Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 9 6, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter med eller poäng. Godkänd kontrollskrivning ( p) ht ger poäng på uppgift (som alltså inte behöver lösas) och 6p eller mer ger poäng på uppgift. Markera detta genom att skriva G respektive G+ i rutan för uppgift. Fullständiga motiveringar krävs. Lösningar läggs ut efter skrivtidens slut på http://courses.mai.liu.se/gu/tata/tentor.html Resultat meddelas via e-post inom arbetsdagar. Alla koordinater för vektorer och punkter är, om ej annat anges, givna med avseende på ett positivt orienterat ON-system, R n är ett euklidiskt rum med standardskalärprodukten och standardbasen ett positivt orienterat ON-system.. Låt Π vara planet som går genom punkterna (,, ),(,,) och (,,). Vidare, låt x x L : e y =e +te, L : e y =e +se, s, t R. z z (p) (p) (p) (a) Bestäm ekvationen för Π på normalform. (b) Beräkna linjernas L och L skärningspunkter, P och P, med planet Π. (c) Beräkna arean av triangeln med hörn i P, P och origo.. För varje värde på a R, avgör om ekvationssystemet ax y z = a x + ay + z = x + y + z = har entydig lösning, ingen lösning eller oändligt många lösningar. Om systemet för något värde på a saknar lösning, bestäm minsta-kvadratlösningen till detta olösbara system.. Ange en ON-bas i U = [(,,,),(,,,),(,,,6)] och fyll ut den till en ON-bas i R. Ange koordinaterna för v = (,,,) i den bas du valt.. Vilken sorts yta definieras av ekvationen x +6x +6x x x =? Ange en rotation av koordinatsystemet som överför ekvationen för ytan till standardform. Ange de punkter på ytan som ligger närmast origo och om sådana finnes, de som ligger längst ifrån. VÄND!
. För avbildningen F:R R gäller följande: (i) F är symmetrisk, (ii) (,,) är en egenvektor med egenvärde, (,,) är en egenvektor med egenvärde, (iii) är ett egenvärde. Bestäm F:s matris i standardbasen. 6. Låt x = ( x x x ) respektive x = ( x x ) vara standardbaserna i P respektive P. Den linjära avbildningen F:P P ges av F(+x) = +x, F(x) = x+x, F(x ) = +x+x, F(x ) = x+x. Bestäm F:s matris i standardbaserna i P och P. Bestäm sedan baser i F:s nolloch värderum samt deras dimension. Basvektorerna i respektive rum skall anges som polynom, ej koordinatform!. Låt F:R R vara en linjär avbildning som i standardbaserna för R och R har matrisen A =. Bestäm max u R u F(u). u
Lösningsförslag till TATA, Linjär algebra, 9 6. (a) Sätt Q = (,, ),Q = (,,) och Q = (,,). Då fås Q Q = e e = e, Q Q = e e = e = = Q Q Q Q = e e = e = Π: x y +z = D Q = (,, ) Π = +( ) = = D = Π: x y +z = (b) Insättning av linjernas parameterform i Π:s ekvation ger L i Π: (+t) (+t)+(+t) = t = t = = = OP = e e = e L i Π: (+t) (+t)+( t) = t = t = = = OP = e e = 6 e. (c) Beräkna kryssprodukten OP OP = e 6 e 6 = e 6. Arean av triangeln ges av OP OP = e 6 = 6.. Skriv ekvationssystemet på matrisform och låt A = systemets koefficientmatris. Determinantkriteriet (Korollarium.., sid 9) ger att systemet har entydig lösning om deta. Därför, beräkna deta och lös ekvationen deta =. a a k k = a 6 a k k k k = a+ a =
= a+ a = ((a+)(a )+) = = ( 9a 9a ) = a(a ) = a =,. Följaktligen har systemet entydig lösning omm a och a. Dessa värden på a måste nu kontrolleras separat. a = : r r r r r r r r vilket ger att lösning saknas då a =. a = : r r r r 6 r /,r / r r och vi ser att systemet är lösbart då a =. Följaktligen har vi (a) entydig lösning för a,, (b) oändligt många lösningar för a = och (c) ingen lösning då a =. Återstår attbestämma minsta-kvadratlösningarna då a =, dvs lös A t AX = A t Y. A t A = = 6 A t Y = =, 9 = 6 9 /9 /9 x x x = r r r r r r t+/9 t /9 t = 9 9 = 9 +t r r r /9, t R. /9 r r. Låt u = (,,,),u = (,,,),u = (,,,6). Vi börjar med att undersöka om det finns löjliga element samt att, eftersom vi skall fylla ut basen, skriva U som lösningsrum, dvs λ u +λ u +λ u =,x =
x = x x 6 x r r r +r r r x x +x x +x x +x x x +x x +x 6 x +x. Vi börjar med beroendeekvationen. λ t λ = t = t λ t som insatt i beroendeekvationen ger, t R, u +u u = u = (u +u ) r r så u utses till löjligt element. Satsen om löjliga element (Sats..6, sid ) ger då ihop med L.K.=godtycklig vektor att { } U = [u,u,u ] = [u,u ] = x R x : + x =. x + x = För att ordna en ON-bas sätter vi f = û och ortogonaliserar u. Vi får f = e, u f = (u f )f e u f = u u f = e e f = û f = e e e = e = e 6 = e så f,f är en ON-bas i U. Om vi tolkar ekvationerna som skalärprodukter så får vi att U = [(,,,),(,,,)].,,
Då de två genererande vektorerna är ortogonala räcker det att normera dem för att få en ON-bas i U, dvs f = e, f = e är en ON-bas i U. Därmed är f,f,f,f en ON-mängd med rätt antal element och därför en ON-bas i R. För att beräkna koordinaterna för v = (,,,) i f kan man förstås utnyttja koordinatsambandet på vanligt sätt. Här skall vi istället utnyttja att koordinater i ON-bas är skalärprodukter (Korollarium 6.., sid ). Då fås y = v f = e e = =, y = v f = e e = =, y = v f = e y = v f = e v = e e = f e = =, = = =.. Kalla den kvadratiska formen Q, skriv på matrisform och beräkna egenvärdena till Q:s matris. x Q(u) = Qe x = x +6x +6x x t x = X e 6 X =, x 6 det(a λi) = λ 6 λ 6 λ = ( λ) 6 λ 6 λ = = ( λ)((6 λ) ) = λ =,6± =,,, A
Då egenvärdena är positiva är ytan en ellipsoid. För att garantera att det nya koordinatsystemet är en rotation måste den nya ONbasen vara positivt orienterad. Beräkna egenvektorerna. λ = : λ = : = X = t, t R = X = t, t R, λ = : = X = t f = e, f = e och för att vara säkra på att basbytet blir en rotation låter vi f = f f = e e = e, t R, () (t = i () ovan). Då vi valt en ON-bas av egenvektorer där f är egenvektor till, f är egenvektor till och f är egenvektor till så följer det att y ( ) ( ) ( ) Q(u)=Qf y =y +y +y = y y + / y / y + / =. Då < < ser vi att närmast origo, på avstånd ligger punkterna P min som har koordinater y = y =, y = ± och längst ifrån, på avstånd punkterna P max som har koordinater y = ±, y = y =. OP max = ± f = ± e, P max = ± OP min = ± f = ± e (, = ± e, ) (, P min = ±,, ). har vi
. Sätt v = (,,) och v = (,,). Eftersom F är symmetrisk så finns det en ONbas av egenvektorer till F. Följaktligen måste egenvektorn v till vara ortogonal mot de två givna, dvs parallell med kryssprodukten av dessa. Sätt v v = e e f = v = 9 e f = et = 9 e = e 6 9, f = v = 9 e = [T = T t = T] = 9 T = 9 = 9. 9 = 9e = 9v., f = v = 9 e, A f =, A e = TA f T = = = 9 = 6. För att bestämma avbildningsmatrisen behöver vi uttrycka vad F gör med standardbasvektorerna i P med hjälp av standardbasen i P. Alla utom F() finns givna i uppgiften. Utnyttjar vi att F är linjär fås F(+x) = F()+F(x) = F()+ x+x = +x, F() = +x ( x+x ) = +x = x F(x) = x+x = x F(x ) = x+x = x, F(x ) = +x+x = x = A = F(p)=F(a +a x+a x +a x )=F x a a a a =x, så att a a a a.
Vi fortsätter med att beräkna N(F) = { p = a +a x+a x +a x P : F(p) = } genom att lösa ekvationen AX =. r r r +r r r = = a a a a = s+t s t = s+t s t s t =s +t, s,t R. () Ur dettaföljer att x+x, x+x ären basin(f)ochdärmed dimn(f) =. Förattbestämma enbasiv(f)utnyttjarvi Sats..,sidsomsägerattV(F) = höljet av A:s kolonnvektorer. Ställer vi upp beroendeekvationen för dessa blir det den ekvation vi just löst! Låt p,...,p vara de polynom som har A:s kolonner som sina koordinater. Om vi i () först låter s =,t = och sedan s =,t = fås p p +p = p = p +p p p +p = p = p +p, dvs p och p kan utses till löjliga element. Satsen om löjliga element (Sats..6, sid ) ger V(F) = [p,p,p,p ] = [p,p ] = x = +x, x = x+x, dvs +x, x+x är en bas i V(F) och även dimv(f) =. ( ) x. Låt u = e och skriv F(u) som en matrisprodukt. Då fås x ( ( )) ( ( )) ( ) F(u) x x x =F(u) F(u)=F e F e x =e x A x ( ( )) t ( ) x x = A A = ( ( ) ) x x x x A t x A x vilket är en kvadratisk form med matris B = A t A. Vi får ( ) ( ) B = A t A = = = 6 ( x e A x ) = = F(u) = Q(u) = x +6x x +6x, det(b λi) = λ 6 λ = ( λ)(6 λ) 9 = λ λ+ = λ = 69 ± = ±.
Sats 9.., sid ger då u F(u) = Q(u) + med likhet i respektive olikhet då u är en egenvektor till respektive egenvärde. Delar vi med u och drar roten ur den högra olikheten fås F(u) u max u R u = F(u) u + med likhet då u är en egenvektor till egenvärdet +. Följaktligen gäller att F(u) + =. u Alternativ: Man kan förstås räkna ut F(u) och sedan dess belopp på vanligt sätt; ( ( )) ( ) ( ) x +x x x F e = e x A = e x x = e x x +x x = x x ( ( )) = F x e = (x x +x ) +(x +x ) +( x ) +(x x ) =... = = x +6x x +6x. Resonemanget därefter blir detsamma. u