Undervisningsplanering i Matematik KURS A (100 poäng) Kurskod: MA1201 Styrdokument: Kursplan i kärnämnet matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande som är över 20 år köper själva böcker. Räknare: TI 83 plus, grafritande räknare eller enklare räknare. De studerande köper själva sina räknare. INNEHÅLL Kursinnehåll enligt skolverket sid 2 Betygskriterier för nivån G, VG och MVG enligt skolverket sid 3 Kursinnehåll med exempel på betygskrav inom Aritmetik sid 4 Geometri och trigonometri sid 5 Statistik sid 7 Algebra sid 8 Funktionslära sid 9 Matematikkursens syfte, enligt Skolverket. sid 11 Karaktär och uppbyggnad sid 11 Säkerställa likvärdig bedömning sid 12 KOMVUX 2005 1(12)
KURSINNEHÅLL MATEMATIK A 100 poäng Matematik A är en kärnämneskurs och ingår i alla program. Kursen bygger vidare på matematikutbildningen i grundskolan och erbjuder breddade och fördjupade kunskaper inom områdena aritmetik, algebra, geometri, statistik och funktionslära. Kursen läses av elever med vitt skilda studieinriktningar. Uppläggningen anpassas och problem väljs med hänsyn till elevernas studieinriktning. Kursen ger både allmän medborgarkompetens och utgör en integrerad del av den valda studieinriktningen. Mål Mål som de studerande skall ha uppnått efter avslutad kurs Den studerande skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning, ha fördjupat och vidgat sin taluppfattning till att omfatta reella tal skrivna på olika sätt, med och utan tekniska hjälpmedel med omdöme kunna tillämpa sina kunskaper i olika former av numerisk räkning med anknytning till vardagsliv och studieinriktning, ha fördjupat kunskaperna om geometriska begrepp och kunna tillämpa dem i vardagssituationer och i studieinriktningens övriga ämnen, vara så förtrogen med grundläggande geometriska satser och resonemang att hon eller han förstår och kan använda begreppen och tankegångarna vid problemlösning, kunna tolka, kritiskt granska och med omdöme åskådliggöra statistiska data samt kunna tolka och använda vanligt förekommande lägesmått, kunna tolka och hantera algebraiska uttryck, formler och funktioner som krävs för problemlösning i vardagslivet och i studieinriktningens övriga ämnen, kunna ställa upp och tolka linjära ekvationer och enkla potensekvationer samt lösa dem med för problemsituationen lämplig metod och med lämpliga hjälpmedel, kunna ställa upp, tolka, använda och åskådliggöra linjära funktioner och enkla exponentialfunktioner som modeller för verkliga förlopp inom privatekonomi och i samhälle, ha vana att vid problemlösning använda dator och grafritande räknare för att utföra beräkningar och åskådliggöra grafer och diagram, känna till hur matematiken påverkar vår kultur när det gäller till exempel arkitektur, formgivning, musik eller konst samt hur matematikens modeller kan beskriva förlopp och former i naturen. KOMVUX 2005 2(12)
Betygskriterier Kriterier för betyget Godkänd Den studerande använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt för att formulera och lösa problem i ett steg. Den studerande genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Den studerande använder matematiska termer, symboler och konventioner samt utför beräkningar på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck. Den studerande skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar eller bevis. Kriterier för betyget Väl godkänd Den studerande använder lämpliga matematiska begrepp, metoder, modeller och tillvägagångssätt för att formulera och lösa olika typer av problem. Den studerande deltar i och genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Den studerande gör matematiska tolkningar av situationer eller händelser samt genomför och redovisar sitt arbete med logiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Den studerande använder matematiska termer, symboler och konventioner på sådant sätt att det är lätt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck såväl muntligt som skriftligt. Den studerande visar säkerhet beträffande beräkningar och lösning av olika typer av problem och använder sina kunskaper från olika delområden av matematiken. Den studerande ger exempel på hur matematiken utvecklats och använts genom historien och vilken betydelse den har i vår tid inom några olika områden. Kriterier för betyget Mycket väl godkänd Den studerande formulerar och utvecklar problem, väljer generella metoder och modeller vid problemlösning samt redovisar en klar tankegång med korrekt matematiskt språk. Den studerande analyserar och tolkar resultat från olika typer av matematisk problemlösning och matematiska resonemang. Den studerande deltar i matematiska samtal och genomför såväl muntligt som skriftligt matematiska bevis. Den studerande värderar och jämför olika metoder, drar slutsatser från olika typer av matematiska problem och lösningar samt bedömer slutsatsernas rimlighet och giltighet. Den studerande redogör för något av det inflytande matematiken har och har haft för utvecklingen av vårt arbets- och samhällsliv samt för vår kultur. KOMVUX 2005 3(12)
ARITMETIK Aritmetik är ett grundläggande område varför den studerande måste behärska det mesta inom nedanstående moment. Multiplikationstabellen. Räkneregler för uttryck med flera räknesätt. Negativa tal. Tal i bråkform. Tal i decimalform. Enheter och enhetsomvandlingar. Avrundning. Gällande siffror. Potenser. Grundpotensform och prefix. Procent,promille och ppm. Miniräknaren. Exempel på betygskrav för GODKÄND nivå: Skriv med siffror tiotusenfemhundrasex. Beräkna 3(8 2) + 15/3 3 4. Skriv talen 5, 0, 1, 3 i storleksordning. - Beräkna a) 3 4 1 6 b) 4 7 2 3 c) 5 7 Avrunda 76,175 till hundradelar. Hur många a) kg är 93g b) minuter är 2h 23 min? Beräkna och ange resultatet med lämpligt antal siffror 3,1 4,35 m 2. - Beräkna 3 2 2 2 + 2 3 Skriv i grundpotensform a) 0,0000278 b) 35600000. Skriv i a) megawatt (MW) 18000000 W b) milligram ( g) 0, 0072 g. - hur många procent av figuren är skuggad? Hur många procent är 62 kr av 508 kr? Hur mycket är 32% av 6150 kr? Om 70% av priset på en vara är 4200 kr. Vad är 100% av priset? Priset för en stereoanläggning är 4800 kr. Vad kostar den om priset sänks med 15%? Månadshyran för en lägenhet var ett år 4100 kr. Den höjdes med 12% vid början av nästa år. Följande år höjdes den med 8%. Vad blev då månadshyran? Vad är 3 promille av 8900000 st? Hur många ppm är 2,3 g av 415 kg? 2 5 KOMVUX 2005 4(12)
- Beräkna med miniräknaren a) 125 8, 4 20, 6 3, 2 b) 4, 3 Exempel på betygskrav för VÄL GODKÄND nivå : Vilket tal skall stå i den tomma rutan 42/( 2) + ( 8) = 3? Beräkna 2 + 5/9 2/9 ( 1/4). Beräkna a 10 a -2 /a 6. Avståndet till vår närmaste grannstjärna är 4,2 10 16 m. Ljusets hastighet är 3,0 10 8 m/s. Hur lång tid har ljuset från denna stjärna varit på väg när det når oss? Svara i år. Anna, Britta och Cilla samlade in pengar till radiohjälpen. Anna samlade in 2/5 och Britta 6/25 av beloppet. Hur många procent av beloppet hade Cilla samlat in? Hur många procent är 92 m av 1,96 km? Anna vann 10000 kr på Jul-o nyårslotteriet. Hon satte genast in pengarna på banken och lät dem stå kvar där i precis 9 år. Till vilket belopp hade vinsten då vuxit om banken hela tiden lämnar 7,0 % ränta? Sveriges folkmängd år 1990 var 9 miljoner. Jordens befolkning var då 6,3 miljarder Beräkna Sveriges andel av jordens befolkning uttryckt i promille. Priset på en vara steg först med 15%, sjönk sedan med 25% och steg slutligen med 10%. Vad kostade varan efter dessa förändringar, om priset från början var 500 kr? Exempel på betygskrav för MYCKET VÄL GODKÄND nivå: 1990 var energiförbrukningen i ett land 412 Twh. Hur stor var förbrukningen 1993 om tillväxten fösta året var 4,0% och åren därpå ökade med 0,5 procentenheter årligen? Avgör utan miniräknare vilket tal som är störst 2 100 eller 3 75. En affär gjorde ett påslag på inköpspriset på 40% på en modevara. Efter säsongen reade man samma vara med 40% rabatt. Hur många procent vann eller förlorade affären på reavaran? Motivera även med text. Eva väljer ett tal, multiplicerar det med 6 och adderar 10. Sedan drar hon bort det tal hon började med och dividerar resultatet med 5. Då upptäcker hon att hon fått fram ett tal som är 2 större än det hon startade med. Hon tror att det blir så vilket tal hon än startar med. Bevisa att det är så.. GEOMETRI Inom geometri behandlas följande moment. Pythagoras sats för rätvinkliga trianglar. Beräkning av omkrets och area av plana figurer. Beräkning av begränsningsarea och volym av rätblock, cylinder, kon, pyramid och klot. Beräkning av vinklar i enkla geometriska figurer, med motivering av vilka satser som använts. KOMVUX 2005 5(12)
Begreppet likformighet. Tillämpat i plangeometriska figurer och allmänt i form av längdskala och areaskala hos ritningar kartor och bilder. Exempel på betygskrav för GODKÄND nivå: Rita en cirkel med radien 1,5 cm och beräkna sedan cirkelns omkrets och area. Beräkna cylinderns (cm) a) volym. 7,0 b) mantelarea. c) totala begränsningsarea 6,0 På en karta ritad i skala 1:1500000 uppmättes avståndet mellan Trollhättan och Oslo till 135 mm. Hur långt är avståndet fågelvägen mellan Trollhättan och Oslo? Exempel på betygskrav för VÄL GODKÄND nivå: Bestäm vinklarna - Triangeln ABC är rätvinklig. x och y. DE är vinkelrät mot BC. Trianglarna ABC och 30 o y CDE är likformiga. Beräkna längden av DE. B 6,0 (cm) D 5,0 40 x 60 E A 9,0 C En båt är fäst vid en 3,6 m hög kaj med ett 6,0 m långt rep. Hur mycket närmare kajen kommer båten om repet dras in 1,5 m? 3,6 6,0 (m) Exempel på betygskrav för MYCKET VÄL GODKÄND nivå: Den stora triangeln är delad i två områden. Beräkna arean av den större delen. 12 (cm) 14 10 I en rätvinklig triangel är hypotenusan 4,3 cm och en vinkel 34,5. Hur långa är kateterna? En liksidig triangel är omskriven en cirkel med radien 4,0 cm. Beräkna triangelns area. och rita figur. I en fyrsidig pyramid är basytan en kvadrat med sidan 6,00 cm och samtliga sidokanter 8,00 cm. Rita figur och beräkna pyramidens volym. KOMVUX 2005 6(12)
Statistik Inom statistikkursen behandlas följande moment. Diagramtolkning. Tolkning av uppgifter i tabellform (t.ex statistisk årsbok) Medelvärde, median och typvärde (lägesmått) Frekvenstabeller Olika diagramformer för att presentera ett statistiskt material. Stapel-,stolp-,linje- och cirkeldiagram samt histogram. Ljuga med statistik. Exempel på betygskrav för GODKÄND nivå: Diagrammet visar mannens (streckad linje) respektive kvinnans (heldragen linje) syreupptagningsförmåga i liter/min vid olika åldrar. 4 Besvara följande frågor. 3 a) Hur stor är mannens syreupptagnings 2 förmåga vid 50 år? 1 b) Hur stor är kvinnans syreupptagnings- 0 förmåga vid 50 år? Ålder c) Vid vilken ålder är mannens syreupptagningsförmåga som störst? d) När är kvinnans syreupptagningsförmåga 2,9 liter/min? e) När ökar mannens syreupptagningsförmåga hastigast? 4 16 28 40 52 64 Produktion av elektrisk energi, milj. kwh. Tabell 500 ur statistisk årsbok. LAND 1988 1989 1990 kwh/inv 1990 Totalt Därav vattenkraft Totalt Därav vattenkraft Totalt Därav vattenkraft Sverige 146230 70464 143910 72102 146535 73105 17130 Danmark 27965 32 22757 27 25724 32 6372 Finland 53878 13361 53881 13029 54508 10931 13118 Island 4478 4211 4537 4259 4610 4324 18221 Norge 109332 108857 118775 118271 121601 121137 25083 a) I vilket nordiskt land är produktionen av elenergi störst. Totalt resp. per person. b) I vilket nordiskt land är andelen som kommer från vattenkraft störst? Följande observationer gjordes 2 5 3 2 4 4 3 3 2 1 2 5 1 2 3 4 5 3 4 3 a) Beräkna medelvärde, median och typvärde. b) Ställ upp materialet i tabellform. c) Åskådliggör materialet i grafiskt i ett stolpdiagram. Bearbeta statistiskt material och rita diagram där diagramtyp anges (Ex. Histogram där lämplig klassindelning ges) KOMVUX 2005 7(12)
Exempel på betygskrav för VÄL GODKÄND nivå: Själv välja lämplig diagramform för att presentera ett statistiskt material. (Ex. om histogram är lämpligast, kunna göra lämplig klassindelning själv innan diagrammet ritas) Studera diagrammen och besvara frågan är de vilseledande och i så fall varför? Tidningsupplaga 3000 Försäljning i kkr 25000 20000 N Y H E T E R DU 2000 1000 0 91 92 93 Medelåldern i en barnfamilj är 21 år. Ge ett exempel på hur gamla familjemedlemmarna kan vara, och visa hur du kom fram till ditt svar. Exempel på betygskrav för MYCKET VÄL GODKÄND nivå: - Medelvärdet av fem olika positiva heltal är 34 och medianen är 40. Hur stort kan det största av de fem talen vara? ALGEBRA Inom algebran behandlas följande moment. Algebraiska uttryck. Teckna, tolka och praktiskt använda enkla algebraiska uttryck. Formler. Ställa upp, omskriva och praktiskt använda enklare formler. Ekvationer. Lösa linjära ekvationer och enkla potensekvationer. Problemlösning. Lösa praktiska problem med hjälp av ovanstående grunder. Exempel på betygskrav för GODKÄND nivå: Vilket värde har uttrycket 3a + 15/a för a = 5. Ett äpple kostar p kr och en apelsin q kr. Vad betyder 3p + 5q? Beräkna s då s = 1,5t + 0,8 och t = 7. En roadracingbana är 4,3 km lång. Låt y vara den sträcka man kört efter x varv. Ställ upp en formel för y. En kvadratisk gräsmattas area är 310 m 2. Hur långa är sidorna? Volymen av en pyramid bestäms med formeln V B = h. Lös ut h. 3 Ett tal är tre gånger så stort som ett annat. Talens skillnad är 24. Hur stora är talen? KOMVUX 2005 8(12)
Exempel på betygskrav för VÄL GODKÄND nivå: Anna har i dag 45 CD-skivor. Hon köper för sin månadspeng varje månad 2 nya CDskivor. Hur många CD-skivor har hon efter n månader? Lös ekvationen 4(10 3x) 3(16 5x) = 1. - Bromssträckan B meter för en bil som kör med farten v km/h kan beräknas med formeln B = 0,2v + 0,01v 2. Hur lång är bromssträckan för farten 90 km/h? Ett flygbolag tillåter a kg bagage per passagerare utan kostnad. För varje kilo utöver a kg får man betala m kr. Kostnaden för x kg bagage, där x> a, är K kr. Ange en formel för K. Har ekvationen (x + 5)(x - 2) = 30 en rot lika med -7? T = A + an. Lös ut n. Carina fick 15% rabatt när hon köpte sin miniräknare. På det sättet sparade hon 72 kr. Hur mycket kostade miniräknaren utan rabatt? I en förening är medlemsavgiften 135 kr för vuxna och 60 kr för ungdomar. Föreningens 426 medlemmar betalade förra året 44085 kr i medlemsavgifter. Hur många vuxna och hur många ungdomar var medlemmar i föreningen? Exempel på betygskrav för MYCKET VÄL GODKÄND nivå: a Lös ut a ur formeln s = a. 1 k Lös ekvationen 2 10-4 (R + 750) = 0,35. gh = d 3-3HR. Lös ut H. A, B och C spelar kort. När de börjar är förhållandet mellan deras pengar 7:6:5 och när spelet är slut är förhållandet 6:5:4. En spelare förlorade 12 kr. Vem vann och vem förlorade? FUNKTIONSLÄRA. Inom funktionsläran behandlas följande moment. Rita och tolka enkla grafer. Enkla problem innehållande proportionalitet. Rätvinkliga koordinatsystem. Skillnaden mellan linjär och exponentiell tillväxt. Rita grafer till exponentialfunktioner. Exempel på betygskrav för GODKÄND-nivå: Massan m gram hos en metalltråd är proportionell mot trådens längd s meter. Proportionalitetskonstanten (riktningskoefficienten) är 2,2. a) Uttryck detta med en formel b) Åskådliggör proportionaliteten grafiskt. Välj s = 0, 50,... 200 c) Visa hur du ur grafen avläser massan hos en 125 m lång tråd. KOMVUX 2005 9(12)
Rita ett koordinatsystem och sätt ut punkterna A (2, 5), B (2, 1) och C (-3, 1). Beräkna dessutom längden av sträckorna AB och BC. Kostnaden K kr att hyra en bil ett dygn beror på körsträckan x km enligt formeln K = 140 + 1,80x. a) Vad blir hyreskostnaden om man kör 190 km? b) Hur långt har man kört om hyreskostnaden är 725 kr? Funktionen är y = 14-8x + 2x 3. Beräkna värdet på y om : a) x = 4,5 b) x = 2 Exempel på betygskrav för VÄL GODKÄND-nivå: Funktionen y = 14-8x + 2x 3. Beräkna exakt värdet på y om x = 2/3. Resistansen hos en tråd är direkt proportionell mot trådens längd. En tråd på 1,25 m har resistansen10,5 ohm. Hur lång tråd ger resistansen 25,0 ohm? Rita ett koordinatsystem och sätt ut punkterna A (2, 5), B (-3, 1) och C (-1, -4). Beräkna dessutom längden av sträckorna AB och BC. En boll kastas snett uppåt från en balkong. Dess höjd y meter över marken beskrivs av sambandet y = 7 + 6x - x 2, där x är tiden i sekunder efter utkastet. a) Rita en graf i intervallet 0 x 7. b) Avläs ur grafen bollens högsta höjd över marken. Exempel på betygskrav för MYCKET VÄL GODKÄND nivå: En boll kastas snett uppåt från en balkong. Dess höjd y meter över marken beskrivs av sambandet y = 12 + 8x - 5x 2, där x är tiden i sekunder efter utkastet. Rita en graf mellan 0 x 25, och bestäm med hjälp av grafen det intervall där kurvan är över y = 14 Under 1980-talet ökade lönen för en person med 5,5% per år. År 1980 var hans månadslön 8700 kr. a) Ställ upp en formel som beskriver hans månadslön från 1980 till 1990. Ange definitionsmängden. b) Hur stor var hans månadslön 1989? KOMVUX 2005 10(12)
Matematikämnets syfte, karaktär och uppbyggnad Syfte Gymnasieskolans utbildning i matematik bygger vidare på kunskaper motsvarande de eleverna uppnår i grundskolan och innebär breddning och fördjupning av ämnet. Utbildningen syftar till att ge kunskaper i matematik för studier inom vald studieinriktning och för fortsatta studier. Utbildningen skall leda till förmåga att kommunicera med matematikens språk och symboler, som är likartade över hela världen. Utbildningen i matematik i gymnasieskolan syftar också till att eleverna skall kunna analysera, kritiskt bedöma och lösa problem för att självständigt kunna ta ställning i frågor, som är viktiga både för dem själva och samhället, som t.ex. etiska frågor och miljöfrågor. Utbildningen syftar även till att eleverna skall uppleva glädjen i att utveckla sin matematiska kreativitet och förmåga att lösa problem samt få erfara något av matematikens skönhet och logik. Ämnets karaktär och uppbyggnad Matematiken har genom en mångtusenårig utveckling bidragit till det kulturella arvet. Matematiken är en förutsättning för stora delar av samhällets utveckling och den genomsyrar hela samhället, ofta på ett sätt som är osynligt för den ovane betraktaren. Matematiken har utvecklats ur såväl praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska och utvidga matematiken som sådan. Matematikens begrepp, metoder och teorier har vuxit fram inom olika kulturer. Matematik är en livaktig internationell vetenskap, vars metoder, begrepp och kunskapsområden ständigt utvecklas. I matematik arbetar man med väldefinierade begrepp och bygger upp teorier genom att logiskt och strikt bevisa att formulerade hypoteser är giltiga. Resultaten av bevisen formuleras som satser eller samband, som visar hur begreppen kan användas. Nya begrepp införs som följd av frågeställningar i tillämpningsämnen eller av idéer inom matematiken som sådan. Matematik är en mänsklig tankekonstruktion och matematisk problemlösning är en skapande aktivitet. Samtidigt kräver matematiken uthållighet i tankeverksamheten och förståelse för att problemlösning är en process som kräver tid. Denna process skall kunna utvecklas i en grupp men även genom att individer reflekterar över sin egen kunskap och inlärning. Detta gäller även matematikämnet i skolan. Problemlösning, kommunikation, användning av matematiska modeller och matematikens idéhistoria är fyra viktiga aspekter av ämnet matematik som genomsyrar undervisningen. Tillgången till tekniska hjälpmedel har delvis förändrat matematikämnet. Såväl numeriska, grafiska som algebraiska metoder utnyttjas och nya typer av problem av mer sammansatt karaktär kan studeras i ämnet. De tekniska hjälpmedlen har dock begränsat värde utan kunskaper om begrepp och metoder. Förståelse, analys av hela lösningsprocedurer och kritisk granskning av resultat samt förmåga att dra slutsatser är grundläggande i gymnasieskolans matematikämne. En viktig del av problemlösningen är att utforma och använda matematiska modeller och på olika sätt kommunicera om de matematiska idéerna och tankegångarna. Både i vardagsliv och yrkesliv behöver allt fler kunna förstå innebörden av och kommunicera om frågor med matematiskt innehåll. KOMVUX 2005 11(12)
Matematikens idéhistoria kan bidra till en bild av hur olika begrepp och samband utvecklats. Detta kan motverka uppfattningen om matematiken som ett opersonligt färdigt ämne som är uppbyggt av fasta regler som endast skall läras utantill. Matematikens kraft som verktyg för förståelse och modellering av verkligheten blir tydlig om ämnet tillämpas på områden som är välbekanta för eleverna. Gymnasieämnet matematik skall därför knytas till vald studieinriktning på sådant sätt att det berikar både matematikämnet och karaktärsämnena. Kunskaper i matematik är ofta en förutsättning för att målen för många av karaktärsämnena skall uppnås. Matematikämnet i gymnasieskolan är uppbyggt av flera områden: aritmetik, algebra, geometri, sannolikhetslära, statistik, funktionslära, trigonometri samt differential- och integralkalkyl med differentialekvationer. Vissa av dessa områden behandlas i olika omfattning i grundskolans matematikkurs och fördjupas och utvecklas i gymnasieskolan. Nya områden införs, fördjupas och breddas successivt i gymnasieskolan. I ämnet matematik ingår fem kurser, Matematik A-E, som bygger på varandra. Säkerställa likvärdig bedömning För att säkerställa betygsättningen använder vi oss av skolverkets nationella prov. Några av dessa är frisläppta och kan därför användas för att diskutera proven i förhållande till kursplanerna 2000. Ett flertal grupper med lärare och lärarutbildare är involverade i problemkonstruktion, utprövning och kravgränser av de nationellt fastställda kursproven. Dessa personer är också med i diskussioner om poängsättning och helhetsbedömning. Provens och bedömningsanvisningarnas utformning och innehåll bygger på utprövningar samt erfarenheter och synpunkter från lärarenkäter. För att ytterligare säkerställa tolkningen av skolverkets nationella prov för vi en kontinuerlig dialog med Nils Ericsonsgymnasiets matematiklärare. KOMVUX 2005 12(12)