Reglerteknik I: F3 Tidssvar, återkoppling och PID-regulatorn Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 12
Poler och tidssvar Stegsvar u(t) G y(t) Modell Y (s) = G(s)U(s) med överföringsfunktion G(s) = b 0 s m + + b m s n + a 1 s n 1 + + a n. 2 / 12
Poler och tidssvar Stegsvar u(t) G y(t) Modell Y (s) = G(s)U(s) med överföringsfunktion G(s) = b 0 s m + + b m s n + a 1 s n 1 + + a n. När vi använder ett steg som insignal { u 0 (konst.) för t 0, u(t) = 0 för t < 0, L U(s) = u 0 s vad blir stegsvaret y(t)? 2 / 12
Poler och tidssvar Polernas avstånd från origo snabbhet Ex. 1:a ordningens system: Pol vid: Pol-nollställediagram: G(s) = s = p Im{s} p s + p p Re{s} 3 / 12
Poler och tidssvar Polernas avstånd från origo snabbhet Ex. 1:a ordningens system: G(s) = p s + p 1 0.8 y(t) 0.6 0.4 0.2 p=0.1 p=0.5 p=1.0 0 0 2 4 6 8 10 t [s] 3 / 12
Poler och tidssvar Komplexkonjugerade poler beskriver systemoscillationer Ex. 2:a ordningens system: Poler vid: Pol-nollställediagram: ω 2 0 G(s) = alt. form = s 2 + 2ξω 0 s + ω0 2 s = ω 0 ξ ± iω 0 1 ξ 2 Im{s} arccos(ξ) ω 0 Re{s} 4 / 12
Poler och tidssvar Komplexkonjugerade poler beskriver systemoscillationer Ex. 2:a ordningens system: G(s) = alt. form = ω 2 0 s 2 + 2ξω 0 s + ω 2 0 2 1.5 ξ = 0.1 ξ = 0.5 ξ = 0.8 y(t) 1 0.5 0 0 2 4 6 8 10 t [s] 4 / 12
Poler och tidssvar Dominerande pol = pol som ligger närmast origo Ex.: 3:e ordningens system G(s) = med ω 0 = 1 och ζ = 0.5. Poler vid: Pol-nollställediagram: p s + p ω 2 0 s 2 + 2ζω 0 s + ω 2 0 s = p och s = ω 0 ξ ± iω 0 1 ξ 2 Im{s} p Re{s} 5 / 12
Poler och tidssvar Dominerande pol = pol som ligger närmast origo Ex.: 3:e ordningens system G(s) = med ω 0 = 1 och ζ = 0.5. p s + p ω 2 0 s 2 + 2ζω 0 s + ω 2 0 1 0.8 p=10 p=3 p=1 y(t) 0.6 p=0.33 0.4 0.2 p=0.1 0 0 5 10 15 20 25 30 tid 5 / 12
Stegsvar och statisk förstärkning Antag stabilt system Y (s) = G(s)U(s) med { u 0 (konst.) för t 0, L u(t) = U(s) = u 0 0 för t < 0, s 6 / 12
Stegsvar och statisk förstärkning Antag stabilt system Y (s) = G(s)U(s) med { u 0 (konst.) för t 0, L u(t) = U(s) = u 0 0 för t < 0, s Slutvärdet på stegsvaret y(t) kan beräknas via slutvärdesteoremet: y f = lim t y(t) = lim s 0 sy (s) = lim s 0 sg(s) u 0 s = 6 / 12
Stegsvar och statisk förstärkning Antag stabilt system Y (s) = G(s)U(s) med { u 0 (konst.) för t 0, L u(t) = U(s) = u 0 0 för t < 0, s Slutvärdet på stegsvaret y(t) kan beräknas via slutvärdesteoremet: y f = lim t y(t) = lim s 0 sy (s) = lim s 0 sg(s) u 0 s = G(0)u 0 Systemets statiska förstärkning är alltså G(0). 6 / 12
Kopplade och återkopplade system Överföringsfunktion fås med Laplace + införda hjälpsignaler Ex.: Parallellkopplade system u G 1 G 2 y 1 y 2 + y Med införda hjälpsignaler: Y (s) = Y 1 (s) + Y 2 (s) = G 1 (s)u(s) + G 2 (s)u(s) = (G 1 (s) + G 2 (s))u(s) 7 / 12
Kopplade och återkopplade system Överföringsfunktion fås med Laplace + införda hjälpsignaler Ex.: Seriekopplade system u u 1 y G 1 G 2 Med införda hjälpsignaler: Y (s) = G 2 (s)u 1 (s) = G 2 (s)(g 1 (s)u(s)) = G 2 (s)g 1 (s)u(s) 7 / 12
Kopplade och återkopplade system Överföringsfunktion fås med Laplace + införda hjälpsignaler Ex.: Återkopplade system u + u 1 G 1 y u 2 G 2 [Tavla: härled överföringsfunktionen] 7 / 12
Återkopplad reglering baserad på felsignalen PID-regulatorn Återkopplad reglering: r Regulator u System y En enkel strategi: Reglera med hjälp av reglerfelet e(t) r(t) y(t) 8 / 12
Återkopplad reglering baserad på felsignalen PID-regulatorn Återkopplad reglering: r Regulator u System y En enkel strategi: Reglera med hjälp av reglerfelet e(t) r(t) y(t) Bestäm insignal u(t) baserat på: nuvarande reglerfel: e(t) (Proportionell) 8 / 12
Återkopplad reglering baserad på felsignalen PID-regulatorn Återkopplad reglering: r Regulator u System y En enkel strategi: Reglera med hjälp av reglerfelet Bestäm insignal u(t) baserat på: e(t) r(t) y(t) nuvarande reglerfel: e(t) (Proportionell) tidigare reglerfel: t τ=0 e(τ)dτ (Integrerande) 8 / 12
Återkopplad reglering baserad på felsignalen PID-regulatorn Återkopplad reglering: r Regulator u System y En enkel strategi: Reglera med hjälp av reglerfelet e(t) r(t) y(t) Bestäm insignal u(t) baserat på: nuvarande reglerfel: e(t) (Proportionell) tidigare reglerfel: t τ=0 e(τ)dτ (Integrerande) förändringar i reglerfelet: ė(t) (Deriverande) 8 / 12
Ideal PID-regulator Regulator med användarparametrar: t u(t) = K p e(t) + K i }{{} P e(τ)dτ } τ=0 {{ } I + K d ė(t) }{{} D r + e F u G y 9 / 12
Ideal PID-regulator Regulator med användarparametrar: t u(t) = K p e(t) + K i }{{} P e(τ)dτ } τ=0 {{ } I + K d ė(t) }{{} D r + e F u G y Laplacedomän: 1 U(s) = K p E(s) + K i s E(s) + K dse(s) ( = K p + K ) i s + K ds E(s). }{{} regulator F (s)
Ideal PID-regulator Regulator med användarparametrar: t u(t) = K p e(t) + K i }{{} P e(τ)dτ } τ=0 {{ } I + K d ė(t) }{{} D r + e F u G y Laplacedomän: 1 U(s) = K p E(s) + K i s E(s) + K dse(s) ( = K p + K ) i s + K ds E(s). }{{} regulator F (s) 9 / 12
Återkopplat reglersystem Öppna och slutna systemen Öppna systemet/kretsförstärkningen G 0 (s) G(s)F (s) Slutna systemet G c (s) r + e F u G y G c 10 / 12
Återkopplat reglersystem Öppna och slutna systemen Öppna systemet/kretsförstärkningen G 0 (s) G(s)F (s) Slutna systemet G c (s) r + e F u G y G c [Tavla: härled slutna systemet G c ] 10 / 12 Notera: Vi kan designa poler i G c!
Stationärt reglerfel Med steg som referenssignal Antag stabilt G c (s) med referenssignal (steg): { r 0 för t 0, L r(t) = R(s) = r 0 0 för t < 0, s Slutvärdet på reglerfel e(t) L E(s) = R(s) Y (s): 11 / 12
Stationärt reglerfel Med steg som referenssignal Antag stabilt G c (s) med referenssignal (steg): { r 0 för t 0, L r(t) = R(s) = r 0 0 för t < 0, s Slutvärdet på reglerfel e(t) L E(s) = R(s) Y (s): e f = lim t e(t) = lim s 0 se(s) = lim = lim s 0 r 0 1 + G(s)F (s) = 0? s 0 s 1 1 + G 0 (s) r 0 s 11 / 12
Stationärt reglerfel Med steg som referenssignal Antag stabilt G c (s) med referenssignal (steg): { r 0 för t 0, L r(t) = R(s) = r 0 0 för t < 0, s Slutvärdet på reglerfel e(t) L E(s) = R(s) Y (s): e f = lim t e(t) = lim s 0 se(s) = lim = lim s 0 r 0 1 + G(s)F (s) = 0? s 0 s 1 1 + G 0 (s) Stationärt fel e f går mot 0 när G(0)F (0) =. Kan åstadkommas om t.ex. F (s) innehåller 1 s, dvs. integrator. r 0 s 11 / 12
Återblick Relationen mellan poler och systemets tidssvar Överföringsfunktion för kopplade och återkopplade system Den ideala PID regulatorn 12 / 12