SAL: TER3 TENTAMEN I TSRT9 REGLERTEKNIK TID: 28-4-3 kl. 4: 9: KURS: TSRT9 Reglerteknik PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Martin Enqvist, tel. 7-69294 BESÖKER SALEN: cirka kl. 5: och 7: KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, 3-282225, ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL:. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook, C. Nordling & J. Österman: Physics handbook, S. Söderkvist: Formler & tabeller 3. Miniräknare utan färdiga program Normala inläsningsanteckningar får finnas i böckerna. LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum 28-4-25, kl. 2.3 3. på examinatorns rum, B-huset, ingång 25, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!
. (a) Betrakta uppskjutningen av en satellit med hjälp av en raket. Under uppskjutningen vill man att raketen ska följa en viss förutbestämd hastighetsprofil, det vill säga att hastigheten ska ha ett visst värde vid varje tidpunkt. Genom att variera kraften som raketmotorn alstrar kan man påverka raketens acceleration och därmed hastigheten. Målet är att satelliten ska hamna i en viss omloppsbana med en viss hastighet. Med hjälp av reglerteknik och återkoppling kan man få raketen att följa den förutbestämda hastighetsprofilen bättre. Förklara vad som är styrsignal, referenssignal och mätsignal i denna tillämpning, samt varför en god hastighetsreglering kan ge miljömässiga vinster. (4p) (b) Ett system ges av tillståndsmodellen ẋ(t) = x(t) + 2 u(t) y(t) = 2 x(t) Ange systemets poler, nollställen samt statiska förstärkning. (4p) (c) Stigtiden för ett system definieras (som bekant) som den tid det tar för stegsvaret att gå från % till 9% av sitt slutvärde. Betrakta nu ett system ges av differentialekvationen ẏ(t) = y(t) + 4u(t) Vilken stigtid har systemet? (2p) 2
2. (a) Antag att ett system styrs med PID-återkopplingen Y (s) = G(s)U(s) U(s) = (K P + K I s + K Ds)(R(s) Y (s)) I figur visas det återkopplade systemets stegsvar för följande fyra inställningar av regulatorparametrarna K P, K I och K D. (i) K P = 5 K I = 4 K D = (ii) K P = 5 K I = 2 K D = (iii) K P = 5 K I = K D = 2 (iv) K P = 5 K I = K D = Kombinera stegsvaren med parametervärdena. Motivera! (4p) A B.5 From: U().5 From: U() Amplitude To: Y() Amplitude To: Y() 2 4 6 8 2 4 6 8 Time (sec.) Time (sec.) C D.5 From: U() From: U().8 Amplitude To: Y() Amplitude To: Y().6.4.2 2 4 6 8 2 4 6 8 Time (sec.) Time (sec.) Figur : Stegsvar för de slutna systemen i uppgift 2(a). 3
(b) Betrakta följande fyra överföringsfunktioner: 2 G = s +.2 5 G 3 = s 2 + 6s + G 2 = s 2 + s + G 4 = 5 s 2 + s Vi återkopplar dessa system med en P-regulator, F (s) =, enligt blockschemat i figur 2. r Σ F u G y + Figur 2: Slutet system i uppgift 2(b). I figur 3 finns det fyra stegsvar för det slutna systemet, Sa, Sb, Sc, och Sd. I figur 4 finns det fyra bodediagram för det slutna systemet, BCa, BCb, BCc, och BCd. I figur 5 finns det fyra bodediagram för det öppna systemet, BOa, BOb, BOc, och BOd. I figur 6 finns det fyra nyquistkurvor för det öppna systemet, Na, Nb, Nc, och N d. (Grafens beteckning står över respektive figur.) Koppla ihop ett stegsvar, ett bodediagram för slutet system, ett bodediagram för öppet system och en nyquistkurva till varje överföringsfunktion. För att svaren ska ge poäng krävs motiveringar. Poäng ges för de figurer som har hamnat hos rätt överföringsfunktion. (6p) 4
.5 Stegsvar Sa.5 Stegsvar Sb.4.4.3.3.2.2...9.9.8.8 y(t).7 y(t).7.6.6.4.4.3.3.2.2.. y(t).5.4.3.2..9.8.7.6.4.3.2. 2 3 4 5 6 7 8 9 t Stegsvar Sc 2 3 4 5 6 7 8 9 t y(t).5.4.3.2..9.8.7.6.4.3.2. 2 3 4 5 6 7 8 9 t Stegsvar Sd 2 3 4 5 6 7 8 9 t Figur 3: Stegsvar för de slutna systemen i uppgift 2(b). Bode slutet BCa Bode slutet BCb Gc(i) Gc(i) 2 Bode slutet BCc 2 Bode slutet BCd Gc(i) Gc(i) 2 2 Figur 4: Bodediagram för de slutna 5 systemen i uppgift 2(b).
2 Bode öppet BOa, amplitud 2 Bode öppet BOb, amplitud Go(i) 2 Go(i) 2 4 2 2 Bode öppet BOa, fas 4 2 2 Bode öppet BOb, fas 5 5 arg(go(i)) arg(go(i)) 5 5 2 2 2 2 2 2 2 Bode öppet BOc, amplitud 4 Bode öppet BOd, amplitud Go(i) 2 Go(i) 2 2 4 2 2 Bode öppet BOc, fas 4 2 2 8 Bode öppet BOd, fas 2 arg(go(i)) 4 6 arg(go(i)) 2 4 8 6 2 2 8 2 2 Figur 5: Bodediagram för de öppna systemen i uppgift 2(b). Nyquist Na Nyquist Nb 5 2 5 Im(Go(i)) 3 Im(Go(i)) 2 4 25 5 3 6 35 7 2 4 6 8 Re(Go(i)) Nyquist Nc 4 7 6 5 4 3 2 Re(Go(i)) 2 Nyquist Nd 2 Im(Go(i)) 4 6 Im(Go(i)) 2 3 8 4 5 4 2 2 4 6 8 Re(Go(i)) 6 6 2 2 4 6 8 Re(Go(i)) Figur 6: Nyquistkurvor för systemen i uppgift 2(b).
3. Bodediagrammet för ett system ges i figur 7. (a) Ange en möjlig kombination av värden på n, m och p så att överföringsfunktionen stämmer med det givna bodediagrammet. G(s) = (s + z )... (s + z m ) s p (s + p )... (s + p n ) (b) Antag att systemet styrs med proportionell återkoppling U(s) = K P (R(s) Y (s)). (2p) Hur stor skärfrekvens kan uppnås om man vill ha en fasmarginal på minst 3? Vilket värde på K P ger denna skärfrekvens? (2p) (c) Antag att systemet styrs med integrerande återkoppling U(s) = K I (R(s) Y (s)). s Hur stor skärfrekvens kan uppnås om man vill ha en fasmarginal på minst 3? Vilket värde på K I ger denna skärfrekvens? (3p) (d) Antag att systemet styrs med en fasretarderande länk (lag-länk) U(s) = K τ Is + (R(s) Y (s)). τ I s + γ Hur ska τ I, γ och K väljas så att det stationära felet när referenssignalen är ett enhetssteg blir maximalt. och fasmarginalen 3? (3p) 7
Bode Diagram Magnitude (abs) 2 4 6 Phase (deg) 8 3 6 9 2 5 8 2 24 27 2 2 3 Frequency (rad/s) Figur 7: Bodediagram till uppgift 3. 8
4. (a) Antag att man tänker reglera systemet 2 2 ẋ(t) = x(t) + y(t) = x(t) med regulatorn 2 ˆx(t) = ˆx(t) + u(t) = ˆx(t) + r(t) u(t) r(t) + 6 y(t) Kommer detta att fungera? Om inte, åtgärda problemet. (7p) (b) Beräkna det icke observerbara underrummet till ett system med A = 2 2 och C = 2 (3p) 9
5. (a) Med hjälp av modellen 2 G(s) = s 3 + 7s 2 + 4s har man tagit fram en P-regulator med K P = som ger ett stabilt slutet system G c (s) med acceptabel prestanda. Bodediagrammet för G c (s) visas i figur 8. Det sanna systemet G (s) skiljer sig dock lite från modellen och ges av G 2 + γ (s) = s 3 + 7s 2 + 4s För vilka värden på γ kan man använda robusthetskriteriet för att garantera att det slutna systemet som fås när G (s) återkopplas med den valda P-regulatorn också är stabilt? (5p).5 Bode Diagram Magnitude (db).5 2 2 Frequency (rad/sec) Figur 8: Bodediagram för G c (s) i uppgift 5(a). (b) Använd modellen G(s) = s +, regulatorn F (s) = 2 och det sanna systemet G (s) = s + för att visa att robusthetskriteriet bara ger tillräckliga krav för stabilitet, det vill säga att det sanna slutna systemet kan vara stabilt även om kraven i robusthetskriteriet inte är uppfyllda. (5p)