Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 1 Sannolikhetsteori (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS, Spring 2009) 1 Grundläggande begrepp Slumpförsök är ett försök, som kan upprepas under likartade förhållanden, och där resultatet vid varje enskild upprepning inte kan förutsägas med säkerhet Utfall resultat av ett slumpförsök Utfallsrum mängden (samling) av alla möjliga utfall av ett försök (betecknas med S) Händelse delmängd av utfallsrummet ( = en samling av ett eller flera utfall, inklusive tommängd och S) 2
Exempel Slumpförsök: Tärningskast Utfall: 1, 2, 3, 4, 5, eller 6: Utfallsrum: S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] Händelser: Låt A vara händelsen att få ett jämnt antal prickar Låt B vara händelsen att få minst 4 prickar Då är A = [2, 4, 6] och B = [4, 5, 6] 3 Exempel (forts ) Slumpförsök: Tärningskast Utfall: 1, 2, 3, 4, 5, eller 6: Utfallsrum: S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] Händelser: Låt C vara händelsen att få ett udda antal prickar Låt D vara händelsen att få högst 3 prickar Låt E vara händelsen att få sexa Låt F vara händelsen att inte få sexa Låt G vara händelsen att få en sjua 4
Mer om händelser Med symboler och begrepp från mängdläran kan vi bilda nya händelser och uttrycka egenskaper hos händelser tex: Snitt - A S B, är händelsen att både A och B inträffar A A B B 5 Mer om händelser A och B är disjunkta (varandra uteslutande, ömsesidigt uteslutande) om de kan inte inträffa samtidigt: dvs A B är tommängd S A B 6
Mer om händelser Union - A U B, är händelsen att A eller B (eller båda) inträffar S A B Den rosa färgen ger A U B 7 Mer om händelser Händelserna E 1, E 2, E k are Uttömmande händelser om E 1 U E 2 U U E k = S Komplement av A (betecknas ) är händelsen att A inte inträffar Obs: A och A är Uttömmande eftersom A U A = S Dessutom är de ömsesidigt uteslutande (varför?) S A A 8
Exempel Slumpförsök: Tärningskast Utfall: 1, 2, 3, 4, 5, eller 6: Utfallsrum: S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] Händelser: Låt A vara händelsen att få ett jämnt antal prickar Låt B vara händelsen att få minst 4 prickar Då är A = [2, 4, 6] och B = [4, 5, 6] 9 Exempel (forts ) S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A = [2, 4, 6] B = [4, 5, 6] Komplement: A = [1, 3, 5] B = [1, 2, 3] Snitt: Union: A B = [4, 6] A B = [2, 4, 5, 6] A B = [5] A A = [1, 2, 3, 4, 5, 6] = S 10
Exempel (forts ) S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A = [2, 4, 6] B = [4, 5, 6] Ömsesidigt uteslutande? A och B are inte ömsesidigt uteslutande eftersom A Uttömmande? B = [4, 5] är inte tommängd A och B are inte uttömmande eftersom A U B = [2, 4, 5, 6] är inte lika som S 11 Sannolikhet av ett händelse Sannolikheten för händelsen A betecknas med P(A) är ett slags mått på hur säkert det är att händelsen skall inträffa P(A) är ett tal mellan 0 och 1 (inklusive): 0 P(A) 1 1 5 Säker Tre olika definitioner av sannolikhet: 0 Omöjligt 12
1 Den klassiska sannolikhetsdefinitionen Ett slumpförsök har n möjliga utfall, alla lika möjliga Av dessa utfall är det n A stycken som gynnar händelsen A (innebär att händelsen A inträffar) Då är: antal"gynnsamma" utfall P(A) = na = n antal möjliga utfall 13 Kommentar Vad menas med att de möjliga utfall skall vara lika möjliga? Oklart! Om det betyder att utfallen skall ha lika sannolikhet, så förutsätter ju den klassiska sannolikhetsdefinitionen att man redan vet vad sannolikheten är Då är det egentligen inte fråga om någon definition utan snarare en regel som talar om hur man kan beräkna sannolikheten för en händelse, ifall man redan vet att alla utfall har lika sannolikhet 14
2 Den frekventistiska sannolikhetsdefinitionen Sannolikheten för händelsen A uppfattas som den relativa frekvens med vilken A inträffar vid en mycket lång serie upprepningar av slumpförsöket: P(A) relativa frekvensen för händelsen A i det långa loppet Man tänker sig att den relativa frekvensen för A i det långa loppet tenderar att stabilisera sig på en viss nivå Hur vet man att det är så? Man brukar hänvisa till gjorda iakttagelser av de relativa frekvensernas stabilitet 15 Den frekventistiska sannolikhetsdefinitionen Ex: Relativa frekvensernas stabilitet En serie på 500 kast med ett mynt har simulerats med Minitab Relativa frekvensen krona vid växande antal kast har registrerats Relativ frekven s kron a vid växan de an tal kast m ed ett m yn t 1,0 0,9 Rel frekv krona 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,5 0,3 0,2 0 100 200 300 Kast nr 400 500 16
3 Den subjektiva sannolikhetsdefinitionen Sannolikhet antas uttrycka grad av tilltro P(A) = mått på hur starkt en person tror på påståendet att A skall inträffa Kommentar: (1) Olika personer kan ha olika stark tilltro till ett och samma påstående (2) Inget krav att slumpförsöket skall kunna upprepas 17 Att räkna antal möjliga utfall Ett arrangemang av n olika objekt i en bestämd ordning kallas för permutation av objekten Hur många olika permutationer kan man bilda av n olika objekt? n! = n(n-1)(n-2) (1) n! kallas för n-fakultet (eng n factorial ) 0! = 1 (definition) Ex På hur många olika sätt kan vi permutera det tre objekten A, B, C? 3 * 2 * 1 = 6 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA 18
Att räkna antal möjliga utfall Permutationer: Antalet olika sätt att välja ut r objekt från n objekt (r < n) när dragningsordningen är viktigt är: n Pr n! = n Pr = (n r)! Kombinationer: Antalet olika sätt att välja ut r objekt från n objekt (r < n) när dragningsordningen är inte viktigt är: n C r n n! = nc r = = r r!(n r)! 19 Att räkna antal möjliga utfall (exempel) På hur många sätt kan man välja ut tre objekt från de fem objekten A, B, C, D, och E? om dragningsordningen är viktigt har vi: n! 5! 5! 5 * 4 * 3 * 2 * 1 P n 5 r = = P 3 = = = = 60 (n r)! (5 3)! 2! 2 * 1 om dragningsordningen inte är viktigt har vi: n n n! 5 5 5! 120 C r = = = C 3 = = = = 10 r r! (n r)! 3 3! (5 3)! 6( 2 ) ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE 20
Att räkna antal möjliga utfall (exempel) På hur många sätt kan man välja ut 5 kort från en vanlig kortlek med 52 kort? En förening har 20 medlemmar Bland dessa skall väljas en ordförande, en sekreterare, och en kassör På hur många olika sätt detta göras? Hur många kommitté av 3 personer från 5 personer? Hur många flagor av tre färg från 5 färger? 21 Några räkneregler för sannolikheter Vi utgår från tre grundantaganden: (1) Vi har ett slumpförsök med utfallsrummet S = {O 1, O 2,, O n } 2 Varje utfall, O i, har en sannolikhet P(O i ) (i = 1, 2,, n) 3 Dessa sannolikheter uppfyller villkoren 0 P(O i ) 1 (i = 1, 2,, n) n P(O 1 ) + P(O 2 ) + + P(O n ) = P( Oi ) = 1 i= 1 Av dessa antaganden, plus definitionen, följer formellt ett antal resultat, vilka i fortsättningen får betraktas som etablerade räkneregler vid lösning av sannolikhetsproblem 22
Sannolikhetsregler (satser) För varje händelse A, är 0 P(A) 1 P(S) = 1 Komplementsatsen: P( A) = 1 P(A) dvs, P(A) + P(A) = P( S) = 1 Additionssatsen: För två händelser A och B gäller P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 23 Ett sannolikhetstabell Sannolikheter för två händelser A och B kan sammanfattas enligt tabellen nedan: B B A P(A B) P(A B) P(A) A P( A B) P( A B) P(A) P(B) P(B) P(S) = 10 24
Additionssatsen: Exempel Kortdragning från kortlek 52 kort (två färger, fyra typer): Låt händelsen A vara att kortet är rött Låt händelsen B vara att kortet är ett ess 25 Additionssatsen: Exempel (forts) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 26/52 + 4/52-2/52 = 28/52 Color Type Red Black Total Ace 2 2 4 Non-Ace 24 24 48 Total 26 26 52 Räkna ej de två röda ess två gånger 26
Additionssatsen: exempel (forts) Vid tillverkning av en produkt kan två slags fel, A och B, uppkomma, ibland båda felen tillsammans: Vi vet att P(A) = 0,01, P(B) = 0,02, och P(A B) = 0,005 Vad är sannolikheten att a) en produkt skall ha minst ett av de två felen? b) en produkt skall vara felfri? c) en produkt skall ha exakt ett fel felfri? 27 Betingad Sannolikhet Ibland vill man veta hur stor sannolikheten är för en händelse B, ifall vi vet att en annan händelse A redan har inträffat Detta kallas för den betingade sannolikheten för B, givet att A har inträffat och betecknas P(B A) Den betingade sannolikheten för B, givet A, definieras som: P(A B) P(B A) = P(A) Den betingade sannolikheten för A, givet B, definieras som: P(A B) P(A B) = P(B) 28
Betingad sannolikhet: exempel Anta att 70% av bilar har AC (air conditioning), 40% av bilar har CD (CD spelare), och att 20% av bilar har både och Vad är sannolikheten att en bil med AC har CD? dvs, vad är P(CD AC) 29 Betingad sannolikhet: exempel 20% AC &CD 40% CD 70% AC CD No CD Total AC 02 05 07 No AC 02 01 03 Total 04 06 10 P(CD AC) 02 P(CD AC) = = = P(AC) 07 02857 30
Betingad sannolikhet: exempel Givet AC, vi begränsar oss till den övre raden (70% av bilarna) Av dessa, 20% har CD spelare 20% av 70% ger 2857% CD No CD Total AC 02 05 07 No AC 02 01 03 Total 04 06 10 P(CD AC) 02 P(CD AC) = = = P(AC) 07 02857 31 Multiplikationssatsen För två händelser A and B: och/eller P(A B) = P(A B)P(B) P(A B) = P(B A)P(A) 32
Multiplikationssatsen P(Rött Ess) = P(Rött Ess)P(Ess) 2 = 4 4 52 = 2 52 # ess med rött färg = totall # kort = 2 52 Color Type Red Black Total Ace 2 2 4 Non-Ace 24 24 48 Total 26 26 52 33 Oberoende händelser Ordet oberoende kan betyda olika saker Vi skall här tala om sannolikhetsteoretisk oberoende mellan händelser Två händelser, A och B, sägs vara oberoende (i sannolikhetsteoretisk mening), om det P(A B) = P(A) P(B) gäller att P(A B) = P(A) P(B)>0 Om A and B är oberoende händelser, gäller att P(B A) = P(B) P(A)>0 34
Oberoende händelser: exempel Anta att 70% av bilar har AC, 40% av bilar har CD, och att 20% av bilar har både och CD No CD Total AC 02 05 07 No AC 02 01 03 Total 04 06 10 Är händelserna AC och CD oberoende? 35 Betingad sannolikhet: exempel (fort) P(AC CD) = 02 CD No CD Total AC 02 05 07 No AC 02 01 03 Total 04 06 10 P(AC) = 07 P(CD) = 04 P(AC)P(CD) = (07)(04) = 028 P(AC CD) = 02 P(AC)P(CD) = 028 Händelserna AC och CD är ej oberoende 36
Utfall från bivariata händelser B 1 B 2 B k A 1 P(A 1 B 1 ) P(A 1 B 2 ) P(A 1 B k ) A 2 P(A 2 B 1 ) P(A 2 B 2 ) P(A 2 B k ) A h P(A h B 1 ) P(A h B 2 ) P(A h B k ) 37 Simultan- och marginell sannolikheter Simultant sannolikhet, P(A B): P(A B) = # utfall som "gynnar" både A och B totall # utfall Beräkning av marginella sannolikheter: P(A) = P(A B1) + P(A B2) + L+ P(A B k ) där B 1, B 2,, B k är k ömsesidigt uteslutande och uttömmande händelser 38
Marginell sannolikheter: exempel P(Ess) 2 2 = P(Ess Rött) + P(Ess Svart) = + = 52 52 4 52 Color Type Red Black Total Ace 2 2 4 Non-Ace 24 24 48 Total 26 26 52 39 Träddiagram Givet AC eller ej: Alla bilar Har AC Har inte AC Har CD eller ej: P(AC)= 7 P(AC)= 3 Har CD Har inte CD Har CD 2 7 5 7 2 3 P(AC CD) = 02 P(AC CD) = 05 P(AC CD) = 02 Har inte CD 1 3 P(AC CD) = 01 40
P(E i A) P(A E i)p(e i) = P(A) 1 Bayessats P(A E i)p(e i) = P(A E )P(E ) + P(A E )P(E ) + K+ P(A E )P(E ) 1 där E 1, E 2,, E k är of k ömsesidigt uteslutande och uttömmande händelser, och A är en händelse som kan påverka P(E i ) 2 2 k k 41 Bayessats: exempel Mobiltelefoner tillverkas av 3 fabriker, E 1, E 2, E 3, i andel 35:40:25 2%, 4%, resp 5% av produkterna i de tre fabrik är defekt a) Vad är sannolikheten att ett slumpmässigt vald mobil är defekt b) Givet att ett slumpmässigt vald mobil är defekt, vad är sannolikheten att det är tillverkad av fabrik E 1? 42
Bayessats: exempel (forts) Låt A vara händelsen att ett slumpmässigt vald mobil är defekt Då har vi följande info: P(E1) = 035, P(E2) = 040, P(E3) = 025 P(A E 1 ) = 002, P(A E 2 ) = 004, P(A E 3 ) = 005 och söker a) P(A) och b) P(E 1 A) 43 Bayessats: exempel (a) P(A) = P(E 1 A) + P(E 2 A) + P(E 3 A) = P(E 1 )P(A E 1 ) + P(E 2 )P(A E 2 ) + P(E 3 )P(A E 3 ) = (035)(00 2) + (040)( 004) = 00355 + (025)(00 5) 44
P(E1 A) Bayessats: exempel (b) = = P(A E1)P(E1) P(A) P(A E1)P(E1) P(A E1)P(E1) + P(A E2)P(E2) + P(A E3)P(E3) som ger (035)(002) P(E1 A) = (035)(002) + (040)(004) + (025)(005) = 0007 00355 = 7 355 = 0197 45