Bedömning för engagemang och lärande

Bedömning för engagemang och lärande Lisa Björklund Boistrup Ordet bedömning kan göra att tankarna lätt går till prov och betyg, men här ses bedömning som mycket bredare. Olika bedömningspraktiker diskuteras, kategoriseras och exemplifieras. Den redovisade studien har ingått i författarens avhandlingsarbete. I alla matematikklassrum sker dagligen bedömning i samtal mellan lärare och elever (Torrance & Pryor, 1998; Tunstall & Gipps, 1996; Björklund Boistrup, 2010). Dessa klassrumsbedömningar i matematik påverkar elevers möjligheter till engagemang och lärande. Ett exempel är när eleverna sitter och arbetar samtidigt som läraren går runt och hjälper dem som ber om det. Under ett sådant samtal kan läraren ställa frågor för att bilda sig en uppfattning om elevens arbete. Läraren kan ge återkoppling. Ofta ger läraren sedan råd till eleven om hur hon kan gå vidare i arbetet. I det här samtalet mellan läraren och eleven så är lärarens feedback inte möjlig att ge om inte läraren först gör någon form av bedömning av det som eleven säger och gör i matematik. Vi kan säga att bedömningen blir synlig för eleven genom lärarens feedback. Det är inte bara lärare som ger feedback till elever utan elever kan också ge feedback om undervisningen till läraren. Elever kan till exempel be läraren om mer utmanande problem när den aktuella uppgiften upplevs som för lätt. Även denna handling utgår från en bedömning, i detta fall elevens. I vilken utsträckning elever inbjuds till att vara aktiva i klassrummet hänger samman med bedömningspraktiken i ett matematikklassrum. Huvudtemat i detta bidrag är resultaten från ett nyligen genomfört forskningsprojekt (Björklund Boistrup, 2010). I detta analyserades kommunikationen mellan lärare och elev i fem klasser i årskurs fyra med ett intresse för klassrumsbedömning. De exempel som beskrivs är relevanta också för grundskolans tidigare skolår. Avhandlingen kan laddas ned från su.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2:355024 Fokus på bedömning? Varför är det så viktigt att lyfta fram bedömningsaspekter i den dagliga kommunikationen i matematikklassrummet? Först och främst vill jag framhålla att det är möjligt att se på det som händer i matematikklassrummet utifrån olika perspektiv. Man kan till exempel intressera sig för lärares stöttning av eleverna i deras lärande (Moschkovich, 2004). Shepard (2005) argumen 243

Bedömning terar för hur lärares stöttning (scaffolding) också handlar om bedömning med formativt syfte (bedömning för lärande). Läraren fångar upp, d v s bedömer, elevernas visade lärande i matematik och agerar därefter. Här kan läraren ge eleven feedback och planera nästa steg i sin undervisning utgående från det som hon/han har fångat upp. I följande modell visas hur bedömning, lärtillfällen, lärande och kunskap hänger ihop (Pettersson, 2007). Ibland är bedömningen inte lika tydlig och svårare att urskilja, som i exemplet med läraren som går runt i klassrummet och hjälper de elever som så önskar. Ibland är bedömningen mer explicit genom till exempel diagnoser och prov. Bedömning som begrepp med vida gränser. Några aspekter av klassrumsbedömning. (Björklund Boistrup & Lindberg, 2007) Klassrumsbedömning omfattar alla hörn i figuren. Förutom urval av innehåll för bedömning innefattar denna också urval av innehåll för lärande. Så här beskrivs modellen (Pettersson m fl, 2010). En bedömning för lärande tar hänsyn till alla hörn i figuren. Det är en bedömning som sker kontinuerligt och som ska utveckla och förbättra såväl lärande som undervisning. Utgångspunkten är kunskapsinnehållet och ett urval av detta. Utifrån resultatet av bedömningen av den lärandes (elevens) visade kunskap påverkas såväl det fortsatta kunskapsinnehållet för undervisningen (lärtillfällena) som undervisningsmetoderna och den lärandes strategier samt också den bedömning som senare kommer att ske. I min artikel ser jag bedömning som något oundvikligt i klassrumsarbetet. Den har stark koppling till möjligheter för elevers aktiva engagemang i undervisningen. Det begrepp jag använder för engagemang är agens, se också (Norén, 2010). Termen hänger samman med ordet agent och handlar om kapacitet att göra val och att påverka världen (Hodge & Kress, 1988; Foucault, 1993). Vi kan säga att det handlar om eleverna som medskapare i matematikundervisningen. Bedömning har också stark koppling till elevers lärande i matematik (Black & Wiliam, 1998; Hattie & Timperley, 2007, Jönsson, 2009; Pettersson m fl, 2010). Här ses lärandet som meningsskapande i riktning mot en ökad beredskap att använda matematikens uttrycksformer (Rostvall & Selander, 2008). 244

Bedömning för engagemang och lärande Vad utmärker bedömningspraktiker? I min studie (Björklund Boistrup, 2010) beskrivs bedömning i matematikklassrum utifrån vilka bedömningshandlingar kopplade till feedback som äger rum i kommunikationen mellan lärare och elev (Hattie & Timperley, 2007). Det kan handla om återkoppling riktad mot det som eleven har gjort eller visat. I studien benämns detta feed back. Det kan också handla om framåtriktad bedömning adresserad mot det fortsatta arbetet i matematik. I studien benämns detta feed forward. Såväl återkoppling som framåtriktad bedömning kan också vara målinriktad bedömning. I studien benämns detta feed up. Här diskuteras också mål och jag kopplar det till elevens visade lärande. Det kan handla om kunskapskrav i kursplanen i matematik (Skolverket, 2011) eller delmål uppsatta på lokal nivå, t ex i skolans arbetsplan. I studien undersöktes också vilket fokus bedömningen kan ha i matematikklassrummet (Hattie & Timperley, 2007). Ett möjligt fokus är eleven som person. Här handlar det om hur eleven är och inte om vad eleven visar i matematik. Ett exempel är om läraren ger återkoppling genom att säga Du är en väldigt smart person i matematik. Denna bedömning erbjuder inte stora möjligheter för elevers lärande i matematik (Björklund Boistrup, 2010). Ett annat möjligt fokus i bedömning är när den koncentreras på uppgiften i sig och inte på det lärande som är möjligt i elevens arbete med uppgiften. Det kan handla enbart om att svaret är rätt eller fel eller hur många uppgifter som eleven har löst. Ett annat möjligt fokus i bedömningen är på processer. Här fokuseras de matematiska processer som leder fram till ett svar på en uppgift. Det kan handla om processer som att lära sig faktakunskaper i matematik men också mer komplexa processer som resonemang och problemlösning. Vi kan säga att här är elevens lärande mer i fokus än om läraren eller eleven bara koncentrerar sig på uppgiften i sig. Ett fjärde möjligt fokus i klassrumsbedömningen är på elevens självreglering. Här handlar det om elevens eget reglerande av det som hon/han gör i matematikundervisningen. Om detta är kopplat till process så visar studien att det blir starkare fokus på matematiklärandet (Björklund Boistrup, 2010). Man kan säga att lärare och elev båda tar ansvar för att det som sker i undervisningen gynnar elevens lärande, t ex att eleven arbetar med uppgifter som svarar mot det som eleven behöver lära sig. I studien presenteras också resultat för de roller som olika uttrycksformer har i bedömningarna i matematikklassrummet. Med uttrycksformer menas här både representationsformer och kommunikationsformer (Kress m fl, 2001; Van Leeuwen, 2005). Med det menar jag att i ett samtal mellan en lärare och en elev så sker det representation och kommunikation. Eleven representerar någon form av eget intresse när hon /han pratar, använder gester, gör figurer, skriver siffror etc. Representationen kan här handla om det matematiska innehållet och den kan också handla om andra aspekter i klassrummet. Ett exempel är att eleven talar om för läraren att uppgifterna som hon /han arbetar med är för enkla. I samma stund som eleven berättar detta för läraren så sker det också kommunikation dem emellan. Representationen och kommunikationen sker genom ett brett spektrum av uttrycksformer. De roller som dessa kan spela i bedömningar i matematikklassrum kan handla om vilka former som erbjuds eleverna att visa kunskap med. Är det alltid total öppenhet vad gäller uttrycksformer i handling, bilder, skrift, tal, gester o s v eller sker det begränsningar ibland och varför i så fall? Som framgår av nästa avdelning så har uttrycksformen tystnad visat sig ha betydelse för de bedömningar som analyserades i den aktuella studien. 245

Bedömning Bedömningsdiskurser I denna avdelning presenterar jag fyra bedömningsdiskurser i matematikklassrum. Vi ska först stanna till lite vid begreppet diskurs (Foucault 1993, 2002, 2008). En diskurs är en minikultur, som begränsas av det som gäller som relevant och riktigt att uttrycka i diskursen, men också vad som inte är accepterade handlingar. Det som kommuniceras i diskursen visas genom olika uttrycksformer och också de artefakter (saker) som används och hur de används. Här kan även möbler och det som sitter på väggarna ingå. När en person börjar på en ny arbetsplats så finns det ett antal outtalade regler för personen att lära sig. Vissa företeelser var kanske accepterade att tala om och att göra på en tidigare arbetsplats, men på den nya kanske dessa hanteras på ett annat sätt. Man skulle kunna säga att det som personen som är ny på arbetsplatsen gör är att försöka identifiera gränserna för den diskurs som råder på den nya arbetsplatsen. Samtidigt har den nya personen på arbetsplatsen möjlighet att med tiden, och i samspel med arbetskamraterna, påverka arbetsplatsens diskurs(er). I avhandlingen uttolkade jag fyra olika bedömningsdiskurser i matematik i de fem klassrum som jag besökte. Här är det viktigt att betona att i ett och samma klassrum är det möjligt att uttolka flera olika diskurser. Jag har i det forskningsprojekt som beskrivs här kunnat se hur det ofta växlar mellan diskurser under en och samma matematiklektion. När jag tog fram diskurserna så fokuserades upptäckta bedömningshandlingar, t ex återkoppling, och om dessa enbart gick i riktning från lärare till elev eller om de också gick från elev till lärare (Björklund Boistrup & Nordlund, 2008). Jag tog också med vad bedömningarna fokuserade på, om det till exempel handlade enbart om uppgiften i sig eller om där också var fokus på matematiska processer. I diskurserna ingår också de roller som uttrycksformerna spelar. I samtliga diskurser tar jag upp i vilken utsträckning som diskursen erbjuder möjligheter för elevers aktiva agens i matematikklassrummet och elevers lärande i matematik. Den första av de fyra diskurserna är Gör det fort och gör det rätt. Denna ligger nära en beskrivning av en traditionell matematikundervisning som beskrivits i tidigare rapporter och forskning. Denna undervisning är till exempel sammanfattad i Matematikdelegationens rapport (SOU 2004:95; Palmer, 2005). Den andra, Vad som helst duger, kan ses som en slags motsats till den första. I denna kan det hända att elever använder matematik på ett sätt som inom matematiken anses som ej korrekt utan att utmanas. Den tredje, Allt kan tas som utgångspunkt för en diskussion, har likheter med den matematikundervisning som ofta föreslås i matematikdidaktisk litteratur där elevens aktiva engagemang och fokus på matematiska processer förordas. Nästa och fjärde diskurs, Resonemang tar tid går ett steg till med ett långsammare tempo och betoning av processer som resonemang och problemlösning. I det följande beskriver jag de fyra diskurserna lite närmare. 1. Gör det fort och gör det rätt I denna diskurs går den feedback som finns oftast i riktning från lärare till elev. De frågor som ställs av läraren är sällan öppna och de är av karaktären att läraren redan vet svaret. Det ställs sällan uppföljande frågor. Framåtriktad bedömning handlar oftast om vad som ska göras härnäst, till exempel vilka matematikuppgifter eleven ska arbeta med i 246

Bedömning för engagemang och lärande motsats till vad som är möjligt att lära. Detta görs genom lärarens instruktioner, och det är sällan som eleverna utmanas. Återkoppling i relation till mål förekommer sällan i denna diskurs. Fokus ligger ofta på uppgiften i sig, och då ofta om ett svar är rätt eller fel. De uttrycksformer som används är huvudsakligen de som tas upp i läroboken. Både lärare och elever kommunicerar i korta yttranden och det är sällan längre tystnader. Huvudagenten i denna diskurs är läraren och de erbjudna möjligheterna för elevers aktiva agens är inte stora. Här erbjuds eleven inte så stora möjligheter till lärande i matematik. 2. Vad som helst duger I denna diskurs finns det endast lite av artikulerad återkoppling och när den förekommer handlar det oftast om beröm. Också här går återkopplingen främst i riktning från lärare till elev. Här förekommer öppna frågor. Däremot är utmaningar inte vanliga. Det finns sällan konstruktivt kritiska diskussioner om elevers lösningar och elevsvar som kan anses matematiskt felaktiga kan lämnas utan vidare diskussion och utmaning. Olika uttrycksformer, inklusive redskap av olika slag, välkomnas och det är sällan någon form av begränsning av möjliga resurser. Lärare och elever använder korta yttranden och det är sällan tyst. Ofta är läraren den aktiva agenten i denna diskurs. Ibland tar läraren en mer passiv roll. Hon/han går då inte in i elevers resonemang trots att sådant som kan anses matematiskt felaktigt visas. De möjligheter som erbjuds för elevers aktiva agens och lärande är små även i denna diskurs. 3. Allt kan tas som utgångspunkt för en diskussion Det finns flera tillfällen av bedömningshandlingar, främst återkoppling och framåtriktad bedömning i denna diskurs, både i riktning från lärare till elev och vice versa. Ofta är frågor som ställs öppna. Lärare och elever visar ofta intresse för kommunikation i matematik och det finns också öppenhet gentemot elevers alternativa förståelse av uppgifter. Ibland blir eleven utmanad för att befrämja hennes/hans fortsatta lärande i matematik. Bedömningshandlingarna riktas ofta på matematiska processer. Felaktiga svar är också utgångspunkter för diskussioner, men det är alltid klart vad som kan anses som matematiskt korrekt. Olika uttrycksformer accepteras. Ibland uppmuntrar och ibland begränsar läraren användningen av vissa uttrycksformer i relation till det som gynnar elevens lärande i matematik. I denna diskurs erbjuds det flera möjligheter för elevers aktiva agens och lärande i matematik. 4. Resonemang tar tid I diskursen ingår tre sorters bedömningshandlingar, återkoppling, framåtriktad bedömning och återkoppling i relation till mål. Dessa äger rum i båda riktningarna mellan lärare och elev. Det förekommer ofta att elevens visade kunnande tydliggörs, och ibland kopplas det också till uppställda mål. Eleverna utmanas ofta mot nytt lärande. Bedömningshandlingarnas fokus ligger ofta på matematiska processer, med störst betoning på undersökande / problemlösning, resonerande / argumenterande, definierande / beskrivande 247

Bedömning och konstruerande / skapande. Då och då ingår reflektioner över de matematiska modeller som används i relation till den ursprungliga frågeställningen. Olika uttrycksformer accepteras, och dessa kan också uppmuntras eller begränsas för att tjäna en särskild process. I denna diskurs är tystnad vanlig och möjligheten för både lärare och elev att vara tysta verkar gynna bedömningshandlingarnas matematiska fokus. Även i denna diskurs är de möjligheter som erbjuds för elevers aktiva agens stora. Också för elevers lärande av matematik anses möjligheterna stora och här ingår ett brett spann av matematiska processer. Exempel från matematikklassrum I det följande presenteras och diskuteras de fyra diskurserna i olika klassrumssituationer. Datautdragen är tidigare presenterade i avhandlingen. Exempel 1. Genomgång av diagnos I det första exemplet möter vi läraren Cecilia (L) och eleven Catrin (E). Catrin (E) har gjort färdigt en av lärobokens diagnoser om geometri som de går igenom tillsammans. Både Cecilia (L) och Catrin (E) tittar på uppgifterna och Catrins (E) svar. Cecilia (L) läser högt ur lärobokens diagnos. Catrin (E) svarar detsamma som hon svarat i diagnosen och Cecilia (L) markerar att det är rätt genom att skriva R med rödpennan hon har i handen. Det här mönstret fortsätter två frågor till. Sedan fångas Cecilias (L) uppmärksamhet av annat. I datautdraget är inte bara det personerna säger nedskrivet utan också sådant som kommuniceras med andra uttrycksformer, t ex gester och blickar. I utdraget kan vi se hur Cecilia (L) kommenterar hur Catrin (E) har skrivit uppgiftsnumren i sitt räknehäfte. Därefter skriver hon med Catrins (E) penna uppgiftnumren på ett sätt som hon tycker är bättre. Hon säger också till Catrin (E) att det är så hon ska göra i fortsättningen. I nästa utdrag kan vi se både hur Catrin (E) hade valt att skriva och hur Cecilias (L) siffror ser ut. Datautdrag 1. Kommunikation mellan Cecilia (L) och Catrin (E). Högt betyder röst med hög frekvens (ljus röst). Datautdrag 2. Del av sida i Catrins (E) räknehäfte. 248

Bedömning för engagemang och lärande Cecilia (L) återgår sedan till att gå igenom diagnosen med Catrin (E) på samma sätt som ovan. Hon läser uppgiften, Catrin (E) svarar och Cecilia (L) markerar med rött R för de korrekta svaren. Innan Cecilia (L) går, ger hon instruktioner till Catrin (E) om att hon ska dra linjer som marginal med en linjal samt mellan uppgiftslösningarna med kommentaren att matematik är ett sånt där linjalämne. Skälen för att det här anses vara ett exempel på diskursen Gör det rätt och gör det fort är: (a) Den återkoppling och framåtriktade bedömning som äger rum går från lärare till elev. (b) Fokus i återkopplingen är att uppgifternas svar är rätt och inte varför och det ställs inga uppföljande frågor. Efter ett tag är fokus inte alls på uppgifterna utan på det korrekta sättet att skriva siffror i räknehäftet. (c) De uttrycksformer som används är de som används i läroboken och det hela går fort utan några matematiska resonemang. (d) Det erbjuds få möjligheter för eleven att vara en aktiv agent i denna situation och bristen av fokus på matematiska processer medför att det erbjuds få möjligheter för lärande i matematik i samband med den bedömning som sker. Hur skulle då en diagnosgenomgång kunna se ut utifrån de andra tre diskurserna? Vad gäller den andra diskursen Vad som helst duger, kan man tänka sig att eleven får rätta sin diagnos själv. Läraren frågar eleven efteråt hur allt gick och eleven svarar att det gick bra. Läraren berömmer då eleven och säger att eleven ska arbeta vidare med svårare uppgifter. Här missas ett tillfälle för läraren att fånga hur elevens prestationer inom geometri ser ut. I just det här fallet har eleven använt linjalen på ett felaktigt sätt vid mätning av sträckor, men det uppmärksammas inte vid rättningen eftersom eleven vill komma vidare i boken. Det fel som eleven har gjort gör att svaren hela tiden är 1 cm längre än de ska vara. I bilden ovan skulle svaret då bli att bilen är 8 cm lång i stället för 7 cm. Ett annat möjligt händelseförlopp inom samma diskurs är att läraren får reda på att eleven har fått svar som alla är en centimeter för långa. Läraren berömmer eleven och ger snabbt några lotsande instruktioner till eleven om att svaret ska avläsas på linjalen i slutet av det föremål som ska mätas (för bilen ovan så pekar läraren på siffran 7 på linjalen). Eleven skriver de rätta svaren i stället och får då beröm. Även här får eleven fortsätta med de mer avancerade uppgifterna trots att det inte är helt klart om eleven har beredskap för att använda linjalen på ett korrekt sätt i fortsättningen. För den tredje diskursen Allt kan tas som utgångspunkt för en diskussion kan man tänka sig att läraren sätter sig bredvid eleven och går igenom diagnosen tillsammans med eleven. När läraren ser att eleven fått svar som inte verkar stämma så frågar läraren hur eleven kommit fram till sitt svar. Även 249

Bedömning här tänker vi oss att eleven har mätt med linjalen utan att få korrekta svar. Som svar på lärarens fråga berättar eleven att hon/han räknar centimetermarkeringarna på linjalen, inklusive den för nollan, för att komma fram till svaret. För bilen ovan så blir svaret alltså 8 cm. Man kan uttrycka det som att eleven inte använder sig av mätandets princip. Läraren berättar då att det är själva mellanrummen som ger mätresultatet. Läraren ber eleven visa hur många hela centimetrar som en mätning motsvarar. Eleven ser då att det blir en centimeter mindre än tidigare svar. Läraren ber eleven göra några liknande uppgifter och, om de går bra, fortsätta arbeta med andra uppgifter inom geometri. För den fjärde diskursen, Resonemang tar tid, kan man tänka sig en situation där läraren har gått igenom elevens diagnos i förväg. Även här sätter sig läraren bredvid eleven för en genomgång. För ett par av de uppgifter där elevens svar är matematiskt korrekta, ställer läraren några uppföljande frågor, till exempel Hur vet du att den figuren är en triangel? (pekar på en triangel). De resonerar kring olika geometriska figurer och deras egenskaper. Då och då är det tyst dem emellan, ibland för att läraren funderar över vilken återkoppling hon vill ge och ibland är det eleven som tar sig tid att fundera. Längre fram frågar läraren hur eleven har fått svaren på mätuppgifterna och eleven har i detta fall gjort samma sorts mätning som ovan. Läraren har uppmärksammat att ytterligare en elev har fått samma felaktiga svar på mätuppgiften och låter dessa två elever resonera tillsammans kring uppgifterna. Läraren berättar för dem att när hon mäter så får hon svar som är en centimeter mindre och ber dem resonera kring vad deras olika svar kan bero på. Efter en stund återkommer läraren till eleverna och de konstaterar tillsammans att det är mellanrummen mellan centimetermarkeringarna som ger de resultat som räknas som matematiskt korrekta. Under resonemanget kommer de också fram till att det går att avläsa mätresultatet i slutet av den uppmätta sträckan (pekar på siffran 7 i bilden på föregående sida). Exempel 2. Handledning vid grupparbete I det följande beskrivs en annan sorts situation där det förekommer bedömning. Här är det den bedömning som äger rum när läraren handleder elevernas självständiga arbete i grupp som illustreras. Jag koncentrerar här beskrivningen på en situation där diskursen Resonemang tar tid kan illustreras. Eleverna i läraren Erikas (L) klass har fått ett papper med fem olika lösningar på samma uppgift, 376 149 =. De får höra att målen för detta uppdrag är samarbete och subtraktion. De ska i arbete i grupp hitta den lämpligaste lösningen och också bestämma vad som kan betraktas som matematiskt fel med de andra fyra, se datautdrag 3. Fem olika lösningar visas i nästa utdrag. 1. 370 150 = 220 2. 380 150 = 230 3. 300 100 = 200 220 + 6 1 = 225 230 4 + 1 = 227 200 30 3 = 167 4. 300 100 = 200 5. 376 100 = 276 40 = 236 9 = 227 70 40 = 30 6 9 = 3 200 + 30 + 3 = 233 Datautdrag 3. Uppgift presenterad för eleverna. En lösning är matematiskt riktig, vilken? Efter Erikas (L) instruktion börjar eleverna arbeta i grupper. Erika (L) står flera minuter framför klassen och observerar deras arbete. Eleverna Eddie (E), Enzo (E) och Eric (E) diskuterar de olika lösningarna. Efter en stund höjer Enzo (E) sin hand och 250

Bedömning för engagemang och lärande signalerar att de vill ha hjälp. Erika (L) går fram till dem och Enzo (E) ställer en fråga om att det finns två lösningar med samma, och matematiskt korrekta, svar: lösningarna 2 och 5. Erika (L) lutar sig fram över elevernas bord, tittar på deras arbete och ställer frågor till de tre eleverna om syftet med uppgiften (att endast en lösning är korrekt). Hon frågar också hur de har diskuterat hittills. Del av kommunikationen visas i datautdrag 4. Som framgår av datautdrag 4, är det flera tystnader i samtalet mellan Erika (L) och eleverna. Ibland följs dessa av ett resonemang av en av eleverna. Det finns också tystnader i samband med Erikas (L) uttalanden. Efter ett tag blir elevernas resonemang intensivare med bibehållet fokus på den matematik som uppgiften innehåller. Här pratar och gestikulerar eleverna i flera sekunder. I ett fall pekar Erika (L) på lösning 5 och frågar om de har gjort en beräkning på det sättet tidigare i klassen. Eleverna svarar nej, och därefter följer en kort diskussion om lösning 2. Innan Erika (L) lämnar dem så säger hon till eleverna att de får ett par minuter mer att tänka och säger också åt dem att skriva ner vad som är fel med de lösningar som de vet är definitivt fel. Efter att Erika (L) har lämnat dem, fortsätter resonemanget om lösningarna. Argument för att detta är ett exempel på diskursen Resonemang tar tid är: (a) Det finns flera exempel på bedömning av olika slag, särskilt när Erika (L) ger återkoppling och framåtriktad bedömning till eleverna om deras arbete. Det finns ingen målinriktad bedömning som sådan men i början av lektionen anges målet för uppdraget som samarbete och subtraktion. Eleverna ber Erika (L) om framåtriktad bedömning och deras visade kunnande används av Erika (L) som framåtriktad bedömning för det hon fortsättningsvis gör under lektionen. Datautdrag 4. Kommunikationen mellan Erika (L) och tre elever. Prat i dessa parenteser, [ ], anger samtidigt prat. (b) Bedömningarnas fokus är främst på matematiska processer. De processer som är närvarande, även efter att Erika (L) har lämnat eleverna, är främst resonemang/argumentation och undersökande / problemlösning. (c) Bedömningarna från Erika (L) sker flera gånger i form av frågor till eleverna. Det finns många exempel på tystnad följt av uttalanden från eleverna och från Erika (L). Det är också tyst när Erika (L), strax före denna sekvens, står framför klassen och observerar deras arbete. Innan Erika (L) lämnar eleverna så bidrar hon med sin framåtriktade bedömning till elevernas möjligheter att också fo 251

Bedömning kusera på processerna definiera/beskriva. Detta sker när hon introducerar nya uttrycksformer för eleverna när de ska skriva ner sina resonemang så långt som de kommit. (d) I den här situationen finns möjligheter för elevernas aktiva agens och de är också aktiva. De kommunicerar mycket om matematik i form av tal, gester, symboler på papper och så vidare också i längre yttranden. Det finns flera möjligheter för elevernas lärande av olika matematiska processer. Slutsatser I följande bild visas hur de fyra bedömningsdiskurserna förhåller sig till varandra. Vi ser hur de två diskurserna Gör det fort och gör det rätt och Vad som helst duger är varandras motsatser. Den första hör samman med en långvarig tradition i matematikundervisning som präglas av att eleverna ska klara uppgifter under viss tid och att det som tas upp i kommunikationen är om svaret är rätt eller fel. När man på en skola försöker ändra sin undervisning så att den blir öppnare och där eleverna inbjuds mera till diskussioner så skulle den andra diskursen kunna spegla en pendel som slår över för långt. Huvudfokus blir i mångt och mycket på att det ska vara trevligt på matematiklektioner och själva matematiken kan tappas bort på vägen. Den tredje diskursen, Allt kan tas som utgångspunkt för en diskussion skulle kunna placeras mellan de två första diskurserna men här är det ett djupare fokus på den ingående matematiken. Den fjärde diskursen, Resonemang tar tid, är placerad längst ner för att illustrera ytterligare fördjupat fokus på det matematiska innehållet, vilket också hänger samman med tempot i klassrumskommunikationen. De tredje och fjärde diskurserna är medvetet placerade nära varandra eftersom de har sina likheter. I en bedömningspraktik med optimala möjligheter för elevers aktiva agens och lärande menar jag att båda dessa behövs. Å ena sidan behövs fokus på meningsfullt övande vilket ryms i den tredje diskursen. I denna tar kommunikationen mellan lärare och elev inte alltid så lång tid, vilket ofta är en realistisk undervisningssituation. Å andra sidan behövs också den fjärde diskursen där tid skapas för ett samtal i lägre tempo där såväl lärare som elever hinner tänka efter och därmed skapa underlag för ett fokus på ett brett utbud av matematiska processer. En slutsats jag drar är att lärare och elever, beroende på klassrummets bedömningspraktik, agerar enligt olika bedömningsdiskurser med fler eller färre erbjudna möjligheter för elevers aktiva agens 252

Bedömning för engagemang och lärande och lärande i matematik. Vilka diskurser som kan uttolkas i ett matematikklassrum är en fråga om en komplex samverkan mellan styrdokument, beslut fattade på olika nivåer i och utanför skolan samt en tradition av hur matematikundervisning ska gå till. I denna komplexa samverkan ingår agenterna, lärare och elever i bedömningspraktikerna. En positiv förändring för elevers erbjudna möjligheter för aktiv agens och lärande i matematik i klassrumsbedömning är en fråga om att ta hänsyn till alla delar i denna samverkan och att fånga helheten. En kritisk fråga är att olika beslut som påverkar skolans arbete måste stämma överens med varandra, och att besluten måste tas utifrån elevens bästa och så att besluten stöttar ett så bra bedömningsarbete som möjligt i klassrummen. I ett arbete för att befrämja bedömningspraktiker i matematikklassrum kan de fyra beskrivna diskurserna utgöra fruktbara redskap. De kan vara ett underlag för reflektion för den enskilde läraren som vill utveckla sin och sina elevers bedömningspraktik. De kan också utgöra ett underlag för diskussioner på skolan när lärarlag vill utveckla sin matematikundervisning, t ex som en del av Lesson Studies. De kan även vara underlag för reflektion i samband med beslut som fattas på kommunal och nationell nivå. Man kan alltså ställa sig frågan vilka diskurser i våra klassrum som understöds av fattade beslut i kommuner eller på nationell nivå. Litteratur Björklund Boistrup, L. (2010). Assessment discourses in mathematics classroom. A multimodal socialsemiotic study (Doktorsavhandling). Stockholms universitet. Björklund Boistrup, L., & Lindberg, V. (2007). Assessment in the mathematical classroom: Studies of interaction between teacher and students. Poster presenterad vid 12th Biennial Conference for Research on Learning and Instruction, Budapest, Hungary August 28 - September 1. Chair: University of Szeged, Eötvös Loránd University, Hungarian Academy of Sciences. Björklund Boistrup, L. & Nordlund, M. (2008). Analysschema i förändringstider. Nämnaren 36(3). 16 17. Black, P., & Wiliam, D. (1998). Assessment and classroom learning. Assessment in Education: Principles, Policy & Practice, 5(1), 7 73. Foucault, M. (1993). Diskursens ordning. Stockholm: Symposium. Foucault, M. (2002). Vetandets arkeologi. Lund: Arkiv förlag. Foucault, M. (2008). Diskursen ska inte uppfattas som... I T. Götselius & U. Olsson (Red.), Diskursernas kamp, (s 181 182). Stockholm: Symposium. Hattie, J., & Timperley, H. (2007). The power of feedback. In Review of Educational Research March 2007, 77(1), 81 112. Hodge, R., & Kress, G. (1988). Social semiotics. Ithaca, N.Y.: Cornell University Press. Jönsson, A. (2009). Lärande bedömning. Malmö: Gleerups. Kress, G., Jewitt, C., Ogborn, J., & Tsatsarelis, C. (2001). Multimodal teaching and learning: The rhetorics of the science classroom. London: Continuum. 253

Bedömning van Leeuwen, T. (2005). Introducing social semiotics. London: Routledge. Moschkovich, J. N. (2004). Appropriating mathematical practices: A case study of learning to use and explore functions through interaction with a tutor. Educational Studies in Mathematics, 55(1-3), 49 80. Norén, E. (2010). Flerspråkiga matematikklassrum: Diskurser i grundskolans matematikundervisning (Doktorsavhandling). Stockholms universitet. Palmer, A. (2005). Matematik i förändring: Diskursanalyser med fokus på matematik och kunskapsteori med ett genusperspektiv (Magisteruppsats). Lärarhögskolan Stockholm. Pettersson, A. (2007). Pedagogisk bedömning bedömning för lärande. I M. Olofsson (Red.), Bedömning, flerspråkighet och lärande. Symposium 2006. Stockholm: HLS Förlag. Pettersson, A., Olofsson, G., Kjellström, K., Ingemansson, I., Hallén, S., Björklund Boistrup, L. & Alm, L. (2010). Bedömning av kunskap för lärande och undervisning i matematik. Matematikdidaktiska texter. Del 4. Stockholms universitet, PRIM-gruppen. Rostvall, A-L. & Selander, S. (Eds.). (2008). Design för lärande. Stockholm: Norstedts Akademiska Förlag. Shepard, L. A. (2005). Linking formative assessment to scaffolding. Educational leadership, 63(3), 66 70. Skolverket (2011). Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan. www.skolverket.se/content/1/c6/02/21/84/matematik.pdf SOU 2004:97. Att lyfta matematiken intresse, lärande, kompetens. Stockholm: Regeringskansliet. www.regeringen.se/sb/d/220/a/30348 Torrance, H., & Pryor J. (1998). Investigating formative assessment. Teaching, learning and assessment in the classroom. Buckingham: Open University Press. Tunstall, P., & Gipps, C. (1996). Teacher feedback to young children in formative assessment: a typology. British Educational Research Journal, 22(4), 389 404. 254