Tentamen Matematik 2 Kurskod HF1003 Skrivtid 8:15-12:15 Fredagen 13 mars 2009 Tentamen består av 3 sidor Maple samt allt tryckt material Korrekt löst uppgift ger 2 poäng. För godkänt krävs 16 poäng. Varje godkänd KS ger 4 poäng. De 8 första uppgifterna är indelade i fyra grupper, en för varje KS. Du kan inte erhålla poäng från en grupp för vilken du klarat motsvarande KS. Betygsskala: Från Till Betyg 0 14 F 15 15 Fx 16 16 E 17 18 D 19 20 C 21 22 B 23 24 A I till tentamenskontot hörande mapp finns Tentamensmaterial.pdf. Förutom lektionsanteckningar finns i slutet KS:ar och formelblad. Korrekt svar, utan redovisad lösning, leder alltid till 2 poäng, men ju mer du redovisar av en uppgift, desto större möjlighet har du att vid felaktigt svar få 1 poäng på uppgiften. Redovisa i första hand dina lösningar på papper. Hänvisa härifrån till Maple-dokument eller annan fil som du lagrar i tentamensmappen. Håkan Strömberg 1 KTH Syd
Uppgift 1-2. Endast för dig som inte klart KS1T Problem 1. p 1 (x) och p 2 (x) är två andragradspolynom. Ekvationen p 1 (x) = 0 har rötterna x 1,2 = 2±4i. Ekvationen p 2 (x) = 0 har rötterna x 1,2 = 2±i. Lös ekvationen p 1 (x) = p 2 (x) Problem 2. Lösningen till differentialekvationen x 2 y + x y + x 2 y = 0 då y(0) = 1 och y (0) = 0 är en en så kallad Bessel-funktion, som är definierad i Maple. Bestäm ett närmevärde till y(10) Uppgift 3-4. Endast för dig som inte klart KS1D Problem 3. En spline-funktion ges genom { a1 x B(x) = 3 + b 1 x 2 + c 1 x + d 1 1 x 2 a 2 x 3 + b 2 x 2 + c 2 x + d 2 2 x 3 Bestäm exakt de åtta koefficienterna a 1...d 1,a 2...d 2 då B(x) går genom (1,2), (2,1) och (3,4) Problem 4. Punkterna x 0 1 2 3 4 5 y 1 0 63 182 819 3906 ligger alla på grafen till ett femtegradspolynom vilket? Uppgift 5-6. Endast för dig som inte klart KS2T Problem 5. Om två hädelser A och B sådana att P(A) = 0.5 och P(B) = 0.3 och P(A B) = 0.1. Bestäm a) P(A B) b) P(B A) c) P(A A B) d) P(A A B) e) P(A B A B) 3 4 rätt ger 1 poäng. Problem 6. I en urna finns 10 bollar, varav 3 är röda och 7 är vita. Man tar ur urnan 3 bollar utan återläggning. Hur stor är sannolikheten att man får åtminstone en röd boll bland dessa? Håkan Strömberg 2 KTH Syd
Uppgift 7-8. Endast för dig som inte klart KS2D Problem 7. En SV X har frekvensfunktionen 1 f X (x) = b a a x b 0 annars där E(X) = 7 och V(X) = 12. Bestäm a och b Problem 8. En fabrik tillverkar stålkulor men en diameter som är normalfördelade X N(3.0005, 0.0010). För att en stålkula ska godkännas för vidare leverans krävs att diametern har måttet 3.000 ± 0.0020. De kulor som inte klarar denna kontroll måste kasseras. Hur många procent av produktionen måste kasseras? Uppgift 9-12. För alla Problem 9. En maskin som förpackar apelsinjuice, kan ställas in så att den fyller en förpackning med µ dl. Om påfyllningen är normalfördelad X N(µ, 0.3), vilken ska inställningen av µ då vara för att endast 1% av förpackningarna kommer att innehålla mer än 8 dl. Problem 10. Man vill för µ = 0 och σ = 1 approximera f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 med g(x), som är de fyra första termerna, skilda från 0, i funktionen f(x) MacLaurinutveckling. Beräkna som en kontroll och jämför med korrekta resultatet 1 0 g(x) dx 1 0 N(0,1)dx Problem 11. En funktion f(x) är ett polynom av tredje graden. Vidare är f(0) = 4 ett maximum, f( 1) = 0 samt f(1 + h) f(1) lim = 3 h 0 h Bestäm funktionen Problem 12. Givet ett stickprov X 1,X 2...X 10 där X i N(µ,σ) och där både µ och σ är okända 181.6 175.6 186.1 173.0 184.1 184.2 188.4 181.3 187.7 166.1 Bestäm ett 94% konfidensintervall för µ. Håkan Strömberg 3 KTH Syd
Lösningar Svar 1. Först bestämmer vi det två polynomen. I steg två löser vi ekvationen expand((x+2+4*i)*(x+2-4*i)); x^2+4x+20 expand((x-2+i)*(x-2-i)); x^2-4x+5 solve(x^2+4*x+20=x^2-4*x+5); -15/8 Svar: x = 15 8 Svar 2. Med Maple dsolve({x^2*diff(y(x),x$2)+x*diff(y(x),x)+x^2*y(x)=0, y(0)=1,(d(y))(0)= 0}); y(x) = BesselJ(0, x) evalf(besselj(0, 10)); -0.2459357645 altervativt f:=dsolve({x^2*diff(y(x),x$2)+x*diff(y(x),x)+x^2*y(x)=0, y(0)=1,(d(y))(0)= 0},numeric); f(10); -0.2459357645 Svar: y(10) 0.245 Svar 3. som ger spline([1,2,3],[2,1,4],x,cubic) { x 3 3x 2 + x + 3 1 x 2 x 3 + 9x 2 23x + 19 3 x 3 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 2 2.5 3 Figur 1: Håkan Strömberg 4 KTH Syd
Svar 4. Med Maple with(statistics); x:=vector([0,1,-2,3,4,-5]); y:=vector([-1,0,-63,182,819,-3906]); Fit(a*t^5+b*t^4+c*t^3+d*t^2+e*t+f,x,y,t); t^5-t^4+t^3-t^2+t-1 Svar: p(x) = x 5 x 4 + x 3 x 2 + x 1 Svar 5. Svar 6. Med Maple Figur 2: a) P(A B) = P(A B) P(B) = 0.1 0.3 = 1 3 b) P(B A) = P(A B) P(A) = 0.1 0.5 = 1 5 c) P(A A B) = P(A (A B)) 0.5 P(A B) = 0.1+0.4+0.2 = 5 7 d) P(A A B) = P(A (A B)) P(A B) = 0.1 0.1 = 1 e) P(A B A B) = P((A B) (A B)) P(A B) = 0.1 0.1+0.4+0.2 = 1 7 f:=(x)->binomial(3,x)*binomial(7,3-x)/binomial(10,3) sum(f(x),x=1..3); Svar: 17 24 0.708 Svar 7. Vi bestämmer först symboliskt E(X) Vi kan nu bestämma V(X) b a b a x b a dx = a + b 2 ( x a + b ) 2 (a b)2 dx = 2 12 Vi får då ekvationssystemet Som har lösningen a = 1 och b = 13 a + b 2 (a b) 2 12 = 7 = 12 Håkan Strömberg 5 KTH Syd
Svar 8. Med hjälp av Maple får vi direkt de två sannolikhetsmassorna, som vi sedan adderar a1:=statevalf[cdf,normald[3.0005,0.001]](2.998); 0.006209665326 a2:=1-statevalf[cdf,normald[3.0005,0.001]](3.002); 0.0668072013 a1+a2; 0.07301686663 Andelen stålkulor med för stor diameter är betydligt större än de med för liten. Borde kunna gå att efterbearbeta dem. Svar: 7.3% Svar 9. Vi har att lösa ekvationen 8 1 0.3 (x m) 2 2π e 2 0.3 2 dx = 0.99 f:=proc(m,s,x)->1/(s*sqrt(2*pi)*exp(-(1/2)*(x-m)^2/s^2); evalf(solve(int(f(m,0.3,x),x=-infinity..8)=0.99)); 7.302095632 Svar: Ställ in µ på 7.3 dl Svar 10. Med Maple series(exp(-(1/2)*x^2)/sqrt(2*pi),x=0,7); f:= proc (x)->sqrt(2)*(1/2-(1/4)*x^2+(1/16)*x^4-(1/96)*x^6)/sqrt(pi) evalf(int(f(x),x=0..1)); 0.3412381290 with(stats); statevalf[cdf,normald[0,1]](1)-statevalf[cdf,normald[0,1]](0); 0.3413447461 Svar: Approximationen ger 0.3412 till skillnad från det korrekta 0.3413 Svar 11. Med Maple f:=proc(x)->a*x^3+b*x^2+c*x+d solve({f(0)=4,f (0)=0,f(-1)=0,f (x)=-3}); {c=0,b=-3,a=1,d=4} f(x) = x 3 3x 2 + 4 Håkan Strömberg 6 KTH Syd
Svar 12. Med Maple m:=[181.6,175.6,186.1,173.0,184.1,184.2,188.4,181.3,187.7,166.1]; with(stats); describe[mean](m); 180.8100000 describe[standarddeviation[1]](m); 7.155176836 statevalf[icdf, studentst[9]](0.003); -2.150375278 statevalf[icdf, studentst[9]](0.970); 2.150375278 evalf(180.81-(2.150375278*7.155176836)/sqrt(10)); 175.9444199 evalf(180.81+(2.150375278*7.155176836)/sqrt(10)); 185.6755801 Svar: [175.9,185.7] Håkan Strömberg 7 KTH Syd