Avsnitt Egenvärden och egenvektorer W Vilka av följande matriser är ortogonala? b d En matris A a a a n a a a n a a a n a m a m a mn är en ortogonal matris om dess kolumner bildar en ON-bas för rummet dvs om kolumnvektorerna har längd a i a i a i för i n och kolumnvektorerna är sinsemellan ortogonala vinkelräta a i a j för i j Dessa villkor kan sammanfattas med följande matrismultiplikationsvillkor a a A t A a a a n a n a a a a a a n a a a a a a n E a n a a n a a n a n Vi undersöker alltså om matrisen uppfller A t A E Notera att matrisen A t A alltid blir smmetrisk a i a j a j a i så vi behöver bara räkna ut ena triangelhalvan av matrisprodukten b Vi får E Redan första produktelementet avslöjar att matrisen inte är en ortogonal matris d Vi får Alltså är matrisen en ortogonal matris Wc Bestäm de ingående parametrarna så att matrisen blir ortogonal Villkoret för att en matris A är ortogonal är A t A E I vårt fall blir produkten i vänsterledet 9 + + 9 + Denna produkt är lika med enhetsmatrisen om 9 + + 9 + ±
W Beräkna inverserna till matriserna a d Wc Bestäm parametrarna så att matrisen blir ortogonal med determinant + I uppgift c visade vi att matrisen är ortogonal om + eller a Eftersom matrisen är har vi en minnesregel för inversen: delat med determinanten framför matrisen diagonalelementen bter plats och de andra två elementen bter tecken Alltså d I uppgift d visade vi att matrisen är ortogonal För en ortogonal matris A gäller att A t A AA t E så inversmatrisen till A är A t För vår matris gäller alltså För dessa två fall blir determinanten + : : Inga parametervärden alltså determinant + Anm Determinant + svarar mot att kolumnvektorerna bildar en höhänt ON-bas medan determinant svarar mot en vänsterhänt ON-bas W7 Bestäm alla egenvärden och motsvarande normerade egenvektorer till följande matriser b d Det egenrum till matrisen A som svarar mot egenvärdet λ består av alla vektorer som uppfller A λ
Egenvärdena till matrisen A får vi som rötter till sekularekvationen deta λe Egenrummet består alltså av linjen med riktning som går genom origo Lösningsgången blir alltså: Bestäm egenvärdena till A med sekularekvationen För varje egenvärde λ bestämmer vi motsvarande egenrum genom att lösa ekvationen A λ Vi löser nu deluppgifterna b Med A blir sekularekvationen deta λe λ λ λ λ λ + λ + λ eller λ Egenvärdena är alltså λ och λ Vi bestämmer nu egenrummen som hör till respektive egenvärde λ : Egenrummet består av alla vektorer som uppfller ekvationen A E Skriver vi detta ekvationssstem med ett räkneschema fås Gausseliminering Lösningen är t t t t parameter λ : Denna linje egenrummet bevaras under transformationen som har matris A Alla vektorer i egenrummet kallas för egenvektorer och det finns två egenvektorer med längd ± ± + ± Vi får egenrummet som alla vektorer som uppfller ekvationen A E Vi gausseliminerar Lösningen är parameterlinjen t t t t parameter
Denna linje egenrummet bevaras under transformationen som har matris A Egenrummet Normerade egenvektorer är ± ± + ± 7 7 Svaret är alltså att egenvärdena är och med motsvarande normerade egenvektorer ± respektive ± 7 7 d Sekularekvationen blir deta λe λ λ λ λ λ λ + λ eller λ De normerade egenvektorerna är ± ± + ± λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Vi bestämmer nu egenrummen som svarar mot egenvärdena λ : Egenrummet ges av alla lösningar till ekvationssstemet A E Vi gausseliminerar dvs egenvektorer är t t t t parameter Normerade egenvektorer är ± ± + ± och lösningen är t t t t parameter
W8 Bestäm alla egenvärden och motsvarande normerade egenvektorer till följande matriser b d b Egenvärdena är rötter till sekularekvationen λ deta λe λ λ { Kofaktorutveckling längs rad } λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ eller λ Till varje egenvärde finns ett egenrum λ : λ Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering λ : λ : Egenvektorerna är därmed t t t t parameter Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering Egenvektorerna är därför t t t t - - t parameter Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering - - - -
Egenvektorerna är därför t t t De normerade egenvektorerna är t parameter λ : ± ± + + ± λ : ± ± + + ± 9 λ : ± ± + + ± de enda möjliga heltalsrötterna är ± ± ±9 ±7 Av dessa visar sig och + vara rötter Enligt faktorsatsen kan sekularekvationen då skrivas λ λ 9λ + 7 λ + λ λ A där A är den tredje roten Stoppar vi in λ i sambandet fås 7 A A Egenvärdena är alltså λ och λ dubbelrot Vi bestämmer nu egenvektorerna till respektive egenvärde λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering 8 9 9 9 - d Egenvärdena ges av sekularekvationen λ deta λe λ λ λ + λ + 9λ 7 Förslagsvis löser vi ekvationen genom att gissa heltalsrötter Eftersom polnomekvationen har heltalskoefficienter och den ledande termen har koefficient så måste eventuella heltalsrötter dela konstanttermen 7 dvs Egenvektorerna är därför t t t t t parameter
λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering - λ : ± ± ± + + ± ± + + ± Egenvektorerna är därför s t s s + t t s t parametrar W9 c Bevisa att om λ är ett egenvärde till matrisen A så är λ + µ ett egenvärde till matrisen A + µe där E är enhetsmatrisen av samma tp som A d Bevisa att om λ är ett egenvärde till matrisen A så är λ ett egenvärde till matrisen A Egenrummet är alltså ett plan som spänns upp av och c Eftersom λ är ett egenvärde till matrisen A så finns en vektor så att Egenrum A λ Då gäller att matrisen A + µe uppfller A + µe A + µ E λ + µ λ + µ Alltså har A + µ E egenvärdet λ + µ med samma egenvektor d Om egenvärdet λ har egenvektorn dvs A λ Normerade egenvektorer är λ : ± ± + + ± då är A AA Aλ λ A λλ λ vilket visar att A har egenvärdet λ
W Bestäm egenvärdena och två ortogonala och normerade egenvektorer till följande matriser b 8 d 7 Vi bestämmer egenvärden och egenvektorer på det vanliga sättet b Egenvärdena ges av sekularekvationen deta λe λ λ λ λ λ + λ λ eller λ Egenvärdena är alltså λ och λ Vi bestämmer nu motsvarande egenvektorer λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering Egenvektorerna är därför t t t t parameter Eftersom matrisen är smmetrisk spektralsatsen att egenrummen är ortogonala så för att bestämma två ortogonala och normerade egenvektorer räcker det att vi väljer en normerad vektor ur varje egenrum och d Sekularekvationen blir deta λe 8 λ 7 λ 8 λ7 λ λ λ + λ eller λ Vi har alltså egenvärdena λ och λ Vi bestämmer motsvarande egenvektorer λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering λ : Egenvektorerna är därför t t t t parameter Egenvektorerna är lösningar till A E Gausselimination Egenvektorerna är därför t t t parameter t
λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering - W Bestäm egenvärdena och tre parvis ortogonala och normerade egenvektorer till följande matriser b d Egenvektorerna är alltså t t t t parameter Vi har även i detta fall en smmetrisk matris så spektralsatsen att egenvektorer från olika egenrum är ortogonala Vi behöver alltså bara välja en normerad egenvektor ur respektive rum så är de ortogonala och b Egenvärdena ges av sekularekvationen λ deta λe λ λ λ + λ λ Gissning rötterna λ λ och λ Till varje egenvärde finns motsvarande egenrum λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering Egenvektorerna är därför t t t t t parameter
λ : λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering Egenvektorerna är därför t t t t - t parameter Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering Egenvektorerna är därför t t t t t parameter Eftersom matrisen är smmetrisk spektralsatsen att egenrummen är ortogonala så för att bestämma tre ortogonala normerade egenvektorer räcker det att välja en normerad vektor från respektive egenrum d Vi bestämmer egenvärdena med sekularekvationen λ deta λe λ λ λ + 7λ Gissning rötterna λ och λ och enligt faktorsatsen kan polnomet då skrivas som λ + 7λ λ + λ λ A och - - - där A är den tredje roten Stoppar vi in λ i sambandet fås A A Egenvärdena är alltså λ och λ dubbelrot Vi bestämmer nu egenvektorerna λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering 8 +
λ : 8 8 9 9 Egenvektorerna är därför t t t t 9 - t parameter Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering Egenvektorerna är s t s t s + t s t parametrar Vi ska nu välja tre ortogonala normerade egenvektorer Eftersom egenrummet som hör till λ är en-dimensionellt och egenrummet som hör till λ är två-dimensionellt väljer vi en egenvektor från första rummet och två egenvektorer från andra rummet och Att matrisen är smmetrisk garanterar att är vinkelrät mot egenrummet som och spänner upp Däremot behöver inte och som tillhör samma egenrum nödvändigtvis vara ortogonala För att få två ortogonala vektorer i egenrummet ersätter vi vektorn med dess komposant vinkelrätt mot Komposant mot Den vinkelräta komposanten blir + + + + De två vektorerna och är alltså ortogonala och spänner upp egenrummet med egenvärdet λ Vi har nu tre ortogonala egenvektorer Om vi normerar dem får vi svaret + + + + + +
Wb Bestäm en matris P sådan att P t AP blir en diagonalmatris D samt ange D då A Från uppgift b får vi att matrisen A har egenvärdena λ och λ Motsvarande ortonormerade egenvektorer är v respektive v Basbtesmatrisen blir därför P Ortogonal diagonalisering av en smmetrisk matris A är egentligen att vi uttrcker den linjära transformation som har A som matris i sin ortonormerade egenvektorbas v v basen bestående av A:s ortonormerade egenvektorer I egenvektorbasen har nämligen transformationen matrisen och diagonalmatrisen blir D D λ λ där λ och λ är A:s egenvärden och sambandet mellan transformationens två matriser A och D är Diagonaliseringen blir alltså A P DP t där P är basbtesmatrisen från egenvektorbasen till standardbasen och ges av P v v I korthet går alltså en ortogonal diagonalisering till som följer: Bestäm egenvärden λ λ och motsvarande ortonormala egenvektorer v v till matrisen A Anm Notera att egenvärdena i diagonalmatrisen är i samma ordning som motsvarande egenvektorer radas upp i P -matrisen Hade vi istället valt P dvs btt plats på egenvektorerna skulle diagonalmatrisen blivit D Bilda matrisen P v v Då är A P DP t där D λ λ
W Bestäm en ortogonalmatris P sådan att P t AP blir en diagonalmatris D samt ange D då A är matrisen b 7 e 8 8 Matrisen P är basbtesmatrisen från egenvektorbasen till standardbasen och ges av P v v v Diagonaliseringen av A lder alltså A P DP t dvs e Vi måste först bestämma egenvärden och egenvektorer till A Egenvärdena är rötter till sekularekvationen 7 λ deta λe λ 8 8 λ λ + 9λ + 8λ 79 λ 9 och λ 9 dubbelrot Vi räknar ut motsvarande egenvektorer λ 9: Egenvektorerna är lösningar till A 9E Gausseliminering där v v v är tre ortonormerade egenvektorer till matrisen A Diagonalmatrisen blir då D λ λ där λ λ λ är egenvärdena som hör till egenvektorerna v v respektive v b Vi har redan räknat ut egenvärden och egenvektorer i uppgift b och Matriserna P och D blir P λ λ λ och λ v v samt v och D 8 8 8 8 Egenvektorerna är alltså t t t t - - - t parameter
λ 9: Egenvektorerna är lösningar till A 9E Gausseliminering 8 8 8 8 Egenvektorerna är alltså s + t s s + t t - s t parametrar Vi har en smmetrisk matris så egenrummen är ortogonala Vill vi därför välja tre ortonormala egenvektorer behöver vi bara ordna med ortogonaliteten mellan vektorer inom samma egenrum Från egenrummet som svarar mot λ 9 får egenvektorn + + Egenrummet som svarar mot λ 9 spänns upp av två vektorer och För att få två ortogonala egenvektorer ersätter vi vektorn med dess komposant vinkelrätt mot + + + + 8 Två ortonormala egenvektorer i egenrummet är alltså och Basbtesmatrisen P kan vi alltså välja som P Då blir diagonalmatrisen D och diagonaliseringen lder 7 8 8 9 9 9 9 9 9 W Den smmetriska matrisen A har egenvektorerna
och som hör till egenvärdena respektive Bestäm A Eftersom matrisen A är smmetrisk är den ortogonalt diagonaliserbar A P DP t där matrisen P består av ortonormerade egenvektorer till A och diagonalmatrisen D av A:s egenvärden Normerar vi de tre egenvektorerna + + + + + + får vi tre ortonormerade egenvektorer eftersom A är smmetrisk är de ortogonala och P sätter vi till I diagonaliseringen blir då Vi får att A är A P DP t P D W7 Beräkning av matrispotenser Man kan beräkna en potens A k av en smmetrisk matris A för ett godtckligt positivt heltal k dvs produkten AA A av k faktorer A på följande sätt: Diagonalisera först A med hjälp av en lämplig ortogonalmatris: P t AP D Härav följer eftersom P P t att A P DP t Då är A AA P DP t P DP t P DP t P DP t P DEDP t P DDP t P D P t Allmänt får man på samma sätt att A k P D k P t Matrisen D k beräknas lätt: man finner att λ D λ D λ λ λ λ λ λ för godtckligt positivt heltal k D k λ k λ k b Beräkna A k för godtckligt positivt heltal k då A är matrisen A Ange speciellt A n och A n+ c Beräkna A n och A n+ då A 7 8 8 b Om vi ska använda metoden i uppgiftsteten måste vi först ortogonalt diagonalisera A Det första steget är att bestämma egenvärden och egenvektorer till A Egenvärdena är rötter till sekularekvationen λ deta λe λ λ λ + 9λ λ λ eller λ Vi bestämmer motsvarande egenvektorer
λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Vi Gausseliminerar Egenvektorerna är alltså t t t t t parameter Egenvektorerna är alltså t t t t t parameter λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Vi Gausseliminerar - - 8 - λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Vi Gausseliminerar Egenvektorerna är alltså t t t t t parameter Eftersom matrisen är smmetrisk och egenrummen är en-dimensionella får vi en ortonormerad egenvektorbas genom att välja en normerad vektor från varje egenrum + + + + + +
Basbtesmatrisen P blir och diagonaliseringen är A P DP t Potensmatrisen blir nu A k P t D k P P k k k k k k k k k k k k 9 k + + 9 k 9 k + + 9 k 9 k + 9 k 9 k + + 9 k 9 k + + 9 k 9 k + 9 k 9 k + 9 k 9 k + 9 k 9 k + + 9 k + k k k k k + k + k k + k + k När k n jämnt helta är k + och vi får A n n 8 När k n + udda heltal är k och vi får A n+ n n A c I uppgift e diagonaliserade vi matrisen A 7 8 8 9 9 9 Potenser av A blir därför A k P D k P t 9k 9k 9k 9k 9 k 9 k 9 k 9k 9k 9k 9 k 9 k 9 9k + 9k + 9 9k 9 9k + 9k 8 9 9k 9 9k + 9k 8 9 9k 9 9k + 9k + 9 9k 9 9k + 9 k + 9 9k 9 9k + 9 k 9 9k 9 9k + 9 k + 9 9k 9 9k + 9 k 9 9k 9 9k + 9 k + 9 9k + k k k k + k + k k + k + k
När k n jämnt heltal är k + och vi får A n 9n 9 n E När k n + udda heltal är k och vi får A n+ 9n 9 n E W8 Fibonaccis talföljd { n} n dvs definieras genom rekursionsformeln n n + n och begnnelsevärdena Man finner följden 8 Övergången från talen n och n till talen n och n kan skrivas n n n n Bestäm med hjälp härav en eplicit formel för n dvs uttrck n som en funktion av n Vad kan sägas om n för stora n Om vi använder matrissambandet några gån så kan vi uttda mönstret n n n Även om vi kan vara ganska övertgande om att är riktig så behöver vi någon metod för att helt säkert fastställa att är sann Formeln är egentligen ett uttalande om oändligt många samband och är en indeering uppräkning av alla dessa samband Vad vi kan notera i är att varje påstående bg på ett tidigare påstående Påstående nr n får vi från påstående nr n genom n n n n n n Det är just i dessa tper av situationer som matematisk induktion är lämplig som bevismetod Låt P n vara påståendet Basfallet P är sann t vl av P n n n hl av P
Induktionssteget Vi visar att P n P n+ n+ n vl av P n+ n n n { P n antas vara sann } n hl av P n+ Av induktionsaiomet följer att P n är sann för alla positiva heltal n Vi har alltså visat att n n n för alla n För att räkna ut n behöver vi alltså kunna beräkna n Vi kan använda metoden i uppgift 8: Diagonalisera P DP t Då är n P DP t P DP t P DP t P D P t P D P t P P t P DP t P D n P t Matrisen har egenvärdena λ λ λλ λ λ λ ± Motsvarande egenvektorer är λ : Egenvektorerna är lösningar till A E Gausseliminering + + + + Egenvektorerna är alltså t t t + t parameter λ + : Egenvektorerna är lösningar till A + E Gausseliminering Egenvektorerna är alltså + t t t Normerade egenvektorer från varje egenrum är + t parameter + + + +
Vi sätter alltså och får + P + + W Överför genom en ortogonal koordinattransformation följande kvadratiska former till kanonisk form Ange även den använda koordinattransformationen Använd resultaten från uppgift och b + + d 8 + 7 f + + + h + + 8 n P D n P t + + + + + + + n Vi får därför en formel för n n n n + n n + n + n n + n + n + n n + n + + n + n n + Eftersom < < så kommer kommer n vara eponentiellt liten när n är stor och vi har n + n b Vi skriver först den kvadratiska formen med en matris + + Diagonalelementen i matrisen är koefficienterna framför kvadrattermerna och de två utomdiagonala elementen svarar båda mot korstermens koefficient Den kvadratiska formens matris är smmetrisk och enligt uppgift b har den följande egenvärden och normerade egenvektorer egenvärden egenvektorer Vi väljer därför basbtesmatrisen från egenvektorbasen till standardbasen som P Notera att vi ordnat kolumnerna i P så att det P + vilket betder att basbtet är en rotation I de na koordinaterna P t blir den kvadratiska formen + +
Detta är den kvadratiska formen skriven i kanonisk form d Den kvadratiska formen blir i matrisform Matrisen Egenvektorbasen 8 + 7 8 7 A 8 7 har enligt uppgift d följande egenvärden och egenvektorer egenvärden egenvektorer Vi väljer därför diagonaliseringsmatrisen till P f Vi skriver den kvadratiska formen i matrisform + + + Från uppgift b får vi att matrisen har egenvärdena och egenvektorerna egenvärden egenvektorer Vi väljer basbtesmatrisen till P I egenvektorbasens koordinater P t det P + + + + + + har den kvadratiska formen det kanoniska utseendet + + I de na koordinaterna P t + + i egenvektorbasen har den kvadratiska formens sk kanoniska form utseendet +
h Först skriver vi om den kvadratiska formen i matrisform + + 8 Matrisen är densamma som i uppgift d och har egenvärdena och egenvektorerna egenvärden egenvektorer Basbtesmatrisen sätter vi därför till P och i de na koordinaterna P t blir den kanoniska formen det P + + + + + + + W Ange den geometriska betdelsen av andragradsekvationerna b Q + + d Q 8 + 7 f Q + + + h Q + + 8 I uppgift skrev vi de kvadratiska formerna i kanonisk form och vi ska utnttja detta för att ange vilken tp av kurva/ta ekvation bestämmer b I egenvektorbasen har ekvationen utseendet / / vilket är en hperbel med halvalar och d Ekvationen blir i egenvektorbasen + / vilket är en ellips med halvalar och + /
f När vi bter till egenvektorbasen får ekvationen utseendet + + + / + / vilket är en enmantlad hperboloid med -aeln som ael och halvalar och W Ange den geometriska betdelsen av andragradsekvationerna b Q + + d Q 8 + 7 f Q + + + h Q + + 8 Vi använder kanoniska formerna som vi räknade ut i uppgift för att ange vilken tp av kurva/ta respektive ekvation bestämmer b Ekvationen har följande utseende i egenvektorbasen / + / h Ekvationens utseende i egenvektorbasen är vilket är en hperbel med halvalar / och / + + / + / + / Detta är en enmantlad hperboloid med -aeln som ael och halvalar och / d Ekvationen blir i egenvektorbasen + Eftersom vänsterledet är summan av två kvadrater och alltid positiv finns det inga punkter som uppfller ekvationer f I egenvektorbasen har ekvationen utseende + + + / + /
Vi känner igen denna ta som en tvåmantlad hperboloid med -aeln som ael och halvalar h Ekvationens utseende i egenvektorbasen är + + / + / + / vilket är en tvåmantlad hperboloid med -aeln som smmetriael och halvalar och W Ange den geometriska betdelsen av andragradsekvationerna b Q + + d Q 8 + 7 f Q + + + h Q + + 8 Vi gör som i de tidigare uppgifterna och skriver om ekvationerna i kanonisk form b / + / / / / + / / / eller / + / d / + / f + / + / h / + / + / Då ser vi att vi har två räta linjer i b-uppgiften och origo i d-uppgiften I f- och h-uppgifterna har vi koner med -aeln som ael