Matematik för ingenjörer fortsättningskurs

MF V.72 Matematik för ingenjörer fortsättningskurs Föreläsningar, 26-29 Mikael Forsberg Version.72

Stockholm 26-29 c Mikael Forsberg F

Innehåll Förord v Talföljder och serier. Talföljder................................2 Serier................................. 4 2 Konvergenskriterier 7 2. Introduktion............................. 7 2.2 Jämförelsekriterier.......................... 7 2.2. Jämförelsetestet....................... 8 2.2.2 Integralkriteriet........................ 8 2.3 Kvotkriteriet............................. 9 3 Potensserier 3. Absolutkonvergens.......................... 3.2 Allmänna potensserier........................ 2 3.2. Derivering och integrering av potensserier......... 4 3.3 Taylor och MacLaurinserier..................... 5 3.4 Potensserielösning av differentialekvationer............ 8 4 Approximation och Interpolation 2 4. Taylorapproximation......................... 2 4.2 Interpolation............................. 24 4.2. Interpolationsproblemet................... 24 4.2.2 Lagrangelösningen av interpolationsproblemet....... 25 4.3 Övningar till kapitel 4........................ 26 5 Komplettering i linjär algebra 29 5. Om baser till vektorrum....................... 29 5.. Baser för radrum, kolonnrum och nollrum till en matris. 32 5..2 Ortogonala och ortonormala baser............. 34 5.2 Matrisen som avbildning....................... 36 5.3 Linjära operatorer.......................... 38 5.3. Isometrier........................... 39

ii INNEHÅLL 5.4 Egenvärden och egenvektorer.................... 39 5.4. Användningar av egenteorin................. 42 5.5 Blandade övningsuppgifter...................... 44 6 System av differentialekvationer 45 6. Inledande exempel.......................... 45 6.2 Lösning till homogena, autonoma system.............. 47 6.2. System med olika egenvärden................ 48 6.2.2 System med dubbla egenvärden............... 49 6.2.3 System med komplexa egenvärden............. 5 6.3 stabilitet................................ 55 A Komplexa Tal 6 A. Definition av komplexa tal...................... 6 A.2 De fyra räknesätten......................... 6 A.3 Konjugatet och absolutbeloppet till ett komplext tal....... 62 A.3. Räkneregler för konjugat och belopp............ 63 A.4 Rektangulära och polära koordinater................ 63 A.5 Polär form och exponentialfunktionen............... 64 A.6 Geometrisk tolkning av multiplikation av komplexa tal...... 65 A.7 De Moivres formel.......................... 65 A.8 Nollställen till andragradspolynom................. 66 A.9 Den binomiska ekvationen...................... 67 B Parametriserade kurvor 69 B. Kurvor i planet............................ 69 B.2 Kurvor i rummet........................... 7 B.3 Båglängd och båglängdsparametrisering.............. 7 B.3. Båglängd........................... 7 B.3.2 Båglängden som parameter................. 72 B.3.3 Frenetramen......................... 73 B.4 Krökning och torsion......................... 74 B.4. Krökning........................... 74 B.4.2 Krökning för kurva med godtycklig parametrisering.... 75 B.4.3 Torsion............................ 75 B.4.4 Frenets formler........................ 75 B.4.5 Exempel: Cirkulär helix................... 76 C Change Log 79 C. changes per version of this document................ 79 C.2 ToDo list............................... 79 Sakregister 8

Figurer. Bild till exempel..3. Den streckade linjen representerar grafen till funktionen x. Notera hur vår följds graf kan beräknas som värdena för denna funktion när x är heltal............. 2.2 För att seriens termer ska ligga högst ε från gränsen G (det mörkare området) måste termens nummer passera N. Om vi kräver att vi ska ligga högst ε 2 från G så måste vi gå längre bort (förbi N 2 ) i följden.......................... 3.3 Jämförelse mellan harmoniska seriens summa (som är lika med arean av staplarna) och arean under kurvan /x. Man ser tydligt att stapelsummans area är större än arean under kurvan varför seriens summa är större än integralen av /x från ett till oändligheten. 6 3. Konvergens för den alternerande harmoniska följden....... 2 4. Approximation av sin x med tredje gradens Taylorpolynom... 23 5. Figur till exempel 5.2.5....................... 38 5.2 Ellipsen som ges av ekvation (5.6), här återgiven med sina symmetriaxlar............................... 43 5.3 I de nya variablerna X och Y blir vår sneda ellips i stället en vanlig ellips som ligger symmetriskt kring de nya axlarna. Notera att de nya axlarna är symmetrisaxlarna till den sneda ellipsen som vi såg i figur 5.2......................... 44 6. Bild till exempel 6.......................... 46 6.2 Riktningsfält och lösningskurvor för systemet (6.8). Notera att vi kan ana att kurvorna närmar sig två räta linjer som korsas i origo.. 49 6.3 Fasporträtt/riktningsfält med lösningskurvor för exempel 6.2.6. 55 6.4 Stjärnkartan : Stabilitet för system av differentialekvationer beror av tecknen för diskriminanten, spåret p och determinanten q. 57 6.5 Figur till exempel 6.3.5....................... 59 A. Komplexa konjugatet och absolutbeloppet till ett komplext tal. 62 A.2 Rektangulär och polär beskrivning av komplexa tal........ 64 A.3 Geometrisk tolkning av komplex multiplikation.......... 65

iv FIGURER B. En cirkel kan beskrivas som en parameterkurva........... 7 B.2 Parametrisk färdväg för en bil.................... 7 B.3 Ideń bakom båglängselementet, ds.................. 7 B.4 Överförd skala från parameterintervallet............... 72 B.5 Konstruktion av det oskulerande planet som fås som gräns när h och k tillåts gå mot noll........................ 73 B.6 Frenetramen, normalplanet, oskulerande planet och den oskulerande cirkeln............................. 74 B.7 Cirkulär helix med radie R = och lutning C =........ 76 B.8 Cirkulär helix med osculerande cirkel................ 77

Förord Detta dokument utgör huvuddelen av föreläsningsanteckningarna till kursen Matematik för Ingenjörer, fortsättningskurs, 3mi32a. Detta gör att materialet till en början kan vara lite rått, med behov av rättelser och andra förbättrningar. Förhoppningen är att föreläsningarna tillsammans med kommentarer och påpekanden från Er i slutändan att ge en skrift som på ett bra sätt återger innehållet i kursen. Versionshantering För att hålla koll på rättelser, ändringar och dokumentets utveckling så införs ett enkelt versionshanteringssystem. Målsättningen är att som slutresultat få fram ett dokument med versions nummer V.. Det första dokumentent som publiceras på kurssajten får nummret V. Versionsnyckel: Betyder att nytt innehåll, t.ex. ett nytt kapitel, till- Ökning av en tiondel : fogats Ökning av en hundradel : Betyder att rättelser och mindre ändringar gjorts Betyder att mindre avsnitt, ex- Ökning av två eller flera hundradelar : empel eller övningsuppgifter lagts till. Exempel : Om detta dokument är V. och så lägger jag till ett kapitel så blir nästa dokument V.2. Om detta dokument är V. och jag gör ett par rättelser, t.ex. i något exempel så kommer det nya dokumentet få versionsnummer V.. Om vi till version V. lägger till ett exempel + två övningsuppgifter så blir den nya versionen V.2, typ.

vi Förord

Kapitel Talföljder och serier I detta kapitel ska vi lära oss grunderna om talföljder och serier. Framförallt är det intressant att studera följder som konvergerar, dvs närmar sig ett visst ändligt värde. En serie får man om man summerar alla tal i en talföljd. Detta innebär att serien kan bli eller inte bli ett ändligt tal och man talar då om att serien konvergerar eller divergerar. Vi ska se hur konvergensbegreppet för talföljder överförs till serierna. I detta kapitel (liksom i många andra) så är det viktigt att man studerar och förstår exemplen.. Talföljder En talföljd är helt enkelt en följd med tal som exempel: Exempel... Fibonacciföljden, döpt efter Fibonacci,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55,... Här följer en mer formell definition av talföljder: Definition..2. En funktion f : Z R kallar man för en talföljd, eller följd. Vanligen betecknas följden som {a n }, där a n = f(n). Exempel..3. Ett viktigt exempel är den harmoniska följden: a n = n, n =, 2, 3,... vars graf vi visar i figur. Detta var ett exempel på hur en följd genereras av en funktion. Men vårt första exempel hade en annan karaktär. Fibonacci, Leonardo från Pisa,(ca 7-ca 25), introducerade i sin bok Liber abacci de arabiska siffrorna (dvs våra vanliga siffror) till Europa.

2 Talföljder och serier 2 2 3 4 5 6 x Figur.: Bild till exempel..3. Den streckade linjen representerar grafen till funktionen x. Notera hur vår följds graf kan beräknas som värdena för denna funktion när x är heltal. Exempel..4. Fibonacciföljden är inte så enkel att ge på formen i definition..2. Fibonacciföljden definieras oftast rekursivt a = a = a n = a n 2 + a n, dvs, ett tal i följden ges alltså som summan av de två föregående talen. Vi återgår nu till följder som genereras via funktioner. Om vi tittar på bilden i figur. så ser vi tydligt hur följden består av värden som blir allt mindre. Det är uppenbarligen så att a n = n går mot noll då n. Man säger då att följden konvergerar mot noll. Detta begrepp kan formellt definieras enligt Definition..5. En talföljd {a n } sägs konvergera till gränsen G om följande gäller: för alla ɛ > det finns ett positivt heltal N så att a n G < ɛ när n > N. Man skriver ofta att lim n a n = G

. Talföljder 3 Detta betyder att vår följd ska hamna godtyckligt nära gränsen G bara vi går tillräckligt långt bort i följden. Vi illustrerar definitionen med följande bild G+E G G+E2 G-E2 G-E n N N2 Figur.2: För att seriens termer ska ligga högst ε från gränsen G (det mörkare området) måste termens nummer passera N. Om vi kräver att vi ska ligga högst ε 2 från G så måste vi gå längre bort (förbi N 2 ) i följden. Exempel..6. Vi studerar gränsvärdesdefinitionen med hjälp av vår harmoniska följd. Låt oss välja ɛ = 3 =.. Då behöver vi hitta ett heltal N så att a n G = n = n <. om n > N. Det är uppenbart att =. 3 så vi kan alltså välja N = och kräva att n >. Om vi väljer ett ändå mindre ɛ så måste vi välja N ɛ. Detta visar i princip att den harmoniska följden konvergerar mot noll. Exempel..7. Fibonacciföljdens termer blir större och större och det finns inget ändligt tal som följden konvergerar mot. I ett sådant fall säger vi att följden divergerar mot oändligheten. Exempel..8. Låt oss definiera en följd genom b n = ( ) n. Denna följd hoppar tydligen mellan två värden (om n är jämn) och (om n är udda). Följden närmar sig inget speciellt värde och går inte mot oändligheten. Man säger att en sådan här följd är divergent. Exempel..9. Låt oss titta på ytterligare ett exempel, denna gång en geometrisk följd a n = r n, n =, 2,.... En geometrisk följd karakteriseras av att kvoten mellan två på varandra följande termer är konstant, med vår beteckc Mikael Forsberg 29

4 Talföljder och serier ningar får vi a n+ a n = rn+ r n r (döpt efter engelskans ration=kvot) kallas följdens kvot. Vi lämnar det till en övning att visa att denna följd divergerar mot oändligheten då r >, konvergerar mot noll om r <. Övning.. Visa med definitionen av konvergens att följden a n = r n, n =, 2,... konvergerar mot noll om r < och divergerar till oändligheten om r >. Vad händer då r =? Ett problem med definition..5 är att man måste veta vad gränsen är innan man kan börja studera om följden över huvud taget konvergerar. Vi ska nu titta på de så kallade Cauchy följderna som hjälper oss med detta Definition... En följd a n kallas för Cauchy följd om för alla ɛ > det finns ett heltal N så att a m a n < ɛ så fort som m, n N. Poängen med denna definition är att vi bara använder kunskaper om följden själv. Användbarheten av definition.. följer av följande sats Theorem... En reell talföljd konvergerar om och bara om den är en Cauchy följd. För att undersöka om en följd konvergerar eller inte så behöver vi bara använda definition....2 Serier = r Kortfattat kan man säga att en serie är en summerad talföljd Definition.2.. En serie får man om man summerar en talföljd {a n } vi skriver a n = a + a 2 +... n= Seriens delsummor definieras av och S N = N a n = a + a 2 + + a N, n= och bildar en talföljd {S N }. Om denna talföljd har ett gränsvärde så kallar vi det för S och är seriens summa eftersom vi då har S = a n = a + a 2 +... n= Man säger då att serien konvergerar.

.2 Serier 5 Exempel.2.2. Om vi summerar den geometriska talföljden från exempel..9 så får vi den geometriska serien r k (.) k= Denna serie är mycket viktig när vi ska studera potensserier. Den geometriska seriens delsummor ges av n S n = r k (.2) k= Vi kan räkna ut delsummans värde genom S n ( r) = S n rs n = r n+ S n = r n+, (.3) r från vilket det är möjligt att analysera hur seriens summa S beror av r. Eftersom om r < lim n rn+ = om r = divergent om r > och r = (.4) så får vi r om r < S = om r divergent om r (.5) Eftersom en oändlig summa också betraktas som oegentlig säger vi att den geometriska serien divergerar om r. En viktig sak att observera från detta exempel är att följden går mot noll där serien konvergerar, ty vi har att serien konvergerar om r < vilket precis är villkoret för att följden ska gå mot noll. Detta exempel är ett exempel på följande proposition: Proposition.2.3. Låt {a n } n= vara en följd ovh n= a n dess motsvarande serie. Då har vi a n lim a n = (.6) n n= Notera att pilens riktning i denna proposition inte får vändas; en serie kan divergera även om dess följd går mot noll. Detta är slutsatsen vi kan dra från följande exempel:

6 Talföljder och serier Exempel.2.4. Vittar här på den harmoniska följden vi studerade i exempel..3 och i figur.. Om vi summerar denna följd så får vi den harmoniska serien: (.7) n n= Hur stor blir denna summa? Om vi tolkar varje term /n som arean av en stapel med bredden och höjden /n så får vi situationen i figur.3. Vi ser att staplarna ligger ovanför grafen till funktionen /x varför seriens summa måste bli större än arean under grafen från till. Graf arean beräknas enklast med integralen harmoniska serien 2,5 Area: Float(infinity) 2,,5,,5, 2 3 4 5 6 7 8 9,5 x, Partitions: f(x) Figur.3: Jämförelse mellan harmoniska seriens summa (som är lika med arean av staplarna) och arean under kurvan /x. Man ser tydligt att stapelsummans area är större än arean under kurvan varför seriens summa är större än integralen av /x från ett till oändligheten. R dx = lim dx = lim ln R =. (.8) x R x R Eftersom vår harmoniska series summa alltså är större än arean så måste summan också bli oändlig. Detta visar allstå att även om termerna minskar mot noll så kan summan ändå växa obegränsat. En series termer måste gå tillräckligt snabbt mot noll för att serien summa ska bli ändlig. Det visar sig, vilket vi ska visa i nästa exempel, att den harmoniska serien kan ses som ett slags gränsfall.

Kapitel 2 Konvergenskriterier Detta kapitel ger en översikt av ett antal satser som är viktiga för att avgöra om en serie konvergerar eller inte. Vi tittar dels på kriterier där man använder serien själv för att avgöra om den konvergerar eller inte. Ett sådant kriterium är det viktiga kvotkriteriet. Dels så ska vi titta på två kriterier med vilka man kan avgöra om en serie konvergerar genom att jämföra med en serie eller integral vars konvergens är känd. 2. Introduktion. Samla här allt som behövs för att förstå detta kapitel. 2. Formulera problemen vi ska adressera i detta kapitel. 3. Exempel på serie vars konvergens vi ska studera. 4. Vilka är våra kända serier som vi behöver för våra test Definition 2... En serie k= a k kallas positiv om a k > för alla k Exempel 2..2. Den harmoniska serien n= n är positiv. 2.2 Jämförelsekriterier I denna sektion ska vi titta på två jämförelsesatser som hjälper oss. Den första utgår från att om vi känner till hur en viss serie konvergerar så kan vi använda denna för att avgöra hur en liknande serie konvergerar. Den andra satsen arbetar i stället med en känd integral, precis som vi gjorde när vi studerade den harmoniska serien i exempel.2.4

8 Konvergenskriterier 2.2. Jämförelsetestet Vårt huvudresultat är jämförelsekriteriet: Theorem 2.2.. Låt k= a k och k= b k vara positiva serier. Då gäller a: Om k= a k konvergerar b k a k för alla k så konvergerar även k= b k. b: Om k= a k divergerar och om b k a k så divergerar även k= b k Exempel 2.2.2. Låt oss undersöka om serien k= k! konvergerar eller divergerar. Vi kan konstatera att k! växer väldigt snabbt och detta betyder att seriens termer snabbt blir mycket små. Detta inträffar typiskt för en konvergent serie så vi kan utgå från hypotesen att serien konvergerar. Nu behöver vi jämföra serien med en känd konvergent serie. Den enda vi egentligen har att använda är den geometriska serien (.), men vilket r ska vi välja? Vi har att vår series termer är /, /2, /6, /24,.... Om vi väljer r = /2 så får den geometriska serien termerna, /2, /4, /8,.... I själva verket så har vi k! (2) k k! ( 2 ) k och då ger punkt a.) i sats 2.2. att vår serie konvergerar Exempel 2.2.3. Här tittar vi på serien n= ln(n+). Denna serie har termer som går ganska långsamt mot noll eftersom logaritmen växer långsamt mot oändligheten. Detta gör att vi bör tänka på den harmoniska serien k= k som divergerar. För att kunna jämföra vår serie med den harmonsiska serien så gör vi först en liten omskrivning: i substituera k = n + ii n = ger att k = 2 iii Serien blir nu k=2 ln(k) Eftersom ln k < k så gäller att / ln k > /k så gäller att vår serie divergerar eftersom k=2 k divergerar. Detta enligt punkt b.) i satsen ovan. 2.2.2 Integralkriteriet När vi visade att den harmoniska serien divergerar till oändligheten så jämförde vi serien med en integral. Detta är ett exempel på en allmän princip som kallas integralkriteriet som vi formulerar i följande sats. Theorem 2.2.4. Antag att a n = f(n) där f är en positiv, kontinuerlig och icke växande funktion på ett intervall [N, ), < N Z. Då gäller att både serien n= a n och integralen f(t)dt konvergerar samtidigt eller så divergerar båda N samtidigt.

2.3 Kvotkriteriet 9 Som exempel så tittar vi på en situation där den harmoniska serien naturligt faller in som en gränssituation som åtskiljer serier som konvergerar från de som i denna situation divergerar. Exempel 2.2.5. Vi tittar här på så kallade p-serier som definieras enligt n= n= n p (2.) som ger oss den harmoniska serien om p =. För sådana här serier gäller { konvergerar om p > n p (2.2) divergerar till oändligheten om p Beviset för detta påstående utnyttjar integralkriteriet och integral över funktionen /x p. Ni får uppgift att utföra detta för p = 2 i efterföljande övning. Övning 2.. Visa att n= n blir ändlig genom att jämföra denna serie med 2 integralen x dx. 2 2.3 Kvotkriteriet Följande viktiga sats kallas för kvotkriteriet Theorem 2.3.. Låt k= a k vara en positiv serie och låt a k+ L = lim. k a k Då konvergerar serien om L < och divergerar om L >. Om L = så kan vi inte säga nånting om seriens konvergens. Exempel 2.3.2. Serien k= k! från exempel 2.2.3 kan definieras som med a k = /k!. Vi får att a k+ L = lim = lim k a k k (k+)! k! = lim k vilket gör att serien konvergerar enligt kvotkriteriet k! (k + )! = lim k (k + ) = k= a k

Konvergenskriterier

Kapitel 3 Potensserier Potensserier är viktiga eftersom de många andra funktioner kan representeras med potensserier. Själva representationen sker genom Taylor utveckling som vi avslutar kapitlet med. Med Taylorutveckling så kan vi ge nya beskrivningar av våra vanliga elementära funktioner. Kapitlet börjar med potensseriernas allmänna egenskaper. 3. Absolutkonvergens Vi börjar detta kapitel med en diskussion om så kallad absolutkonvergens vilket vi behöver veta något om när vi i nästa sektion ska studera potensserier. Definition 3... En serie n= a n sägs konvergera absolut, eller vara absolutkonvergent om serien n= a n konvergerar. Det som gör absolutkonvergenta serier viktiga är följande sats Theorem 3..2. Om en serie konvergerar absolut så konvergerar även serien själv. Med andra ord så har vi a n konvergent n= n= a n konvergerar Det är viktigt att förstå att omvändningen till ovanstående sats inte gäller i allmänhet; om en serie konvergerar så är det inte säkert att den konvergerar absolut. Följande exempel är viktigt eftersom det visar just detta: Exempel 3..3. Betrakta följande serie ( ) n k= n. (3.) Vi ska strax visa att denna serie konvergerar men serien konvergerar inte absolut eftersom vi får den harmoniska serien om vi tar absolutbelopp på varje term.

2 Potensserier -/3 -/5 - +/6 +/4 +/2 Figur 3.: Konvergens för den alternerande harmoniska följden För att se varför vår serie konvergerar så tittar vi på figur 3. Serien (3.) är en så kallad alternerande serie, dvs en serie som uppfyller villkoren i Leibnitz konvergenskriterium som också kallas för alternerande serie testet. Theorem 3..4. Låt följden {a n } n= uppfylla följande egenskaper i a n, för n =, 2, 3,... ii a a 2 a 3... iii lim n a n = Då konvergerar den alternerande serien ( ) n a n n= 3.2 Allmänna potensserier I detta kapitel ska vi titta på oändliga polynom, vilka vi vanligen kallar för potensserier: Definition 3.2.. En potensserie är ett uttryck på formen S(x) = c n (x a) n = c + c (x a) + c 2 (x a) 2 +..., n= och a kallas för seriens konvergenscentrum Gottfried Wilhelm von Leibnitz (646-76) Tysk filosof och matematiker, vid sidan om Newton den största matematikern vid den tiden. Det var Leibnitz som uppfann skrivsätten d dx för derivering och R fdx för integrering. Också produktregeln för derivering (fg) = f g + fg härleds direkt till Leibnitz.

3.2 Allmänna potensserier 3 Exempel 3.2.2. Ett exempel på en potensserie är S(x) = n= x n n! = + x + x2 2 + x3 6 +... som har konvergenscentrum a =. Vi ska se i avsnittet om Taylor/MacLaurinserier att denna serie faktiskt är lika med funktionen e x. Som det är nu nöjer vi oss med att verifiera att S() = = e. Potensserier är alltså funktioner av en variabel som vi antar är reell (men det fungerar lika bra om variabeln tillåts vara komplex). Detta innebär bl.a. att seriens konvergens också beror av variabeln. Om vi samlar ihop alla värden på variabeln som gör att serien konvergerar så får vi seriens konvergensområde. För att analysera detta så kan man använda kvotkriteriet som vi beskrev i sats 2.3.. I potensseriefallet får vi a n = c n x n och vi har absolutkonvergens om lim a n+ n a n = lim c n+ x n+ n c n x n = x lim c n+ n c n < c Det visar sig lämpligt att införa lim n+ n c n vi har konvergens för alla x som uppfyller = R eftersom vi då kan säga att x < lim n c n+ c n = R, (3.2) dvs för alla x som ligger i intervallet ( R, R). Om x C så tolkas (3.2) som en cirkelskiva med radie R. P.g.a. detta så kallas R för potensseriens konvergensradie. Intervallet ( R, R) kallas för potensseriens konvergensintervall. Vi sammanfattar detta i följande sats Theorem 3.2.3. En potensserie n= a nx n konvergerar för alla x < R där konvergensradien R uppfyller R = lim n a n+, a n Om /R = så säger vi att R = och om /R = så är R =. Exempel 3.2.4. Låt oss beräkna konvergensradien för serien i exempel 3.2.2: Vi har att c n = n! och vi får då att (se även exempel 2.3.2 på sidan 9) R = lim n c n+ c n = lim n (n+)! n! = lim n n + = Detta tolkar vi som att R = och som betyder att vår serie konvergerar då x (, ), dvs för alla reella tal.

4 Potensserier Exempel 3.2.5. Låt oss titta på funktionen x. Med lite god vilja känner vi igen detta som summan av den geometriska serien x = n= Denna series koeffecienter är c n = för alla n och vi får således att x n R = lim c n+ =, n c n vilket ger att seriens konvergensintervall blir (, ), vilket helt stämmer överens med diskussionen i exempel.2.2 på sidan 5. Notera även att (, ) är det största intervall med centrum i origo som ligger i den rationella funktionens x definitionsområde. Detta ger ytterligare en förklaring till varför serien inte konvergerar i x =. Övning 3.. Beräkna konvergensradien för serien n= x n n (3.3) 3.2. Derivering och integrering av potensserier Potensserier kan ses som funktioner och man kan då ställa sig frågan om de är deriverbara. Och svaret är att de är oändligt deriverbara för de värden på variabeln som gör att serien konvergerar. Detta är slutsatsen av följande sats: Theorem 3.2.6. Låt S(x) = n= c nx n vara en potensserie med centrum i x = och som konvergerar i intervallet ( R, R). Då är S deriverbar och S (x) = nc n x n, n= dvs serien kan deriveras termvis. Serien konvergerar på ( R, R). S integrerbar med x S(t)dt = n= c n n + xn+, dvs serien integreras termvis och konvergerar på intervallet ( R, R). Vi ska se att denna sats är användbar för att hitta serieutvecklingar till nya funktioner.

3.3 Taylor och MacLaurinserier 5 Exempel 3.2.7. Om vi byter x mot x i den geometriska serien i exempel 3.2.5 så får vi + x = ( x) n n= som konvergerar då x (, ). I detta intervall kan vi enligt vår sats både integrera och derivera båda led. Integrering ger Om vi istället deriverar så får vi och ytterligare en derivering ger ln(x + ) = n= ( x) n+ n + ( + x) 2 = n( x) n n= 2 ( + x) 3 = n(n )( x) n 2 n= Exempel 3.2.8. I exempel 3.2.2 antydde vi likheten (som vi ska visa i nästa sektion) e x x n = n! = + x + x2 2 + x3 6 +... n= Vi vet att derivatan för exponentialfunktionen är exponentialfunktionen själv. Låt oss nu derivera serien till höger för att se om dess derivata också blir samma sak. Detta är ju ett måste om likheten ovan ska gälla: d dx ( n= x n n! ) = d dx () + d dx (x) + d dx (x2 2 ) + d dx (x3 6 ) + = = + x + x2 2 + x3 6 + = Vilket alltså ger att serien har samma deriveringsegenskap som exponentialfunktionen. n= 3.3 Taylor och MacLaurinserier Exemplen i föregående sektion visar hur man från en given serie kan få nya men vi är än så länge ganska begränsade vad gäller funktioner. I denna sektion ska vi visa hur och under vilka villkor en funktion kan ersättas med en potensserie. Vi börjar med att identifiera vad vårt problem är: x n n!

6 Potensserier Definition 3.3.. Taylorutvecklingsproblemet Givet en oändligt deriverbar funktion f(x) och en punkt a i f s definitionsmängd hitta en potensserie n= c n(x a) n så att f(x) = c n (x a) n = c + c (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) 3 +... (3.4) n= För att lösa detta problem så behöver vi i :: veta hur koeffecienterna ska beräknas ii :: hitta argument som garanterar att serien konvergerar iii :: visa att serien konvergerar till funktionens värde i seriens konvergensintervall Vi ska se hur vi ska räkna ut koeffecienterna men för de två andra punkterna så ställer vi upp en sats vars bevis kräver kunskap från högre matematikkurser. Vi börjar med att notera att om x = a så gäller f(a) = c, vilket således bestämmer första koeffecienten till att vara funktionens värde i seriens centrum. Om vi deriverar likheten (3.4) så får vi f (x) = c + 2c 2 (x a) + 3c 3 (x a) 2 + = f (x) = 2c 2 + 2 3(x a) + 3 4(x a) 2 + = f (k) (x) = k!c k +. (k + )! (x a) +! nc n (x a) n n= n(n )c n (x a) n 2 n= (k + 2)! (x a) 2 + = 2! n= n! (x a)n k (n k)! från vilket det följer att c = f (a), 2c 2 = f (a) och k!c k = f (k) (a). Vi kan göra följande definition: Definition 3.3.2. Givet en funktion f(x) så ges dess Taylorserie av f(a)+f (a)(x a)+ f (a) 2! (x a) 2 + f (3) (a) (x a) 3 + = 3! Om a = så kallas serien för en MacLaurinserie. n= f (k) (a) (x a) k k! (3.5) Följande sats löser Taylorutvecklingsproblemet men kräver en hel del matematik som ligger (ganska långt) utanför denna kurs. Theorem 3.3.3. Om f är analytisk i skivan x a < R så kommer Taylorserien (3.5) konvergera till f för alla x i denna skiva.

3.3 Taylor och MacLaurinserier 7 Kommentar: (som ni inte behöver förstå...) Funktionen i satsen ovan är definierad i komplexa talplanet, dvs x C. En sådan funktion är analytisk om den uppfyller de så kallade Cauchy-Riemanns differential ekvationer, vilket är ekvivalent med att funktionen kan skrivas som en konvergergent potensserie. Kommentar: (som ni bör komma ihåg...) Många av våra vanliga funktioner är analytiska, tex e x, sin x, cos x, alla polynom. Alla rationella funktioner p(x)/q(x) är analytiska överallt utom där q(x) =. Detta gör att alla dessa funktioner och vissa andra som vi stöter på här kan Taylorutvecklas och vi behöver inte veta mer än detta för vi kan beräkna Taylorserien enligt (3.5) och konvergensen för denna kan vi, om vi behöver, beräkna med de konvergenskriterier som ingår i denna kurs. Exempel 3.3.4. I detta exempel så härleder vi exponentialfunktionens MacLaurinserie, dvs Taylorserie med centrum i origo. Vi har att = e = f (k) () för alla k så serien (3.5) ger direkt att MacLaurinserien ( dvs då a = ) blir n= f (k) () x k = k! n= x k k!, vilket vi omedelbart känner igen. Enligt kommentarerna så har vi att e x är analytisk och sats 4..2 ger då att e x = n= x k k!, som gäller för alla x R eftersom vi tidigare visat att serien har oändlig konvergensradie! Följande är en lista av MacLaurinutvecklingar av kända funktioner som ni får som övning att verifiera: sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... cos x = x2 2! + x4 4! x6 6! +... ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 +... arctan x = x x3 3 + x5 5 x7 7 +... Övning 3.2. Härled t.ex. med hjälp av definition 3.3.2 ovanstående MacLaurinutvecklingar. Vissa kan härledas genom att derivera andra...

8 Potensserier 3.4 Potensserielösning av differentialekvationer Exempel 3.4.. Vårt första exempel är att med ett verkligt enkelt exempel visa hur potensserier kan användas för att lösa en differentialekvation. Den ekvation vi ska studera är följande: y + y = Vi söker lösningar på formen y(x) = n= a nx n. Deriverar vi denna två gånger så får vi y (x) = n(n )a n x ( n 2) = y(x) = (n + 2)(n + )a n+2 x n, n= där den andra likheten kan förstås genom att skriva upp de första termerna. Vi sätter in detta i differentialekvationen: (n + 2)(n + )a n+2 x n + a n x n = n= som efter lite omskrivning blir n= n= [(n + 2)(n + )a n+2 + a n ]x n =. n= Denna likhet betyder att serien till vänster ska vara noll för alla x vilket endast kan inträffa om alla seriens koeffecienter är noll, dvs vilket ger (n + 2)(n + )a n+2 + a n = n a n a n+2 = (n + 2)(n + ), n Detta uttryck är en så kallad rekurensrelation och ger oss värden på alla koeffecienter om vi vet värden på de två första, a och a. Två oberoende lösningar får vi om vi sätter. a = och a =. Detta ger oss lösningen y = x2 2! + x4 4! + = 2. a = och a =. Detta ger oss lösningen n= ( ) n (2n)! x2n y 2 = x x3 3! + x5 5! + = ( ) n (2n + )! x2n+ Naturligtvis så känner vi igen dessa två lösningar som y = cos x och y 2 (x) = sin x. n=

3.4 Potensserielösning av differentialekvationer 9 I allmänhet så kan vi inte förvänta oss att ekvationens lösning ska vara en elementär funktion som vi känner igen, och som har ett eget namn. I dessa fall ger serielösningen ändå ett användbart uttryck för lösningen. Ovanstående exempel är lite för enkelt för att verkligen motivera nyttan med potensserielösning av differentialekvationer. Metoden kommer mer till sin rätt när vi har differentialekvationer där koeffecienterna inte är konstanter utan funktioner av deriveringsvariabeln (oftast x). Exempel 3.4.2. Beräkna serielösningen till y 2 ( x) 2 y =

2 Potensserier

Kapitel 4 Approximation och interpolation med polynom I detta kapitel ska vi titta på hur polynom kan användas för att beskriva olika typer av mer komplicerade funktioner. Approximation innebär att en funktion ersätts med ett polynom vars värde och derivators värde överensstämmer med funktionens i en viss punkt. Detta brukar kallas Taylorapproximation. Vi ska också titta på interpolation som innebär att en funktion ersätts med ett polynom vars värden överensstämmer med funktionens i flera olika punkter. Här har vi bland annat kubisk interpolation. 4. Taylorapproximation I förra kapitlet såg vi hur vissa funktioner kunde representeras med en Taylorserie. Om vi bara tar en ändlig del av en sådan serie så får vi ett polynom. En intressant fråga är hur väl detta polynom representerar funktionen. Polynomet är enklare att använda och räkna med, vad vi behöver är att ha kontroll över det fel som vi inför genom att ersätta serien med polynomet. Vi formulerar detta i följande Definition 4... (Approximationsproblemet) Givet en funktion f(x) så söker vi ett polynom p(x) så att följande är uppfyllt p(a) = f(a), p (k) (a) = f (k) (a), k =,... n. f(x) p(x) liten om x nära a Approximationsproblemet består alltså i att hitta ett polynom som tillsammans med sina derivator i en viss punkt överensstämmer med funktionen och dess derivator i samma punkt. f(x) p(x) brukar kallas för felet i approximationen och problemet kräver alltså att felet ska vara kontrollerbart, dvs litet, i en omgivning av punkten x = a

22 Approximation och Interpolation Detta problem löses med Taylors sats. Theorem 4..2. Låt f(x) vara en n gånger deriverbar funktion på ett intervall I som innehåller a. Då gäller att Taylorpolynomet P n (x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! (x a) 2 + + f (n) (a) (x a) n n! löser approximationsproblemet. Vi har till och med att f(x) = P n (x) + E n (x), som kallas för Taylors formel, där E n (x) = f (n+) (X) (x a) n+, för något X ligger mellan a och x. (n + )! kallas för Lagranges felterm, och representerar felet som uppträder då vi approximerar f(x) med dess Taylorpolynom. Kommentar Notera att vi inte kräver att denna funktion är analytisk, dvs det behöver inte finnas en serierepresentation av funktionen själv för att man ska kunna göra en Taylorapproximation. Exempel 4..3. Låt oss använda sats 4..2 för att approximera y = sin x i en omgivning av origo. Om vi börjar med att approximera med ett taylorpolynom av grad så får vi P (x) = x, och E (x) = sin X x 2 2 Vi beräknar även approximationen med ett andragradspolynom: P 2 (x) = x och E 2 (x) = cos X x 3 6 som visar att ersättning av sin x med x ger en bättre approximation än vad som normalt kan väntas av Taylors sats. Detta berodde ju på att andraderivatan uträknad i origo blir noll. Fördelen med denna approximation är uppenbar: säg att vi vill beräkna sinus av en vinkel som är liten, t.ex.. Vi måste först skriva om till radianer och får då π/8. Vår approximation ger nu att sin( π 8 ) π 8 =.745329. Räknar vi på en miniräknare så får vi sin( π 8 ) =.74524. Detta ger ett fel som blir.88. Vi kan nu kolla om vad Lagranges felterm ger oss för fel: E (x) = sin X 2 E 2 (x) = cos X 6 x 2 2 x2 }{{} = 2 π/8 x 3 6 x 3 }{{} = 6 π/8 ( π 8 ) 2 =.523. ( π ) 3 =.89 8 Vi ser alltså att första ordningens felterm ger ett för stort fel medan andraordningens felterm är marginellt större än det verkliga felet. (Notera att miniräknarens värden i sig är approximationer - troligtvis uträknade med hjälp av taylorpolynom.

4. Taylorapproximation 23 5, 2,5, 4, 3,2 2,4,6,8,,8,6 2,4 3,2 4, x 2,5 5, Figur 4.: Approximation av sin x med tredje gradens Taylorpolynom Om vi approximerar upp till grad 3, så får vi att P 3 (x) = x 6 x3 Feltermen blir E 3 (x) = sin(x) 24 x 4 som blir väldigt liten då x är liten: E 3 (x) = sin(x) x 4 24 24 x4 = x4 24 Detta betyder att sin x kan ersättas med x 6 x3 och felet blir inte större än x 4 /24, som är litet om x är litet. I detta fall blir approximationens värde i P 3 (π/8) =.74524 och felet blir mindre än.386, vilket betyder att alla decimaler i det approximativa värdet är signifikanta. Notera att taylorpolynomet inte är en bra approximation en bit bort från origo och blir sämre ju längre bort vi befinner oss. Detta kan vi se i figur 4.:

24 Approximation och Interpolation 4.2 Interpolation Taylorapproximation används tyiskt när vi vill finna närmevärden till en funktion i en viss punkt; vi såg att approximationen använde funktionens och dess derivators värden i en punkt. Om vi vill att överensstämmelsen ska gälla i flera punkter så fungerar inte Taylorapproximation bra utan här måste vi hitta andra hjälpmedel. Vi ska i nästa sektion titta på ett typiskt interpolationsproblem: 4.2. Interpolationsproblemet Definition 4.2.. Interpolationsproblem: Förutsättning: Låt p i = (a i, b i ), i =,..., n (4.) vara n + stycken punkter med a < a < < a n. Problemformulering: Hitta en polynom P (x) sådan att dess graf går genom alla punkterna p i, dvs hitta polynom sådan att P (a i ) = b i, i =,..., n. (4.2) Låt oss diskutera vad detta innebär för det polynom vi söker: I ren allmänhet så ställer vi n + krav på vårt polynom och för att P (x) ska palla för trycket så krävs det att polynomet har n + frihetsgrader. Om vi gör den naturliga tolkningen att ett polynoms frihet ligger i att vi kan variera polynomets koeffecienter, så förstår vi att polynomet måste ha n + koeffecienter, dvs vara ett polynom av grad n. Om vi sätter P (x) = c + c x + + c n x n, så ger villkoren (4.2) oss följande ekvationssystem c + c a + + c n a n = b c + c a n + + c n a n n = b n, som kan skrivas som en matrisekvation, som vi kan kalla för Vandermondesystemet, där vi söker koeffecienterna c j : a a 2... a n c b a a 2... a n c........ = b (4.3). a n a 2 n... a n n c n b n Om vi betecknar ovanstående matriser med A, c och b så blir matris ekvationen Ac = b och vi kan formulera lösningen som c = A b, förutsatt att matrisen verkligen är inverterbar, vilket är ekvivalent med att dess determinant är.

4.2 Interpolation 25 nollskild, dvs att a a 2... a n a a 2... a n det A = det....... a n a 2 n... a n n (4.4) är skild från noll. Matrisen A är av en speciell typ som kallas för en Vandermondes matris och dess determinant kallas Vandermondes determinant och det går att visa att denna blir,n det A = (a a )... (a n a )(a 2 a )... (a n a )... (a n a n ) = (a j a i ), (4.5) från vilket det följer att vår determinant är skild från noll eftersom förutsättningarna i vårt problem var att a < a < < a n! Låt oss verifiera och förstå denna determinant via ett exempel: Exempel 4.2.2. Låt oss titta på matrisen A = 2 4, 3 9 Det syns väl tydligt att detta är en Vandermondematris? Beräkning av determinanten blir det A = 2. Enligt (4.5) så får vi (eftersom a =, a = 2 och a 3 = 3) det A = (a a )(a 2 a )(a 2 a ) = 2 = 2 4.2.2 Lagrangelösningen av interpolationsproblemet I föregående sektion såg vi hur vi kunde bestämma lösningen till interpolationsproblemet mha matrismetoder. Här ska vi nu ge lösningen på problemet som tillskrivs Lagrange 2 Theorem 4.2.3. Givet n + stycken punkter p i = (a i, b i ), i =,..., n, där a < a < < a n så finns ett polynom P (x) av grad n med P (a i ) = b i. Polynomet ges av P n (x) = (x a )(x a 2 )... (x a n ) (a a )(a a 2 )... (a a n ) b + (x a )(x a 2 )... (x a n ) (a a )(a a 2 )... (a a n ) b + + (x a )(x a )... (x a n ) (a n a )(a n a 2 )... (a n a n ) b n j>i (4.6) Alexandre-Théophile Vandermonde, (735-796) Fransk matematiker och den förste att studera determinanten som en funktion. 2 Lagrange (736-83) fransk matematiker, föddes i Turin och döptes till Giuseppe Lodovico Lagrangia vilket antyder (som italienarna vill hävda) att Lagrange var italiensk, men detta var ju innan Garibaldi(87-888) enade italien...

26 Approximation och Interpolation Denna formel kan många not uppfatta som mastig så vi formulerar ett specialfall då n = 2: Korollarium 4.2.4. Givet tre punkter p = (a, b ), p = (a, b ) och p 2 = (a 2, b 2 ), a < a < a 2 så finns det ett andragradspolynom P 2 (x) med P 2 (a i ) = b i, i =,, 2 och som ges av formeln P 2 (x) = (x a )(x a 2 ) (a a )(a a 2 ) b + (x a )(x a 2 ) (a a )(a a 2 ) b + (x a )(x a ) (a 2 a )(a 2 a ) b 2 (4.7) Exempel 4.2.5. Hitta ett andragradspolynom som går genom punkterna p = (, ), p = (, ) och p 2 = (, ). Detta är ett enkelt problem och det är inte svårt att direkt se att lösningen måste bli p 2 (x) = x 2. Låt oss verifiera detta på två sätt: dels med Lagranges formulering och dels genom att lösa ekvationssystemet med Vandermondematrisen direkt. a.) Lagrangelösningen: Vi använder ekvation (4.7) och får P 2 (x) = x(x ) (x + )(x ) (x + )x + + = x 2 ( )( 2) ()( ) ()(2) b.) Vandermondesystemet: Ekvationssystemet (4.3) blir i vårt fall c c = (4.8) som vi som vanligt skriver på formen c 2 och löser med Gausselimination, vilket ger c =, c = och c 2 = vilket ger polynomet P 2 (x) = x 2! 4.3 Övningar till kapitel 4 Övning 4.. Hitta fjärde gradens Taylorpolynom till f(x) = cos x. Använd detta för att beräkna cos(π/8). Uppskatta felet. Övning 4.2. Tolka teorem 4.2.3 då n =, då vi söker ett linjärt polynom vars graf passerar två punkter p i = (a i, b i ) i =, med a < a. Tolka detta med gymnasiematematik.

4.3 Övningar till kapitel 4 27 Övning 4.3. Tolka teorem 4.2.3 då n = 3, då vi söker ett kubiskt polynom vars graf passerar fyra punkter p i = (a i, b i ) i =,, 2, 3 med a < < a 3. Övning 4.4. Hitta det polynom vars graf passerar genom punkterna (, ) och (2, 3). Övning 4.5. Hitta det andragradspolynom vars graf passerar punkterna (, ), (, ) och (2, 3). Övning 4.6. Hitta det kubiska polynom vars graf passerar punkterna ( 2, ), (, ), (, ) och (2, 3).

28 Approximation och Interpolation

Kapitel 5 Komplettering i linjär algebra To do list:: Infoga avsnitt om radrum och kolonnrum. Detta är så användbart för att beräkna baser samtidigt som man kollar linjärtberoende att det är onödigt att hoppas över 5. Om baser till vektorrum Om vi tar en vanlig vektor (a, b) så betyder denna att vi tar a steg längs x-axeln och b steg längs y-axeln. Eftersom dessa axlar har riktningar som vi beskriver med vektorerna e x = (, ) och e y = (, ) så kan vi skriva (a, b) = a(, ) + b(, ), och man säger att (a, b) är en linjärkombination av vektorerna e x och e y. Poängen är också att alla vektorer i planet kan beskrivas på detta sätt. Man säger att vektoruppsättningen S 2 = {(, ), (, )} är en bas för planet. Just denna bas kallas för standardbasen för planet. På samma sätt bildar vektoruppsättningen S 3 = {(,, ), (,, ), (,, )} standardbasen för R 3. Nu är det emellertid så att det finns många baser så vi ska lära oss mer om vad en bas är och hur man kan avgöra om en vektoruppsättning är en bas eller inte. Definitionen fokuserar på två egenskaper som vi kan se hos ovanstående standardbaser. Dels så kan alla vektorer i rummet skrivas som en linjärkombination av basvektorerna men basvektorerna måste vara oberoende av varandra, ingen av de ingående vektorerna ska kunna fås genom att kombinera de övriga. Vi sammanfattar detta formellt i följande Definition 5... En uppsättning vektorer B = {b,..., b n } i ett vektorrum V kallas för en bas om följande gäller:

3 Komplettering i linjär algebra i.) b,..., b n är linjärt oberoende, dvs ekvationen t b + + t n b n = (5.) ska endast har den triviala lösningen t = t 2 = = t n = ii.) Alla vektorer v V kan skrivas som linjärkombination av vektorerna b,..., b n, dvs det finns tal a,..., a n (kallade koordinaterna för vektorn v med avseende på basen B) sådana att d.v.s. b,..., b n spänner upp vektorrummet V. v = a b +... a n b n, (5.2) Kommentar 5..2. Om en mängd vektorer inte är linjärt oberoende så säger man att de är linjärt beroende. Linjärt beroende betyder alltså att systemet (5.), som formuleras nedan i ekvation (5.3), har andra lösningar än den triviala lösningen. Man kan också formulera detta som att en av vektorerna kan uttryckas med hjälp av de övriga, vilket förtydligar att vektorerna är beroende av varandra. Kommentar 5..3. Om vi tittar på ekvation (5.) så kan denna skrivas som en homogen matrisekvation Bt =, (5.3) där B är matrisen som har vektorerna b i, i =,..., n som kolonner och t är kolonnmatrisen (t,..., t n ) T ( observera transponatet ). Denna skrivning ger oss möjlighet att tolka det linjära oberoendet för några olika fall.. Om vektorerna b i är m-dimensionella med m < n så är B en m n matris med färre rader än kolonner. Detta innebär att systemet (5.3) är underbestämt och alltid har andra lösningar än den triviala. I detta fall (m < n) så kan B inte bli en bas. fler vektorer än rumsdimensionen kan aldrig bilda en bas eftersom de alltid är linjärt beroende 2. Om m > n så är systemet (5.3) överbestämt, dvs vi har fler ekvationer än obekanta. Det är då möjligt att systemet bara har den triviala lösningen vilket betyder att Vektorerna b i bildar en bas för ett delrum till V, dvs en delmängd av V som är ett vektorrum i sig. Man kan säga att om vektorerna är linjärt oberoende så bildar de en bas för det rum de spänner upp. Exempel 5..5 visar en sådan här situation. 3. Det tredje och sista fallet är då m = n vilket innebär att matrisen B är kvadratisk. I detta fall så kan villkoret för linjär oberoende översättas med att säga att matrisen B skall vara inverterbar vilket innebär att determinanten för B ska vara nollskild.

5. Om baser till vektorrum 3 Exempel 5..4. Om vi tittar på följande mängd som består av tre tvådimensionella vektorer B = {b = (, ), b 2 = (, ), b 3 = (a, b)} så är det direkt uppenbart att detta inte blir en bas eftersom den tredje vektorn kan skrivas som en linjärkombination av de två första: (a, b) = a(, ) + b(, ). Det är detta som alltid händer i situationen som beskrivs i punkt i kommentaren ovan! Låt oss nu titta på hur systemet (5.3) blir i detta fall [ ] [ t + ] [ a t 2 + b ] [ t 3 = ] [ a b som ger lösningarna (t, t 2 ) = (a, b)t 3 vilket ger många lösningar förutom den triviala lösningen. De tre vektorerna är alltså inte linjärt oberoende (utan linjärt beroende) och bildar alltså inte en bas. Notera dock att de tre vektorerna spänner upp R 2. För att vara en bas måste mängden innehålla så få vektorer som möjligt. Man kan visa att varje bas för samma vektorrum innehåller samma antal vektorer, det är detta antal vektorer i en bas som vi kallar för vektorrummets dimension. Exempel 5..5. I detta exempel tittar vi på vektormängden C = {c = (,, ), c 2 = (,, )}. Bildar denna mängd en bas för R 3? Efter att ha läst föregående exempel så vet vi att antalet vektorer i en bas är lika med rummets dimension. I vårt fall krävs det alltså tre vektorer och vår mängd innehåller bara två. Vi kan nu fråga oss om de två vektorerna är linjärt oberoende och om de kan vara en bas för något tvådimensionellt rum (eftersom vi har två vektorer). För att undersöka det linjära beroendet så löser vi följande ekvationssystem t + t 2 = Det följer direkt att detta system endast lösningarna t = t 2 = vilket således bevisar vektorernas linjära oberoende. Vilket rum är C en bas för? För att vara en bas så måste vektorerna spänna upp rummet så om vi skriver upp en typisk linjärkombination så kan vi kanske få en idé: x(,, ) + y(,, ) = (x, y, ) Det ser alltså ut som våra vektorer spänner upp alla tredimensionella vektorer som har noll i sin tredje koordinat. Våra vektor spänner upp x y planet som är ett delrum av R 3. (Ett delrum av R 3 är antingen en linje eller ett plan som går genom origo.) Exempel 5..6. Undersök vilken av mängderna A = {(,, ), (,, ), (,, )} och B = {(2,, 3), (, 3, ), (, 2, 2)} som bildar en bas för R 3. Vi använder oss ],

32 Komplettering i linjär algebra av punkt 3 i kommentar 5..3 som säger att vi har en bas om och bara om matrisdeterminanten inte är noll. Vi får det = 2 och det 2 3 2 3 2 =. Detta innebär alltså att endast mängden A är en bas för R 3! Övning 5.. Visa att [ b = 2 ] [, b 2 = 3 ] bildar en bas för R 2 Övning 5.2. Undersök om b = 2, b 2 = bildar en bas för R 3. 2 2, b 3 = 2 3 Övning 5.3. Förklara varför B = {,,, } inte bildar en bas för R 3. På vilket sätt kan vi enklast göra om B till en bas? 5.. Baser för radrum, kolonnrum och nollrum till en matris Radrummet Row(M) till en matris M är det rum som spänns upp av matrisens rader, dvs Row(M) = span( raderna till M) På samma sätt så definierar vi kolonnrummet Col(M) som det rum som spänns av matrisens kolonner, dvs Col(M) = span( kolonnerna till M)

5. Om baser till vektorrum 33 Radrummet och kolonnrummet till en matris har samma dimension och denna dimension kallas matrisens rang, som vi betecknar med Rang(M). Baser för rad och kolonnrummen kan beräknas mha Gausselimination på sätt som visas i följande exempel. Nollrummet Noll(M) till en matris M är lösningarna till det homogena systemet M x =. Rangen, nollrummets dimension samt antalet kolonner n i matrisen är kopplade via sambandet Rang(M) + dimension för Noll(M) = n, som är ett viktigt resultat som kallas dimensionssatsen (rank theorem i Lay s bok) Exempel 5..7. Beräkna baser för rad, kolonn och nollrummen till matrisen 3 3 M = 4 6 2 2 3 Gausseliminering av M ger oss matrisen 3 M 9 2 = De två nollskilda raderna i matrisen M bildar en bas för radrummet. För att få fram en bas för kolonnrummet så börjar vi med att identifiera i vilka kolonner som de ledande elementen står i. I vår matris har vi att de ledande elementen i M står i kolonn och 2. Nu går vi tillbaka till ursprungsmatrisen M och väljer i denna kolonn och 2, som då blir en bas för kolonnrummet till vår matris. Alltså bas för radrummet: och bas för kolonnrummet blir {(, 3,, ), (, 9,, 2)} 3 4, 3 6 2 Observera att de två första kolonnerna i M inte är en bas för kolonnrummet till M även om de är en bas för Col(M ). Problemet är att gausselimineringen, som ju involverar radoperationer visserligen bevarar radrummet medan samma radoperationer förstör kolonnrummet så att Col(M) Col(M ).

34 Komplettering i linjär algebra Från dimensionssatsen vet vi att nollrummet måste vara tvådimensionellt och vi ser också att vi har två fria variabler och detta ger att nollrummet faktiskt är tvådimensionellt. En bas för nollrummet får vi genom att identifiera de fria variablerna 2 z = 9s och u = 9t (om vi sätter x T = (x, y, z, u) T i ekvationen Mx = ) Vi får då från rad 2 i M att y = 9 9s 2 99t = s 2t och från rad att x = 3y u = 3s + 6t 9t = 3s 3t varför vi får att lösningen till Mx =, vilket ju är nollrummet, ges av x y z u = från detta är det uppenbart att B = är en bas för nollrummet. 3 9 3 9 s +, 3 2 9 3 2 9 t 5..2 Ortogonala och ortonormala baser Standardbaserna i föregående sektion har, förutom att de är baser, även andra viktiga egenskaper: för det första är vektorerna ömsesidigt ortogonala och för det andra så har varje vektor längden ett. Vi gör följande definition: Definition 5..8. n stycken vektorer o,..., o n i R n bildar en ortogonal bas om vektorerna är ömsesidigt ortogonala, dvs om o i o j =, om i j Om alla vektorerna dessutom har längden ett så säger vi har en ortonormal bas. En ortonormal bas brukar ofta kallas en ON bas. Detta kan uttryckas som { om i j o i o j = δ ij = om i = j, där δ ij, definierad av den andra likheten, brukar kallas för Kroneckers 3 delta En mängd vektorer kallas för en ortonormal mängd om de är ömsesidigt ortogonala och alla vektorer har längden. 2 Att vi sätter z = 9s och u = 9t är bara för att slippa få bråk i basvektorerna 3 Kronecker, Leopold (823-89), tysk matematiker.

5. Om baser till vektorrum 35 Exempel 5..9. Basen B = {b = (, ), b 2 = (, )} är en ortogonal bas för R 2 som inte är ortonormal eftersom båda vektorerna har längden 2. Det är lätt att göra om B till en ON-bas genom att normera de ingående vektorerna, dvs dividera vektorerna med deras längd. Detta betyder att är en ON-bas. B ON = {(/ 2, / 2), (/ 2, / 2)} Definition 5... En kvadratisk matris är en ortogonal matris om dess kolonner bildar en ortonormal mängd. (Observera att vi faktiskt säger att matrisen är ortogonal och inte ortonormal som man kanske borde) Följande sats pekar ut några av de viktigaste egenskaperna för en ortogonal matris Theorem 5... Följande är ekvivalent för en n n-matris M i. M är ortogonal ii. M s kollonner bildar en ON-bas för R n iii. M s rader bildar en ortonormal mängd. iv. M s rader bildar en ON-bas för R n v. det M = ± vi. M = M t vii. M som linjär operator är en isometri (se följande sektioner) Notera att punkt ii. och v. gör att vi får fram ett användbart test för att undersöka om en bas är ortonormal eller inte. Exempel 5..2. Visa att B = {( 2, 2, ), ( 2, 2, ), (,, )} är en ONbas. Vi ställer upp vektorerna som kolonner i en 3 3-matris och beräknar dess determinant: det 2 2 2 2 = Eftersom determinanten är så säger satsen ovan att kolonnerna bildar ONbas för R 3.

36 Komplettering i linjär algebra 5.2 Matrisen som avbildning Vi börjar med en definition som visar hur matrier kan uppfattas som avbildningar. Det är viktigt att förstå hur detta fungerar. Definition 5.2.. Låt A vara en m n matris, där vi påminner om att m är antal rader och n antalet kolonner i matrisen. Då definierar matrisen en linjär avbildning från R n till R m genom R n x Ax R m, där produkten Ax är definierad om vi betraktar den n-dimensionella vektorn x som en n -matris. Vi påminner om att en avbildning L(x) mellan två vektorrum är linjär om följande gäller för två godtyckliga element x, y och två godtyckliga skalärer a och b i L s definitionsmängd: L(ax + by) = al(x) + bl(y). Orden avbildning är en synonym med begreppet funktion. Det är viktigt att förstå att definitionen av matrisprodukten Ax ger en m matris som på ett naturligt sätt tolkas som en m-dimensionell vektor. Låt oss titta på några exempel: Exempel 5.2.2. Låt oss studera 3-matrisen A = (a, b, c). Enligt definitionen ger denna matris en avbildning som går från R 3 till R och som definieras av R 3 x = x y z (a, b, c) x y z = ax + by + cz Den observante känner troligen igen det sista uttrycket som skalärprodukten av vektorerna (a, b, c) och (x, y, z). Vi kan alltså se på skalärprodukten, som en radvektor i en matris multiplicerat med en kolonnvektor i en annan matris. Detta är många gånger en användbar insikt. Exempel 5.2.3. Låt A = 2 3 Då är A en avbildning A : R 2 R 3 och kan, om vi skriver x = (u, v) R 2, skrivas x = u + 2v y = 3u + v, z = u + v där x, y och z är variablenamnen i R 3.

5.2 Matrisen som avbildning 37 Låt oss nu titta lite på geometriskt definierade linjära avbildningar och hur man går tillväga för att skriva dem på matrisform. Principen är att man ser hur avbildningen avbildar standardbasvektorerna. De resulterande vektorerna ställs upp som kolonner i en matris och då har vi fått den matris som avbildningen svarar mot. Låt oss illustrera detta i ett par exempel. Exempel 5.2.4. Ett av de enklare exemplen att starta med är den avbildning som speglar en tvådimensionell vektor i x-axeln. Denna avbildning kan formuleras som så att y-koordinaten byter tecken: S : R 2 (x, y) (x, y) R 2. Om vi nu kollar vad som händer med standardbasvektorerna: S((, )) = (, ) och S((, )) = (, ). De resulterande vektorerna ställs nu upp som kolonner i en matris: [ ] A S = och vi kan verifiera att denna matris ger rätt avbildning: [ ] [ ] [ A S (x, y) t x x = = y y vilket ju ser alldeles rätt ut! Notera att determinanten blir vilket är kännetecknande för en spegling. Exempel 5.2.5. Låt oss titta på en linjär avbildning som definieras geometriskt genom att alla vektorer roterar med centrum i origo en vinkel t. Situationen är som i figur 5.: Från figuren ser vi att standardbasvektorerna avbildas enligt R t ((, )) = (cos t, sin t), R t ((, )) = ( sin t, cos t) och då blir avbildningens matris [ ] cos t sin t A Rt = sin t cos t som är en matris med determinanten + och detta är något som karakteriserar alla rotationer. Övning 5.4. Beräkna matrisen till den avbildning som geometriskt speglar alla vektorer i y-axeln. Övning 5.5. Beräkna matrisen för den avbildning som geometriskt är spegling i y-axeln åtföljd av en rotation med π/3, dvs med 6. Övning 5.6. a. Betrakta linjen y = x. Hitta matrisen för den avbildning som geometriskt är speglinen i denna linje b. Låt linjen y = 2x vara given. Hitta matrisen för den avbildning som geometriskt är speglingen i denna linje. (kan vara knepig...) c. Generalisera ovanstående till spegling i en allmän linje y = kx. (Detta är en utmanande uppgift!!) ],

38 Komplettering i linjär algebra t cos t sin t t - sin t cos t Figur 5.: Figur till exempel 5.2.5 5.3 Linjära operatorer Vi börjar med denna sektions huvudbegrepp. Definition 5.3.. En linjär avbildning från R n till R n kallar vi för en linjär operator Exempel 5.3.2. En matris ger en operator om och bara om matrisen är kvadratisk. Det viktiga här är alltså att avbildningen avbildar element från ett rum tillbaka till samma rum. Detta gör att vi kan direkt jämföra input med output och bilda oss t.ex. en uppfattning av vad avbildningen innebär geometriskt. Exempel 5.3.3. Låt oss titta på matrisen ( ) S = som ger oss avbildningen ( ) x y ( ) ( x y ) = ( x y dvs vi kan skriva S(x, y) = (x, y) och från detta ser vi att avbildningen byter tecken på y-koordinaten, dvs är en spegling i x-axeln. Vi kan notera att det S = som är kännetecknande för en spegling. En annan sak är att S(x, y) = x2 + y 2 = (x, y) vilket innebär att S inte förändrar vektorers längder (m.a.o ),

5.4 Egenvärden och egenvektorer 39 avstånd förändras inte genom denna avbildning). En operator som inte förändrar avstånd kallas för en isometri, vilket vi ska studera i nästa delavsnitt. 5.3. Isometrier I exempel 5.3.3 såg vi det första exemplet på en isometri. 4 Låt oss nu definiera begreppet ordentligt Definition 5.3.4. En operator L : R n R n är en isometri om för alla x R n. x = L(x) Kommentar 5.3.5. Observera att vi i denna definition inte kräver att operatorn är linjär. Det går att visa (vilket ni kan se i separat dokument om isometrier) varje isometri är affin, dvs linjär så när på en translation. Varje isometri kan ges som en ortogonal matris plus en translation, vilket har betydelse för tillämpningar som tapetmönster och liknande. I det som följer ska vi bara studera de linjära isometrierna för att motivera punkt (vii.) i teorem 5... Theorem 5.3.6. En linjär operator är en isometri om och bara om dess tillhörande matris är ortogonal. Eftersom isometrier är ortogonala matriser så följer det att deras determinant antingen är + eller. De matriser som har positiv determinant kallas för Rotationer och är en jämn isometri. De som har negativ determinant är Udda isometri och geometriskt så är de speglingar. Exempel 5.3.7. Man kan visa att en rotation med en vinkel α ges av följande matris [ ] cos α sin α R α = sin α cos α Man får att det R α = cos 2 α + sin 2 α = 5.4 Egenvärden och egenvektorer När vi har en linjär operator så är det naturligt att jämföra input med output. Man kan t.ex. se i fallet spegling i x-axeln, som vi studerade i exempel 5.2.4, att det finns två riktningar som inte förändras. Den mest uppenbara är ju själva spegellinjen (x-axeln) men också y-axeln förändras inte (den vänds bara upp och ned). Sådana oföränderliga riktningar är väldigt viktiga eftersom de säger mycket om avbildningens natur. Det visar sig också att dessa riktningar faktiskt karakteriserar avbildningen vilket gör det fruktbart att studera detta. Följande definition ställer upp detta problem på ett sätt som kommer visa sig användbart: 4 Isometri kommer av Grekiskans isos =lik, lika och metron = mått

4 Komplettering i linjär algebra Definition 5.4.. Låt A vara en n n matris vilket betyder att A är matrisen för en linjär operator från R n till sig själv. När vi söker en riktning xsom inte förändras så söker man lösning till systemet Ax = λx, (5.4) där λ kallas för ett egenvärde och x för en egenvektor som hör till egenvärdet λ. Kommentar 5.4.2. Ekvation (5.4) betyder geometriskt att vi förväntar oss att en längden för vektorn x kan ändras medan riktningen bibehålls. Ekvationen skrivs vanligen om på följande sätt = Ax λx = Ax λix = (A λi)x (5.5) som alltså är ett homogent ekvationssystem. Det är uppenbart att x = är en lösning men den kallar vi för den triviala lösningen eftersom den inte ger någon information alls om avbildninen. Vi är i stället intresserade av de icketriviala lösningar som systemet har. Proposition 5.4.3. Egenvärdesproblemet i (5.5) har icketriviala lösningar precis då matrisen A λi inte är inverterbar, dvs precis då det(a λi) = c(λ) = det(a λi) blir ett polynom i variabeln λ som vi kallar för det karakteristiska polynomet och egenvärdena är tydligen nollställen till detta polynom. Låt oss nu försöka lösa ett enkelt egenvärdesproblem: Exempel 5.4.4. Hitta egenvärden och egenvektorer till matrisen [ ] 3 4 A =. 4 3 Vi bestämmer först det karakteristiska polynomet: [ ] 3 λ 4 c(λ) = det(a λi) = det = (3 + λ)(3 λ) 6 = λ 2 25, 4 3 λ som har nollställena λ = ±5, vilket alltså är våra egenvärden. För att beräkna egenvektorerna så måste vi lösa ekvationssystemet (A λi)x = för båda våra egenvärden. Det blir alltså två ekvationssystem att lösa i detta fallet: λ = 5: (A 5I)x = blir [ 8 4 4 2 Gausseliminering ger [ 2 ] [, som har lösningen y = t godtycklig och x = t/2 och om vi skriver detta på vektoriell parameterform får vi ( ) E λ=5 = s, 2

5.4 Egenvärden och egenvektorer 4 där vi satt 2s = t för att få lite snyggare siffror. E λ=5 kallar vi för egenrummet till λ = 5. Egenrummet innehåller alla möjliga egenvektorer till det aktuella egenvärdet. Vektorn e λ=5 = ( 2 är då en egenvektor som hör till egenvärdet λ = 5 ) λ = 5: (A ( 5)I)x = blir [ 2 4 4 8 ] Gausseliminerar vi detta system får vi [ 2 ] som har lösningarna, sammanfattade som ett egenrum E λ= 5 = ( 2 ) s, och en naturlig egenvektor blir i detta fall: e λ= 5 = ( 2 ) Notera att de båda egenvektorerna är ortogonala. Faktiskt är det så att alla vektorer i det ena egenrummet är ortogonala mot alla egenvektorer i det andra egenrummet. Man kan därför säga att egenrummen är ortogonala ortogonala egenrum. Detta gäller alltid om matrisen vi startade med är symmetrisk, dvs om A = A t Övning 5.7. Vad betyder matrisen A i exempel 5.4.4 geometriskt. Vad händer t.ex. med standardbasvektorerna och försök göra bilden fullständig m.h.a. dessa. Glöm inte bort att egenvektorerna pekar ut riktningar som inte förändras och representerar därför symmetriegenskaper för avbildningen som A definierar. Övning 5.8. Beräkna egenvärden, egenvektorer och egenrum för den symmetriska matrisen [ ] 2 2 Varning: detta är en typisk situation där egenvärdena blir typiskt knepiga... Situationer med heltalsegenvärden är ovanliga. Svar :

42 Komplettering i linjär algebra Övning 5.9. Beräkna egenvärden, egenvektorer och egenrum för den symmetriska matrisen 2 A = 2 2 2 Övning 5.. Beräkna symmetririktningar för matrisavbildningen [ ] 7 A = 3 5 5.4. Användningar av egenteorin Vi har sett att egenvärden och egenvektorer ser ut att ha stor betydelse för en avbildnins egenskaper. Om tid ges så avser jag att komplettera detta avsnitt med exempel på hur man kan använda de symmetrier som egenvektorerna pekar ut för att skriva om avbildningarna på enklare sätt. Egenvektorerna till symmetriska matriserna kan beräknas så att de bildar en ON bas. Genom att göra ett koordinatbyte till denna bas så kan avbildningen skrivas på enklast möjliga sätt. Ett sätt att lösa övning 5.7 är att utföra en sådan beräkning. Exempel 5.4.5. Betrakta situationen i exempel 5.4.4 och frågeställningen i övning 5.7. Om vi normerar egenvektorerna e λ=±5 så får vi en ON-bas för R 2. Ställer vi upp dem som kolonner i en matris P så blir denna matris ortogonal enligt sats 5... Vi har alltså att [ ] / 5 2/ 5 P = 2/ 5 / 5 och beräknar vi determinanten så ser vi att denna är + vilket gör att P geometriskt är en rotation (byter jag plats på egenvektorerna så byter determinanten tecken och vi får då i stället en spegling). Nu gör jag ett basbyte, eller variabelbyte/substitution, med hjälp av denna matris P. En följd av detta blir att jag multiplicerar A med P från vänster och med P från höger och vi får (kom ihåg att inversen till en ortogonal matris är lika med transponatet): P t AP = [ / 5 2/ 5 2/ 5 / 5 ] [ 3 4 4 3 ] [ / 5 2/ 5 2/ 5 / 5 ] = [ 5 5 Notera att denna manöver gav oss en matris (som vi kallar för D ) med egenvärdena på diagonlen och nollor i övrigt. Vi kan nu se att denna diagonala matris representerar en spegling i y-axeln och en förstoring med en faktor 5 ty vi får att D(x, y) t = 5( x, y). ]. Exempel 5.4.6. Lösningarna till ekvationen 5x 2 4xy + 8y 2 36 = (5.6)

5.4 Egenvärden och egenvektorer 43 är geometriskt ellipsen i figur 5.2. Notera att ellipsen är roterad i förhållande till koordinataxlarna. Det är den blandade termen 4xy som ger upphov till detta. Vi ska se hur vi kan hitta nya variabler i vilka ellipsen ligger oroterad och med 5 4 3 2 5 4 3 2 2 x 3 4 5 2 y 3 4 5 Figur 5.2: Ellipsen som ges av ekvation (5.6), här återgiven med sina symmetriaxlar. dessa variabler kommer ellipsens ekvation att sakna blandad term. Så här gör man: i. Vi skriver vänster led av (5.6) på matrisform: ( ) ( ) ( 5 2 x x y 2 8 y ) = 36 (5.7) Genom att sätta ( x x = y ) så kan vi skriva ekvation (5.7) som x T Ax = 36 (5.8), där A = ( 5 2 2 8 ) ii. Beräkna egenvärden och egenvektorer till matrisen A. Egenvärdena blir λ = 4 och λ 2 = 9 och motsvarande normerade egenvektorer blir e λ=4 = 5 (2, ) och e λ=9 = 5 (, 2). iii. Bilda den ortogonala matrisen P som har dessa egenvektorer som kolonner: ) P = ( 2 5 5 5 2 5

44 Komplettering i linjär algebra iv. Utför variabelbytet ( x x = y ) ( X = P Y ) = P X som ger att, där x T Ax = X T P T AP X = X T DX, (5.9) P T AP = D = ( 4 9 ). v. När vi räknar ut vad som står i (5.9) så får vi att ekvationen 5.8 så får vi ekvationen 4X 2 + 9Y 2 = 36, vilket illustreras i figur 5.3. 2 3 2 2 3 X Y 2 Figur 5.3: I de nya variablerna X och Y blir vår sneda ellips i stället en vanlig ellips som ligger symmetriskt kring de nya axlarna. Notera att de nya axlarna är symmetrisaxlarna till den sneda ellipsen som vi såg i figur 5.2 Övning 5.. Utför beräkningarna av egenvärden och egenvektorer till matrisen A i exempel 5.4.6. Övning 5.2. Verifiera att matrisen P i exempel 5.4.6 är en ortogonal matris. Är matrisen en rotation eller en spegling? 5.5 Blandade övningsuppgifter Övning 5.3.

Kapitel 6 System av differentialekvationer Detta avsnitt går genom lösning av system av första ordningens differentialekvationer som är homogena och autonoma. Lösningarna till ett sådant system är parametriska kurvor. ( I appendix B ges en översikt om dessa kurvor) Systemens lösning involverar beräkningar av egenvärden och egenvektorer för en matris och delas in i tre typer beroende om egenvärdena blir distinkta reella, lika och reella eller om de blir komplexa 6. Inledande exempel Låt oss börja med att ge exempel på ett system av differentialekvationer av den typ vi ska titta på i denna kurs. Dessa exempel kommer att lyfta fram en hel del saker som vi behöver titta närmare på för att kunna lära oss hur man löser enkla system av differentialekvationer. Exempel 6... Låt oss titta på den homogena differentialekvationen u + u =. (6.) Om vi sätter x(t) = u(t) och y(t) = u (t) så kan vi skriva denna ekvation som x (t) = y(t) (6.2) y (t) = x(t). Denna ekvation skriver vi naturligare på matrisform som [ ] [ ] [ ] x x y = X (t) = AX(t), (6.3) y [ ] [ ] [ ] x(t) x där X(t) =, X y(t) (t) = (t) y och A =. (t)

46 System av differentialekvationer För att förstå detta så noterar vi att X(t) anger en vektor för varje värde på parametern t. Detta betyder att X(t) är en parametrisk kurva. Vi kan tolka kurvan som den väg ett objekt färdas med tiden t. Detta betyder i sin tur att X (t) är kurvans hastighetsvektor som är kurvans riktningsvektor eller tangentvektor. Matrisen A har determinanten + och då förstår vi att den avbildning som matrisen representerar är en rotation. Jämför vi med matriserna i exemplen 5.2.5 och 5.3.7 så ser vi att vridningen sker med π/2 eller -9. Detta kan tolkas som så att riktningsvektorn i en punkt (a, b) i planet ska vara vinkelrät mot ortsvektorn som denna punkt ger, dvs vara vinkelrät mot vektorn (a, b). Detta kan vi rita upp och visas i figur 6. Detta betyder nu Direction field for exempel 6.. 2,,6,2,8,4, 2,4 x,8 y,2 2,6 2, Figur 6.: Bild till exempel 6.. att lösningen till är en kurva vars riktningsvektor är vinkelrät mot punkternas ortsvektorer, eller uttryckt på annat sätt: vi söker en kurva som är parallell med riktningsvektorerna. Från figur 6. anar man att lösningskurvorna ska blir cirklar med negativ orientering Låter vi detta utgöra en hypotes så kan vi testa denna genom att följer man fältet så rör man sig medurs som definieras som negativ orientering

6.2 Lösning till homogena, autonoma system 47 använda en parametrisering med negativ orientering av en cirkel med radien r: c(t) = (r cos t, r sin t) (6.4) Derivatan till denna blir c (t) = ( r sin t, r cos t). Om vi låter X(t) = c(t) och sätter in i vänster led av (6.3) så får vi V L = [ ] [ r cos t r sin t ] = [ r sin t r cos t Eftersom höger led är X (t) = c (t) = ( r sin t, r cos t) så betyder detta att vår negativt orienterade cirkel faktiskt löser systemet (6.3). ]. Exempel 6..2. Låt oss nu titta på en inhomogen differentialekvation u + u = sin t (6.5) I detta fall ger x(t) = u(t) och y(t) = u (t) följande system x (t) = y(t) (6.6) y (t) = x(t) + sin t, vilket ger att systemet på matrisform ger [ ] [ x y = ] [ x y ] [ + sin t ] X (t) = AX(t). (6.7) Vi gör nu några definitioner med utgångspunkt från våra exempel. Definition 6..3. Ett system som (6.2) eller (6.3) kallas homogent, medan ett system av typen (6.6)eller (6.7) kallas inhomogent. Systemet (6.2) eller (6.3) kallas också autonomt eftersom höger led inte beror på den oberoende variabeln t (förutom implicit via variablerna själva). Som kontrast så är systemet (6.6)eller (6.7) inte autonomt eftersom det finns den explicita sinusfunktionen där. Kommentar 6..4. I denna kurs ska vi studera homogena och autonoma systemem av första ordningens differentialekvationer. 6.2 Lösning till homogena, autonoma system I de tre följande avsnitten ska vi studera homogena autonoma system som ha olika egenvärden, dubbelt egenvärde respektive komplexa egenvärden.

48 System av differentialekvationer 6.2. System med olika egenvärden I detta avsnitt ska vi studera metoderna för lösning av systemen. Det första exemplet visar hur man gör när vi får två olika egenvärden vilket det alltid blir när vi har en nollskild 2 2 matris. Exempel 6.2.. Betrakta systemet x = x + y y = 9x + y Vi skriver om det på matrisform [ x ] [ y 9 ] [ x y ] (6.8) Idén är att söka lösning på formen X(t) = ve λt där λ är ett egenvärde till systemets 2 2 matris och v motsvarande egenvektor. Låt oss nu visa att detta verkligen [ ] ger lösningar i vårt fall. Egenvärdena till matrisen egenvektorer blir v = om vektorfunktionerna X (t) = [ 3 [ 3 blir λ 9 = 2 och λ 2 = 4 och motsvarande ] [ ] och v 2 =. Detta innebär att vi ska prova 3 ] [ e 2t och X 2 (t) = 3 ] e 4t löser vårt system. Vi deriverar dessa först för att se vad vänster led av (6.8) blir: [ ] [ ] [ ] [ ] X (t) = ( 2)e 2t 2 = e 2t X 3 6 2(t) = 4e 4t 4 = e 4t 3 2 Sedan så jämför vi detta med vad som händer med vänster led av (6.8): AX (t) = AX 2 (t) = [ ] [ ] [ ] e 2t 2 = e 2t 9 3 6 [ ] [ ] [ ] e 4t 4 = e 4t 9 3 2 Vi ser alltså att vänster led och höger led blir lika och vi har således visa att X och X 2 verkligen är lösningar till (6.8). Slutligen tittar vi på riktningsfältet till differentialekvationssystemet i figur 6.2: Med lite god vilja kan man kanske se att egenvektorerna har betydelse för riktningsfältets utseende. De två räta linjerna man ser i figuren spänns upp av egenvektorerna!

6.2 Lösning till homogena, autonoma system 49 Figur 6.2: Riktningsfält och lösningskurvor för systemet (6.8). Notera att vi kan ana att kurvorna närmar sig två räta linjer som korsas i origo.. 6.2.2 System med dubbla egenvärden Här tittar vi på exempel där matrisen har ett dubbelt egenvärde, dvs de två egenvärdena är lika. Exempel 6.2.2. Här ska vi studera följande system av differentialekvationer. X (t) = [ 3 Vi börjar som vanligt med att beräkna egenvärden och egenvektorer och får först den karakteristiska ekvationen till ( ) λ = c(λ) = det = λ 2 4λ + 4 = (λ 2) 2 3 λ ] X som alltså ger att vi får ett dubbelt egenvärde λ = 2.

5 System av differentialekvationer Egenvektor blir lösningen till (A λi)x = : [ ] [ 3 λ ], till nästa version:: Här behövs info om geometrisk multiplicitet och generaliserade egenvektorer, Jordans normalform! där rad 2 ger att y = t och rad ger x = y = t. Egenrummet blir då linjen [ ] [ ] x = t, y [ och en lämplig egenvektor blir alltså v = lösning till differentialekvationsssystemet som [ ] X (t) = e 2t. ]. Vi kan nu ställa upp en Men till ett system med två ekvationer så finns det två oberoende lösningar och vi ska använda oss av lösningen X för att skapa en ny oberoende lösning. Den lösning vi söker är på formen X 2 (t) = [ ] [ te 2t a + b Man kan då visa att a och b måste uppfylla (A 2I)a = v som kan skrivas [ ] [ ], där rad ger att b = a + så, eftersom vi bara behöver en uppsättning godkända värden på a och b så kan vi välja a = och b = vilket ger att den andra lösningen blir X 2 (t) = [ ] [ te 2t + Vi har därmed fått fram två oberoende lösningar som då kan kombineras för att få den allmänna lösningen [ ] ([ ] [ ) X(t) = C X (t) + C 2 X 2 (t) = C e 2t + C 2 te 2t + e2t e2t e2t 6.2.3 System med komplexa egenvärden Vi ska titta på system av typen X (t) = AX(t),

6.2 Lösning till homogena, autonoma system 5 där A är en 2 2 matris med reella tal. När vi beräknar karakteristiska polynomet c(λ) = det(a λi) så blir detta ett reellt polynom. Om detta polynom har ett ickereellt komplext nollställe λ = α + iβ så är även dess konjugat λ = α iβ ett nollställe. Nu räknar vi ut egenvektorerna. Eftersom egenvärdena är ickereella så får vi räkna med att egenvektorerna också blir ickereella. Låt oss fortsätta med exempel 6.. Exempel 6.2.3. Systemet på matrisform var [ ] [ ] [ x x y = y ] (6.9) Det karakteristiska polynomet blir c(λ) = det(a λi) = λ 2 + som har de två icke reella nollställena λ = ±i. Låt oss nu beräkna egenvektorerna: λ = +i Efter att ha satt in detta egenvärde så multiplicerar jag radernas båda led med. Jag får då en matris som blir lite snyggare (utan så många minustecken) nämligen: [ ] i i Att dividera första ekvationen med i är samma sak som att multiplicera med i. (Detta är sant eftersom i = i i = i 2 = i) Multiplicerar jag första ekvationen med i och adderar resultatet till rad 2 så får vi [ ] i och detta ger oss att y = ix som med parametriseringen x = t ger oss egenrummet [ ] [ ] x = t, y i och en egenvektor blir därför [ ] v = i λ 2 = i [ i i Att dividera första ekvationen med i är samma sak som att multiplicera med i. (Detta är sant eftersom i = i i = i 2 = i) Multiplicerar jag första ekvationen med i och adderar resultatet till rad 2 så får vi [ ] i ]

52 System av differentialekvationer och detta ger oss att y = ix som med parametriseringen x = t ger oss egenrummet [ ] [ ] x = t, y i och en egenvektor blir därför v 2 = [ i Nu kan vi skriva upp de komplexa lösningarna som [ ] [ X (t) = e it, X i 2 (t) = i ] ] e it och formulera den allmänna lösningen som linjärkombinationen av ovanstående lösningar: [ ] [ ] X(t) = C X (t) + C 2 X 2 (t) = C e it + C i 2 e it, i där C och C 2 är godtyckliga komplexa tal. Genom att välja dessa koeffecienter på speciellt sätt så kan vi få fram reella lösningar. Sätter vi först = 2C = 2C 2 och sedan = i2c = i2c 2 och utnyttjar e ±it = cos t ± i sin t så får vi lösningarna X r = [ cos t sin t vilket ger den allmänna reella lösningen ] [ sin t, X r2 = cos t X r (t) = c X r + c 2 X r2 = c [ cos t sin t ], ] + c 2 [ sin t cos t ] Vi ska i fortsättningen använda följande sats för att bestämma de reella lösningarna för till ett system med komplexa egenvärden: Theorem 6.2.4. Låt X (t) = AX(t) vara ett system där A har komplexa egenvärden λ = α ± iβ. Om vi låter K vara egenvektor till egenvärdet λ = α + iβ så gäller att K 2 = K är egenvektor till λ 2 = λ = α iβ. Detta ger oss de komplexa lösningarna X (t) = K e (α+iβ)t, och X 2 (t) = K 2 e (α iβ)t = K e (α+iβ)t Genom att sätta B = Re K och B 2 = Im K, så kan vi formulera de reella lösningarna som är linjärt oberoende. X r = [B cos βt B 2 sin βt]e αt (6.) X r2 = [B 2 cos βt + B sin βt]e αt

6.2 Lösning till homogena, autonoma system 53 Exempel 6.2.5. Om vi tittar på föregående exempel så får vi att [ ] [ ] B = Re K = Re = i [ ] [ ] B 2 = Im K = Re = i Lösningarna (6.) ger oss nu att (kom ihåg att egenvärdena var λ = ±i vilket ger att α = och β = ) [ ] [ ] [ ] X r = [B cos βt B 2 sin βt]e αt cos t = [ cos t sin t] = sin t På samma sätt får vi att [ X r2 = [B 2 cos βt + B sin βt]e αt = [ ] [ cos t + ] [ sin t sin t] = cos t ]. Vi ser att detta stämmer med det vi sa tidigare. Låt oss nu testa sats 6.2.4 ordentligt genom att räkna ett annat exempel Exempel 6.2.6. Här ska vi lösa systemet [ X 6 (t) = 5 4 ] X(t). Karkteristiska polynomet: [ 6 λ c(λ) = det(a λi) = det 5 4 λ ] = λ 2 λ + 29 Egenvärden : Vi löser = c(λ) = λ 2 λ + 29, vilket ger oss λ = 5 + 2i, λ 2 = λ = 5 2i egenvektorer till λ = 5 + 2i Vi löser systemet (A λ I)K =, där K = (k, k 2 ) T : [ 2i 5 2i För gausselimineringen kan vi multiplicera första raden med 5 2i = 5( + 2i) ( 2i)( + 2i) = + 2i och addera resultatet till rad 2. Då får vi [ 2i ], ]

54 System av differentialekvationer Från vilket vi får sambandet k 2 = ( 2i)k. Väljer vi t.ex. k = så får vi egenvektorn [ ] K = 2i egenvektorer till λ = 5 + 2i Enligt sats 6.2.4 så gäller att [ ] K 2 = K = + 2i Komplexa lösningar Detta ger oss de komplexa lösningarna [ ] X (t) = K e (5+2i)t = e (5+2i)t 2i [ ] X 2 (t) = K 2 e (5 2i)t = e (5 2i)t + 2i Reella lösningar Slutligen använder vi sats 6.2.4 igen, nu för att beräkna de reella lösningarna. Först får vi [ ] B = Re K = [ B 2 = Im K = 2 ], vilket ger oss de reella lösningarna [ ] [ X r = [ cos 2t 2 [ ] [ X r2 = [ cos 2t + 2 ] [ sin 2t]e 5t = ] [ sin 2t]e 5t = cos t cos t 2 sin t sin t sin t cos t ] e 5t ] e 5t Visualisering av lösningar Vi avslutar med ett fasporträtt/riktningsfält (figur 6.3) i vilket några av de möjliga allmänna lösningarna är utritade. Riktningsfältet som är utritat i bakgrunden anger att om en partikel släpps ned i detta fält så kommer de röra sig längs en sådan linje och bort från origo. I nästa sektion kommer vi kalla origo för en instabil kritisk punkt för systemet. Anledningen till att partikeln kommer att förflytta sig utåt är det realdelen av egenvärdet som är positiv och återfinns i exponentialfunktionen som därför växer med ökande t. Kurvornas spiralrörelse beror på egenvärdets imaginärdel och återfinns i de trigonometriska funktionerna.

6.3 stabilitet 55 Figur 6.3: Fasporträtt/riktningsfält med lösningskurvor för exempel 6.2.6 6.3 Kritiska punkter och stabilitet för system av differentialekvationer En kritisk punkt för en funktion var, som ni minns, en punkt där derivatan till funktionen var noll. För system har vi en liknande definition: Definition 6.3.. Låt X = AX vara ett homogent och autonomt system. En kritisk punkt är en vektor X så att AX =, som således gör att X =. Om vi begränsar oss till att studera inverterbara matriser A, dvs sådana med det A så har vi följande sats: Proposition 6.3.2. Ett system X = AX med det A har origo som enda kritiska punkt. När vi talar om stabilitet för ett sådant system så menar vi hur lösningskurvorna till systemet typiskt beter sig i närheten av en kritisk punkt. Man säger att en kritisk punkt är stabil kritisk punkt om en lösningskurva som kommer nära den kritiska punkten fortsätter att ligga nära punkten. Man kan tänka sig det

56 System av differentialekvationer som om vi låter en partikel röra sig längs kurvan så kommer partikeln alltid att vara nära den kritiska punkten. Den kritiska punkten är asymptotiskt stabil kritisk punkt om partikeln kommer fram till den kritiska punkten när t. Om en nod inte är stabil så är den en instabil kritisk punkt. Det finns ett antal olika fall för hur stabilitet/instabilitet uppstår och huvudprincipen för oss är att det är genom egenvärdena som vi kan avgöra detta. Vi ska faktiskt gå ytterligare ett steg; vi ska avgöra stabiliteten med hjälp av elementen i systemets matris. För att göra detta så gör vi följande definition Definition 6.3.3. Låt [ ] a b A = c d Då kallar vi summan av huvuddiagonalens element, p = a+d för matrisens spår (=trace på engelska). Matrisens determinant betecknar vi med q = ad bc. Dessa båda kan kombineras och bilda den så kallade diskriminanten som definieras av = p 2 4q Alla dessa begrepp använder vi nu för att uttrycka matrisens egenvärden Proposition 6.3.4. Matrisens egenvärden kan skrivas som λ = p 2 ± p2 4q 2 = p 2 ± 2 (6.) Att härleda detta är relativt enkelt och lämnas åt läsaren (se nedan). Det viktiga är att diskriminanten står under rottecknet. Det är diskriminantens som avgör om egenvärdena ska blir olika, lika eller komplexa och detta är viktigt när vi nu ska klassificera kritiska punkter. Övning 6.. Härled formeln för egenvärdena (6.). All information vi behöver finns i figur 6.4 och i tabell 6.. I denna kurs tar vi för enkelheten skull denna tabell som definition av de olika stabilitetstyperna och tar hjälp av följande exempel för att illustrera skillnaderna mellan dem. Exempel 6.3.5. Låt oss studera följande system [ ] X (t) = X(t). c Vi ska variera elementet c för att få olika typer av situationer. Egenvärdena blir λ = ± c; det visar sig alltså att diskriminanten = 4c så egenvärdenas typer bestäms av detta element.

6.3 stabilitet 57 Figur 6.4: Stjärnkartan : Stabilitet för system av differentialekvationer beror av tecknen för diskriminanten, spåret p och determinanten q. Typ nr. Egenvärden Typ av kritisk punkt Stabilitet. λ 2 > λ > Nod instabil 2. λ 2 < λ < Nod Asymptotiskt stabil 3. λ 2 < < λ Sadelpunkt Instabil 4. λ = λ 2 > degenererad nod instabil 5. λ = λ 2 < degenererad nod Asymptotiskt stabil 6. λ, λ 2 = α ± βi Spiral punkt 6.a. α > Instabil 6.b. α < Asymptotiskt stabil 7. α = Centrum Stabil Tabell 6.: Stabilitet för kritisk punkt, klassificerat via egenvärdena

58 System av differentialekvationer c =.25 Egenvärdena blir λ = 2 och λ 2 = 3 2. Detta ger att vi har situation 2 från tabellen c = 4 Egenvärdena blir λ = och λ 2 = 3. Detta ger att vi har situation 3 från tabellen labelfig:stabilitet-

6.3 stabilitet 59 c = Egenvärdena blir λ = λ 2 =. Detta ger att vi har situation 5 från tabellen c = 9 Egenvärdena blir λ = + 3i och λ 2 = 3i. Detta ger att vi har situation 6b från tabellen Figur 6.5: Figur till exempel 6.3.5