Monte Carlo-simulering. EG2205 Föreläsning 15 18, vårterminen 2015 Mikael Amelin

Monte Carlo-simulering EG2205 Föreläsning 15 18, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1

Kursmål Tillämpa Monte Carlo-simulering för att beräkna förväntad driftkostnad och risk för effektbrist på en elmarknad, samt använda simuleringsresultaten för att bedöma konsekvenserna av olika åtgärder på en elmarknad. 2

Sannolikhetsfördelningar och väntevärden Sannolikhetsfördelningen för en stokastisk variabel kan beskrivas med fördelningsfunktionen, f X (x). Väntevärdet för en diskret stokastisk variabel blir då E[X] = x xf X x. 3

Sannolikhetsfördelningar och väntevärden Exempel % f X 100 80 60 40 20 x 1 2 3 4 E[X] = 0,4 1 + 0,3 2 + 0,2 3 + 0,1 4 = 2. 4

Sannolikhetsfördelningar och väntevärden En alternativt synsätt på sannolikhetfördelningar är att betrakta en stokastisk variabel, X, som en population av individuella enheter: x 1,, x N, där x i = utfall för X för enhet i, N = antal enheter i populationen. 5

Sannolikhetsfördelningar och väntevärden Med det alternativa synsättet kan väntevärdet för en diskret stokastisk variabel skrivas som N E[X] = 1 N --- x i. i = 1 6

Sannolikhetsfördelningar och väntevärden Exempel 2 1 1 3 2 1 4 2 1 3 1 E[X] = ----- (1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4) = 2. 10 7

Enkel sampling Sats 6.21: Om man har n oberoende observationer, x 1,, x n, av den stokastiska variabeln X så är medelvärdet av dessa observationer, 1 m X = -- x n i, i = 1 en skattning av E[X]. n 8

Enkel sampling Jämför E[X] = N 1 1 --- X och N i m X = -- x n i. i = 1 i = 1 Enkel sampling innebär att man studerar ett begränsat antal slumpmässigt valda observationer i stället för hela populationen! n 9

Enkel sampling Observera att skattningen m X också är en stokastisk variabel! E[m X ] = E[X] (I annat fall skulle man ha ett systematiskt fel.) Var[m X ] ges av följande sats: Sats 6.22: Det skattade väntevärdets varians vid enkel sampling ges av Var m X = Var X -----------------. n 10

Enkel sampling Noggrannhet Skattningens varians, Var[m X ], är intressant eftersom den anger hur mkycket en skattning kan avvika från det korrekta värdet. f mx1 f mx2 x x X X I det här fallet är det troligt att m X1 är bättre än m X2. 11

Enkel sampling Noggrannhet Den praktiska slutsatsen av sats 6.22 är att om man ökar antalet sampel så är det troligt att man får ett resultat som ligger närmare det korrekta värdet. Exempel 6.20 Uppgift Låt C i vara resultatet av att singla slant: Klave C i = 1 Krona C i = 0 Vilken sannolikhetsfördelning har H n = m C = 1 n -- c i? n i = 1 12

Enkel sampling Noggrannhet Exempel 6.20 Lösning 13

Enkel sampling Noggrannhet Exempel 6.20 Lösning 14

Enkel sampling Noggrannhet Exempel 6.20 Lösning 15

Enkel sampling Noggrannhet Exempel 6.20 Lösning 16

Enkel sampling Noggrannhet Exempel 6.20 Lösning 17

Enkel sampling Noggrannhet Exempel 6.20 Lösning 18

Enkel sampling Noggrannhet Exempel 6.20 Test 1 0.8 0.6 0.4 0.2 H n 200 400 600 800 1000 n 19

Enkel sampling Konvergenskriterier Hur vet vi när vi ska avsluta samplingen? Antalet sampel bestämt i förväg. Skattning av noggrannheten, t.ex. genom att studera variationskoefficienten. 20

Enkel sampling Exempel 6.21 Uppgift Stokastisk produktionskostnadssimulering LOLP PPC =1,0%. Önskad noggrannhet: 95% chans att skattningen ligger inom 0.05% från det korrekta värdet. - Detta betyder att om det korrekta värdet på LOLP är 1,08% så önskar vi att skatningen ska hamna inom intervallet 1,03% till 1,13%. Skattningen m LOLO antas vara normalfördelad. 21

Enkel sampling Exempel 6.21 Lösning Sannolikheten är 95% att en N(, )-fördelad stokastisk variabel ligger inom intervallet 1,96. I det här fallet vill vi att det intervall ska vara 0,0005 Standardavvikelsen för m LOLO måste vara mindre än 0,0005/1,96 0,000255 Variansen för m LOLO måste vara mindre än 0.000255 2 6.5 10 8. 22

Enkel sampling Exempel 6.21 Lösning Var[m LOLO ] beror på Var[LOLO], som inte är känd men som kan antas vara ungefär lika med värdet från en stokastisk produktionskostnadssimulering: Var[LOLO] LOLP PPC (1 LOLP PPC ) = = 0.01 0.99 = 0.0099. Sats 6.22 ger att Var m LOLO Var LOLO ------------------------------. n Var[m LOLO ] < 6.5 10 8 n > 152 127. = 23

Enkel sampling Variationskoefficient Definition: Variationskoefficienten definieras enligt a X = Var m X -------------------------. m X 24

Enkel sampling Skattning av noggrannheten Generera ett antal sampel. Skatta Var[X] från n s2 1 X = -- x n i m X 2. i = 1 Testa om a X är mindre än någon viss given toleransnivå,. Om så är fallet avslutas simuleringen, annars får man generera ytterligare sampel, o.s.v. 25

Enkel sampling Exempel på användning av variationskoefficienten 1 0.8 0.6 0.4 0.2 H n 200 400 600 800 1000 a 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 n 26

Simulering av elmarknader Y gy X Scenarioparametrarna, Y, har en känd sannolikhetsfördelning. Resultatvariablerna, X, har en okänd sannolikhetsfördelning. Vi är framför allt intresserade av systemindex, som definieras som väntevärdena av vissa resultatvariabler. 27

Simulering av elmarknader Resultvariabel TOC LOLO ENS Systemindex ETOC LOLP EENS 28

Enkel sampling Tillämpning på elmarknadssimulering Slumptalsgenerator Inversa transform metoden Elmarknadsmodell U Y X m X Sampling Skapa likformigt fördelade slumptal. Transformera slumptalen till lämplig sannolikhetsfördelning motsvarande scenarioparametrarna. Studera hur elmarknaden beter sig i det givna scenariot. Sampla resultatvariablerna. 29

Slumptalsgenerering Pseudoslumptalsgenerator är en matematisk funktion som givet ett frö skapar en sekvens av tal. En bra slumptalsgenerator ger en sekvens som ligger nära de statistiska egenskaperna för en U(0, 1)-fördelning. - Utan att veta hur slumptalsgeneratorn är konstruerad och dess inre tillstånd så är det omöjligt att förutsäga nästa tal i sekvensen. Slumptalsgeneratorer finns tillgängliga i de allra flesta programspråk. 30

Transformering av slumptal Det är inte särskilt troligt att scenarioparametrarna är U(0, 1)- fördelade och således måste vi transformera resultatet från slumptalsgenerator till rätt fördelning. Detta kan man göra med den inversa transformmetoden: Sats E.1: Om en stokastisk variabel U är U(0, 1)- fördelad så får den stokastiska variabeln Y = F 1 Y U fördelningsfunktionen F Y (x). I praktiken kan man lika gärna använda F Y i stället för F Y. 31

Transformering av slumptal Exempel 1 U F D 200 D 400 600 800 x MW 32

Transformering av slumptal Normalfördelade slumptal Det existerar ingen invers funktion till fördelningsfunktionen för normalfördelningen, (x)! Använd en approximation av 1 (x) i stället. Denna metod kallas den approximativa inversa transformmetoden och beskrivs i sats E.2 i kompendiet. 33

Elmarknadsmodell Monte Carlo-simuleringar är inte begränsade till någon viss elmarknadsmodell. Hur detaljerad modell man kan använda begränsas endast av beräkningstiden. 34

Elmarknadsmodell I matematiska termer så är elmarknadsmodellen en funktion x i = g(y i ), där x i = resultatvariabler för scenario i, y i = scenarioparametrar i scenario i. I de flesta fall kan funktionen g inte formuleras explicit, utan definieras indirekt från lösningen till ett optimeringsproblem, där - optimeringsvariabler resultatvariabler - parametrar scenarioparametrar. 35

Elmarknadsmodell SPS-modell Antag Perfekt konkurrens Perfekt information Lasten inte priskänslig Bortse från nätbegränsningar och -förluster Alla scenarioparametrar kan betraktas som oberoende 36

Elmarknadsmodell Multi-areamodell Antag Perfekt konkurrens Perfekt information Lasten inte priskänslig Inkludera transmissionsbegränsningar och -förluster Bortse från distributionsbegränsningar och -förluster 37

Multi-areamodell Exempel Systemdata Termiska kraftverk: - Oljekondens, 300 MW, 280 /MWh, 95% tillgänglighet, lokaliserad i Nord - Kärnkraft, 1 000 MW, 100 /MWh, 90% tillgänglighet, lokaliserad i Syd - Biobränslekondens, 400 MW, 180 /MWh, 95% tillgänglighet, lokaliserad i Syd 38

Multi-areamodell Exempel Systemdata Icke-reglerbara kraftverk: - Strömkraftverk, 2000MW (80%), 1 900 MW (10%), 1800MW (10%), försumbar driftkostnad, lokaliserad i Nord - Vindkraftpark, 100 MW (10%), 80 MW (5%), 60 MW (10%), 40 MW (15%), 20 MW (25%), 0 MW (35%), försumbar driftkostnad, lokaliserad på Ön 39

Multi-areamodell Exempel Systemdata Transmissionsförbindelser: - Växelströmsledning mellan Nord och Syd, 1 200 MW, 4% förluster, 100% tillgänglighet - HVDC-ledning från Syd till Ön (enkelriktad!), 200 MW, 2% förluster, 100% tillgänglighet Last (inga korrelationer, inte priskänslig, ingen ersättning för bortkopplad last): - Nord: N(600,100) - Syd: N(2000,300) - Ön: N(100,20) 40

Multi-areamodell Exempel Uppgift Formulera en multi-areamodell för systemet och visa hur resultatvariablerna TOC, LOLO och ENS beräknas. 41

Multi-areamodell Exempel Lösning Parametrar D n = last i area n (scenarioparameter värdet slumpas fram under simuleringen), G g = tillgänglig produktionskapacitet i termiskt kraftverk g (scenarioparameter värdet slumpas fram under simuleringen), P nm = maximal transmission från area n till area m = 1 200 = n = 1 m = 2, 1 200 n = 2 m = 1, 200 n = 2 m = 3, 42

Multi-areamodell Exempel Lösning W n = tillgänglig produktionskapacitet i de ickereglerbara kraftverken i area n (scenarioparameter värdet slumpas fram under simuleringen), Gg = driftkostnad i termiskt kraftverk g = 280 g = 1, = 100 g = 2, 180 g = 3, 43

Multi-areamodell Exempel Lösning Ln, m = förlustkoefficient för transmission från area n till area m = 0,04 n 1 m 0,04 0,02 n n = = 2, = 2 m = 1, = 2 m = 3, Un = straffkostnad för ickelevererad energi i area n = =500, n = 1, 2, 3. 44

Multi-areamodell Exempel Lösning Optimisation variables G g = produktion i termiskt kraftverk g, g =1,2,3, P n, m = transmission från area n till area m, (n, m)=(1, 2), (2, 1), (2, 3), U n = ickelevererad energi i area n, n =1,2,3, W n = produktion i icke-reglerbara kraftverk i area n, n =1,3. Målfunktion 3 minimera Gg G g + Un U n. g = 1 3 n = 1 45

Multi-areamodell Exempel Lösning Bivillkor Lastbalans i Nord: G 1 + W 1 + 0,96P 2, 1 = D 1 U 1 + P 1, 2. Lastbalans i Syd: G 2 + G 3 + 0,96P 1, 2 = D 2 U 2 + P 2, 1 + P 2, 3. Lastbalans i Ön: W 3 + 0,98P 2, 3 = D 3 U 3. 46

Multi-areamodell Exempel Lösning Variabelgränser 0 G g G g, g = 1, 2, 3, P nm, 0 P n,m (n, m) = (1, 2), (2, 1), (2, 3), 0 U n D n, n = 1, 2, 3, 0 W n W n, n = 1, 3. 47

Multi-areamodell Exempel Lösning Resultatvariablerna beräknas genom att lösa optimeringsproblemet med de framslumpade värdena på scenarioparametrarna och sedan beräkna TOC = ENS = LOLO = 3 g = 1 3 n = 1 Gg G g, U n, 0 om ENS = 0, 1 om ENS > 0. 48

Projektuppgift E4d Definiera en multi-areamodell. - Ange sannolikhetfördelningen för scenarioparametrarna. - Ange värdet på modellkonstanter. - Formulera optimeringsproblemet. - Visa hur resultatvariablerna TOC och LOLO beräknas från en lösning till optimeringsproblemet. 49

Monte Carlo-simulering Testsystem Strömkraftverk, 150 kw, 100% tillgänglighet, försumbar driftkostnad. Dieselgenerator, 40 100 kw, 100% tillgänglighet, 1 /kwh. Dieselgenerator, 0 50 kw, 100% tillgänglighet, 2 /kwh. Last N(180, 40)-fördelad [kw]. Styrbar last (varmvattenberedare) kan ta hand om överskottsproduktion. 50

Enkel sampling Exempel 6.22 I vårt testsystem så studerar vi endast en scenarioparameter, lasten D (d.v.s. Y = [D]), en resultatvariabel, driftkostnaden TOC (d.v.s. X = [TOC]). 51

Enkel sampling Exempel 6.22 Elmarknadsmodellen blir en explicit funktion X = g(y),* där 0 Y 150, 2 Y 150 150 Y 170, 40 170 Y 190, gy = Y 150 190 Y 250, 100 + 2 Y 250 250 Y 300, 200 300 Y. * Observera att detta alltså är ett undantag, som beror på att vi studerar ett mycket förenklat system. 52

Enkel sampling Exempel 6.22 För att slumpa fram ett scenario behöver vi slumpa fram ett U(0, 1)-fördelat slumptal och transformera det till en N(180, 40)- fördelning. Scenario, i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D [kwh/h] 165 273 144 147 185 147 225 120 147 152 TOC [ /h] 30 146 0 0 40 0 75 0 0 4 10 1 m TOC = ----- toc 10 i = = 29.50. i = 1 53

Enkel sampling Exempel 6.22 /h 200 TOC 150 100 50 50 100 150 200 250 300 D kwh/h 54

Enkel sampling Exempel 6.22 Korrekt värde: ETOC = 39,66 /h. Skattning från enkel sampling: m TOC = 29,50 /h. 55

Projektuppgift E4e Tillämpa enkel sampling. - Analysera de givna scenarierna med hjälp av multiareamodellen från uppgift E4d. - Skatta ETOC och LOLP. 56

Monte Carlo-simulering Effektivitet Ett stort antal sampel kan behövas för att få tillräckligt noggrant svar lång beräkningstid. Ofta har vi emellertid en viss information om resultaten redan innan vi börjar sampla. Denna information kan ibland använda för att förbättra noggrannheten (vilket innebär att man reducerar Var[m X ]). 57

Monte Carlo-simulering Effektivitet Metoder för att reducera Var[m X ] kallas variansreduceringstekniker. I den här kursen kommer vi att diskutera tre variansreduceringstekniker: - Slumptalskomplement - Kontrollvariabler - Stratifierad sampling Den som vill veta mer om variansreduceringstekniker (och Monte Carlo-simulering i allmänhet) kan läsa EG2420 Teori och projekt i Monte Carlo-simulering. 58

Slumptalskomplement Teori Antag att m X1 och m X2 är två skilda skattningar av X, d.v.s. E[m X1 ] = E[m X2 ] = X. Medelvärdet av de två skattningarna, d.v.s. (m X1 + m X2 )/2, är också en skattning av X eftersom E m X1 + m X2 1 ------------------------- = -- Em 2 2 X1 + Em X2 1 = -- 2 X + X = X. = 59

Slumptalskomplement Teori Hur bra är den nya skattningen? Betrakta Var m X1 + m ------------------------- X2 2 1 = --Var m = 4 X1 + m X2 = 1 -- Var m 4 X1 + Var m X2 + 2Cov m X1 m X2. 60

Slumptalskomplement Teori Om m X1 och m X2 erhålls från två oberoende simuleringar där man använt enkel sampling med n sampel i varje simulering så är Var[m X1 ] = Var[m X2 ] och Cov[m X1, m X2 ] = 0 Var m X1 + m ------------------------- X2 2 Var m X1 = = ------------------------. 2 Jfr sats 6.22: Om man fördubblar antalet sampel så halveras skattningens varians. 61

Slumptalskomplement Teori Om m X1 och m X2 däremot är negativt korrelerade så blir skattningen lägre än vid enkel sampling. Om vi har n sampel i varje simulering så är Var[m X1 ] = Var[m X2 ] och Cov[m X1, m X2 ] < 0 Var m X1 + m ------------------------- X2 = = 2 Var m X1 1 = ------------------------ + --Cov m 2 2 X1 m X2. 62

Slumptalskomplement Teori Hur får vi fram negativt korrelerade skattningar? Låt U (det ursprungliga slumptalet) vara U(0, 1)-fördelat. Då är U* = 1 U (slumptalskomplementet) också U(0, 1)- fördelat. U och U* är negativt korrelerade ( U, U* = 1). Y = F 1 Y U och Y* = F 1 Y U* kommer också att vara negativt korrelerade ( Y, Y* U, U* ). 63

Slumptalskomplement Teori 1 U F D U* x 200 D 400D* 600 800 MW 64

Slumptalskomplement Teori X = g(y) och X* = g(y*) kommer också att vara negativt korrelerade ( X, X* Y, Y* U, U* ). Om m X1 är resultatet av att studera X och m X2 är resultatet av att studera X* så blir m X1 och m X2 också negativt korrelerade. n n 1 1 Notera att m X1 = -- x n i, m X2 = -- x* n i m X1 + m ------------------------- X2 2 = n i = 1 1 ----- x 2n i + x* i, i = 1 i = 1 d.v.s. det finns ingen anledning att göra någon skillnad mellan de ursprungliga scenarierna och de komplementära. 65

Slumptalskomplement Tillämpning på elmarknadssimulering U Y X Inversa transform metoden Slumptalsgenerator Elmarknadsmodell U* Y* X* Sampling m X Skapa likformigt fördelade slumptal (ursprungliga värden och komplementära). Transformera slumptalen till lämplig sannolikhetsfördelning motsvarande scenarioparametrarna. Studera hur elmarknaden beter sig i det ursprungliga och de komplementära scenarierna. Sampla resultatvariablerna. 66

Slumptalskomplement Tillämpning Om det finns S scenarioparametrar så kan vi skapa totalt 2 S scenarier med hjälp av olika kombinationer av ursprunliga värden och slumptalskomplement. Exempel Två scenarioparametrar, G och D: Ursprungligt scenario: G, D Komplementära scenarier: G, D*, G*, D, G*, D* 67

Slumptalskomplement Tillämpning Att skapa alltför många komplementära scenarier kan vara ineffektivt. Man ska därför bara använda slumptalskomplement på sådana scenarioparametrar där en negativ korrelation mellan Y och Y* ger en tydlig negativ korrelation mellan X och X*. 68

Slumptalskomplement Tillämpning Exempel Komplementära scenarier för en multi-areamodell: Den totala lasten, D tot = D n, har en starkare korrelation till TOC än lasten i en enskild area, D n. Slumpa fram den totala lasten D tot och dess slumptalskomplement D* tot. Slumpa fram två oberoende uppsättningar preliminära i ii arealaster, D n respektive D n. 69

Slumptalskomplement Tillämpning Exempel Skala till sist de preliminära arealasterna så att de motsvarar den totala lasten, d.v.s. Scenario 1: Scenario 2: D n = D tot i -------------------------- D i n D m m N tot D m ii D* ii D n = -------------------------- D n m N 70

Slumptalskomplement Exempel 6.26 Scenario, i 1 2 3 4 5 D [kwh/h] 165 273 144 147 185 TOC [ /h] 30 146 0 0 40 Scenario, i 6 7 8 9 10 D* [kwh/h] 195 87 216 213 175 TOC* [ /h] 45 0 66 63 40 10 1 m TOC = ----- toc 10 i = = 43,00. i = 1 71

Slumptalskomplement Exempel 6.26 /h 200 TOC 150 100 50 50 100 150 200 250 300 D kwh/h 72

Slumptalskomplement Exempel 6.26 Korrekt värde: ETOC = 39,66 /h. Skattning från enkel sampling: m TOC = 29,50 /h. Skattning med slumptalskomplement: m TOC = 43,00 /h. 73

Kontrollvariabler Teori Antag att vi har två modeller; en detaljerad modell X = g(y) och en förenklad modell Z = g Y. Resultaten från den förenklade modellen kallas för kontrollvariabler. Antag att vi vill beräkna systemindexen för den detaljerade modellen (d.v.s. skatta E[g(Y)]) och att vi redan känner till systemindexen för den förenklade modellen, Eg Y = Z. Sampla skillnaden mellan resultatvariablerna och kontrollvariablerna, d.v.s. X Z! 74

Kontrollvariabler Teori En skattning av systemindexen för den detaljerade modellen får man genom att lägga till systemindexen för den förenklade modellen till den skattade skillnaden, ty E[m (X Z) + Z ] = E[X Z] + Z = = E[X] E[Z] + Z = E[X]. 75

Kontrollvariabler Teori Hur bra är denna skattning? 1 Var[m (X Z) + Z ] = --Var X Z + 0 = n 1 = -- Var X + Var Z 2Cov X Z. n X och Z är resultaten från två modeller av samma system X och Z borde vara positivt korrelerade om Var[Z] < 2Cov[X, Z] så är Var[m (X Z) + Z ] < Var[m X ], d.v.s. att använda kontrollvariabler kan vara effektivare än att använda enkel sampling. 76

Kontrollvariabler Teori Detaljerad elmarknadsmodell m Z Slumptalsgenerator X Inversa + U Y m (X Z) transform metoden Z Sampling + + Förenkl. elmarknads modell m X 77

Kontrollvariabler Förenklad modell Antag Perfekt konkurrens Perfekt information Lasten inte priskänslig Bortse från nätbegränsningar och -förluster Alla scenarioparametrar kan betraktas som oberoende 78

Kontrollvariabler Förenklad modell Väntevärdena för kontrollvariablerna beräknas genom att köra en stokastisk produktionskostnadssimulering: TOC = ETOC SPS, ENS = EENS SPS, LOLO = LOLP SPS. 79

Kontrollvariabler Förenklad modell Parametrar D tot = total last (scenarioparameter värdet slumpas fram under simuleringen), G g = tillgänglig produktionskapacitet i termiskt kraftverk g (scenarioparameter värdet slumpas fram under simuleringen), Gg = driftkostnad i kraftverk g, Un = straffkostnad för bortkopplad last. 80

Kontrollvariabler Förenklad modell Optimeringsvariabler G g = elproduktion i termiskt kraftverk g, Ũ = icke-levererad energi. Målfunktion minimera g G Gg G g + U Ũ. 81

Kontrollvariabler Förenklad modell Bivillkor G g = D tot Ũ. g G Variabelgränser 0 G g G g, 0 Ũ D tot. 82

Kontrollvariabler Förenklad modell Kontrollvariablerna beräknas genom att lösa optimeringsproblemet med de framslumpade värdena på scenarioparametrarna och sedan beräkna TOC ENS = = g G Ũ, Gg G g, LOLO 0 = 1 om ENS = 0, om ENS > 0. 83

Kontrollvariabler Exempel 6.27 I den förenklade modellen bortser vi från den undre gränsen för elproduktionen i den större dieselgeneratorn, d.v.s. g Y = 0 Y 150 100 + 2 Y 250 200 Y 150, 150 Y 250, 250 Y 300, 300 Y. 84

Kontrollvariabler Exempel 6.27 Scenario, i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D [kwh/h] 165 273 144 147 185 147 225 120 147 152 TOC [ /h] 30 146 0 0 40 0 75 0 0 4 TOC [ /h] 15 146 0 0 35 0 75 0 0 2 ETOC PPC = 36.27. 10 1 m TOC = ----- toc 10 i toc i + TOC i = 1 = 2,20 + 36,27 = 38.47. 85

Kontrollvariabler Exempel 6.27 /h 200 TOC TOC 150 100 50 50 100 150 200 250 300 D kwh/h 86

Kontrollvariabler Exempel 6.27 Korrekt värde: ETOC = 39,66 /h. Skattning från enkel sampling: m TOC = 29,50 /h. Skattning med slumptalskomplement: m TOC = 43,00 /h. Skattning med kontrollvariabel: m TOC = 38.47 /h. 87

Stratifierad sampling Teori Antag att en population är uppdelad i separata delar, stratum, så att varje enhet hör till exakt ett stratum. Detta innebär följande: - X h X k =, h k (inga överlappande stratum) - X h = X (tillsammans motsvarar stratumen hela h populationen) 88

Stratifierad sampling Teori Varje stratum tilldelas en stratumvikt som motsvarar stratumets storlek: h N h = ----- = PX X N h. N h är antalet enheter som hör till stratum h och N är antalet eneheter i hela populationen. 89

Stratifierad sampling Teori Antag att vi har skattningar av väntevärdet för varje stratum, d.v.s. E[X h ]. - Skattning med enkel sampling: n h m ---- 1 x Xh = h i n h i = 1. - Analytisk lösning: m Xh = Xh. 90

Stratifierad sampling Teori Det viktade medelvärdet av väntevärdet för alla stratum är en skattning av E[X], ty E L h = 1 N h m Xh = 1 = = E[X]. N --- x i i = 1 L h = 1 h Xh L N h N h 1 = ----- = N ----- x i h = 1 N h i = 1 91

Stratifierad sampling Teori Hur bra är denna skattning? Man kan visa att Var L h = 1 h m Xh = L h = 1 2 h Var m Xh. Väl valda stratum kan resultera i en lägre varians än vad vi får för enkel sampling! Motsatsen är också möjlig! 92

Stratifierad sampling Teori U Inversa transform metoden Slumptalsgenerator Elmarknadsmodell Y 1 X 1 Sampling m X1 m Xh + 1 + + h m X L U Inversa transform metoden Y L Slumptalsgenerator Elmarknadsmodell X L Sampling m XL 93

Stratifierad sampling Tillämpning Stratum kan inte definieras baserat på värdet av resultatvariablerna, eftersom dessa värden är okända tills dess att vi analyserat ett visst scenario x = g(y). Stratum måste därför definieras som möjliga värden på scenarioparametrarna. Således måste vi ha möjlighet att generera slumptal som hör till en viss del av en sannolikhetsfördelning. 94

Stratifierad sampling Tillämpning Exempel: Slumpa fram D. 1 F D 200 400 600 800 x MW 95

Stratifierad sampling Exempel 6.28 Inför följande stratum: 1. Alla scenarier där D 150 2. Alla scenarier där 150 < D 250 3. Alla scenarier där 250 < D Beräkna stratumvikterna: 1 = P(D 150) = ( 0,75) 0,23, 2 = P(150 < D 250) = (1,75) ( 0,75) 0,73, 3 = P(250 < D) = 1 (1,75) 0,04. 96

Stratifierad sampling Exempel 6.28 Stratum, h 1 2 3 Scenario, i 1 2 1 2 3 4 5 6 1 2 D [kwh/h] 124 150 166 168 193 167 224 156 254 255 TOC [ /h] 0 0 33 36 43 34 74 12 108 110 2 1 1 1 m TOC = 1 -- x 2 1 i + 2 -- x 6 2 i + 3 2 -- x 3 i i = 1 6 i = 1 2 i = 1 = 32.72. 97

Stratifierad sampling Exempel 6.28 /h 200 TOC 150 100 50 50 100 150 200 250 300 D kwh/h 98

Stratifierad sampling Exempel 6.28 Korrekt värde: ETOC = 39,66 /h. Skattning från enkel sampling: m TOC = 29,50 /h. Skattning med slumptalskomplement: m TOC = 43,00 /h. Skattning med kontrollvariabel: m TOC = 38.47 /h. Skattning med stratifierad sampling: m TOC = 32.72 /h. 99

Kombinationer av flera variansreduceringstekniker Exempel 6.29 Stratum, h 1 2 3 Scenario, i 1 1 2 3 1 D [kwh/h] 124 166 168 193 254 TOC [ /h] 0 16 18 43 108 TOC [ /h] 0 32 36 43 108 Scenario, i 2 4 5 6 2 D [kwh/h] 138 217 215 185 276 TOC [ /h] 0 67 65 35 152 TOC [ /h] 0 67 65 40 152 100

Kombinationer av flera variansreduceringstekniker Exempel 6.29 m TOC = 6 TOC 1 + -- toc 1 2 1 i i = 1 1 + 2 -- toc + 6 2 i toc 2 i i = 1 2 1 i toc 1 + 3 -- toc + = = 43.44. 2 3 i toc 3 i i = 1 2 + 101

Kombinationer av flera variansreduceringstekniker Exempel 6.29 /h 200 TOC 150 100 50 50 100 150 200 250 300 D kwh/h 102

Kombinationer av flera variansreduceringstekniker Exempel 6.28 Korrekt värde: ETOC = 39,66 /h. Skattning från enkel sampling: m TOC = 29,50 /h. Skattning med slumptalskomplement: m TOC = 43,00 /h. Skattning med kontrollvariabel: m TOC = 38.47 /h. Skattning med stratifierad sampling: m TOC = 32.72 /h. Skattning med slumptalskomplement, kontrollvariabel och stratifierad sampling: m TOC = 43.44 /h. 103

Jämföresle av simuleringsmetoder Result från1 000 simuleringar med olika frö till slumptalsgeneratorn. Simuleringsmetod Skattning av ETOC Lägsta Medel Högsta Enkel sampling 6.33 39.78 81.65 Slumptalskomplement 31.48 39.85 64.22 Kontrollvariabel 36.27 40.03 46.08 Stratifierad sampling 19.44 39.78 59.74 Kombintation 36.95 40.03 43.30 104

Stratifierad sampling Stratumträd Hur ska stratumen väljas för att man ska få så stor variansreducering som möjligt? Betrakta att Var[m X ] = L h = 1 2 h Var m Xh. Om alla Var[m Xh ] är små så blir Var[m X ] också liten. 105

Stratifierad sampling Stratumträd Det är önskvärt att alla scenarier som hör till ett visst stratum ger samma eller väldigt näraliggande värden på resultatvariablerna. För att definiera effektiva stratum behöver vi förutsäga resultaten för scenarierna (utan att faktiskt beräkna resultatvariablerna). Ett stratumträd är ett verktyg för att systematiskt kategorisera scenarier. 106

Stratifierad sampling Stratumträd Ett stratumträd är en trädstruktur med följande egenskaper: Roten innehåller ingen information. Alla andra noder anger ett antal möjliga utfall för en eller flera scenarioparametrar. Varje nod har en nodvikt, som motsvarar sannolikheten att få det angivna utfallet för de berörda scenarioparametrarna. Roten har nodvikten 1. 107

Stratifierad sampling Stratumträd Alla scenarioparametrar längs en gren i trädet ska vara oberoende av varandra. Varje gren kommer att omfatta en viss del av den totala populationen av scenarier, d.v.s. varje gren motsvarar ett stratum. Stratumvikten beräknas genom att multiplicera nodvikterna längsmed grenen. Stratum med liknande egenskaper kan slås ihop, d.v.s. det är möjligt att ha stratum som omfattar flera grenar (men det krånglar till processen att slumpa fram scenarioparametrar). 108

Stratifierad sampling Stratumträd Ett stratumträd ska omfatta alla möjliga scenarier. Detta krav är garanterat uppfyllt om alla barn till en viss nod anger utfall för samma scenarioparameter, summan av barnens nodvikter är lika med 1. 109

Stratifierad sampling Stratumträd De möjliga värdena för TOC och LOLO kan förutsägas ifall vi jämför den totala tillgängliga produktionskapaciteten, G (termisk) och W (icke-reglerbar) med den totala lasten, D. Varje möjligt tillstånd för den tillgängliga totala produktionskapaciteten placeras på den övre nivån i stratumträdet. (Detta förutsätter att vi har en diskret sannolikhetsfördelning.) Noder för intressanta lastintervall placeras på den undre nivån i stratumträdet. 110

Stratifierad sampling Stratumträd för multi-areamodell I en multi-areamodell behöver vi ta hänsyn till att det finns vissa lastintervfall där det är svårare att förutsäga TOC och LOLO. Antag att vi känner till de maximal förlusterna, L, och den maximal the maximala outnyttjade produktionskapaciteten p.g.a. transmissionsbegränsningar, U W (icke-reglerbar) respektive (total). U WG 111

Stratifierad sampling Stratumträd för multi-areamodell D W U W TOC = 0, LOLO = 0 Lasten kan täckas med enbart icke-reglerbara kraftverk. W U W < D W L TOC 0, LOLO = 0 Det är möjligt att lasten kan täckas med enbart ickereglerbara kraftverk, men det kan också bli nödvändigt att starta andra kraftverk p.g.a. transmissionsbegränsningar. W L < D W TOC 0, LOLO = 0 Det är möjligt att lasten kan täckas med enbart ickereglerbara kraftver, men det kan också bli nödvändigt att starta andra kraftverk p.g.a. transmissionsförluster. 112

Stratifierad sampling Stratumträd för multi-areamodell W < D W + G U WG TOC 0, LOLO = 0 Lasten är större än den tillgängliga icke-reglerbara produktionskapaciteten, men lasten kan täckas med andra kraftverk. W + G U WG < D W + G L TOC 0, LOLO = 0 eller 1 Det är möjligt att den totala produktionskapaciteten är tillräcklig, men man kan också tvingas koppla bort last på grund av transmissionsbegränsningar. 113

Stratifierad sampling Stratumträd för multi-areamodell W + G L < D W + G TOC 0, LOLO = 0 eller 1 Det är möjligt att den totala produktionskapaciteten är tillräcklig, men man kan också tvingas koppla bort last på grund av transmissionsförluster. W + G < D TOC 0, LOLO = 1 Bortkoppling av last är oundvikligt. Observera att det även kan förekomma andra kombinationer av TOC och LOLO, t.ex. om G = 0. 114

Stratifierad sampling Exempel 6.30 Systemdata Elproduktion Vindkraft, tillgänglig kapacitet 0 kw (50%) eller 150 kw (50%), försumbar driftkostnad. Dieselgenerator, 250 kw, 80% tillgänglighet, driftkostnad 10 /kwh. Last Kvällar: Mji N(175,48), Kijiji N(75,20). Övrig tid: Mji N(120,24), Kijiji N(30,7). Transmission De maximala förlussterna mellan Mji och Kijiji är 3 kw. 115

Stratifierad sampling Exempel 6.30 Uppgift Föreslå ett lämpligt stratumträd för att simulera detta system och beräkna stratumvikterna! 116

Stratifierad sampling Exempel 6.30 Lösning Lämpligt stratumträd: Nivå 0: Rot Nivå 1: Tid på dagen Nivå 2: Tillgänglig produktionskapacitet Nivå 3: Last 117

Stratifierad sampling Exempel 6.30 Lösning Tid på dagen Period Node weight Produktionskapacitet W W Node weight D Last Node weight Stratum vikt TOC LOLO Dag/ natt 0,75 0 0 0,1 0 1 0,075 0 1 147 0,452 0,034 0 0 150 0 0,1 147 150 0,048 0,004 0 0/1 > 150 0,5 0,038 0 1 118

Stratifierad sampling Exempel 6.30 Lösning Tid på dagen Period Node weight Produktionskapacitet W W Node weight D Last Node weight Stratum vikt TOC LOLO Dag/ natt 0,75 0 250 0,4 247 0,452 0,034 > 0 0 247 250 0,048 0,004 > 0 0/1 > 250» 0» 0 > 0 1 119

Stratifierad sampling Exempel 6.30 Lösning Tid på dagen Period Node weight Produktionskapacitet W W Node weight D Last Node weight Stratum vikt TOC LOLO Dag/ natt 0,75 150 250 0,4 147 0,452 0,136 0 0 147 150 0,048 0,014 ³ 0 0 150 397 0,5 0,15 > 0 0 397 400 0 0 > 0 0/1 > 400 0 0 > 0 1 120

Stratifierad sampling Exempel 6.30 Lösning Tid på dagen Period Node weight Produktionskapacitet W W Node weight D Last Node weight Stratum vikt TOC LOLO Kväll 0,25 0 0 0,1 0 1 0,025 0 1 147 0,024 0,001 0 0 150 0 0,1 147 150 0,003 0 0 0/1 > 150 0,973 0,243 0 1 121

Stratifierad sampling Exempel 6.30 Lösning Tid på dagen Period Node weight Produktionskapacitet W W Node weight D Last Node weight Stratum vikt TOC LOLO Kväll 0,25 0 250 0,4 247 0,452 0,034 > 0 0 247 250 0,048 0,004 > 0 0/1 > 250 0,5 0,05 > 0 1 122

Stratifierad sampling Exempel 6.30 Lösning Tid på dagen Period Node weight Produktionskapacitet W W Node weight D Last Node weight Stratum vikt TOC LOLO Kväll 0,25 150 250 0,4 147 0,024 0,002 0 0 147 150 0,003 0 0 0 150 397 0,970 0,097 > 0 0 397 400 0 0 > 0 0/1 > 400 0,002 0 > 0 1 123

Stratifierad sampling Sampelallokering Sats (Neymanallokeringen): För ett givet antal sampel, n, minimeras Var[m X ] om samplen fördelas mellan stratumen enligt n h = ------------------------------- h Xh n, L k 1 k = Xk där Xh = Var X h. Neymanallokeringen motsvarar ett flackt optimum, d.v.s. det är möjligt att få en varians Var[m X ] som ligger nära det optimala värdet även om man inte valt den allra bästa allokeringen. 124

Stratifierad sampling Sampelallokering Problem 1: Var[X h ] är inte kända. Skatta Xh genom n h 1 s Xh = ---- x h i m Xh 2. n h i = 1 Observera att Xh inte kan skattas om vi inte tagit några sampel från stratumet, d.v.s. det krävs att n h >0! 125

Stratifierad sampling Sampelallokering Procedur Genomför en pilotstudie där antalet scenarier per stratum är fastställt i förväg. Beräkna en lämplig sampelallokering. Generera och sampla en omgång scenarier. Testa konvergenskriteriet. Om fler sampel behövs uppdateras sampelallokeringen och sedan kör man ytterligare en omgång, o.s.v. 126

Stratifierad sampling Sampelallokering Problem 2: Vi är intresserade av flera resultatvariabler. En sampelallokering som är optimal för en resultatvariabel är inte nödvändigtvis optimal för de övriga. Beräkna optimal sampelallokering för varje enskild resultatvariabel. Välj en kompromissallokering (t.ex. medelvärdet av de enskilt optimala allokeringarna). 127

Stratifierad sampling Sampelallokering Exempel: Stratum Optimal allokering för TOC LOLO Kompromissallokering 1 0 0 0 2 1 028 0 514 3 388 0 194 4 4 1 420 712 5 0 0 0 1 420 1 420 1 420 128

Stratifierad sampling Sampelallokering Problem 2: Vi har redan genererat sampel baserat på tidigare allokeringar. Det kan vara omöjligt att uppnå den eftersträvade sampelallokeringen. Försök komma så nära som möjligt! (Jfr algoritmen som beskrivs i kompendiet, s. 142.) 129

Stratifierad sampling Sampelallokering Exempel: Stratum Allokeringar Kompromiss Hittills Nästa omgång Totalt 1 0 94 0 94 2 514 530 0 530 3 194 68 77 145 4 712 512 123 635 5 0 16 0 16 1 420 1 220 200 1 420 130