxx 1 är längden av [a,x 1], Δxx 2 är längden av [x 1,x 2], osv. Här har ni ett exempel med n = 3, alltså tre intervaller. Notera att Delta x summan blir likt precis längd av intervallet. Det är alltid sant. (Steg 2): Räkna högre/lägre Darboux summor Betrakta alla intervaller. I all dessa så har funktionen ett min/max värde. Det finns ett teorem so vi har diskuterat tidigare (AD/1.4-TH8: The Max-Min Theorem), om man tolkar teoremet för intervall i, så vet vi som det står på tavlan: Då kan vi räkna två summor L(f,P) och U(f,P), och bägge summor approximerar ytan. Se bilden, försök hitta punkter ll ii och uu ii för detta interval (tex tänk att någon följer linjen, när skulle du sägga stopp, nu har vi hittat ll ii eller uu ii?)
Likadan kan vi göra som Riemann hade tänkt ut, och tagga varje interval med et mellan värdet: välja ett cc ii som ligger i det aktuella intervallet, och konstruera ett approximation till R(f,P,c) där c är listan av tagar vi har valt. Då får vi tre summor och dessa är ordnade: Nu, vi gör indelningen finare och finare så att PP 0. Som blivande IT ingenjör man kanske funderar om det är möjligt att skriva kod som kommer att generera sådana summor. Visst, i princip, det går det med det kan finnas svårigheter: ser du dessa? Fundera innan du läser R(f,P,c) är inga problem med, L(f,P) och U(f,P) är problematiska för vi måste gräva fram min/max för varje subintervall (visst vi vet att de måste finnas, men hur hittar man dessa?). (Steg 3) Om L=R=U i gränsvärde mening då ytan kan räknas på det sättet.
Det går att visa att L=R => R och att R=>L=R. Men, när gränsvärdena finns? Ganska ofta, otroligt nog, det enda vi kräver är att funktionen är kontinuerlig (AD/5.4-TH2):
Reimann summan exempel Vi räknar ytan under ff(xx) = xx. Bilden visar ett indelning med n = 4, där Δxx ii är samma. Vi taggar så att vi väljer bara högrakant punkter, i.e. cc 1 = xx 1, cc 2 = xx 2, cc 3 = xx 3, cc 4 = xx 4. När man räknar R summan för N=4 fall, får man som i bilden nedan. Generaliserar man detta för högre n, så blir det Rn formeln i den högra bilden ovan. Men kan vissa att detta är sant lite mera rigoröst, som i bilden.
Hur räknar man summan Sn i fomeln för Rn, som i tavlan, och då kan man räkna gränsvärdet som i tavlan. Detta exempel visar att R summan kan approximera ytan. Finns det ett annat sätt att räkna den. Fundamental sats av analysen Innan man läser detta så skall man absolut lyssna till Vivaldi concerto #2 (summer, presto satsen)
AD/5.5 The fundamental theorem of calculus.
Exempel på hur man använder satsen Räkna genomsnitt av sin t in intervallet [0,Pi]
Titta också på videon: https://www.youtube.com/watch?v=fnjqaiesc2s&list=plzhqobowtqdmsr9krj53dwvrmyo3t5yr&index=9