Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna -6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga. Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. För betyg krävs utöver godkänt resultat från -7 minst 50% (0 poäng) från uppgift 0, för betyg 5 minst 75% (0 poäng). För uppgifterna -7 (godkäntdelen) gäller att ni kan välja mellan att bara ge svar eller ge fullständig lösning. Korrekt svar ger poäng, om svaret är felaktigt finns det en möjlighet att en tillräckligt korrekt bifogad lösning ger poäng. För uppgift 8- ska fullständiga, tydliga och renskrivna lösningar redovisas (använd ett blad per uppgift). Följande uppgifter bedöms för betyg godkänt (). Om inget annat anges, ger uppgifterna i denna del en poäng.. (Dugga.) (a) Bestäm v (v u) om v = 7 and u = 5 57 (b) Bestäm en ekvation på normalform för planet som går genom punkten mot vektorn som går mellan punkterna och 0. (p) och som är vinkelrät. (Dugga.) x + y z w = (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet x y + z + w = 0 (p) y z w = k (b) För vilka värden på det reella talet k är ekvationssystemet som har koefficientmatrisen och högerledet inte lösbart? p (p)
. (Dugga.) 0 (a) Visa att span,, 0 0 0 innehåller alla vektorer vars tredje koordinat är noll. (b) Beräkna A T B om A = och B = 0 5 (c) Visa att vektorerna,,. (Dugga.) 0 0 0 0 (a) Beräkna inversen av 0 0. 0 0 0 0 (b) Bestäm en bas för kolonnrummet för matrisen och 0 5 0 0 0 är linjärt beroende.. (p) (p) (p) (p) (p) 5. (Dugga.) (a) Är T : R R, definierad av x x + y y T z = y x en linjär avbildning? Motivera svaret väl. w w (b) Beräkna ett egenvärde och en egenvektor som hör till detta egenvärde för matrisen A = Motivera svaren väl. (p) 0 0 0 0 0. 0 0 (p)
6. (Dugga.) (a) Beräkna determinanten för matrisen A = 5 (p) (b) Bestäm en ortogonal bas för rummet R som uppfyller villkoret att två basvektorerna är parallella med vektorerna och. (p) 7. Finn normalekvationen för det plan i R som är ett underrum till R och som innehåller punkterna u = 5 och v =. Bestäm också en bas till detta rum. (p)
Följande uppgifter bedöms för betyg och 5. 8. (a) Finn ekvationen på normalform för ett plan P i R som är vinkelrät mot ett plan med normlavektorn och som innehåller linjen vars ekvation på vektorform är x = u + tv, t R, där u = och v = (b) Bestäm avståndet mellan de två planen x + y + z = 5 och x + y + z = 8. Motivera svaren väl. (p) 9. (a) Bestäm för vilka värden på paramentern k ekvationssystemet som har totalmatrisen (eller alternativt uttryckt, den utökade koefficientmatrisen) k k k k k har lösning, och för vilka värden på k det inte har någon lösning. Bestäm alla lösningar till systemet för de värden på parametern k för vilka systemet är lösbart. (b) Ge ett enkelt argument, utan att bestämma någon lösning, för varför systemet { x + y + z = 0 x + y = 0 (5p) (6p) har icketriviala lösning. (c) Bestäm en bas för kolonnrummet för matrisen 5 6 A = 5 8 9 8 (d) Vilken dimension har nollrummet för matrisen A i (c). (p) (p) (p) 0. (a) Beräkna determinanten av matrisprodukten A B där (p) 0 0 0 0 0 0 0 A = 0 0 0 och. B = 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (b) Beräkna inversen för matrisprodukten A B i deluppgift a), eller motivera varför den inte är inverterbar. (p)
. (a) Beräkna ett egenvärde och en egenvektor som hör till detta egenvärde för matrisen A = Motivera svaren väl.. (p) (b) En kvadratisk matris A av ordning är diagonaliserbar och har egenvärdena λ = λ =, λ =, λ =. Motivera varför alla element i matrispotenserna An kommer att närma sig noll när potensen n går mot oåndligheten. (p). (a) Finn en bas för rummet av alla matriser av rang som är både symmetrisska och triangulära. Motivera att ditt svar är en bas för det aktuella rummet. (b) Visa att mängden av alla -matriser som är av typen 0 0 0 0 a 0 0 0 b c d 0 e f g h där a, b,..., h är godtyckliga reella tal, är ett linjärt vektorrum med matrisaddition som vektoraddition och multiplikation av matris med skalär som multiplikation av vektor med skalär. Vilken dimension har detta rum? Motivera svaren väl, (p) (p) Lycka till! Jan-Olav R, Stefan K 5
English version The course is graded,, 5 or failed, where 5 is the highest grade. To pass ( or higher) a minimum of points is needed from the first part (-7). Each of those seven problems gives at most points. For each of problems -6 one may choose, instead of solving the problem, to use the grading from the class exams (duggor). Mark this choice by writing DUGGA instead of giving an answer. For higher grades you have to pass the first part and collect at least 0 points (50%) from the second part for grade and 0 points (75%) for grade 5. For all problems, answers are to be given with complete, clear and cleanly written solutions (only use one paper for each solution). The following problems are contributing to the grade passed (). If nothing else is stated, a problem in this part gives point.. (Dugga.) (a) Calculate v (v u) if v = 7 and u = 5 57 (b) Find an equation in normal form for the plane that contains the point the vector between the points and 0 (p) and is ortogonal with. p. (Dugga.) x + y z w = (a) Find all solutions to the equation system x y + z + w = 0 (p) y z w = k (b) For which values of the real number k is the equation system with the coefficient matrix and the right hand side not solveable? (p) 6
. (Dugga.) 0 (a) Show that span,, 0 0 0 contains all vectors whose third coordinate is zero. (b) Calculate A T B if A = and B = 0 5 (c) Show that the vectors,,. (Dugga.) 0 0 0 0 (a) Calculate the inverse of 0 0. 0 0 0 0 (b) Find a basis for the column space for the matrix 0 5 och 0 0 0 are linearly dependent.. (p) (p) (p) (p) (p) 5. (Dugga.) (a) Is T : R R, defined by x x + y y T z = y x a linear mapping? Motivate the answer well. w w (b) Calculate an eigenvalue and an eigenvector corresponding to this eigenvalue for the matrix A = 0 0 0 0 0. Motivate the answer well. (p) 0 0 (p) 7
6. (Dugga.) (a) Calculate the determinant of the matrix A = 5 (p) (b) Find an orthogonal basis for the space R that satisfies the conditon that two of the vectors of the baiss are parallel with the vectors and. (p) 7. Find the normal equation for the plane in R that is a subspace of R and contains the points u = and v = 5. Find a basis for this subspace. (p) 8
The following problems are considered for the grades and 5. 8. (a) Find the equation in normal form for a plane P in R that is ortogonal to a plane with normal vector and contains the line whose equation on vector form is x = u + tv, t R, where u = and v =. (5p) (b) Find the distance between the planes x + y + z = 5 och x + y + z = 8. Motivate your answer well. (p) 9. (a) Determine for which values of the paramenter k the equation system with the total matrix k k k k k haa a solution, and for which values of k it has no solution. Find all solutions to the systeme for the values of the parameter k giving a systeme which is solveable. (6p) (b) Give a simple argument, without determing a solution, why the equation system { x + y + z = 0 x + y = 0 has non-trivial solutions. (c) Determine a basis for the column space for the matrix 5 6 A = 5 8 9 8 (p) (p) (d) Which dimension do the null space for the matrix A in (c) have? (p) 0. (a) Calculate the determinant of the matrix product A B where (p) 0 0 0 0 0 0 0 A = 0 0 0 and 6 0 0 0 0 B = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. (b) Calculate the inverse of the matrix product A B given in a), or motivate why it is not invertible.(p). (a) Calculate an eigenvalue and a corresponding eigenvector for the matrix A =. Motivate your answer well. (p) 9
(b) A square matrix A of order is diagonalizable and has the eigenvalues λ = λ =, λ =, λ =. Motivate why all elements in the matrix powers A n tend to zero when the exponent n approach infinity. (p). (a) Find a basis for the space of all matrices of order that is both symmetric and triangular. Motivate that your answer is a basis for the actual space. (p) (b) Shov that the set of all -matrices of the type 0 0 0 0 a 0 0 0 b c d 0 e f g h where a, b,..., h are arbitrary real numbers, is a linear vector space with matrix addition as vector addition and multiplication of a matrix with a scalar as multiplication of a vector with a scalar. Which dimension do this space have? Motivate your answer well, (p) Good luck! Jan-Olav R, Stefan K 0