. Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna har grundläggande färdigheter i aritmetik och därmed nödvändiga förkunskaper för att kunna arbeta med andra områden inom matematiken. Området består av följande fyra delområden: F Förberedande aritmetik G Grundläggande aritmetik S Skriftlig räkning U Utvidgad aritmetik Sambandet mellan delområdena ser ut så här: F Förberedande G Grundläggande R Rationella tal S Skriftlig aritmetik U Utvidgad Strukturschemat visar att förberedande aritmetik, F är förkunskaper till grundläggande aritmetik, G, som i sin tur innehåller förkunskaper till skriftlig räkning, S och utvidgad aritmetik, U. G är även förkunskap till R som handlar om de rationella talen och dess aritmetik. DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 1
kommentarerk Området i relation till syfte och centralt innehåll i kursplanen i matematik I kursplanen i matematik i Lgr11 har det centrala innehåller delats in i ett antal områden. Ett sådant område är Taluppfattning och tals användning. Detta är ett stort område och omfattar en mycket stor del av den matematik som undervisas i grundskolan. Den tidigare versionen av Diamant bygger på strukturen i Lpo 94. För att inte skapa förvirring för dem som tidigare använt Diamantdiagnoserna, har vi i huvudsak bibehållet den gamla strukturen. Detta innebär att vi delat upp den aritmetik som ingår i Taluppfattning och tals användning i två områden,, aritmetik och R, rationella tal. Område är här uppdelat i fyra delområden F, förberedande aritmetik, G grundläggande aritmetik, S skriftlig räkning och U utvidgad aritmetik, där de tre förstnämnda omfattar aritmetik med naturliga tal och U, även aritmetik med irrationella tal. Samtidigt handlar område R, som omfattar delområdena RB, tal i bråkform, RD, tal i decimal form och RP Proportionalitet och procent, om de rationella talen och dess aritmetik. Logiskt sett borde givetvis RB, RD och RP vara delområden till, men området skulle då bli ohanterligt stort. Ett annat alternativ skulle vara att kalla U för RU och låta det till höra område R. Förkunskapsmässigt hänger U emellertid närmare samman med G, vilket motiverar vårt val. Med hjälp av diagnoserna inom detta område kan man ta reda på kvalitet och omfattning av de begrepp och metoder som eleven har inom aritmetik för att kunna utveckla förmågan att: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp, välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter föra och följa matematiska resonemang, och använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser En väsentlig del av den grundläggande matematikundervisningen bygger på räknelagar och räkneregler. Genom att tidigt synliggöra detta i undervisningen underlättar man för eleverna att utveckla förmågan att kunna resonera, bygga begrepp och se samband samt att senare kunna generalisera den grundläggande aritmetiken till andra områden. Genom att tala matematik ska eleven få hjälp att se olika beräkningsmetoders styrkor och svagheter samt lära sig att använda de matematiska uttrycksformerna, inom området, på ett korrekt sätt. Diagnoserna ger eleven möjlighet att visa kunskaper inom följande centrala innehåll: Årskurs 1 3 Taluppfattning och tals användning: Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp och hur de kan användas för att ange antal och ordning. Hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal. Symboler för tal. De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer. Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning och vid beräkningar med skriftliga metoder.. Rimlighetsbedömningar vid enkla beräkningar I kunskapskrav för godtagbara kunskaper i årskurs 3 finns följande: Vid addition och subtraktion kan eleven välja och använda skriftliga räknemetoder med tillfredsställande resultat när talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0 200. Detta innebär att eleven ska klara att utföra subtraktioner av typ 142 69, vilket ställer krav på tabellkunskaper i talområdet 0 20 med 10-talsövergång, användning av räknelagar och god taluppfattning. Eleven ska således behärska grundläggande additioner och subtraktioner. tt behärska delar av multiplikationstabellen är också nödvändigt för att nå en godtagbar kvalitet när det gäller förmågan att välja och använda matematiska metoder. DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 2
kommentarerk Årskurs 4 6 Taluppfattning och tals användning: Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal och enkla tal i decimalform.vid beräkningar med skriftliga metoder. I kunskapskraven i slutet av årskurs 6 finns ingen direkt beskrivning i relation till det centrala innehållet men det är nödvändigt att behärska de fyra räknesätten med naturliga tal och tal i decimalform såväl i huvudet som med skriftlig metod för att nå godtagbar kvalitet när det gäller förmågan att välja och använda matematiska metoder anpassade till ett sammanhang samt att utveckla sin förmåga att utföra beräkningar och lösa rutinuppgifter inom aritmetik med allt bättre resultat. Årskurs 7 9 Taluppfattning och tals användning: Talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal. Potensform för att uttrycka små och stora tal samt användning av prefix. I kunskapskraven i slutet av årskurs 9 finns ingen direkt beskrivning i relation till det centrala innehållet men eleven ska kunna välja i ett utbyggt begrepps och verktygsförråd samt kunna använda sig av olika matematiska uttrycksformer vid problemlösning. I årskurs 7 9 sker en utveckling av elevens kunskaper från vardagens matematik till en mer formell och generell matematik. För att med framgång kunna arbeta med reella tal och algebra krävs det att eleven är säker på den grundläggande aritmetiken, på räknelagar och räkneregler. DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 3
kommentarerk Didaktiska kommentarer till område Om räknelagar och räkneregler Den grundläggande aritmetiken har en avgörande betydelse för elevens fortsatta matematikinlärning. Matematikkunskaper handlar inte enbart om att kunna räkna, utan om att förstå den matematik som används. Redan i årskurs 1 bör eleverna få kännedom om de grundläggande begrepp som utgör basen för all matematik. lla dessa begrepp kan konkretiseras i undervisningen. Målet med konkretiseringen är att den ska leda till abstraktion. Ju tidigare en elev tillägnar sig dessa grundläggande begrepp desto lättare blir det för eleven att såväl lära sig mer matematik, som att utveckla intresse för matematik och tilltro till sin förmåga att använda matematik i olika sammanhang. Under de första skolåren är det viktigt att eleverna utvecklar en bra taluppfattning och att de får ett bra flyt i räknandet. En förutsättning för detta är att man talar matematik med eleverna och att de får öva på ett meningsfullt och utvecklande sätt. Eleverna bör också göras medvetna om att undervisningen inte går ut på att enbart göra saker inom matematik utan att förstå vad de gör, t.ex. att kunna utföra beräkningar på ett sätt som senare kan generaliseras till nya områden. Följande aspekter av en taluppfattning bör eleven möta under de första skolåren, med början redan i förskolan och förskoleklassen. Taluppfattning handlar om att ha en sådan känsla för hur talen är uppbyggda, att man direkt, utan att reflektera, kan operera med talen. I en sådan taluppfattning ingår att behärska talens ordning och dess grannar såsom - att 6 + 1 = 7 eftersom 7 är talet efter 6 - att 8 1 = 7 eftersom 7 är talet före 8 - att 8 7 = 1 eftersom talen 7 och 8 är grannar att behärska positionssystemet med basen 10 samt 10 tals- och 100 tals-övergångar såsom - att 18 betyder 10 + 8 - att 35 betyder 3 10 + 5 - att 98 + 3 = 101 - att 101 2 = 99 att kunna tillämpa de grundläggande räknelagarna, i första hand - de kommutativa räknelagarna: a + b = b + a och a b = b a - de associativa räknelagarna (a + b) + c = a + (b + c) och (a b) c = a (b c) - den distributiva lagen a (b + c) = a b + a c att behärska tals uppdelning i termer och faktorer såsom - att 10 = 8 + 2 och 7 = 5 + 2, vilket i sin tur ger en förklaring till tiotalsövergången 8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 10 + 5 - att 28 = 4 7 och 100 = 4 25, vilket kan utnyttjas vid beräkningar som 28 25 = 7 4 25 = 7 100 i huvudet att behärska tals storleksordning, att avrunda tal och - att arbeta med runda tal såsom - att 32 19 är ungefär lika med 32 20, men 1 mer. (Det är som att köpa något för 19 kr, betala med två tior och få en krona tillbaka.) - att genom lika tillägg (differens) se att 32 19 = 33 20, (Man kan t.ex. tänka på åldersskillnaden 32 år och 19 år, som är densamma om ett år.) Elever bygger inte upp en grundläggande taluppfattning av sig själva. För detta krävs en genomtänkt, långsiktig planering från lärarens sida och rika tillfällen för eleven att praktisera kunskapen. Detta arbete bör grundläggas i årskurs 1 och därefter följas upp och fördjupas under hela skoltiden. Det räcker emellertid inte med att ha en bra taluppfattning. En förutsättning för att elever ska kunna operera med tal, alltså att kunna utföra beräkningar, är att de behärskar talen och dess egenskaper på ett sådant sätt att operationerna kan ske med flyt. Det kan jämföras med läsinlärning. Det räcker inte med att förstå hur bokstäverna uttalas och hur de kan sammanfogas till ord. För att läsningen ska bli funktionell måste läsandet ske med flyt, alltså kunna utföras så automatiskt att eleverna kan fokusera på innehållet i det lästa och inte på avkodandet av bokstäver och morfem. Diagnoserna inom området aritmetik testar om eleven har abstraherat det grundläggande aritmetikkunnandet. Dessa diagnoser ska ges först när man tror att eleven har abstraherat och behärskar detta kunnande. Diagnoserna ges på tid för att eleven ska få möjlighet att visa att hon har flyt i sitt kunnande. DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 4
kommentarerk. lla diagnoser F Förberedande aritmetik G1 ddition och subtraktion, talområdet 1 9 G6 Multiplikationstabellen G2 ddition och subtraktion, talområdet 10 19, utan tiotalsövergång G7 Generaliserad multiplikationstabell G5 Räknesättens innebörd, addition och subtraktion G3 ddition och subtraktion, talområdet 10 19 G4 ddition och subtraktion, inom talområdet 20 99 G8 Divisionstabell G9 Räknesättens innebörd, multiplikation och division S1 Skriftlig addition S4 Skriftlig multiplikation S3 ddition och subtraktion, textuppgifter S2 Skriftlig substraktion S5 Skriftlig division S6 Multiplikation och division, textuppgifter RD2 RD4 S9 Skriftlig addition och subtraktion, tal i decimalform S8 Skriftlig division, tvåsiffrig nämnare S7 Skriftlig multiplikation, flersiffriga faktorer Un1 Negativa tal, taluppfattning Up1 Potenser grundläggande S11 Skriftlig division, tal i decimalform S10 Skriftlig multiplikation, tal i decimalform Un2 Negativa tal, addition och subtraktion Up2 Potenslagar 1 RD3 RD5 Up4 Kvadratrötter Un3 Negativa tal, multiplikation och division Up3 Potenslagar 2 Un4 Negativa tal Up5 Potenser och kvadratrötter DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 5
kommentarerk Förberedande. F Delområdet F innehåller en diagnos med tio uppgifter som syftar till att undersöka om eleven har den grundläggande taluppfattning som behövs för att börja addera och subtrahera. F Förberedande aritmetik G Grundläggande aritmetik DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 6
kommentarerk Didaktiska kommentarer till delområdet F Vad ingår i en grundläggande taluppfattning? När eleverna börjar förskoleklassen/skolan har de mycket olika erfarenheter av matematik. Vissa av dem kan redan talens namn och ordning upp till 20 och kan dessutom räkna 10 20 föremål. ndra kan ännu inte detta. Såväl forskning som beprövad erfarenhet visar att elever i den senare gruppen riskerar att få svårigheter i sin matematiska utveckling. Forskning visar att barn har en förmåga att förstå och lära grundläggande matematik i tidiga åldrar. Två forskare som ägnat stor uppmärksamhet åt detta och som fortfarande utgör en central referens inom området, är Gelman och Galistel (1978). De menar att barns förmåga att hantera tal är i det närmaste genetiskt betingat och byggs upp på samma sätt som modersmålet. Det innebär att barn som har utvecklat sin förmåga att tala också borde kunna hantera grundläggande räkning. Den enda väsentliga skillnaden består i att barn hela tiden omges av ett språk medan de inte alltid omges av motsvarande numeriska miljö. Som exempel vet man att barn som är döva blir sena i sin språkutveckling, men att detta inte beror på bristande språklig förmåga. På motsvarande sätt kan ett barn inte bygga upp en förmåga att räkna om det växer upp i en miljö där man inte räknar. När elever lär sig läsa, bygger läsandet på att de har en erfarenhet av att tala. Samma sak gäller för matematik. I skolan börjar man tidigt med att läsa och skriva siffror. För de elever som ännu inte har upptäckt och lärt sig använda matematik i vardagen kan detta försvåra inlärningen. v det skälet är det viktigt att tidigt kartlägga elevers grundläggande taluppfattning och därmed förebygga svårigheter som annars kan uppstå. Genom bland andra Gelman och Galistels forskning kan man bilda sig en uppfattning om vad det innebär att kunna räkna föremål. De delar upp denna förmåga i fem delar, fem principer. De första tre av dessa är: 1. bstraktionsprincipen som innebär att det är möjligt att bestämma antalet föremål (element) i varje väl avgränsad mängd. 2. Ett-till-ett principen som innebär att man, genom att ordna föremål parvis, kan avgöra om två mängder innehåller lika eller olika många föremål. 3. Principen om godtycklig ordning som innebär att man får samma resultat oavsett i vilken ordning man räknar föremålen. De här tre principerna anses vara genetiskt nedärvda och brukar utvecklas i tidig ålder. För att barn ska kunna hantera dem krävs det emellertid en miljö där principerna kan användas. De två övriga principerna utvecklas i en social kontext (sammanhang) och kräver träning. Dessa principer är: 4. Principen om talens stabila ordning. För att kunna ange antalet föremål i en mängd krävs det att man gör en ett-till-ett tillordning (parbildning) mellan räkneord och föremål. Detta kräver att man behärskar talens namn i rätt ordning. 5. ntalsprincipen som innebär att det sist nämnda talnamnet vid en uppräkning (enligt princip 4) anger antalet föremål i den uppräknade mängden. tt ett barn får svårt med att hantera tal eller antal, beror i allmänhet på att barnet ifråga ännu inte har förstått en eller flera av de nämnda principerna. Denna grundläggande förståelse är nödvändigt för att kunna följa skolans undervisning i matematik. En del av syftet med undervisningen i matematik är att eleven ska abstrahera, alltså lämna det konkretiserande arbetet och utföra matematiska operationer i huvudet. Det som diagnostiseras i uppgifterna 7 och 8 på diagnosen inom delområdet är om eleverna nått detta stadium i sin utveckling, att de på en enkel nivå har lämnat det konkretiserande arbetet. För de elever som ännu inte har abstraherat och därmed inte klarat dessa delar av diagnosen krävs ny inlärning. Denna inlärning bör utgå från en konkretisering med avsikten att eleven ska förstå idén, alltså att de har abstraherat. Detta innebär att dessa båda uppgifter ska lösas i huvudet, inte med hjälp av fingrar eller material. DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 7
kommentarerk Förberedande aritmetik DIGNOS F Diagnosen är muntlig och omfattar tio uppgifter där eleverna ges möjligheter att visa om de har en tillräckligt god taluppfattning inför skolstarten. Diagnosen bör helst genomföras och följas upp redan i förskoleklassen men allra senast vid skolstarten i årskurs 1. Syftet med de olika uppgifterna framgår av diagnosen. Vad som kartläggs i diagnosen är om eleven har en grundläggande taluppfattning och kan: använda talraden för uppräkning känna igen talens grannar skriva siffror. Genomförande Diagnosen ska genomföras i intervjuform med en elev i sänder. Det material man behöver är 22 föremål såsom knappar, gem eller något liknande. Materialet används i frågorna 4, 5, 6, 9 och 10. Däremot är det viktigt att eleverna inte använder material när de svarar på frågorna 7 och 8. De tio frågorna på diagnosen ska helst formuleras exakt som de är ställda i diagnosen. Däremot kan antalet knappar som används varieras beroende på vilken elev man intervjuar. Det viktiga är att man är medveten om syftet med respektive fråga och vet vad man frågar om. lla frågorna i diagnosen behöver inte ställas vid samma tillfälle, utan kan spridas ut under en längre tid. Däremot är det viktigt att man efter hand som man intervjuar eleverna successivt antecknar resultatet i den bifogade resultattabellen. Det tar cirka 5 10 minuter att genomföra den här diagnosen. Notera kontinuerligt resultaten i resultattabellen. nvänd gärna de förslag till noteringar som ges i diagnosen. Uppföljning För att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultattabellen. Där kan man se om det bara är enstaka elever som är osäkra på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Med den typen av information som den här diagnosen ger blir det möjligt att möta respektive elev på sin nivå och att under en inskolningsperiod korrigera så mycket som möjligt av eventuella brister i elevernas taluppfattning. Genom att upptäcka elever som redan kommit långt i sin utveckling av taluppfattning, kan man även undvika att ge dem för enkla och därmed ointressanta uppgifter. För de elever som ännu inte utvecklat denna förståelse kan man få reda på vilken förförståelse som saknas och som man successivt måste förbättra. Under själva intervjun får man dessutom en hel del annan värdefull information om elevernas syn på skola och matematik. Facit Det går givetvis inte att ge ett exakt facit till de här uppgifterna, utan här får du som lärare själv bedöma kvaliteten i elevens svar. För elevens bästa bör varje tendens till osäkerhet noteras och följas upp. DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 8
diagnosd Förberedande aritmetik DIGNOS F Material: 22 föremål såsom gem eller knappar. 1 Syfte: tt ta reda på hur stor del av talraden eleven behärskar, alltså klarar direkt, utan att tveka. Uppgift: Hur långt kan du räkna? Om eleven inte uppfattar frågan kan man hjälpa eleven på traven genom att börja räkna: ett, två, tre hur fortsätter man? Notera i resultatblanketten hur långt eleven kommer i talraden utan att staka sig eller hoppa över något tal. 2 Syfte: tt ta reda på om eleven har förkunskaper för att kunna räkna från första/största termen, en viktig förkunskap för addition. Uppgift: Börja på 5 och fortsätta räkna. Om eleven inte uppfattar innebörden i frågan kan man ge ett exempel: När man räknar från 3, så räknar man 4, 5, 6 osv. Försök nu fortsätta räkna från 5. Notera Ja eller Nej i resultatblanketten. 3 Syfte: tt ta reda på om eleven kan räkna bakåt från ett givet tal, en viktig förkunskap för subtraktion. Uppgift: Börja på 10 och räkna bakåt. Om eleven inte uppfattar innebörden i frågan så kan man ge följande exempel: När man räknar från 7 och bakåt så räknar man 6, 5, 4, 3 osv. Om eleven inte klarar bakåträkning från 10, så pröva om hon kan räkna bakåt från 5. Notera Nej eller Ja från 5 eller Ja från 10. 4 Syfte: tt ta reda på om eleven kan visa hur många föremål (vilket antal) som svarar mot ett givet tal. Uppgift: Lägg upp 14 knappar (föremål) på bordet. Notera hur många knappar eleven klarar av att räkna utan att staka sig. 5 Syfte: tt ta reda på om eleven kan använda talraden korrekt för att bestämma antalet föremål. Inled genom att lägga 22 knappar (föremål) i oregelbunden ordning på bordet. Uppgift: Hur många knappar ligger det på bordet? Om en elev inte kan räkna alla knapparna, minska antalet knappar till 15, 10 eller 5 och upprepa därefter frågan. Notera hur många knappar eleven klarar av att räkna. Notera också om eleven säger att det är 1, 2, 3, 10 knappar eller att det är 10 knappar (antalsprincipen). 6 Syfte: tt ta reda på om eleven förstår principen om godtycklig ordning, dvs. att det blir samma resultat oavsett i vilken ordning man räknar föremålen. Låt det antal knappar (föremål) som eleven klarade av att räkna i fråga 5, ligga kvar på bordet. Fortsätt samtalet från fråga 5. Uppgift: Du sade att det var 22 (el. motsv.) knappar. Nu ska jag räkna och börjar på den knappen. (Peka på en annan knapp än den som eleven började på.) Hur många tror du jag får det till? Varför? Om eleven direkt säger 22 (el. motsv.) med en korrekt motivering, notera Ja. Om eleven tvekar, eller om eleven gissar på ett nytt tal, notera Nej. 7 Syfte: tt ta reda på om eleven förstår att addition av ett tal med 1 ger nästa tal i talraden, en viktig förkunskap till addition. Uppgift: Det ligger 6 apelsiner i en skål. Om du lägger dit en apelsin till, hur många apelsiner är det då i skålen? Eleven ska kunna svara utan att använda föremål eller fingrar. Här gäller det att se om eleven kan abstrahera (kan utföra operationen i huvudet). Notera Ja eller Nej. DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 9
diagnosd Förberedande aritmetik DIGNOS F 8 Syfte: tt ta reda på om eleven förstår att subtraktion av ett tal med 1 ger föregående tal, en viktig förkunskap till subtraktion. Uppgift: Det ligger 6 apelsiner i en skål. Om du tar bort en apelsin, hur många är det då i skålen? Eleven ska kunna svara utan att använda föremål eller fingrar. Det gäller att se om eleven kan abstrahera (kan utföra operationen i huvudet). Notera Ja eller Nej. 10 Syfte: tt ta reda på om eleven behärskar talskrivning. Detta brukar vara en bra indikator på om eleven har en grundläggande taluppfattning. Lägg framför eleven det antal knapparna som framgår av respektive uppgift. En uppgift i taget. Fråga: Skriv med siffror hur många knappar du ser. a) b) c) 9 Syfte: tt ta reda på vilken additionsstrategi eleven använder Lägg 3 knappar i elevens ena hand och 5 knappar i en av dina händer. Uppgift: Hur många knappar har du? (Peka på handen med 3 knappar.) Hur många knappar har jag? (Visar din hand med 5 knappar.) Hur många knappar har vi tillsammans? (Håll händerna öppna bredvid varandra.) Notera Räknar alla (uppräkning från början), räknar från 3 (från första), räknar från 5 (från största) eller Ser direkt (Vet). Fortsätt och lägg upp knappar. d) 13 e) 17 f) 21 Notera Ja eller Nej. DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 10
resultatr Förberedande aritmetik DIGNOS F Elev Uppgift nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10a 10b 10c 10d 10e 10f Kommentarer DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 11
kommentarerk Grundläggande aritmetik. G Delområdet G omfattar följande nio diagnoser: G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 dditioner och subtraktioner inom talområdet 1 9 dditioner och subtraktioner inom talområdet 10 19, utan tiotalsövergång dditioner och subtraktioner inom talområdet 10 19, med tiotalsövergång dditioner och subtraktioner inom talområdet 20 99 Räknesättens innebörd, addition och subtraktion Multiplikationstabellen Generaliserad multiplikationstabell Divisionstabell och generaliserad divisionstabell Räknesättens innebörd, multiplikation och division lla diagnoserna bygger på att eleverna behärskar diagnosen Förberedande aritmetik (F). tt behärska diagnoserna inom G utgör i sin tur förutsättning för att eleverna ska kunna gå vidare med diagnoserna, skriftlig räkning (S) och diagnoserna, utvidgad (U). Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i strukturschemat nedan: Genom att följa pilarna i strukturschemat kan du t.ex. se att diagnos G1 innehåller förkunskap till G2, G3, G5 och G6. På motsvarande sätt innehåller G7 förkunskaper till S4, G8 och G9. Det här betyder att en elev som inte klarat uppgifterna i G2 kanske ännu inte behärskar alla uppgifter i G1. När det gäller S2, alltså skriftlig subtraktion, så krävs förkunskapen G3 om man använder lånemetoden. Om man istället använder utfyllnadsmetoden så räcker det med förkunskapen G2. På motsvarande sätt kan du genom att följa pilarna baklänges se vilka förkunskaper som krävs för att behärska en viss typ av uppgift. DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 12
kommentarerk Grundläggande. G F Förberedande aritmetik G1 ddition och subtraktion, talområdet 1 9 G6 Multiplikationstabellen G2 ddition och subtraktion, talområdet 10 19, utan tiotalsövergång G7 Generaliserad multiplikationstabell G5 Räknesättens innebörd, addition och subtraktion G3 ddition och subtraktion, talområdet 10 19 G4 ddition och subtraktion, inom talområdet 20 99 G8 Divisionstabell G9 Räknesättens innebörd, multiplikation och division S Skriftlig räkning U Utvidgad DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 13
kommentarerk Didaktiska kommentarer till delområdet G En del av syftet med undervisningen i matematik är att eleven ska abstrahera, alltså lämna det konkretiserande arbetet och utföra matematiska operationer i huvudet. Det som diagnostiseras med G diagnoserna är om eleverna nått detta stadium i sin utveckling inom området. För de elever som ännu inte har abstraherat och därmed inte klarat vissa delar av en diagnos F krävs en ny inlärning. Denna inlärning kräver ofta en konkretisering. Men avsikten är då fortfarande att de ska förstå idén, alltså att de har abstraherat. Detta innebär att uppgifterna i de här diagnoserna ska lösas som huvudräkning, inte med hjälp av fingrar eller konkretiserande material. Det är därför viktigt att observera eleverna medan de gör diagnosen. Eftersom eleverna bör behärska de här uppgifterna i huvudet och på rimlig tid, är det viktigt att notera vilka elever som använder orimligt lång tid för att lösa uppgifterna, använder fingrarna eller i övrigt saknar flyt i sitt räknande. Dessa elever bör följas upp. God taluppfattning inom grundläggande aritmetik För att kunna utföra beräkningar, såväl i huvudet som med skriftliga metoder, behöver eleverna ha en god taluppfattning. En central del av denna taluppfattning är att eleverna behärskar de s.k. tabellerna för addition, subtraktion, multiplikation och division med flyt. En god taluppfattning inom grundläggande aritmetik omfattar bland annat följande delar: En känsla för hur tal är uppbyggda Det gäller t.ex. att känna till talens ordning och talens grannar såsom att 6 + 1 = 7 eftersom 7 är talet efter 6 och att 8 7 = 1 eftersom talen 7 och 8 är grannar. Det gäller också att känna till uppbyggnaden av vårt positionssystem med basen 10, till exempel att talet 18 är komponerat av 1 tiotal och 8 ental och 35 av 3 tiotal och 5 ental. Eleverna behöver också behärska 10-talsoch 100-talsövergångarna såsom 8 + 3 = 11 och 11 2 = 9, vilket senare ska generaliseras till 98 + 3 = 101 och 101 2 = 99. De grundläggande räknelagarna De grundläggande räknelagarna är de kommutativa och associativa lagarna samt den distributiva lagen. Det är med hjälp av dessa lagar man kan analysera tal och dela upp dem i termer och faktorer. Det är på dessa lagar de viktigaste aritmetiska operationerna bygger. Exempel på den associativa lagen är att 8 + 7 kan beräknas genom att talet 7 delas upp i 2 + 5 att 8 + 2 = 10. Detta ger i sin tur 8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 10 + 5. På motsvarande sätt kan man beräkna 28 25 genom att dela upp 28 i 7 4 = 28 och 4 25 = 100. Man får då 28 25 = 7 4 25 = 7 100. De grundläggande räknelagarna kan också användas i följande situationer. Det är lättare att beräkna 5 + 32 som 32 + 5, enligt den kommutativa lagen. Det är också lättare att beräkna 8 53 25 som 8 25 53 = 200 53 och 4 98 som 4 (100 2 ) = 400 8. För den som vill bli duktig i huvudräkning är det av stort värde att behärska denna typ av operationer och det krävs att man kan utföra dem i huvudet och med flyt. Tals avrundning Vid all beräkning är det viktigt att kontinuerligt kunna göra en rimlighetsbedömning av det man gör. För den som kan göra bra avrundningar av tal är det också enkelt att genom överslagsräkning göra lämpliga rimlighetsbedömningar. Detta ger samtidigt en säkerhetskänsla under hela beräkningen. Ett exempel på detta är att 32 19 är ungefär lika med 30 20 = 10. Med en god taluppfattning kan man emellertid gå ett steg längre och avrunda till 32 20 = 12, vilket är 1 för lite. Ännu smartare kan det vara att addera 1 till båda talen, alltså att utnyttja att 32 19 = (32 + 1) (19 + 1) = 33 20. Den känsla för tal som byggs upp på det här sättet, kan senare överföras till algebran. DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 14
kommentarerk Grundläggande aritmetik DIGNOS G1 dditioner och subtraktioner inom tal området 1 9 Diagnosen omfattar sex grupper av uppgifter som representerar olika aspekter av addition och subtraktion. Här ges eleverna möjligheter att visa sin förmåga att med flyt hantera de mest grundläggande räkneoperationerna i huvudet. Detta är en nödvändig förutsättning för att eleven senare ska kunna generalisera sin taluppfattning till ett större talområde och för att gå vidare med de fyra räknesätten. Innehållet i de sex grupperna är: 1a Talens grannar till höger, alltså uppgifter av typen 8 + 1 och 6 + 2 och deras kommutativa varianter 1 + 8 och 2 + 6 1b Talens grannar till vänster alltså uppgifter av typen 7 1 och 9 2 och avståndet till grannarna, alltså typen 7 6 och 9 7 2a Dubblorna och dubblorna ± 1, alltså typen 4 + 4, 4 + 5 och 3 + 5 2b Hälften och hälften ± 1, alltså typen 8 4 och 9 4 3a, 3b Tals uppdelning i termer, alltså uppgifter av typerna 4 + = 9 och 8 = 3 +. Likhetstecknets innebörd. dditionen omfattar följande typer av uppgifter: 1+1 1+2 1+3 1+4 1+5 1+6 1+7 1+8 2+1 2+2 2+3 2+4 2+5 2+6 2+7 3+1 3+2 3+3 3+4 3+5 3+6 4+1 4+2 4+3 4+4 4+5 5+1 5+2 5+3 5+4 6+1 6+2 6+3 7+1 7+2 8+1 Subtraktionen omfattar följande typer av uppgifter: 9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 9-6 9-7 9-8 8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6 8-7 7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 5-1 5-2 5-3 5-4 4-1 4-2 4-3 3-1 3-2 2-1 rbete med matematik kräver i allmänhet att eleverna har en rad förkunskaper och kan använda dem med flyt. Detta ska inte tolkas så att kunskapen är procedurell och inte kräver någon förståelse. De förmågor eleverna utvecklar under de första årskurserna är avgörande för resten av skoltiden. Ett exempel på detta är grundläggande subtraktion och öppna utsagor som innebär ett bra tillfälle att använda och analysera grundläggande matematiska begrepp och samband mellan begreppen samt använda matematikens uttrycksformer. När man arbetar med uppgifter som 4 + 3, 7 3, 3 + = 7, 7 = 3, 7 = 3 +, osv. är det viktigt att se dem som olika uttryck för samma idé och inte arbeta med uppgifterna isolerat från varandra. När man ska arbeta med talet 5 kan man börja med att dela upp talet i 5 + 0, 4 + 1, 3 + 2, 2 + 3, 1 + 4 och 0 + 5. Uppdelningen av talet 5 i 3 + 2 kan då konkretiseras så här: Det gäller nu att tolka vad man ser. Vissa ser 3 + 2, andra ser 5 3 osv. Men detta är bara olika sätt att uttrycka samma sak. Vet man att 5 = 3 + 2 så är subtraktionen 5 3 eller öppna utsagor som 3 + = 5 och 5 = 3 bara olika uttryck för samma uppdelning av talet 5. Eleverna lär sig att tolka uttryck som 5 = 3 + 2 ur olika perspektiv genom att tala matematik på ett varierat sätt. Detta svarar mot förmågan att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. Man behöver inte upprepa detta för alla tal om man börjar med talet 5 som är ett hanterligt tal och ser till att eleverna förstått idén. Det gäller då bara att generalisera idén på samma sätt till övriga tal. Det som däremot måste kompletteras innan eleverna börjar arbeta med talen i talområdet 0 19, är att eleverna lär sig hantera de grundläggande räkneoperationerna såsom additions- och subtraktionstabellerna med flyt. De kunskapsområden som omfattas av de här diagnoserna bör förankras med konkretisering och i vardagens matematik. Det som konkretiserats ska emellertid också kunna abstraheras på ett sådant sätt att det blir ett effektivt instrument i elevernas tänkande. Det som diagnostiseras är om eleverna nått målet, alltså om det skett en abstraktion, inte vilka metoder lärare använder för att hjälpa eleverna att nå målet. DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 15
kommentarerk Genomförande Beroende på hur du undervisat kan diagnosen ges antingen i sin helhet eller i mindre delar. Du kan t.ex. ge additionsdelarna 1a och 2a för sig, subtraktionsdelarna 1b, 2b för sig och de öppna utsagorna 3a och 3b för sig. Målet är emellertid att eleven behärskar samtliga grupper med flyt. För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 2 3 minuter att genomföra hela diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid och t.ex. räknar på fingrarna saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att behärska denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 6 minuter. Skriv i resultatblanketten hur många uppgifter inom respektive grupp som blivit korrekt lösta av de sex möjliga. Sätt ett streck ( ) om alla sex uppgifterna är överhoppade. Notera gärna hur lång tid respektive elev använder för att genomföra diagnosen. Uppföljning För att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan du se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgiftstyp eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. För planering kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos G1 kräver förkunskaper från F. Om en elev gör ett eller flera fel på en del av diagnosen har hon sannolikt inte abstraherat de aktuella operationerna. Det är då angeläget att följa upp diagnosen med en riktad intervju. Ta reda på hur eleven löser de uppgifter hon gjorde fel på t.ex. genom att låta eleven räkna högt och berätta hur hon gör. För elever som behöver mera hjälp underlättas inlärningen om man delar upp uppgifterna i grupper som representerar samma mönster. Uppgifterna 1a omfattar t.ex. bara uppgifter av typen + 1 och + 2, där eleverna kan tänka ett år äldre eller två år äldre. Därefter är det bara tio uppgifter kvar varav sex är dubblor eller dubbelt ±1. Det lönar sig alltid att lägga extra lång tid på att arbeta med de här grundläggande uppgifterna, eftersom färdighet inom detta område ger flyt åt det fortsatta räknandet. För elever som är mer osäkra i detta är det lämpligt att göra diagnos F för att undersöka om dessa grundläggande förkunskaper är klara. Facit 1a 7 8 1b 8 6 6 9 5 5 8 9 1 2 2a 8 8 2b 5 3 6 9 3 4 9 7 4 4 3a 5 6 3b 6 2 4 3 5 4 6 6 6 3 DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 16
diagnosd DIGNOS G1 Namn Klass 1a 1b 6 + 1 = 6 + 2 = 9 1 = 8 2 = 4 + 2 = 8 + 1 = 7 2 = 6 1 = 1 + 7 = 2 + 7 = 9 8 = 8 6 = 2a 2b 4 + 4 = 3 + 5 = 9 4 = 6 3 = 3 + 3 = 5 + 4 = 7 4 = 9 5 = 4 + 5 = 4 + 3 = 8 4 = 7 3 = 3a 3b 4 + = 9 2 + = 8 8 = 2 + 9 = 7 + 3 + = 7 5 + = 8 7 = 2 + 9 = 5 + 1 + = 7 3 + = 9 9 = 3 + 7 = 4 + DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 17
resultatr Grundläggande aritmetik DIGNOS G1 Elev Uppgift nr 1a 1b 2a 2b 3a 3b Kommentarer DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 18
kommentarerk Grundläggande aritmetik DIGNOS G2 dditioner och subtraktioner inom talområdet 10 19, utan tiotalsövergång Diagnosen omfattar åtta delar som representerar olika aspekter av addition och subtraktion. Här ges eleverna möjligheter att visa om de har en sådan taluppfattning att de, i huvudet och med flyt, kan hantera de mest grundläggande räkneoperationerna (utan tiotalsövergång) inom talområdet 10 19. Innehållet i de åtta delarna är: 1a ddition av 10 och ett ental, typ 10 + 7 och 7 + 10 samt motsvarande öppna utsagor 1b Subtraktion av ett tal mellan 11 och 19 och talet 10 eller ett ental, alltså uppgifter av typen 18 10 och 18 8, samt motsvarande öppna utsagor 2a, 2b Generalisering av uppgifterna i 1a respektive 1b i diagnos G1 3a, 3b Generalisering av uppgifterna i 2a respektive 2b i diagnos G1 4a, 4b Generalisering av uppgifterna i 3a respektive 3b i diagnos G1 I talområdet 10 19 finns det uppgifter av två olika slag: Uppgifter utan tiotalsövergång, alltså av typen 12 + 4, 16 4 och 16 14. Det är dessa uppgifter som finns i G2. Uppgifter med tiotalsövergång, alltså av typen 8 + 6 och 12 8. Uppgifter med tiotalsövergångar återfinns i G3. Uppgifterna i G2 är en generalisering av de uppgifter som förekommer i G1. Det gäller att utveckla förmågan att värdera valda strategier och metoder, att använda och analysera begrepp och samband mellan begrepp, att föra och följa matematiska resonemang samt att använda matematikens uttrycksformer. När det gäller addition ser man viktiga samband i följande tabell. Mot uppgiften 3 + 5 i additionstriangel 1, svarar uppgiften 3 + 15 i additionstriangel 2, och uppgiften 13 + 5 i additionstriangel 3. Det här betyder att för den elev som behärskar uppgifterna i G1 är steget mycket kort till att behärska även uppgifterna i G2. dditionstriangel 1 dditionstriangel 2 1+1 1+2 1+3 1+4 1+5 1+6 1+7 1+8 1+11 1+12 1+13 1+14 1+15 1+16 1+17 1+18 2+1 2+2 2+3 2+4 2+5 2+6 2+7 2+8 2+11 2+12 2+13 2+14 2+15 2+16 2+17 3+1 3+2 3+3 3+4 3+5 3+6 3+7 3+8 3+11 3+12 3+13 3+14 3+15 3+16 4+1 4+2 4+3 4+4 4+5 4+6 4+7 4+8 4+11 4+12 4+13 4+14 4+15 5+1 5+2 5+3 5+4 5+5 5+6 5+7 5+8 5+11 5+12 5+13 5+14 6+1 6+2 6+3 6+4 6+5 6+6 6+7 6+8 6+11 6+12 6+13 7+1 7+2 7+3 7+4 7+5 7+6 7+7 7+8 7+11 7+12 8+1 8+2 8+3 8+4 8+5 8+6 8+7 8+8 8+11 dditionstriangel 3 10+1 10+2 10+3 10+4 10+5 10+6 10+7 10+8 10+9 11+1 11+2 11+3 11+4 11+5 11+6 11+7 11+8 12+1 12+2 12+3 12+4 12+5 12+6 12+7 13+1 13+2 13+3 13+4 13+5 13+6 14+1 14+2 14+3 14+4 14+5 15+1 15+2 15+3 15+4 16+1 16+2 16+3 17+1 17+2 18+1 DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 19
kommentarerk Subtraktionstriangel 2 Subtraktionstriangel 3 19 1 19 2 19 3 19 4 19 5 19 6 19 7 19 8 19 9 19 10 19 11 19 12 19 13 19 14 19 15 19 16 19 17 19 18 18 1 18 2 18 3 18 4 18 5 18 6 18 7 18 8 18 9 18 10 18 11 18 12 18 13 18 14 18 15 18 16 18 17 17 1 17 2 17 3 17 4 17 5 17 6 17 7 17 8 17 9 17 10 17 11 17 12 17 13 17 14 17 15 17 16 16 1 16 2 16 3 16 4 16 5 16 6 16 7 16 8 16 9 16 10 16 11 16 12 16 13 16 14 16 15 15 1 15 2 15 3 15 4 15 5 15 6 15 7 15 8 15 9 15 10 15 11 15 12 15 13 15 14 14 1 14 2 14 3 14 4 14 5 14 6 14 7 14 8 14 9 14 10 14 11 14 12 14 13 13 1 13 2 13 3 13 4 13 5 13 6 13 7 13 8 13 9 13 10 13 11 13 12 12 1 12 2 12 3 12 4 12 5 12 6 12 7 12 8 12 9 12 10 12 11 11 1 11 2 11 3 11 4 11 5 11 6 11 7 11 8 11 9 11 10 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 Subtraktionstriangel 1 9 1 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 9 8 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 7 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 5 1 5 2 5 3 5 4 4 1 4 2 4 3 3 1 3 2 2 1 Motsvarande gäller för subtraktion. Mot uppgiften 7 3 i subtraktionstriangel 1, svarar uppgiften 17 3 i subtraktionstriangel 2, och uppgiften 17 13 i subtraktionstriangel 3. För den elev som behärskar uppgifterna i G1 är steget kort till att behärska även uppgifterna i G2. Genomförande Beroende på hur du undervisat kan diagnosen ges antingen i sin helhet eller i mindre delar, t.ex. addition och subtraktion var för sig eller de öppna utsagorna för sig. Målet är emellertid att eleven behärskar samtliga grupper med flyt. För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 3 4 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid, och t.ex. räknar på fingrarna, saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att behärska denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 8 minuter. Skriv i resultatblanketten hur många uppgifter inom respektive grupp som blivit korrekt lösta av de sex möjliga. Sätt ett streck ( ) om alla sex uppgifterna är överhoppade. Notera gärna hur lång tid respektive elev använder för att genomföra diagnosen. Uppföljning För att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan du se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgiftstyp eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att diagnos G2 bygger på diagnos G1. För den som har abstraherat uppgifter som 4 + 3 och 7 4 är det enkelt att bara lägga till ett tiotal för att lösa uppgifter som 14 + 3, 17 4 och 17 14. Gör eleven fel på G2 beror det ofta på att hon inte har flyt när hon arbetar med G1 hon kan kanske inte abstrahera detta steg utan löser uppgifterna med hjälp av fingrarna. Om en elev gör ett eller flera fel på diagnosen, bör detta följas upp med en riktad intervju. Ta reda på hur eleven löser de uppgifter hon gjorde fel på, till exempel genom att låta eleven räkna uppgifterna högt och berätta hur hon tänker. Om eleven behärskar uppgifterna i G1, men har svårigheter med G2, är det sannolikt att förståelsen för positionssystemet och hur det kan användas för effektiva beräkningar behöver utvecklas och konkretiseras till exempel genom en genomgång av typen: Om man har 3 kr och får 4 kr till så har man 7 kr. Om man har 10 + 3 kr och får 4 kr till så har man 10 + 7 kr. Om man har 17 kr och köper något för 3 kr så har man 7 3 = 4 kr kvar, plus tian, alltså 14 kr. DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 20
kommentarerk Facit 1a 17 16 1b 8 5 14 18 10 10 3 10 4 10 2a 18 17 2b 18 16 17 19 5 5 17 16 1 2 3a 17 18 3b 15 13 16 19 13 4 19 17 4 5 4a 5 16 4b 15 3 4 13 13 5 6 16 15 3 DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 21
diagnosd DIGNOS G2 Namn Klass 1a 1b 10 + 7 = 10 + 6 = 18 10 = 15 10 = 4 + 10 = 8 + 10 = 16 6 = 18 8 = 10 + = 13 2 + = 12 14 = 10 19 = 9 2a 2b 17 + 1 = 15 + 2 = 19 1 = 18 2= 12 + 5 = 11 + 8 = 17 12 = 16 11 = 1 + 16 = 2 + 14 = 19 18 = 18 16 = 3a 3b 14 + 3 = 13 + 5 = 19 4 = 16 3 = 3 + 13 = 5 + 14 = 17 4 = 19 15 = 14 + 5 = 4 + 13 = 18 14 = 17 12 = 4a 4b 14 + = 19 2 + = 18 18 = 3 + 19 = 16 + 13 + = 17 5 + = 18 15 = 2 + 18 = 13 + 11 + = 17 3 + = 19 19 = 4 + 17 = 14 + DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 22
resultatr Grundläggande aritmetik DIGNOS G2 Elev Uppgift nr 1a 1b 2a 2b 3a 3b 4a 4b Kommentarer DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 23
kommentarerk Grundläggande aritmetik DIGNOS G3 dditioner och subtraktioner inom talområdet 10 19 Diagnosen G3 omfattar åtta grupper av uppgifter som representerar olika aspekter av addition och subtraktion, där eleven ges möjligheter att visa att hon har en sådan taluppfattning inom talområdet 10 19 att hon i huvudet och med flyt kan behärska additioner och subtraktioner med tiotalsövergång. Detta är en förutsättning för att eleven, skriftligt eller i huvudet, ska kunna utföra additioner och subtraktioner med tiotalsövergång i ett större talområde. Innehållet i de åtta grupperna är: 1a, 1b Tiokamraterna, alltså de uppgifter vars summa är 10. 2a ddition med 9, alltså typerna 9 + 3 och 4 + 9. 2b Subtraktion med 9 och då differensen blir 9, typ 14 9 och 15 6. 3a dditioner med 8, alltså typerna 8 + 5 och 6 + 8. 3b Subtraktion med 8 och då differensen blir 8, typ 13 8 och 15 7. 4a Dubblorna 6 + 6, 7 + 7 och 8 + 8 samt dubbelt ± 1 såsom 6 + 7 och 5 + 7. 4b Hälften och hälften ±1, alltså typerna 14 7, 13 7, 13 6. dditionen omfattar följande typer av uppgifter: 1 + 9 2 + 9 2 + 9 3 + 7 3 + 8 3 + 9 4 + 6 4 + 7 4 + 8 4 + 9 5 + 5 5 + 6 5 + 7 5 + 8 5 + 9 6 + 4 6 + 5 6 + 6 6 + 7 6 + 8 6 + 9 Subtraktionen omfattar följande typer av uppgifter: 18 9 17 8 17 9 16 7 16 8 16 9 15 6 15 7 15 8 15 9 14 5 14 6 14 7 14 8 14 9 13 4 13 5 13 6 13 7 13 8 13 9 12 3 12 4 12 5 12 6 12 7 12 8 12 9 11 2 11 3 11 4 11 5 11 6 11 7 11 8 11 9 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 För att eleverna senare ska få flyt i sitt räknande bör de här kunskaperna vara automatiserade. Detta underlättas väsentligt om eleverna behärskar de grundläggande räknelagarna och har förmåga att formulera, använda, analysera matematiska begrepp samt se samband mellan dem. Genomförande Beroende på hur du undervisat kan diagnosen ges, antingen i sin helhet eller i mindre delar. Du kan t.ex. ge additionsdelarna för sig, subtraktionsdelarna för sig och de öppna utsagorna för sig. Målet är emellertid att eleven behärskar samtliga grupper med flyt. För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 3 4 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid, och t.ex. räknar på fingrarna, saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att behärska denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 8 minuter. Skriv i resultatblanketten hur många uppgifter inom respektive gruppen som blivit korrekt lösta av de sex möjliga. Skriv ett streck ( ) om alla sex uppgifterna är överhoppade. Notera gärna hur lång tid respektive elev använder för att genomföra diagnosen. Elever som använder lång tid brukar i allmänhet använda mindre bra strategier. 7 + 3 7 + 4 7 + 5 7 + 6 7 + 7 7 + 8 7 + 9 8 + 2 8 + 3 8 + 4 8 + 5 8 + 6 8 + 7 8 + 8 8 + 9 9 + 1 9 + 2 9 + 3 9 + 4 9 + 5 9 + 6 9 + 7 9 + 8 9 + 9 Uppföljning För att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan du se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgiftstyp eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 24
kommentarerk Om en elev gör ett eller flera fel bör detta följas upp med en riktad intervju. Ta reda på hur eleven löser de uppgifter hon gjorde fel på t.ex. genom att låta eleven räkna uppgifterna högt och berätta hur hon tänker. Även om det är viktigt att behärska de här uppgifterna i huvudet och med flyt, är det också viktigt att de är konkret förankrade. Detta underlättar inlärningen. Det är därför angeläget att använda bra strategier. Exempel på sådana strategier kan vara följande: 8 + 7 kan uppfattas som 8 + 2 + 5 = 10 + 5. Detta kräver att eleven behärskar de uppgifter i G1, som behandlar uppdelning av tal och de uppgifter i G2, som är av typerna 10 + 5 =, 5 + _ = 15 och 15 5 =. 15 9 kan uppfattas som att man har 15 kr (en tia och fem enkronor) och ska köpa något som kostar 9 kr. Man betalar då med en tia och får 1 kr tillbaka. Då har man 1 krona och 5 kronor kvar alltså 6 kronor. 15 6 kan uppfattas på ett liknande sätt. Om man har 15 kr (en tia och fem enkronor) och ska köpa något för sex kronor så räcker inte enkronorna. Det fattas en krona som man kan ta från tian. Det är genom att variera lösningsmetoder och uttrycksformer på det här sätter som man hjälper eleverna att bygga upp de förmågor som nämns i kursplanen. Facit 1a 10 10 1b 4 7 5 8 9 2 1 4 5 3 2a 11 13 2b 5 9 15 14 3 9 17 16 9 7 3a 15 13 3b 5 8 12 16 8 7 11 14 4 8 4a 12 11 4b 7 6 12 14 5 6 11 12 7 5 DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 25
diagnosd DIGNOS G3 Namn Klass 1a 1b 4 + 6 = 3 + 7 = 10 6 = 10 3 = 5 + = 10 2 + = 10 10 1 = 10 = 8 + 9 = 10 + 6 = 10 10 = 5 10 = 7 2a 2b 9 + 2 = 4 + 9 = 14 9 = 17 8 = 9 + 6 = 5 + 9 = 12 9 = 18 9 = 9 + 8 = 7 + 9 = 15 6 = 16 9 = 3a 3b 8 + 7 = 5 + 8 = 13 8 = 14 6 = 8 + 4 = 8 + 8 = 16 8 = 15 8 = 3 + 8 = 8 + 6 = 12 8 = 11 3 = 4a 4b 6 + 6 = 5 + 6 = 14 7 = 11 5 = 7 + 5 = 7 + 7 = 12 7 = 12 6 = 6 + 5 = 5 + 7 = 13 6 = 11 6 = DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 26
resultatr Grundläggande aritmetik DIGNOS G3 Elev Uppgift nr 1a 1b 2a 2b 3a 3b 4a 4b Kommentarer DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 27
kommentarerk Grundläggande aritmetik DIGNOS G4 dditioner och subtraktioner inom talområdet 20 99, generalisering Diagnosen omfattar åtta grupper av uppgifter som representerar olika aspekter av addition och subtraktion. Eleven ges möjlighet att visa sin förmåga att, inom talområdet 20 99, generalisera de grundläggande additioner och subtraktioner som förekommer i diagnoserna G1 G3. Detta ska ske i huvudet och utan hjälp av fingrar eller andra hjälpmedel. Innehållet i de åtta grupperna är: 1a och 1b Generalisering av uppgifterna i diagnos G1 från ental till tiotal 2a dditioner av tiotal och ental och motsvarande öppna utsagor 2b Subtraktioner med ett ental, sådana att svaret blir ett tiotal och motsvarande öppna utsagor 3a och 3b Generalisering av uppgifterna i G2, utan tiotalsövergångar, till ett större talområde 4a och 4b Generalisering av uppgifterna i G3, med tiotalsövergångar, till ett större talområde Målet är att eleverna ska behärska de här uppgifterna med ett sådant flyt att de kan användas vid huvudräkning. Här ges också goda möjligheter att tillämpa och diskutera räknelagarna samt att öva de förmågor som beskrivs i kursplanens syfte. Genomförande Beroende på hur du undervisat kan diagnosen ges, antingen i sin helhet eller i mindre delar. Du kan t.ex. ge additionsdelarna för sig, subtraktionsdelarna för sig och de öppna utsagorna för sig. Målet är emellertid att eleven behärskar samtliga grupper med flyt. För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 4 5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid, och t.ex. räknar på fingrarna, saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att behärska denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten hur många uppgifter inom respektive grupp som blivit korrekt lösta av de sex möjliga. Sätt ett streck ( ) om alla sex uppgifterna är överhoppade. Notera gärna hur lång tid respektive elev använder för att genomföra diagnosen. Elever som använder lång tid brukar i allmänhet använda mindre bra strategier, vilket är angeläget att notera och följa upp. Uppföljning För att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan du se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgiftstyp. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, G4, bygger på alla de tidigare diagnoserna. Uppgifterna i 3a och 3b bygger på motsvarande uppgifter i G1 och G2, medan uppgifterna i 4a och 4b bygger på uppgifterna i G3. Om en elev inte klarar en grupp uppgifter i G4 bör man därför i första hand kontrollera förkunskaperna och i andra hand kontrollera om det är generalisering till ett större talområde som eleven inte behärskar. Om en elev gör ett eller flera fel bör detta följas upp med en riktad intervju. Ta reda på hur eleven löser de uppgifter hon gjorde fel på, t.ex. genom att låta eleven räkna uppgifterna högt och berätta hur hon tänker. Facit 1a 70 90 1b 30 50 40 20 50 20 50 50 40 40 2a 47 68 2b 90 60 8 4 6 4 30 9 93 79 3a 28 26 3b 36 52 47 68 2 1 78 89 82 61 4a 93 83 4b 55 48 72 84 2 2 71 64 64 78 DIMNT NTIONELL DIGNOSER I MTEMTIK 28