TSIU61 Föreläsning 10 HT1 2017 1 / 24 Innehåll föreläsning 10 TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 10 Lite om tillstånd och återkoppling gustafhendeby@liuse ˆ Repetition av system ˆ Överföringsfunktion till tillståndsform ˆ Tillståndsform till överföringsfunktion ˆ Tillståndsåterkoppling ˆ Var ska polerna placeras? TSIU61 Föreläsning 10 HT1 2017 3 / 24 Tillståndsbeskrivning Ex y (3) (t) + a 1 ÿ(t) + a 2 ẏ(t) + a 3 y(t) = bu(t) Tillståndsbeskrivning ẋ 1 (t) 0 1 0 x 1 (t) 0 ẋ 2 (t) = 0 0 1 x 2 (t) + 0 u(t) ẋ 3 (t) a 3 a 2 a 1 x 3 (t) b }{{}}{{}}{{}}{{} ẋ(t) A x(t) B y(t) = ( 1 0 0 ) x 1 (t) x 2 (t) }{{} x c 3 (t) Där x(t) är är tillståndsvektorn
TSIU61 Föreläsning 10 HT1 2017 4 / 24 Ex tillståndsform (medicin i kroppen) En (mycket) enkel beskrivning av hur ett ämne, t ex en medicin, tas upp i kroppen ges av dq(t) = k 1 q(t) + u(t) dt dc(t) = k 1 q(t) k 2 c(t) dt ˆ u(t) tillförselhastighet av ämnet (insignal) ˆ q(t) mängd av ämnet i mage, tarmar (tillstånd) ˆ c(t) mängd av ämnet i blodet (tillstånd) ˆ y(t) mängd av ämnet i blodet (mätsignal) Konstanterna k 1 och k 2 beskriver ämnesomsättningen TSIU61 Föreläsning 10 HT1 2017 5 / 24 Ex tillståndsform (Fuglesang) En astronaut på rymdpromenad kan beskrivas av ekvationerna: dp(t) = v(t) dt v(t) = 1 dt m u(t) ˆ p(t) astronautens läge (tillstånd) ˆ v(t) astronautens hastighet (tillstånd) ˆ u(t) kraft från raketmotor på ryggen (insignal) ˆ m massan TSIU61 Föreläsning 10 HT1 2017 6 / 24 Representation av system Yttre beskrivning Inre beskrivning Y (s) = G(s)U(s) ˆ Yttre beskrivning = Inre beskrivning ˆ Inre beskrivning = Yttre beskrivning Överföringsfunktion till tillståndsbeskrivning
TSIU61 Föreläsning 10 HT1 2017 8 / 24 Från överföringsfunktion till tillståndsform TSIU61 Föreläsning 10 HT1 2017 9 / 24 Diagonalform Antag att G(s) kan partialbråksuppdelas enligt: Givet en överföringsfunktion G(s) hur får vi fram motsvarande tillståndsbeskrivning? ˆ Diagonalform (om polerna är reella) ˆ Styrbar kanonisk form ˆ Observerbar kanonisk form Det finns i princip oändligt många sätt att representera en given överföringsfunktion på tillståndsform G(s) = b 1 s n 1 + + b n 1 s + b n s n + a 1 s n 1 + + a n 1 s + a n = β 1 s α 1 + + dx dt = α 1 0 0 0 0 α 2 0 0 x + 0 0 0 α n y = ( 1 1 1 1 ) x β 1 β 2 β n u β n s α n TSIU61 Föreläsning 10 HT1 2017 10 / 24 Styrbar kanonsisk form TSIU61 Föreläsning 10 HT1 2017 11 / 24 Observerbar kanonisk form dx dt = G(s) = b 1 s n 1 + + b n 1 s + b n s n + a 1 s n 1 + + a n 1 s + a n a 1 a 2 a n 1 a n 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 x + 0 u 0 0 1 0 0 y = ( b 1 b 2 b n ) x dx dt = G(s) = b 1 s n 1 + + b n 1 s + b n s n + a 1 s n 1 + + a n 1 s + a n a 1 1 0 0 a 2 0 1 0 x + a n 1 0 0 1 a n 0 0 0 y = ( 1 0 0 ) x b 1 b 2 b n 1 b n u
TSIU61 Föreläsning 10 HT1 2017 13 / 24 Tillståndsform till överföringsfunktion Allmänt Överföringsfunktion till tillståndsbeskrivning ẋ = Ax + Bu = G(s) = C(sI A) 1 B + D y = Cx + D Systemets poler ges av A-matrisens egenvärden Theorem (Insignal-utsignalstabilitet) Ett system är insignal-utsignalstabilit om och endast om all egenvärden till A-matrisen har strikt negativ realdel TSIU61 Föreläsning 10 HT1 2017 14 / 24 Exempel på balanssystem TSIU61 Föreläsning 10 HT1 2017 15 / 24 Exjobbsexempel ˆ Raketer ˆ Mer avancerade rullstolar ˆ Segway ˆ Robot som balanserar på en boll http://wwwyoutubecom/watch?v=bi06lujid7e Vision and GPS Based Autonomous Landing of an Unmanned Aerial Vehicle, av Joel Hermansson, utfört på Cybearo Mycket regelerteknik (modellering, PID, observatör) och en hel del signalbehandling
TSIU61 Föreläsning 10 HT1 2017 16 / 24 Exjobbsexempel Tillståndsåterkoppling TSIU61 Föreläsning 10 HT1 2017 18 / 24 Tillståndsåterkoppling TSIU61 Föreläsning 10 HT1 2017 19 / 24 Tillståndsåterkoppling Inre beskrivning Styrlag: u(t) = Lx(t) + r(t) = Lx(t) + l 0 t(t) Yttre beskrivning Y (s) = G(s)U(s) Vid regulatorsyntes har vi hittills använt denna beskrivning Utnyttja den extra systemkunskap som finns tillgänglig via tillstånden för att göra en återkoppling! Låt insignalen bestämmas av tillståndet!
TSIU61 F orel asning 10 HT1 2017 20 / 24 Filtrerad referenssignal TSIU61 F orel asning 10 HT1 2017 21 / 24 Utblick DARPA Urban Challenge N ar vi talar om en filtrerad referenssignal menar vi En kul reglerteknisk utmaning som ligger i tiden F orarl osa bilar som ska k ora en komplicerad bana p a ca 10 mil i r (t) = l0 r(t) stadsmilj o p a max 6 h x = (A BL)x + Bl0 r Bilarna ska i princip klara av att f a k orkort y = Cx Finalen gick 2007, vinnaren till h oger fick $2 000 000!!! Noll station art fel, Gc (0) = 0 TSIU61 F orel asning 10 l0 = 1 C(A BL) 1 B HT1 2017 22 / 24 Utblick Vad som kan h anda om PI-reg inte fungerar https://youtube/bnv5jp8gl_k Vad som kan h anda om man inte har r att m atsignal eller vikten av att ha overvakade system Sammanfattning
TSIU61 Föreläsning 10 HT1 2017 24 / 24 Några begrepp som får summera föreläsning 10 Tillstånd: Den systeminformation som behövs vid tiden t för att kunna förutsäga effekten av pålagd insignal u(τ), τ > t Tillståndsrummet: Det vektorrum dit tillståndsvektorn hör Tillståndsåterkoppling: Skapa en regulator genom att låta insignalen bestämmas av tillståndsvektorn (innehåller mer information om systemet än enbart mätsignalen)